黑龍江省鶴崗市2021年中考數(shù)學(xué)真題（含答案）

2021年黑龍江省鶴崗市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題(每題3分，滿(mǎn)分30分)

1.下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是()

A.〃廣+加3=2m5B.(—2〃-)=-6a，C.(a—b)=cr-b~D.-^6-7-V2-5/3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)積的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).

【詳解】解：A、〃，與加3不是同類(lèi)項(xiàng)，所以不能合并，錯(cuò)誤，故不符合題意；

B、(-2fl2)3=-8?6,錯(cuò)誤，故不符合題意；

C、［a-b^=a1-2ab+b1,錯(cuò)誤，故不符合題意;

D、#>+0正確，故符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查積的乘方、完全平方公式及二次根式的除法，熟練掌握積的乘方、完全平方公式及

二次根式的除法是解題的關(guān)鍵.

2.下列圖形中，既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是

I).VA

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義：旋轉(zhuǎn)180。后能夠與原圖形完全重合即是中心對(duì)稱(chēng)圖形，以及軸對(duì)稱(chēng)圖

形的定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這

條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸，即可判斷出答案.

【詳解】解：A.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

8.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

C.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

D.既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，中心對(duì)稱(chēng)圖形，熟記兩種圖形的特點(diǎn)并準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵.

3.如圖是由5個(gè)小正方體組合成的幾何體，則該幾何體的主視圖是（）

正面

“小

a日

°田

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體的三視圖可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).

【詳解】解：由題意得：

該幾何體的主視圖是

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖，熟練掌握幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵.

4.一組數(shù)據(jù)：2,4,4,4,6,若去掉一個(gè)數(shù)據(jù)4,則下列統(tǒng)計(jì)量中發(fā)生變化的是（)

A.眾數(shù)B.中位數(shù)C.平均數(shù)D.方差

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).

【詳解】解：由題意得：

原中位數(shù)為4,原眾數(shù)為4,原平均數(shù)為x二±十;十今？二4,原方差為

(2-4)-+(4-4)~+(4-4)+(4-4)+(6-4)g

S2=------------------------------------------=-；

55

4+4—2+4+4+6

去掉一個(gè)數(shù)據(jù)4后的中位數(shù)為——=4,眾數(shù)為4,平均數(shù)為x=W十？二十？=4,方差為

24

(2-4)+(4-4)+(4-4)~+(6-4)

S~——21

4

.?.統(tǒng)計(jì)量發(fā)生變化的是方差：

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)、眾數(shù)、眾數(shù)及方差，熟練掌握求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)及方差是解題的

關(guān)鍵.

5.有一個(gè)人患了流行性感冒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染

的人數(shù)是()

A.14B.11C.10D.9

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，由題意可得l+x+x(l+x)=144,然后求解即可.

【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，由題意可得：

l+x+x(l+x)=144,

解得：xy=1l,x2=-13(舍去)，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

771+3

6.己知關(guān)于x的分式方程丁一=1的解為非負(fù)數(shù)，則加的取值范圍是()

2x—1

A.m>-4B.加之一4?且加。一3C.m>-AD.m>-4且加。一3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意先求出分式方程的解，然后根據(jù)方程的解為非負(fù)數(shù)可進(jìn)行求解.

租+3加+4|

【詳解】解：由關(guān)于X的分式方程一^=1可得：x=——，且

2x-l22

?..方程的解為非負(fù)數(shù),

，〃+4m+41

-0>JH.。—，

2

解得：/篦且加。一3,

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟練掌握分式方程的解法及一元一次不

等式的解法是解題的關(guān)鍵.

