揭陽市2021年高考數(shù)學(xué)學(xué)科模擬考題（一）

揭陽市2021年高考數(shù)學(xué)科模擬考精選題(一)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

1.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=——L+為實(shí)數(shù),則。=()

i

A.-2B.-lC.lD.2

2.已知集合M={x|y=J(2-x)(x+l)},N={%|2'<1},則MCN=()

A.(0,2]0)C.(0,1]D.(-l,2)

3.某地市在一次測(cè)試中，高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)4服從正態(tài)分布N(80,a2),己知

P(60<J<80)=03,若按成績(jī)分層抽樣的方式取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從100分以上的試

卷中抽取()

A.10份B.15份C.20份D.30份

4.已知傾斜角為。的直線/與直線3尤一4)，-1=0垂直，則COS。的值為()

A

-4仁1

5.若a=O.607,Z?=0.7°-6,c=lg3,則下列結(jié)論正確的是

A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c

X2y21(。>0,b>0)的離心率為萼，雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為

6.已知雙曲線C:之

CT"F

Vio-3，則雙曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A(5,0)的最小距離為()。

B卡

A.1C.2D.A/6

2

7.從包括甲、乙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生排序參加演講比賽，則甲和乙參加，且演講順序

不相鄰的概率為()

221

A.—B.一C.一D.-

21772

8.數(shù)學(xué)中有些優(yōu)美的曲線顯示了數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美,

曲線C：(x?+y2)3=16x2y2就是四葉玫瑰線，則不等式

(Y+y2)3表示區(qū)域所含的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整

數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為()

0\x

A.1B.4

C.5D.9

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求，全部選對(duì)的得5分。部分選對(duì)的特2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知等比數(shù)列｛為｝的公比為2,且5”S2+2,邑成等差數(shù)列，則下列命題正確的是()

A.a“=2"T+l：B.&，%，/-4成等差數(shù)列；

C.｛S“+2｝是等比數(shù)列；D三人〃，reN*(機(jī)Hr),?！埃沙傻炔顢?shù)列。

10.已知二面角￡一/—，，不同的兩條直線〃?，〃，下列命題正確的是()

A.若"?"U,則〃2_La；

B.若根///,則加//a；

C.若二面角a一/一〃大小為鈍角氏m1a9?!/?,則相與〃所成角為乃一6；

D.若平面/Da="z,/Q/?=n,mlIn,則m///。

11.已知函數(shù)?r)=1+2cosxcos(x+2°)是偶函數(shù)，其中(pe(0,7T),則下列關(guān)于函數(shù)g(x)=cos(2x

一夕)的正確描述是()

~~i1

A.g(%)在區(qū)間一五，至上的最小值為一］；

B.g(x)的圖象可由函數(shù)人x)的圖象向左平移2TT個(gè)單位長(zhǎng)度得到；

4

JT

C.點(diǎn)(一，0)是g(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；

4

JT

D.［0,-］是g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間。

2

12.已知定義在R上的函數(shù)/(x)>0,滿足/(x)-/(%+2)=4,且Vxe［-1,1］,

/(x)?/(-尤)=4,當(dāng)一IWXK。時(shí)，/(尢)=2一“+&(左為常數(shù))，關(guān)于x的方程段)一log，x+l)=l

3<8月1)有且只有3個(gè)不同的根，則

A.函數(shù)f(x)的周期T=2；B.f(x)在［-1,1］單調(diào)遞減；

C./(%)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱；D.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,2夜)。

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

23456

13.記(l-x。=%+0^(1+x)+a2(l+x)+?3(l+x)+a4(l+x)+a5(l+x)+a6(l+x))則

14.在四邊形4BCD中，AB=2,單位向量而與麗平行，P是BC的中點(diǎn)，AP^DC^Q,若

在血、前、而、加中選兩個(gè)作為基本向量，來表示向量而，則而=；

,\MF\

15.焦點(diǎn)為F的拋物線C:/=3y的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)M在拋物線C上，則上看的取值

|MA\

范圍是；

16.在AABC中，AB=AC,BC=4,沿中線AD折起，使N5DC=6()。，連BC,所得四面體

ABCD的體積為G,則此四面體內(nèi)切球的表面積為。

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本題滿分10分）

已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，滿足6S”=4q+I+2（〃eN*）,q<2,

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）若■=（-l）"lg（%q+1）,記數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和，，求

