高中專題復(fù)習(xí)及考試要求 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第4節(jié) 隨機事件的概率_第1頁
高中專題復(fù)習(xí)及考試要求 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第4節(jié) 隨機事件的概率_第2頁
高中專題復(fù)習(xí)及考試要求 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第4節(jié) 隨機事件的概率_第3頁
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文檔簡介

第4節(jié)隨機事件的概率考試要求1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別;2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.1.概率與頻率知

理(1)頻率:在相同的條件S下重復(fù)n次試驗,觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=_____為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)概率:對于給定的隨機事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用____________來估計概率P(A).頻率fn(A)2.事件的關(guān)系與運算

定義符號表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,這時稱事件B_______事件A(或稱事件A包含于事件B)________(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?B_________并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,稱此事件為事件A與事件B的_______

(或和事件)A∪B(或A+B)包含B?AA=B并事件交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)_______________且___________,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件,則稱事件A與事件B互斥A∩B=?對立事件若A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B=?P(A∪B)=1事件A發(fā)生事件B發(fā)生3.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍:___________.(2)必然事件的概率P(E)=1.(3)不可能事件的概率P(F)=0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥,則P(A∪B)=_____________.②若事件B與事件A互為對立事件,則P(A)=_________.0≤P(A)≤1P(A)+P(B)1-P(B)診

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(

)(2)在大量的重復(fù)實驗中,概率是頻率的穩(wěn)定值.(

)(3)若隨機事件A發(fā)生的概率為P(A),則0≤P(A)≤1.(

)(4)6張獎券中只有一張有獎,甲、乙先后各抽取一張,則甲中獎的概率小于乙中獎的概率.(

)答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×2.(老教材必修3P123A3改編)容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后的頻數(shù)如下表:則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為(

)A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)234542答案B解析由表知[10,40)的頻數(shù)為2+3+4=9,3.(老教材必修3P121T5改編)某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽,事件“至少有一名女生”與事件“全是男生”(

) A.是互斥事件,不是對立事件 B.是對立事件,不是互斥事件 C.既是互斥事件,也是對立事件 D.既不是互斥事件也不是對立事件

解析

“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情況,這兩種情況再加上“全是男生”構(gòu)成全集,且不能同時發(fā)生,故“至少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事件,也是對立事件.

答案

C4.(2020·廣州一中月考)從正五邊形的五個頂點中,隨機選取三個頂點連成三角形,對于事件A:“這個三角形是等腰三角形”,下列推斷正確的是(

)解析從正五邊形的五個頂點中,隨機選取三個頂點連成三角形都是等腰三角形,故事件A是必然事件.答案D5.(2018·全國Ⅲ卷)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為(

) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7

解析某群體中的成員分為只用現(xiàn)金支付、既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付、不用現(xiàn)金支付,它們彼此是互斥事件,所以不用現(xiàn)金支付的概率為1-(0.15+0.45)=0.4.

答案B答案ABC考點一隨機事件的關(guān)系【例1】(1)把語文、數(shù)學(xué)、英語三本學(xué)習(xí)書隨機地分給甲、乙、丙三位同學(xué),每人一本,則事件A:“甲分得語文書”,事件B:“乙分得數(shù)學(xué)書”,事件C:“丙分得英語書”,則下列說法正確的是(

) A.A與B是不可能事件 B.A+B+C是必然事件 C.A與B不是互斥事件 D.B與C既是互斥事件也是對立事件解析(1)“A,B,C”都是隨機事件,可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,故A,B兩項錯誤;“A,B”可能同時發(fā)生,故“A”與“B”不互斥,C項正確;“B”與“C”既不互斥,也不對立,D項錯誤.故選C.答案(1)C

(2)C規(guī)律方法1.準確把握互斥事件與對立事件的概念:(1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件,但也可以同時不發(fā)生;(2)對立事件是特殊的互斥事件,特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生,即有且僅有一個發(fā)生.2.判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷,不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件;兩個事件,若有且僅有一個發(fā)生,則這兩個事件為對立事件,對立事件一定是互斥事件.【訓(xùn)練1】(多選題)下列說法錯誤的是(

)A.對立事件一定是互斥事件B.若A,B為兩個事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)C.若事件A,B,C兩兩互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1D.事件A,B滿足P(A)+P(B)=1,則A,B是對立事件解析對于A,對立事件是互斥事件中其中一個不發(fā)生,另一個必然發(fā)生的事件,所以正確.對于B,只有互斥事件才滿足P(A∪B)=P(A)+P(B),不是任意事件都滿足,故B錯誤.對于C,若A、B、C三事件兩兩互斥,不一定(A∪B)是C的對立事件,則P(A)+P(B)+P(C)=1不一定成立,C錯誤;對于D,對立事件的概率之和為1,但概率之和為1的兩個事件不一定是對立事件,D錯誤.答案BCD考點二隨機事件的頻率與概率【例2】

(2017·全國Ⅲ卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,若最高氣溫低于20,則Y=200×6+(450-200)×2-450×4=-100;因此Y大于零的概率的估計值為0.8.若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=300×6+(450-300)×2-450×4=300;若最高氣溫不低于25,則Y=450×(6-4)=900,所以,利潤Y的所有可能值為-100,300,900.規(guī)律方法1.頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度,頻率是隨機的,而概率是一個確定的值,通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小,有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.2.利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率,即通過大量的重復(fù)試驗,事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù),這個常數(shù)就是概率.【訓(xùn)練2】

電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)隨機選取1部電影,估計這部電影沒有獲得好評的概率;電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1(3)電影公司為增加投資回報,擬改變投資策略,這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評率增加0.1,哪類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大?(只需寫出結(jié)論)解

(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50.(3)增加第五類電影的好評率,減少第二類電影的好評率.(2)由題意知,樣本中獲得好評的電影部數(shù)是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.考點三互斥事件與對立事件的概率【例3】

經(jīng)統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下:求:(1)至多2人排隊等候的概率;(2)(一題多解)至少3人排隊等候的概率.排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04解記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等候”為事件C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F(xiàn)彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B

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