7.為迎接2022年北京冬奧會(huì)，某校開(kāi)展了以迎冬奧為主題的演講活動(dòng)，計(jì)劃拿出180元錢(qián)全部用于購(gòu)買(mǎi)甲、

乙兩種獎(jiǎng)品（兩種獎(jiǎng)品都購(gòu)買(mǎi)），獎(jiǎng)勵(lì)表現(xiàn)突出的學(xué)生，已知甲種獎(jiǎng)品每件15元，乙種獎(jiǎng)品每件10元，則

購(gòu)買(mǎi)方案有（）

A.5種B.6種C.7種D.8種

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品為x件，乙種獎(jiǎng)品為y件，由題意可得15x+10y=180,進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品為x件，乙種獎(jiǎng)品為y件，由題意可得:

15%+10y=180,

y=18--x,

2

V%>0,y>0,且x、y都為正整數(shù),

.?.當(dāng)x=2時(shí)，則y=15；

當(dāng)x=4時(shí)，則y=12；

當(dāng)x=6時(shí)，則y=9；

當(dāng)x=8時(shí)，則y=6；

當(dāng)x=10時(shí)，則y=3；

，購(gòu)買(mǎi)方案有5種；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形A8CD的邊軸，垂足為￡,頂點(diǎn)A在第二象限，頂點(diǎn)5在y

軸正半軸上，反比例函數(shù)丁=&（%/0/>0）的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)。、D.若點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為5,

x

BE=2DE，則攵的值為（）

【答案】A

【解析】

【分析】由題意易得AB=8C=CO=AT>=5,AO〃BC,則設(shè)DE=x,BE=2x,然后可由勾股定理得

（5—x『+4f=25,求解x,進(jìn)而可得點(diǎn)C[5,g）,則。[2,（+4],最后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：..?四邊形ABCD是菱形,

AB=BC=CD=AD,AD//BC,

VAD_Ly軸,

NDEB=ZAEB=90。,

：.ZDEB=NCBO=90。,

???點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,

(k、

??.點(diǎn)C[5,彳,AB=BC=CD=AD=5?

BE=2DE,

.,.設(shè)OE=x,BE=2x,則A￡=5-X,

.?.在RfaAEB中，由勾股定理得：(5—x『+4f=25,

解得：玉=2,巧=0（舍去）,

DE=2,BE—4,

?,?點(diǎn)+,

...2x[：+4)=Z,

解得：%=，40；

3

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形性質(zhì)及反比例函數(shù)與幾何的綜合，熟練掌握菱形的性質(zhì)及反比例函數(shù)與幾何

的綜合是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，平行四邊形ABFC的對(duì)角線AE、8C相交于點(diǎn)E,點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，連接8。并延長(zhǎng)，交FC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，交AR于點(diǎn)G,連接A。、OE,若平行四邊形ABFC的面積為48,則S。g的面積為

()

【答案】C

【解析】

【分析】由題意易得AB=FC,AB//FC,進(jìn)而可得OEIICF//ABQE==CF==AB,則有

22

OEGsBAG,然后根據(jù)相似比與面積比的關(guān)系可求解.

【詳解】解：???四邊形ABFC是平行四邊形，

AB=FC,AB//FC,AE=EF,SAFC=-SABI..C,

?.?平行四邊形ABR?的面積為48,

SAFC=]SABFC~24,

?..點(diǎn)。為AC的中點(diǎn),

OE//CF//AB,OE=-CF=-AB,

22

**?OEGsBAG，AOEs.ACF，

.q_lc跑—變

??AOE--AFC-，A(J~AB~2,

：.EG=-AE,

3

AG=-AE,

3

?；.AOG和“。后同高不同底，

2

,?SAOC=qSAOE=4,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握相似三角

形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡在8C的延長(zhǎng)線上，連接。E,點(diǎn)尸

是。E的中點(diǎn)，連接O尸交CD于點(diǎn)G,連接CF,若CE=4,OF=6.則下列結(jié)論：①5=2；

②OD=COG；③tanNCDE=2；@ZODF=ZOCF=90°；⑤點(diǎn)D到CF的距離為植.其中正

25

確的結(jié)論是（）

A.①②③④B.①?④⑤C.①②③⑤D.①②④⑤

【答案】C

【解析】

【分析】由題意易得=C。,80=0。==OC,ZBDC=45°,/BCD=ZDCE=90。，①由三角形

中位線可進(jìn)行判斷；②由△QOC是等腰直角三角形可進(jìn)行判斷；③根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解；④根據(jù)題意

可直接進(jìn)行求解；⑤過(guò)點(diǎn)。作OHLC凡交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：???四邊形ABCO是正方形，

