圓錐曲線及立體幾何

高中數(shù)學(xué)第八章-圓錐曲線方程考試內(nèi)容：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓的簡單幾何性質(zhì).橢圓的參數(shù)方程.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.雙曲線的簡單幾何性質(zhì).拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線的簡單幾何性質(zhì).考試要求：掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程.掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì).掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì).了解圓錐曲線的初步應(yīng)用.§08.圓錐曲線方程知識要點(diǎn)一、橢圓方程.1.橢圓方程的第一定義：\PF1^PF1^PF1+PfJ=2aAF1\PF1^PF1^PF1+PfJ=2ayF1F2無軌跡，+PfJ=2a=F1F2以F1,F2為端點(diǎn)的線段⑴①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：i.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上：正+Q=%AbA0).ii.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上:a2b2y+* =1(aAbA0)a2b2的參數(shù)方程為短軸長2b.③②一般方程：A*2+By2=心A0,BA0).的參數(shù)方程為短軸長2b.③〈I*=acos0 (一象限o應(yīng)是屬于0y0y-).[y=bsin0 2⑵①頂點(diǎn)：(土a,0)(0,±b)或(0,±a)(±b,0).②軸：對稱軸：*輒y輒長軸長2a焦點(diǎn)：(-c,0)(c,0)或(0,-c)(0,c焦點(diǎn)：(-c,0)(c,0)或(0,-c)(0,c).④焦距：I.⑤準(zhǔn)線：x=±上或

cy=±~-.⑥離心率：e=^(0yey1).⑦焦點(diǎn)半徑:c ai.設(shè)P(xy)為橢圓+止=1(aAbA0)上的一點(diǎn)00 a2b2由橢圓方程的第二定義可以推出.Fi,F2為左、右焦點(diǎn),=則"ex°,PfJ=a一ex0mii-設(shè)P(、,y0)為橢圓業(yè)+U=1(aAbA0)上的一點(diǎn)由橢圓方程的第二定義可以推出.Fi,F2為上、下焦點(diǎn)PfWa+ey0,^PF由橢圓第二定義可知：|心'pF=e(*+ )=a+ex(*y0),'pF1=e( -*)=ex-a(xA0)歸結(jié)起來為“左加右減”.注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得n(acos0,bsin0)c方程的軌跡為橢圓.⑧通徑：垂直于X軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：d=七(-c,bL)和(c,日)a2 a a

⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓^―+^―=1（a">0）的離心率是e=氣c=七2—b2），方程+塵=t（t是大于0的參數(shù)，a">0）的離心率也是e=心我們稱此方程為共離心率a2b2 a的橢圓系方程.⑸若P是橢圓：燈+塵=1⑸若P是橢圓：燈+塵=1上的點(diǎn).FF為焦點(diǎn)，若ZFPF=-，則APFF的面積為a2b2 「2 1 2 12b2tan。（用余弦定理與\pf1I+\pf\=2a可得）.二、雙曲線方程.1.雙曲線的第一定義：1=221=221=22若是雙曲線，則面積為b2cot-2^PF1—Pf^PF1—Pf^PF—Pf>1=1F1F21方程為雙曲線F1F2無軌跡F1F2以F],F2的一個端點(diǎn)的一條射線N的軌跡是橢圓⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：=1(a,ba0),~- =1(a,bA0).a2b2般方程：Ax2+Cy2=1(ACY0)-⑵①Ax2+Cy2=1(ACY0)-⑵①i.焦點(diǎn)在X軸上:頂點(diǎn)：(a,0),(—a,0)焦點(diǎn)：(c,0),(—c,0)準(zhǔn)線方程x=±止?jié)u近線方程:cx2y2— =0b2a2ii.焦點(diǎn)在y軸上：頂點(diǎn)：（0,-a）,（0,a）.焦點(diǎn)：（0,c）,（0,—c）-準(zhǔn)線方程:y=±J.漸近線

