高中專題復(fù)習(xí)及考試要求 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第4節(jié) 隨機(jī)事件的概率

第4節(jié)隨機(jī)事件的概率考試要求1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別；2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.1.概率與頻率知

識(shí)

梳

理(1)頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝_____為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用____________來(lái)估計(jì)概率P(A).頻率fn(A)2.事件的關(guān)系與運(yùn)算

定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B_______事件A(或稱事件A包含于事件B)________(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?B_________并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的_______

(或和事件)A∪B(或A＋B)包含B?AA＝B并事件交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)_______________且___________，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對(duì)立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件A∩B＝?P(A∪B)＝1事件A發(fā)生事件B發(fā)生3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：___________.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝_____________.②若事件B與事件A互為對(duì)立事件，則P(A)＝_________.0≤P(A)≤1P(A)＋P(B)1－P(B)診

斷

自

測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(

)(2)在大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值.(

)(3)若隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為P(A)，則0≤P(A)≤1.(

)(4)6張獎(jiǎng)券中只有一張有獎(jiǎng)，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎(jiǎng)的概率小于乙中獎(jiǎng)的概率.(

)答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×2.(老教材必修3P123A3改編)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，40)的頻率為(

)A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65分組[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]頻數(shù)234542答案B解析由表知[10，40)的頻數(shù)為2＋3＋4＝9，3.(老教材必修3P121T5改編)某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，事件“至少有一名女生”與事件“全是男生”(

) A.是互斥事件，不是對(duì)立事件 B.是對(duì)立事件，不是互斥事件 C.既是互斥事件，也是對(duì)立事件 D.既不是互斥事件也不是對(duì)立事件

解析

“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情況，這兩種情況再加上“全是男生”構(gòu)成全集，且不能同時(shí)發(fā)生，故“至少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事件，也是對(duì)立事件.

答案

C4.(2020·廣州一中月考)從正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)中，隨機(jī)選取三個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，對(duì)于事件A：“這個(gè)三角形是等腰三角形”，下列推斷正確的是(

)解析從正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)中，隨機(jī)選取三個(gè)頂點(diǎn)連成三角形都是等腰三角形，故事件A是必然事件.答案D5.(2018·全國(guó)Ⅲ卷)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(

) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7

解析某群體中的成員分為只用現(xiàn)金支付、既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付、不用現(xiàn)金支付，它們彼此是互斥事件，所以不用現(xiàn)金支付的概率為1－(0.15＋0.45)＝0.4.

答案B答案ABC考點(diǎn)一隨機(jī)事件的關(guān)系【例1】(1)把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三本學(xué)習(xí)書(shū)隨機(jī)地分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人一本，則事件A：“甲分得語(yǔ)文書(shū)”，事件B：“乙分得數(shù)學(xué)書(shū)”，事件C：“丙分得英語(yǔ)書(shū)”，則下列說(shuō)法正確的是(

) A.A與B是不可能事件 B.A＋B＋C是必然事件 C.A與B不是互斥事件 D.B與C既是互斥事件也是對(duì)立事件解析(1)“A，B，C”都是隨機(jī)事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故A，B兩項(xiàng)錯(cuò)誤；“A，B”可能同時(shí)發(fā)生，故“A”與“B”不互斥，C項(xiàng)正確；“B”與“C”既不互斥，也不對(duì)立，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.答案(1)C

(2)C規(guī)律方法1.準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；(2)對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生.2.判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.【訓(xùn)練1】(多選題)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.對(duì)立事件一定是互斥事件B.若A，B為兩個(gè)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C.若事件A，B，C兩兩互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D.事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A，B是對(duì)立事件解析對(duì)于A，對(duì)立事件是互斥事件中其中一個(gè)不發(fā)生，另一個(gè)必然發(fā)生的事件，所以正確.對(duì)于B，只有互斥事件才滿足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，不是任意事件都滿足，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，若A、B、C三事件兩兩互斥，不一定(A∪B)是C的對(duì)立事件，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1不一定成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，對(duì)立事件的概率之和為1，但概率之和為1的兩個(gè)事件不一定是對(duì)立事件，D錯(cuò)誤.答案BCD考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率【例2】

(2017·全國(guó)Ⅲ卷)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率.所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫低于20，則Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高氣溫不低于25，則Y＝450×(6－4)＝900，所以，利潤(rùn)Y的所有可能值為－100，300，900.規(guī)律方法1.頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.2.利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐步趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率.【訓(xùn)練2】

電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；(2)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率；電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1(3)電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1，哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫出結(jié)論)解

(1)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25＝50.(3)增加第五類電影的好評(píng)率，減少第二類電影的好評(píng)率.(2)由題意知，樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.考點(diǎn)三互斥事件與對(duì)立事件的概率【例3】

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；(2)(一題多解)至少3人排隊(duì)等候的概率.排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04解記“無(wú)人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥.(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B