BC=CD,BO=OD=OA=OC,NBDC=45°,/BCD=NDCE=90°,AC1BD,

???點(diǎn)/是DE的中點(diǎn)，

：.OF^-BE,OF//BE,

2

VOF=6,CE=4,

ABE=12>則CD=BC=8,

,/OF//BE,

:.△DGFs^DCE,

.DGGF

"~CD~~CE~2f

：.GF=2,故①正確；

???點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，

OGLCD,

,：ZODC=45°,

...△OOC是等腰直角三角形，

、OD=6OG，故②正確；

'：CE=4,8=8,NDCE=9Q°,

CE1

AtanZCDE=—故③正確；

CD2

tanNCDE=—^1,

2

NCDE/5。,

...NO。/r90°,故④錯(cuò)誤；

過(guò)點(diǎn)。作ZW_LCF,交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)4,如圖所示：

??,點(diǎn)/是C。的中點(diǎn)，

:,CF=DF,

：.ZCDE=ZDCFf

tanZCDE-tanZDCF-

2

設(shè)DH=x,則C〃=2x,

在用△￡>“(:中，X2+4X2^64>

解得：》=±垣，

5

:.DH=正，故⑤正確；

5

正確的結(jié)論是①②③⑤；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、相

似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(每題3分，滿(mǎn)分30分)

11.截止到2020年7月底，中國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到14.14萬(wàn)公里，位居世界第二.將數(shù)據(jù)14.14萬(wàn)用科學(xué)記

數(shù)法表示為.

【答案】1.414x10-5

【解析】

【分析】由題意易得14.14萬(wàn)=141400,然后根據(jù)科學(xué)記數(shù)法可進(jìn)行求解.

【詳解】解:由題意得:14.14萬(wàn)=141400,

.??將數(shù)據(jù)14.14萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為1.414x1()5；

故答案為1.414x1()5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

12.函數(shù)y=一'—中，自變量x的取值范圍是—.

x-2

【答案】XH2.

【解析】

【詳解】試題分析：由已知：X-2M,解得XX2；

考點(diǎn)：自變量的取值范圍.

13.如圖，在平行四邊形A8CD中，對(duì)角線AC、BO相交于點(diǎn)0,在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你

添加一個(gè)條件,使平行四邊形ABC。是矩形..

【解析】

【分析】根據(jù)矩形的判定方法即可得出答案.

【詳解】解：?.?四邊形ABCO為平行四邊形，

.?.當(dāng)NA5C=90°時(shí)，四邊形ABC。為矩形.

故答案為：ZABC=90°.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，熟記矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

14.一個(gè)不透明的口袋中裝有標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)小球，這些小球除標(biāo)號(hào)外完全相同，隨機(jī)摸出1個(gè)小球,

然后把小球重新放回口袋并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)小球，那么兩次摸出小球上的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率是

【答案】I

9

【解析】

【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，兩次摸出小球上的數(shù)字之和是奇數(shù)的結(jié)果有5種，再由概率公

式求解即可.

【詳解】解:畫(huà)樹(shù)狀圖如圖:

和

共有9種等可能的結(jié)果，兩次摸出小球上的數(shù)字之和是奇數(shù)的結(jié)果有5種，

.?.兩次摸出小球上的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為2,

9

故答案為：一.

9

【點(diǎn)睛】此題考查的是列表法或樹(shù)狀圖法求概率以及概率公式.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能

的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.

lx-a>0

15.關(guān)于x的一元一次不等式組4°,二無(wú)解，則“的取值范圍是

3x-4<5

【答案】a>6

【解析】

【分析】分別解出這兩個(gè)不等式的解集，然后根據(jù)不等式組無(wú)解，得到關(guān)于。的不等式，解不等式即可.

2x-a>0①

【詳解】解:

3x-4<5@

解不等式①得：x>-a,

2

解不等式②得：x<3,

:不等式組無(wú)解,

a>6,

故答案為：G>6.

【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)一元一次不等式組的解集情況確定參數(shù)的取值范圍，掌握不等式組的解集的確

定方法是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在：。中，是直徑，弦AC的長(zhǎng)為5cm，點(diǎn)。在圓上，且/4DC=30。，則。的半徑為—

【答案】5cm

【解析】

【分析】連接BC,由題意易得NABC=4M>C=30。，進(jìn)而問(wèn)題可求解.