c方程：y±X=0或旦—A1=0，參數(shù)方程："=asec-或"=btan-ab a2b2 [y=btan- [y=asec-②軸X,y為對稱軸，實(shí)軸長為2a,虛軸長為2b，焦距2c.③離心率e=ca（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑止.⑤參數(shù)關(guān)系c2=a2+b2,e=c.⑥焦點(diǎn)半徑公式：對于雙曲a a線方程燈—=1“長加短減”原則:（F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)），橢圓焦半\mFI=ey-a\mFI=ey+a\mFI=-ey+aiMFI=-ey-a2⑶等軸雙曲線:雙曲線%2-y2=±a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y=±了，離心率e=二.⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.塵-塵八與旦-旦一人互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：止-立=0.a2b2 a2b2 a2b2⑸共漸近線的雙曲線系方程：-正~=X（人豐0）的漸近線方程為-=0如果雙曲線的a2b2 a2b2漸近線為—±y=0時，它的雙曲線方程可設(shè)為-正~=X（XN0）-例如：若雙曲線一條漸近線為y=1—且過貝3,-土，求雙曲線的方程？_解：令雙曲線的方程為：^1-y2=X（XN0），代入（3,-1）得——-丈"=1.4 ‘282⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域⑤：即過原點(diǎn)，無切線，無與漸近線平行的直線.小結(jié)：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.（2）若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個時，求確定直線的斜率可用代入“A，，法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.\PF1―e—PF2⑺若P在雙曲線己-立=i，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m=n\PF1―e—PF2簡證：J=d2常用結(jié)論2：從雙曲線一個焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.三、拋物線方程.設(shè),0，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì):

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=一2py圖形'A\ ▲/▲Ty/\L/' .x^ ?■ r*TK，dxOTr隹點(diǎn)八、、八、、F(:,0)F(-p,0)F(0,：)F(0,-p)準(zhǔn)線px=-px=y=-2py=2范圍x>0,yeRx<0,yeRxeR,y>0xeR,y<0對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0，0)離心率 °=1 焦點(diǎn)八、、八、、ipf1=，x1|PFl=t+1|PFl=t+y1\pf1=R+2yJ注：①ay2+by+c=x頂點(diǎn)(4*-"-—).4a2a②y②y2=2px(p豐0)則焦點(diǎn)半徑I暨1=Px+2③通徑為2p,這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的.；x2=2py（p/0）則焦點(diǎn)半徑為I暨④y2=2px（或x2=2py）的參數(shù)方程為"=2pt2（或廠=2pt）（t為參數(shù)）.[y=2pt [y=2pt2四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義?.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線I的距離之比為常數(shù)°的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)0yeY1時，軌跡為橢圓；當(dāng)°=1時，軌跡為拋物線；當(dāng)°a1時，軌跡為雙曲線；當(dāng)°=0時，軌跡為圓（°=c，當(dāng)c=0,a=b時）.圓錐曲線方程具有對稱性.例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對原點(diǎn)的一條直線與雙曲線的交點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對稱的.因?yàn)榫哂袑ΨQ性，所以欲證AB=CD,即證AD與BC的中點(diǎn)重合即可.注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線