18.（本題滿分12分）

在aABC中，內(nèi)角A3,C的對(duì)邊分別為a,。,c,已知aABC的面積為豆叵a,cosB=—,

1616

（1）求邊〃的最小值；

19

（2）若。sinB=---sinA+14sinC,求aABC的面積

4

19.（本題滿分12分）

小田開小汽車上班的道路A要經(jīng)過5個(gè)紅綠燈路口，若小田到達(dá)每一個(gè)路口是相互獨(dú)立的，

23

到達(dá)每一個(gè)路口遇到紅燈的概率都為彳，遇到綠燈的概率都為y。

（1）若小田從出門到第一個(gè)路口和最后一個(gè)路口到辦公室各需要5分鐘，在路口遇到紅燈的平

均等待時(shí)間為1分鐘，每?jī)蓚€(gè)路口之間的行駛時(shí)間為2分鐘，求小田從出門到辦公室的時(shí)間的平均

值；

（2）小田騎電動(dòng)車上班的道路B只要經(jīng)過3個(gè)紅綠燈路口（只有紅燈或綠燈），隨機(jī)到達(dá)第一

個(gè)路口遇到紅燈、綠燈的概率都為,，一個(gè)路口遇到紅燈時(shí)下一個(gè)路口遇到紅燈和一個(gè)路口遇到綠

2

2

燈時(shí)下一個(gè)路口遇到綠燈的概率都為§,求小田遇到紅燈個(gè)數(shù)的平均值；

（3）若小田騎電動(dòng)車走道路B,從出門到第一個(gè)路口和最后一個(gè)路口到辦公室各需要4分鐘，

在路口遇到紅燈的平均等待時(shí)間為1分鐘，每?jī)蓚€(gè)路口之間的行駛時(shí)間為5分鐘.從時(shí)間來考慮，

請(qǐng)問小田上班是開小汽車好，還是騎電動(dòng)車好？

+

20.(本題滿分12分)

某直四棱柱被平面AEFG所截幾何體如圖所示，底面ABCD為菱形,

(1)若BG_LGF,求證：BG_L平面ACE；

(2)若BE=1,AB=2,ZDAB=60°,直線AF

與底面ABCD所成角為30°,求直線GF與平面ABF

所成角的正弦值。

21.(本題滿分12分)

22

已知橢圓C:0+}=l(a〉h>O)的左、右焦點(diǎn)分別是冗、Fl,上、右頂點(diǎn)分別是A、B,

滿足/646=120,|

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)與圓V+y2=l相切的直線/交橢圓C于尸、。兩點(diǎn)，求IPQI的最大值及此時(shí)直線/的斜

率。

22.(本題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=(x-l)e*+ax+l,

(1)討論函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)時(shí)，都有/(x+l)2奴+esinx,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

參考：當(dāng)XT■-8時(shí)，xe'.0,

揭陽市2021年高考數(shù)學(xué)科模擬考精選題（一）

參考答案

1.D.解：z=—=-1—2，+山=—1+(。-2)，為實(shí)數(shù)，所以q=2；

2.B.解：(2—x)(x+l)20,B|J(x-2)(x+l)<0,f1-l<x<2,得知=[-1,2],

由2'<1得x<0,得N=（-oo,0）,MnN=[T,0）；

3.C.解：可知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為x=80,得P（80<J<100）=P（60<《<80）=0.3,