【詳解】解：連接BC,如圖所示：

D

'：ZAZX?=30°,

ZABC=ZADC=30°,

,/AB是直徑，

ZACB=90°，

AC=5cm,

AB-2AC-10cm,

。的半徑為5cm；

故答案為5cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理及含30。直角三角形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.若一個(gè)圓錐的底面半徑為1cm,它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為90°,則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為一_cm.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖可知圓錐底面圓的周長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，然后由題意可進(jìn)行求解.

【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為R，由題意得：

nnR

/=2兀r

180

c90-7rR

：.2乃=-------，

180

解得：R=4，

這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為4cm,

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐側(cè)面展開(kāi)圖及弧長(zhǎng)計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面展開(kāi)圖及弧長(zhǎng)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在HfAAQB中，ZAOB=90°,Q4=4,03=6,以點(diǎn)。為圓心，3為半徑的O。，與OB交

于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CD_LQB交AB于點(diǎn)。，點(diǎn)P是邊OA上的點(diǎn)，則PC+PD的最小值為

【答案】2回

【解析】

【分析】延長(zhǎng)CO,交0。于一點(diǎn)E,連接PE,由題意易得OC=3C=OE=3,ZBCD=ZAOB=90P,

則有BCD^.BOA,CP=PE,然后可得CD=2,PC+PD=PE+PD,要使PC+PO的值為最小,

即PE+PD的值為最小，進(jìn)而可得當(dāng)。、P、E三點(diǎn)共線時(shí)最小，最后求解即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)CO,交，。于一點(diǎn)E,連接PE,如圖所示：

?：OB=6,以點(diǎn)。為圓心，3為半徑的I。，

/.OC=BC=OE=3,

VZAOB=90°,CDLOB,

：.ZBCD=ZAOB=90°,

：.CDHOA,CP=PE,

BCDsBOA,

.CDBC\

"~OA~'OB~2'

?；QA=4,

r.CD=2,

?：CP=PE,

：.PC+PD=PE+PD,

則要使PC+PD的值為最小，即PE+PD的值為最小，

.?.當(dāng)。、P、E三點(diǎn)共線時(shí)最小，即PE+PD=DE，如圖所示:

在RtADCE中，DE=y/CD2+CE2=2>/i0，

APC+PD的最小值為2JIG；

故答案為2JTU.

【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟

練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

19.在矩形ABCD中，AB=2cm,將矩形ABC。沿某直線折疊，使點(diǎn)3與點(diǎn)。重合，折痕與直線A。交

于點(diǎn)￡,且OE=3cm,則矩形的面積為cm2.

【答案】6+2指或6-2石

【解析】

【分析】根據(jù)題意可分當(dāng)折痕與直線的交點(diǎn)落在線段AD上和AD外，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)及勾股定理

可求解.

【詳解】解：..?四邊形ABCD是矩形，

ZA=90°,

①當(dāng)點(diǎn)E在線段AO上時(shí)，如圖所示:

由折疊的性質(zhì)可得ZF=ZA=90°,AE=EF,AB=DF=2cm,

,/DE=3cm,

在DFE中，EF=yjDE2-DF2=J^cm，

AO=4E+OE=(3+6)cm,

?e'S矩形ABCD=AB?AZ)=(6+2>/5jcm-；

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得BE=DE=3cm,

...在RfaEAB中，AE=jBE2-AB2=6cm，

AO=0E-AE=（3-⑹cm,

S粗％ABCD=48-AD=僅-2亞）cm~；

綜上所述：矩形ABC。的面積為（6+2石卜n?或（6-2碼cn?；

故答案為6+2道或6—2蓬.

【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、勾股定理及矩形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)、勾股定理及矩形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，菱形A8CO中，ZABC=120°,A5=l，延長(zhǎng)CO至A，使。A=CO,以4。為一邊，在

8c的延長(zhǎng)線上作菱形ACCA，連接A4,得到A4O4；再延長(zhǎng)a。至4,使。14=G2,以4G為

一邊，在CG的延長(zhǎng)線上作菱形&GG2，連接44，得到AAQH……按此規(guī)律，得到A42O2O2O2O4)2I，

記AADA］的面積為5,,AAQ14的面積為S2^020^2020A021的面積為52021,則S2O21=.