定義1.到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a>IF1F2l)的點(diǎn)的軌跡1.到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<IF1F2I)的點(diǎn)的軌跡2.與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.(0<e<1)2.與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.(e>1)與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡.圖形方標(biāo)準(zhǔn)方程虹+二=1a2b2(a>b>0)如-C=1(a>0,b>0)a2b2y2—2px程參數(shù)方程Jx=acos0[y=bsin0(參數(shù)0為離心角)Jx=asec0[y=btan0(參數(shù)0為離心角)Jx=2Pt2(t為參數(shù))[y=2pt范圍—a<x<a,—b<y<bIxl>a,yeRx>0中心原點(diǎn)O(0,0)原點(diǎn)O(0,0)頂點(diǎn)(a,0),(—a,0),(0,b),(0,—b)(a,0),(—a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長23,短軸長2bx軸，y軸；實(shí)軸長2a,虛軸長2b.x軸隹點(diǎn)八、、八、、耶,0),F2(—c,0)F](c,0),F2(—c,0)PFL,0)2焦距2c(c=Va2-b2)f2c(c-7a2+b2)離心率e=C(0<e<1)ace=—(e>1)ae—1準(zhǔn)線a2x-土ca2x—土—cp_x=-—2漸近線.by—土一xa焦半徑r=a土exr=土(ex土a)P_r=x+一2通徑2b2a2b2a2P焦參數(shù)a2ca2cP橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的其他形式及相應(yīng)性質(zhì).等軸雙曲線共軛雙曲線5.方程y2=ax與x2=ay的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程.共漸近線的雙曲線系方程.高中數(shù)學(xué)第九章-立體幾何考試內(nèi)容平面及其基本性質(zhì).平面圖形直觀圖的畫法.平行直線.對應(yīng)邊分別平行的角.異面直線所成的角.異面直線的公垂線.異面直線的距離.直線和平面平行的判定與性質(zhì).直線和平面垂直的判定與性質(zhì).點(diǎn)到平面的距離.斜線在平面上的射影.直線和平面所成的角.三垂線定理及其逆定理.平行平面的判定與性質(zhì).平行平面間的距離.二面角及其平面角.兩個平面垂直的判定與性質(zhì).多面體.正多面體.棱柱.棱錐.球.考試要求掌握平面的基本性質(zhì)，會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系.掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對于異面直線的距離，只要求會計(jì)算已給出公垂線時的距離.掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理；掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念掌握三垂線定理及其逆定理.掌握兩個平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握二面角、二面角的平面角、兩個平行平面間的距離的概念，掌握兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.會用反證法證明簡單的問題.了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念.了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會畫直棱柱的直觀圖.了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會畫正棱錐的直觀圖.了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式.9(B).直線、平面、簡單幾何體考試內(nèi)容：平面及其基本性質(zhì).平面圖形直觀圖的畫法.平行直線.直線和平面平行的判定與性質(zhì).直線和平面垂直的判定.三垂線定理及其逆定理.兩個平面的位置關(guān)系.空間向量及其加法、減法與數(shù)乘.空間向量的坐標(biāo)表示.空間向量的數(shù)量積.直線的方向向量.異面直線所成的角.異面直線的公垂線.異面直線的距離.直線和平面垂直的性質(zhì).平面的法向量.點(diǎn)到平面的距離.直線和平面所成的角.向量在平面內(nèi)的射影.平行平面的判定和性質(zhì).平行平面間的距離.二面角及其平面角.兩個平面垂直的判定和性質(zhì).多面體.正多面體.棱柱.棱錐.球.考試要求：掌握平面的基本性質(zhì)。會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖：能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形.能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系.掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；理解直線和平面垂直的概念掌握直線和平面垂直的判定定理；掌握三垂線定理及其逆定理.理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘.了解空間向量的基本定理；理解空間向量坐標(biāo)的概念掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì):掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間距離公式.理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念.掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念對于異面直線的距離，只要求會計(jì)算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距離掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理掌握兩個平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理.了解多面體、凸多面體的概念。了解正多面體的概念.了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會畫直棱柱的直觀圖.了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)。會畫正棱錐的直觀圖.了解球的概念.掌握球的性質(zhì).掌握球的表面積、體積公式.(考生可在9(A)和9(B)中任選其一)§09.立體幾何知識要點(diǎn)一、 平面.經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個面.注：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).兩個平面可將平面分成3或4部分.(①兩個平面平行，②兩個平面相交)過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.(①三條直線在一個平面內(nèi)平行，②三條直線不在一個平面內(nèi)平行)［注］：三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點(diǎn)有0或1個.三個平面最多可把空間分成殳部分.(X、Y、Z三個方向)二、 空間直線.空間直線位置分三種：相交、平行、異面相交直線一共面有反且有一個公共點(diǎn)；平行直線一共面沒有公共點(diǎn)；異面直線一不同在任一平面內(nèi)［注］:①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.(X)(可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等)直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交若直線a、b異面，a平行于平面a，b與a的關(guān)系是相交、平行、在平面a內(nèi).兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.(X)(射影不一定只有直線，也可以是其他圖形)在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.(X)(并非是從平面外一點(diǎn)向這個平面所..引的垂線段和斜線段)a,b是夾在兩平行平面間的線段，若a=b，則a,b的位置關(guān)系為相交或平行或異面.異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線?(不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線)平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角等角定理：如果一個角的兩邊和另相等（如下圖）.個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角方向相同 方向不相同（二面角的取值范圍0￡^。18°。））,方向相同 方向不相同（直線與直線所成角0—（0胰0」）（斜線與平面成角0—（0。90。））（直線與平面所成角0—L,90』）（向量與向量所成角0—［0。,180。］）推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.兩異面直線的距離：公垂線的長度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.ll是異面直線，則過ll外一點(diǎn)尸，過點(diǎn)P且與ll都平行平面有一個或沒有，但與ll1,2 1,2 1,2 1,2距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).（七或匕在這個做出的平面內(nèi)不能叫七與匕平行的平面）三、 直線與平面平行、直線與平面垂直. 1 2空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行，線面平行”）［注］：①直線°與平面a內(nèi)一條直線平行，則°〃a? （X）（平面外一條直線）直線°與平面a內(nèi)一條直線相交，則°與平面a相交.（X）（平面外一條直線）若直線°與平面a平行，則a內(nèi)必存在無數(shù)條直線與°平行.（J）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面（X）（可能在此平面內(nèi)）平行于同一直線的兩個平面平行.（X）（兩個平面可能相交）平行于同一個平面的兩直線平行.（X）（兩直線可能相交或者異面）直線l與平面a、P所成角相等，則a〃P.（X）（a、P可能相交）直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）TOC\o"1-5"\h\z直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個平面和一條直線垂直. K?若PA±a，°上M，得°上PO（三垂線定理）， 廠'//得不出a±PO.因?yàn)椤恪繮O，但PO不垂直O(jiān)A. /?三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.［注］：①垂直于同一平面的兩個平面平行.（X）（可能相交，垂直于同一條直線的兩個平???? ?????面平行）垂直于同一直線的兩個平面平行.（J）（一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直于另一個平面）垂直于同一平面的兩條直線平行.（J）