P（百>100）=0.5-0.3=0.2,應(yīng)從100分以上的試卷中抽取100x0.2=20；

3

4.A.解：由垂直知兩直線的斜率之積為-1,而直線3x-4y-l=0的斜率為一，得直線/的斜率

4

443

為一3，即tan6=-§,得e為鈍角，cos0=~-；

5.D.解：由y=x°s為增函數(shù)，y=06'.為減函數(shù)，可知0.7°s>0.6°6>0.6°7>0.6,

c=1g3<lgVlO=0.5,所以/?>Q>C；

6.B.解:——,c—a—VTo—3，可見c=A/T5,。=3,/?2=c2—=1?

a3

2__________2

設(shè)P（x,y）是雙曲線L—y2=i上的點(diǎn)，則|AP|=&7寸歹，又y2=L—],

99

|AP|=J*一10x+24=J10（5-幻+24=^10（j-|）2+|,又|xR3,

所以當(dāng)x時(shí)，I”1nlm=A=*；

乙V/N

「2A2.A~

7.B.解：甲和乙參加的概率為甲和乙演講順序不相鄰的概率為

CA：

山分而，步“晨國(guó)-A；102x616工；1

所求概率為告.2J=-----=-;或直接為馬J=一；

C；A：7x54x67用7

____2222

8.C.解：yfx^<XyV->得（》2+y2）34]6（^~^-）2,

得f+y244,圓f+y244含9個(gè)整點(diǎn)，經(jīng)檢驗(yàn)，只有（±L±1）和（0,0）共5個(gè)整點(diǎn)滿足

（x2+/）3<16x2/o

9.BC.解：可得％=4,4=2,*=2",S'=2"i—2,可知B、C正確；

若4,4,%即2"',2",2,成等差數(shù)列，不妨設(shè)加<〃<「，則2"'+2'=2-2",

T（1+2f-w,）=2n+'-'n-TB|J1+2r-m=2"+'-,n,顯然左邊奇數(shù)，右邊偶數(shù)，不相等，D錯(cuò)誤;

10.CD.解：顯然A錯(cuò)誤；有可能mua,所以B錯(cuò)誤；

“與”所成角為鈍角，作一個(gè)與二面角a-/-4的棱垂直的截面圖，可知C正確；

由m//〃，可得m//0,又mua,a[\p=1,得m//1,D正確；

11.AB.解：由/（一%）=/（%）得2?05（—%）?05（—％+20）=2（：05%（：05（%+20）,

所以cos（-x+2（p）=cos（x+20）恒成立，得x=2°是曲線y=cosx的對(duì)稱軸，

TT

所以2Q=(％eZ),由°w(0,〃)得夕=5，g(x)=cos(2x---)=sin2x，

畫圖可知A正確，C、D不正確；

/(x)=1+2cosxcos(x+^)=1-2cos2x=-cos2x,畫圖可知B正確；

12.BCD.解:由/(x)"(x+2)=4知/Xx-2)"(x)=4,

所以/(x+2)=/(x-2),周期T=4,A錯(cuò)誤；

取x=0,得/(0>/(0)=4,由/(x)>0得/(0)=2,又/(0)=l+h得k=l,

所以當(dāng)一IWxWO時(shí)，/。)=2-*+1是個(gè)減函數(shù)，/(%)>2；

當(dāng)0<xWl時(shí)，-1W—x<0,/(—x)=2'+l,

444

/(x)=-----=r—是個(gè)減函數(shù)，一</(幻<2；可知/(幻在［-1,1］單調(diào)遞減，B正確;

/(-幻2+13

當(dāng)XG［1,3］時(shí)，x-2G［-1,1］,-%+2e［-l,H,得/(x-2)"(-x+2)=4,

44

/(x)-/(-x)=---—―-=4,所以在區(qū)間［-1,3］上，/(x)-/(-x)=4,

/(x—2)/(—x+2)

又/(x)"(x+2)=4,得/(—x)=/(x+2),即/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