【答案】2皿38.6

【解析】

【分析】由題意易得NBCD=60°,AB=A。=CD=1,則有AADA,為等邊三角形，同理可得M,D,A2……

4^20302()4021都為等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)等邊三角形的面積公式可得￡=手，S2=V3.........由此規(guī)

律可得5〃=G?221,然后問(wèn)題可求解.

【詳解】解：：四邊形ABCD是菱形，

AAB=AD=CD=\,AD//BC,AB//CD,

???ZABC=120°,

/BCD=60。,

ZADA,=ZBCD=60°,

?：DA,=CD,

DAt=AD,

/.A4￡>A為等邊三角形,

A

同理可得AAQ4……AA2020020202021都為等邊三角形，

過(guò)點(diǎn)8作BE，CD于點(diǎn)E,如圖所示：

3

/.BE=BC，sinZBCD=—，

2

/.S.=-A,DBE=—A,D2=—，

1214H4

同理可得：S2=》A?D；=*x2?=6,S3=曰422=曰x4?=4百，……;

，由此規(guī)律可得：5“=百?22"Y,

2X202,44038

.-.S2021=V3X2-=2.V3;

故答案為2吶8.6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、等邊三

角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（滿(mǎn)分60分）

2\2

21.先化簡(jiǎn)，再求值:念卜含‘其中。=2360。+1.

【答案】r；g

【解析】

【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求出。的值，再代入求解即可.

a(a+\)-a2a2

詳解】解：原式=

a+1(a+1)(a—1)

a(?+1)(?-1)

XJ

a+\a'

a—1

a

當(dāng)a-2cos60°+1=2x—F1=2時(shí),

2

一a-\2-1]_

原式=——=--

2'2'

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，掌握運(yùn)算法則與順序，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

22.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，ABO的三個(gè)

頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（—L3）,3（T,3）,0（0,（））.

（1）畫(huà)出.ABO關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的并寫(xiě)出點(diǎn)片的坐標(biāo)；

（2）畫(huà)出「A3O繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的VAz與O,并寫(xiě)出點(diǎn)兒的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)為所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留萬(wàn)）.

【答案】（1）見(jiàn)解析，A（-h-3）；（2）見(jiàn)解析，4（3,1）；（3）巫兀

2

【解析】

【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后依次連接即可，最后通過(guò)圖象可得點(diǎn)兒的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出點(diǎn)A、8繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。的點(diǎn)，然后依次連接，最后根據(jù)圖象可得點(diǎn)兒的坐

標(biāo)；

（3）由（2）可先根據(jù)勾股定理求出OA的長(zhǎng)，然后根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式進(jìn)行求解.

【詳解】解：(1)如圖所示：AA/I。即為所求,

由圖象可得A(T—3)：

(2)如圖所示：VA/2。即為所求,

由圖象可得4(3,1)；

(3)由(2)的圖象可得：點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)&所經(jīng)過(guò)的路徑為圓弧,

"?'OA=V32+12=V10,

???點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)兒所經(jīng)過(guò)的路校長(zhǎng)為、器=型信=華

【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與軸對(duì)稱(chēng)及弧長(zhǎng)計(jì)算公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與軸對(duì)稱(chēng)

及弧長(zhǎng)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，拋物線y=o%2+加+3(。力0)與x軸交于點(diǎn)A(l,0)和點(diǎn)B(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,

與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E,頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)尸是對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在射線ED上,若以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與.BOC

相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)片(—1—0,2),鳥(niǎo)(—2,3)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)拋物線>=如2+芯+3(a#0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(-3,0),即可得到關(guān)于。、

。的方程，從而可以求得心匕的值，然后即可寫(xiě)出拋物線的解析式；

(2)根據(jù)(1)中拋物線的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后再根據(jù)3OC是等腰直角三角形，得出VPQE是

等腰直角三角形，再分類(lèi)討論，列出方程，即可求解.