⑴垂線段和斜線段長定理：從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影??相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.［注］：垂線在平面的射影為一個點(diǎn).［一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（X）］⑵射影定理推論：如果一個角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上四、 平面平行與平面垂直.空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.（“線面平行，面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行［注］:一平面間的任一直線平行于另一平面.兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）兩個平面垂直性質(zhì)判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直兩個平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直，面面垂直”）注：如果兩個二面角的平面對應(yīng)平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線TOC\o"1-5"\h\z也垂直于另一個平面. —推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面［ &證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于i,i， 二^咬J?6.兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式:l=4m2+n2+因?yàn)镻Mu6,OA±P,PMua,OB±a貝0pm6.兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式:l=4m2+n2+鈍取減，綜上，都取加則必有ee|0蟲< 27.⑴最小角定理：cose=cosecose（e為最小角，⑵最小角定理的應(yīng)用（ZPBN為最小角）簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.五、 棱錐、棱柱.1.棱柱.⑴①直棱柱側(cè)面積：s=Ch（C為底面周長，h是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.斜棱住側(cè)面積：S=C11（C1是斜棱柱直截面周長，I是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.⑵｛四棱柱｝o｛平行六面體｝o｛直平行六面體｝D｛長方體｝D｛正四棱柱｝D｛正方體｝.｛直四棱柱｝C｛平行六面體｝=｛直平行六面體｝.四棱柱底面是?平行六面體側(cè)棱垂直?直平行六面體底面是'長方體底面是'正四棱柱西側(cè)面與，正方體