由周期性可知f(x)在R上的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，故C正確；

由題意知y=/(x)—1與g(x)=log?(x+1)(a<8且分1)有且只有3個(gè)公共點(diǎn)，

畫出y勺(x)—1圖象，有極大值點(diǎn)x=3,7,11,…，極小值點(diǎn)x=l,5,9,…，

極大值為2,極小值為:，g(x)為減函數(shù)時(shí)不合題意，所以gCr)為增函數(shù)，

由。<8得g(l)=log“2=電2>@2=］，由題意知g(3)<2且g(7)>2,

InaIn83

即/og〃4<2且/og“8>2,所以2<a<2后，D正確。

13.60.解：a-x)6=(-1+x)6=[-2+(1+x)]6,4=C：(—2)2=4C；=60；

_________________3_________

14.AQ=2AB+BC.AQ=AD+3DC.AQ^AD+-AB.AQ=4DC+BC,

AQ^4AI)-3BC.

解：而=2而=2(荏+即)=2荏+就；AQ^AD+DQ=AD+3DC；

IMFIIMNI

15.[—,1).解：作MN垂直準(zhǔn)線于N,=7—7=sinZMAN,

2IMAIIMA\

不妨在第一象限取點(diǎn)M,當(dāng)MA與拋物線相切時(shí)，NM4N最小，設(shè)切點(diǎn)為加(%,%),

19223

由y=-x~得y'=—x,可知女AA/=一演)，又A(0,—),

3334

3

得=，得為+==￡■<,又x°2=3y。，所以為=:,%=],

~Q4342

玉)。

所以切線3M=1,/MAN=45。，易知/MANe[45°,90°],

.|MF|.ArV2

所以-----=sinZMANe[——,11；

\MA\2

16.12(7-473)^-.解：可知BD=CD=2,40_1_面8。。，

四面體ABCD的體積匕8co=；x(gx2x2sin60°>A￡>=g,得AD=3,

AB=y/l3,所以四面體ABCD的表面積為

S=(-X2X3)X2+-X2XV3+-X2XVAB2-1=6+3>/3,

222

設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，由匕B°=—XS-R=(2+6)R=6,得R='V=26-3,

32+6

內(nèi)切球的表面積為4萬/?2=12(7-46))。

17.(10分)解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則

由6sli=a?-an+l+2，得6sl=4T,4+2(〃22)

相減得6(S?-S?_,)=a/%--)即6a?=an-2d(n>2),

又4>0,所以”=3,..............3分

由6sl=at-a2+2,得6at=4?(4+3)+2,

解得q=1,(q=2舍去)

由4=q+(〃_l)d,得a“=3〃-2；..............5分

fl

(2)&n=(-l)lg(a?-a?+1)=(-ir(lg??+lga?+I)...............6分

%=仄+b2+b3+---+b33

=-lg6Z,-lg?2+lga2+lg6!3-lga3-lgtz4+---Ig&ilg%

=—1g6Z1-1g&34=-?1g100=—2O..............]0分

18.(12分)解：(1)Sin6=J1—COS2B=M^

16

c1.D3A/153715

d=—acsmB=-----ac=-----a'