【詳解】解：(1),拋物線>=QN+加;+3(aWO)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)3(-3,0),

。+/7+3=0

9。一3。+3=0

此拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3

(2)當(dāng)x=0時(shí)，)，=3,所以，O2=OC=3,

....BOC是等腰直角三角形，

以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與_30C相似，

???VPQE是等腰直角三角形，

b_?

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(相，-根2-2m+3)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線》=——=-------=—1,

2a-2x1

設(shè)的解析式為丁="+〃，將8(-3,0),C(0,3)代入得，

-3k+/z=0

Vf

〃=3

女=1

解得，\C，故BC的解析式為y=X+3,

n=3

把尤二一1代入得，y=2,則已點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,2),

如圖，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，——2/T/4-3=2，解得，町——1—>/2,嗎——1+>/2(舍去)，把肛——1

代入得，一加2_2加+3=2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(一1一后,2),

當(dāng)。為直角頂點(diǎn)時(shí)，PQ=QE,即一機(jī)2一2〃?+3-2=-1一加，解得〃4=-2,叫=0（舍去），把班=一2

代入得，—加一2加+3=3,則尸點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,3）；

當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，作于即一根2一2加+3—2=7—m，解得班=-2,nt,=0（舍

去），則P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,3）；

綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1-夜,2）或（-2,3）.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和相似三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟

練運(yùn)用待定系數(shù)法和設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程.

24.為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某中學(xué)開(kāi)展“學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史崇德、學(xué)史力行”知識(shí)競(jìng)賽,

現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)分成A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,

請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題:

（1）本次調(diào)查中共抽取學(xué)生；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求B等級(jí)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；

（4）若該校有1200名學(xué)生參加此次競(jìng)賽，估計(jì)這次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)锳和8等級(jí)的學(xué)生共有多少名？

【答案】（1）100；（2）圖見(jiàn)詳解；（3）144°；（4）這次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)锳和B等級(jí)的學(xué)生共有792名.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖及題意可直接進(jìn)行求解；

（2）由（1）及統(tǒng)計(jì)圖可得C等級(jí)的人數(shù)為20名，然后可求出8等級(jí)的人數(shù)，進(jìn)而問(wèn)題可求解；

（3）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；

（4）由（2）可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：（1）由題意得：

26?26%=100（名），

故答案為100；

（2）由題意得：

C等級(jí)的人數(shù)為100義20%=20（名）,8等級(jí)的人數(shù)為100-26-20-10-4=40（名）,

則補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

40

360°x—=144°；

100

答：B等級(jí)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為144。.

(4)由(2)及題意得：

1200x40+26=792(名)；

100

答：這次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)锳和B等級(jí)的學(xué)生共有792名.

【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)及條形統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握扇形統(tǒng)計(jì)及條形統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)健.

25.已知A、B兩地相距240kH1,一輛貨車(chē)從A地前往B地，途中因裝載貨物停留一段時(shí)間.一輛轎車(chē)沿

同一條公路從B地前往A地，到達(dá)A地后(在A地停留時(shí)間不計(jì))立即原路原速返回.如圖是兩車(chē)距B地

的距離(km)與貨車(chē)行駛時(shí)間X(h)之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問(wèn)題：

(1)圖中根的值是；轎車(chē)的速度是km/h；

(2)求貨車(chē)從A地前往B地過(guò)程中，貨車(chē)距8地的距離y(km)與行駛時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)直接寫(xiě)出轎車(chē)從B地到A地行駛過(guò)程中，轎車(chē)出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與貨車(chē)相距12km?

-66x+240(0<x<2.5)

27

【答案】⑴5；120；⑵y=<75(2.5<x<3.5)；(3)lh或一h.

-50x+250(3.54x45)'

【解析】

【分析】(1)由圖象可知轎車(chē)從B到A所用時(shí)間為2h,即可得出從A到8的時(shí)間，進(jìn)而可得根的值，根據(jù)

速度=距離一時(shí)間即可得轎車(chē)速度；

(2)由圖象可知貨車(chē)在2.5h~3.5h時(shí)裝載貨物停留lh,分以<2.5；2.5<x<3.5；3.58<5三個(gè)時(shí)間段，分別

利用待定系數(shù)法求出y與x的關(guān)系式即可得答案；

(3)分兩車(chē)相遇前和相遇后相距12km兩種情況，分別列方程求出x的值即可得答案.