平彳亍四邊形 底面 矩形 正方形 底面邊長相等

⑶棱柱具有的性質(zhì)：棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱.??????.柱的各個側(cè)面都是全等的矩形棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形./:/過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形. y7注：①棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱.（X）（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖） //②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.⑷平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.［注］：四棱柱的對角線不一定相交于一點(diǎn).定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點(diǎn)上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對角線與同一個頂點(diǎn)的三條棱所成的角為a,p,Y，則cos 1 a-1①，S2=21- 1 a-1①，S2=21-b②，cosa-a=b③=①②③推論二：長方體一條對角線與同一個頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為a,p,y，則cos2a+cos2P+cos2y=2*［注］:①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（X）（斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形）各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（X）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）.對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（X）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直（兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形［注］：①一個棱錐可以四各面都為直角三角形.②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以V棱柱=Sh=3V棱柱.⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心［注］:i.正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側(cè)面積：S=1ch'（底面周長為C，斜高為h'）Z-!③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：S③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：S側(cè)S（側(cè)面與底面成的二面角為a）cosac以知c±l，cosa.a=b，a為二面角a-l-b.cosa注：S為任意多邊形的面積（可分別多個三角形的方法）.⑵棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.⑶特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑；每個四面體都有內(nèi)切球，球心/是四面體各個二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.［注］:i.各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐（X）（各個側(cè)面的C等腰三角形不知是否全等）Cii.若一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直.?AC簡證：AB±CD，ACLBD?BC±AD.令ab=a,ad=c,ac=bBAC，已知-b)，已知-b)=0,b§-)0得BC=AC-AB=b-a,AD=cnBC-AD=bc-ac空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.15若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形簡證：取AC中點(diǎn)°，，則ooJAC,BO'±ACnAC±平面OOBnAC1BOnZFGH=90°易知EFGH為平行四邊形nEFGH為長方形.若對角線等，則ef=fgnefgh為正方形.球：⑴球的截面是一個圓面. /|\球的表面積公式：S=4兀R2. / \球的體積公式：y=4兀r3. //-說-阜》⑵緯度、經(jīng)度：緯度：地球上一點(diǎn)p的緯度是指經(jīng)過p點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).經(jīng)度：地球上A,B兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是B點(diǎn)的經(jīng)度.附：①圓柱體積：/=兀「2h（〃為半徑，h為高）

"3a"3a2側(cè)4注：球內(nèi)切于四面體：Vb_人。。=3%.R-3+3S底-R=S底?h②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.空間向量.（1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.［當(dāng)b=0時，不成立］注：①若a與b共線，b與c共線，則a與c共線.（X）②向量a,b［當(dāng)b=0時，不成立］③若a〃b，則存在小任一實(shí)數(shù)X，使a=Xb.（X）［與b=0不成立］④若a為非零向量，則0.a=0.（J）［這里用到Xb（b,0）之積仍為向量］（2）共線向量定理：對空間任意兩個向量a,b（b,0），a〃b的充要條件是存在實(shí)數(shù)X（具有唯一性），使a=Xb.（3）共面向量：若向量。使之平行于平面a或a在a內(nèi)，則a與a的關(guān)系是平行，記作a（4）①共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，則向量P與向量a,b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對X、J使P=xa+yb.1 卜 D ]②空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、.B、.C，則OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)是PABC四點(diǎn)共面的充要條件.（簡證：OP=（1-y-z）OA+yOB+zOC=AP=yAB+zAC—P、A、B、C四點(diǎn)共面）注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.—ir-to--v —b.空間向量基本定理：如果三個向量abc不共面，那么對空間任一向量P，存在一個唯....,,...