MA4BpCr23216

所以c=2,..............3分

,bc3而

由-----=----->c,得Nosin8=-----，

sinBsinC8

所以b的最小值為吧5;..............6分

o

19

(2)由。sin8=---sinA+14sinC及正弦定理,

4

919

得從=——a+14cf...............8分

4

由余弦定理及c=2,得b1~—cT+4—4ci,cosB—+4---a,10分

4

1911

所以----。+28=。~+4---a,即a?+2Q—24=0，

44

解得。=4。

?q12分

24

2

19.解：(1)設(shè)小田開車遇到紅燈的個(gè)數(shù)為則。~3(5,y)，

設(shè)小田開車從出門到辦公室的時(shí)間為X,則X=5+2x4+1XJ+5,

2

平均值￡(X)=18+E(J)=18+5x-=20；14分

(2)設(shè)小田騎車遇到紅燈的個(gè)數(shù)為〃,則〃可能為Q1,2,3,

222

尸(〃=())=p(綠綠綠)=；x—x—=—

339

2111115

P(j]=1)=—x—X—+—x-x—+—Xx一=一

2332332318

25

x—=—

2332332318

1722

^(7=3)=Ax±x±=±,

2339

…，5c5c2273

E(tj)—lx---F2x---F3x-=—=—9分

18189182

(3)設(shè)小田騎車從出門到辦公室的時(shí)間為匕則y=4+2x5+lx〃+4,

平均值E(y)=18+E(〃)=19.5<E(X),所以小田上班騎電動(dòng)車較好.12分

20.解：(1)連BD,由底面ABCD為菱形,

得AC_LBD,

由直四棱柱得GD_L底面ABCD,

又ACu平面ABCD,AGDIAC,

又BDCIGD=D,...AC，平面BDG,

AAC1BG,①..............3分

由直四棱柱底面ABCD為菱形，

易知平面ABE//平面CFGD,

又平面AEFGC1平面ABE=AE,

平面AEFGC平面CFGD=GF,

.1.AE//GF,又BGJ_GF,

，BG_LAE,②..............5分

由①②及ACDAE=A,

得BG_L平面ACE；........6分

(2)設(shè)ACCBD=O,

由直四棱柱得FC_L底面ABCD,

得直線AF與底面ABCD所成角為/FAC,即/FAC=30°,tanZFAC=—,

AC

由菱形ABCD邊長(zhǎng)為2,ZDAB=60°,

得BD=2,AC=25/3,

又——=tan30°,，F(xiàn)C=2,...............7分

AC

在平面ACF內(nèi)作Oz//CF,

可知。2，底面ABCD,如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

則A(g,0,0),8(0,1,0),E(0,1,1),F(-瓜0,2),

Afi=(-V3,1,0),AF=(-273,0,2),GF=AE=(-73,1,1),

設(shè)平面ABF的法向量為玩=(x,y,z),

mJ,ABm?AB=_&x+y=0

則

rnlAFin?AF--2\/3x+2z=0

取x=l,得y=G，z=百，得/=(1,百)，.....10分

設(shè)直線GF與平面ABF所成的角為(9,

則sin。斗cos<GF,in〉|=-5?川=。

12分

\GF\-\m\V5xV735

21.解：(1)因?yàn)閠anNOAg=",||=\Ja2+b2>

得tan600=j,47^=6................2分

又儲(chǔ)=/+°2,所以c=園，笳=劭2,5〃=5,解得。=1,。=2,

r2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為C:—+/=1；4分

4-

(2)法一：由題意知直線/不能平行于X軸，所以設(shè)為x="+〃"

\m\

由已知得(0,0)到x-?！?=0的距離為1,即=1,

,1+產(chǎn)

所以機(jī)2=『+1,6分

聯(lián)立直線和橢圓得(力+m)2+4/=4,即(*+4)/+2tmy+m2-4=0,

222

得AuQ/zny-4(r+4)(/H2-4)=-4(4w-4/-16)=16(r-/H2+4)=16x3,

設(shè)p(2),。(…)，則|=吾=笠,

46〃+1...............

\PQ\=yfi+P\y2-yt\=9分

產(chǎn)+4

四=誼<埋=2

設(shè)加7="，則"21，⑵/+3〃+3-28

n

3_

當(dāng)〃=二，即〃=百時(shí),得|PQ『2,............11分

n

此時(shí)f=±&,直線/的斜率為;=±乎。

12分

法二：當(dāng)直線/垂直于尤軸時(shí)，為*=±1,代入橢圓得y=±*，得|PQ|=G①;

當(dāng)直線/不垂直于x軸時(shí)，］§：y=kx+m,由題意知上x0,

由已知得(0,0)到履—y+機(jī)=0的距離為1,即吃工=1,

yjk'+1

所以加=標(biāo)+1，................6分

聯(lián)立直線和楠圓得X2+4(fcr+w)2=4,即(4k2+l)x2+8hwc+4m2-4=0,

得A=(8加丁-16(4A:2+l)(/n2-l)=-16Mjt2+nt2-l)=16x3fc2,

設(shè)P(X|,y),。(孫y),貝lj|占-xj=》,

24kf2