【詳解】(1)由圖象可知轎車(chē)從8到A所用時(shí)間為3-l=2h,

轎車(chē)從A到3的時(shí)間為2h,

m=3+2=5,

?1、B兩地相距240km,

轎車(chē)速度=240+2=120km/h,

故答案為：5；120

(2)由圖象可知貨車(chē)在2.5h~3.5h時(shí)裝載貨物停留lh,

①設(shè)yMN=4%+4(4/0)(0<X<2.5)

V圖象過(guò)點(diǎn)”(0,240)和點(diǎn)N(2.5,75)

bt=240

2.5Z]+4=75

b]=240

解得：

=-66

/.yMN=-66x+240(0<x<2.5)

②???貨車(chē)在2.5h?3.5h時(shí)裝載貨物停留lh,

/.yNG=75(2.5<x<3.5),

③設(shè)%”=攵2%+偽(%2^0)(3.5<x<5),

???圖象過(guò)點(diǎn)G(3.5,75)和點(diǎn)"(5,0)

f5k2+瓦=0

一13.5攵2+坊=75

也=250

解得:50，

yGH=-50x+250(3.5<x<5),

66x+240(0<x<2.5)

y='75(2.5<x<3.5).

-50x+250(3.5<x<5)

(3)設(shè)轎車(chē)出發(fā)x/7與貨車(chē)相距12km，則貨車(chē)出發(fā)(x+l)h,

①當(dāng)兩車(chē)相遇前相距12km時(shí)：-66(x+l)+240-120x=12,

27

解得：x=—,

31

②當(dāng)兩車(chē)相遇后相距12km時(shí)：120x-[-66(%+1)+240]=12,

解得：

27

答：轎車(chē)出發(fā)lh或『h與貨車(chē)相距12km.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的運(yùn)用,認(rèn)真分析函數(shù)圖象，讀懂函數(shù)

圖象表示的意義是解題關(guān)鍵.

26.在等腰AM■中，AE=DE，AABC是直角三角形，NC43=90°，ZABC=-ZAED,連接

2

CD、6。，點(diǎn)/是8。的中點(diǎn)，連接族.

B

圖①E

(1)當(dāng)NEW=45°,點(diǎn)5在邊AE上時(shí)，如圖①所示，求證：EF=；CD.

(2)當(dāng)ZE4D=45°,把AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)B落在邊A。上時(shí)，如圖②所示,當(dāng)ZEAD=60°,

點(diǎn)8在邊AE上時(shí)，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段族和又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的

猜想，不需證明.

【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)圖②中=圖③中EF=X3C。，理由見(jiàn)詳解.

22

【解析】

【分析XI)由題意易得ZADE=ZEAD=45°,則有ZAED=90°,然后可得ZABC=45°,EF=-BD,

2

進(jìn)而可得AO垂直平分BC,則CZ)=B￡>,最后問(wèn)題可求證；

(2)取C。的中點(diǎn)連接AH、EH、FH,如圖②，由題意易得FH〃BC,AH=DH,則有可垂直平分

AD,/HFA=NCBA=45°,進(jìn)而可得NE”F=NE4f=45°,然后可得點(diǎn)A、E、F、，四點(diǎn)共圓，則根據(jù)圓

的基本性質(zhì)可求解；如圖③，取BC的中點(diǎn)G,連接GF并延長(zhǎng)，使得GM=CD,連接。W、EM、EG,AG,

則有四邊形CGMD是平行四邊形，DM=CG=AC,進(jìn)而可得△ACO空△QME,則有CD=EM,ZEMD=ZDCA,

然后可得aEMG是等邊三角形，最后問(wèn)題可求解.