一的有序?qū)崝?shù)組X、y、Z，使p=xa+yb+zc-推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組X、Dy、Z使OP=xOA+yOB+zOC（這里隱含x+y+z手1）D注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，ab=b,AC=c,AD=d,其中Q是^BCD的重心，則向量aq=%a+b+c）用AQ=^M+MQ即證Mc3（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）.①令a=（a1，a2，a3）,b=（b,b,b），則TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 1 2 3a+b=（a土b,a土b,a土b）人a=（人a,人a,人a）（人gR）1 1 2 2 3 3 1 2 3a±a±b=a1b^+a^b^+a3b3=0b=a=Xb,a=Xb,a=Xb（人gR）。~1=~2=~3b1 b2 b3TI—— ' |—|一f |—| p-~ala?a=私2+a:+a2（用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化："卜=。.?！?|=.。）—*——cos<a,b>= ~|a|?|b|Ya2 +a2 +a2 ?"'b2 +b2 +b21 2 3 1 2 3②空間兩點(diǎn)的距離公式：d=*2-X1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2.（2）法向量：若向量a所在直線垂直于平面a，則稱這個向量垂直于平面a，記作ala，如果ala那么向量a叫做平面a的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面a的法向量，AB是平面a的一條射r—f線，其中AGa，則點(diǎn)B到平面a的距離為^1%1.InI②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)nn2分別是二面角a-/-P中平面a,P的法向量，則n,n所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大?。╪,n方向相同，則為補(bǔ)角，1 2 1 2n,n反方，則為其夾角）.1 2③證直線和平面平行定理：已知直線aX平面a，A.Bga,C?Dea，且CDE三點(diǎn)不共線，則a〃a的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對X,使AB‘=XCD+口CE?（常設(shè)AB=XCD+口CE^求解X,H若X,H存在即證畢，若X,H不存在，則直線AB與平面相交）.

II.競賽知識要點(diǎn)一、四面體.對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質(zhì)：四面體的六條棱的垂直平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的外接球的球心；四面體的四個面組成六個二面角的角平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的內(nèi)接球的球心；四面體的四個面的重心與相對頂點(diǎn)的連接交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為3：1；12個面角之和為720°，每個三面角中任兩個之和大于另一個面角，且三個面角之和為180°,直角四面體：有一個三面角的三個面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當(dāng)于平面幾何的直角三角形.（在直角四面體中，記V、1、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長之和、表面積、外接球半徑、內(nèi)切球半徑及側(cè)面上的高），則有空間勾股定理：S2+S2△ABC△+S2 =S2BCD△ABD△ACD.等腰四面體：對棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形根據(jù)定義不難證明以長方體的一個頂點(diǎn)的三條面對角線的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個等腰四面體拼補(bǔ)成一個長方體.（在等腰四面體ABCD中，記BC=AD=a，AC=BD=b，AB=CD=c，，體積為V，外接球半徑為R，內(nèi)接球半徑為r，高為h），則有 /'等腰四面體的體積可表示為V=%：b2&i2.c232—b2.a2+b"2；.；..?半一一一：'乙3、2 2 2等腰四面體的外接球半徑可表示為R=―2Va2+b2+c2；等腰四面體的四條頂點(diǎn)和對面重心的連線段的長相等，且可表示為m=^七2+b2+c23h=4r.二、空間正余弦定理.空間正弦定理：sinZABD/sinZA-BC-D=sinZABC/sinZA-BD-C=sinZCBD/sinZC-BA-D空間余弦定理：cos/ABD=cos/ABCcos/CBD+sin/ABCsin/CBDcos/A-BC-D立體幾何知識要點(diǎn)一、知識提綱（一）空間的直線與平面平面的基本性質(zhì) ⑴三個公理及公理三的三個推論和它們的用途.⑵斜二測畫法.空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線、平行直線、異面直線.⑴公理四（平行線的傳遞性）?等角定理.⑵異面直線的判定：判定定理、反證法.⑶異面直線所成的角：定義（求法）、范圍.直線和平面平行 直線和平面的位置關(guān)系、直線和平面平行的判定與性質(zhì).直線和平面垂直⑴直線和平面垂直：定義、判定定理.⑵三垂線定理及逆定理.平面和平面平行兩個平面的位置關(guān)系、兩個平面平行的判定與性質(zhì).平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性質(zhì)定理.（二） 直線與平面的平行和垂直的證明思路（見附圖）（三） 夾角與距離直線和平面所成的角與二面角⑴平面的斜線和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜線和平面所成的角、直線和平面所成的角.⑵二面角：①定義、范圍、二面角的平面角、直二面角.②互相垂直的平面及其判定定理、性質(zhì)定理.距離⑴點(diǎn)到平面的距離.⑵直線到與它平行平面的距離.⑶兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線、公垂線段.⑷異面直線的距離：異面直線的公垂線及其性質(zhì)、公垂線段.（四） 簡單多面體與球棱柱與棱錐⑴多面體.⑵棱柱與它的性質(zhì)：棱