【詳解】(1)證明：?；AE=DE，/E4Z>=45°,

ZADE=NEW=45。，

/.ZAED=90°,

???點(diǎn)F是3。的中點(diǎn)，

EF=-BD,

2

ZABC=-ZAED,

2

：.NABC=45°,

???ZC4B=90°,

...△ACB是等腰直角三角形，

■:NS4￡)=NC4D=45。，

...A。垂直平分3C,

：.CD=BD,

EF=LCD；

2

(2)解：圖②中EF=(CZ),圖③中瓦'=3。。，理由如下:

22

圖②：取CQ的中點(diǎn)H,連接44、EH、FH,如圖②，

,:AE=DE，ZEAD=45°,

：.NAOE=NEW=45°,

ZAED=90°,

?；ZABC=-ZAED,

2

NABC=45。，

?.?點(diǎn)F是8。的中點(diǎn)，

FH//BC,AH=DH=-CD,

2

.?.EH垂直平分A。，ZHFA=ZCBA=45°,

:.NEHF=NEAF=45°,

.?.點(diǎn)A、E、F、，四點(diǎn)共圓，

VZHFA^ZEAF=45°,

；?AH=EF，

：.EF=-CD；

2

圖③：如圖③，取BC的中點(diǎn)G,連接G尸并延長(zhǎng)，使得GM=CZ),連接。M、EM、EG,AG,

,：AE=DE，ZEAD=60°,

是等邊三角形，

ZA￡D=ZADE=60°，

NABCJNAED,

2

ZABC=30°,

???NC4B=90°，

ZCAD=30°,ZACB=60°,

ZAGB=90°，

AG-CG,

...△AGC是等邊三角形，

：.AC=CG,

?.?點(diǎn)尸是8D的中點(diǎn)，

GM//CD,

四邊形CGMD是平行四邊形，

AC=CG=DM,CGHDM,NGCD=NDMG,

：.ZGDM=ZAGB=90°，

/.ZEDM=30°,

/.ZCAD=ZMDE,

AD^DE,

：.(SAS),

:.CD=EM,ZEMD=ZDCA,

：.ZACB+ZGCD=ZDMG+NEMG，

/.ZAC3=N￡MG=60°,

...△EMG是等邊三角形，

:點(diǎn)尸是8。的中點(diǎn)，

BF=DF,

■：BC//DM,

ZGBF=ZMDF,

NGFB=4MFD,

；.,GFB當(dāng)MFD(ASA),

GF=MF,

：.EFLGM,

/.EF=EM-sinZEMG^—EM=—CD.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)、

圓的基本性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定及三角函

數(shù)、圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.“中國(guó)人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”.為擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，某糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃投入一筆

資金購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具，已知購(gòu)進(jìn)2件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具共需3.5萬(wàn)元，購(gòu)進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)

具和3件乙種農(nóng)機(jī)具共需3萬(wàn)元.

(1)求購(gòu)進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具各需多少萬(wàn)元？

(2)若該糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具共10件，且投入資金不少于9.8萬(wàn)元又不超過(guò)12萬(wàn)元,

設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具機(jī)件，則有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？哪種購(gòu)買(mǎi)方案需要的資金最少，最少資金是多少？

(3)在(2)的方案下，由于國(guó)家對(duì)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)扶持力度加大，每件甲種農(nóng)機(jī)具降價(jià)0.7萬(wàn)元，每件乙種農(nóng)機(jī)

具降價(jià)0.2萬(wàn)元，該糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃將節(jié)省的資金全部用于再次購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具(可以只購(gòu)買(mǎi)一種),

請(qǐng)直接寫(xiě)出再次購(gòu)買(mǎi)農(nóng)機(jī)具的方案有哪幾種？

【答案】Q）購(gòu)進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需1.5萬(wàn)元，購(gòu)進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需0.5萬(wàn)元；（2）有三種方案：方案一:

購(gòu)買(mǎi)甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件；方案二：購(gòu)買(mǎi)甲種農(nóng)機(jī)具6件，乙種農(nóng)機(jī)具4件；方案三：購(gòu)買(mǎi)甲

種農(nóng)機(jī)具7件，乙種農(nóng)機(jī)具3件；方案一需要資金最少，最少資金是10萬(wàn)元；（3）節(jié)省的資金再次購(gòu)買(mǎi)農(nóng)

機(jī)具的方案有兩種：方案一：購(gòu)買(mǎi)甲種農(nóng)機(jī)具。件，乙種農(nóng)機(jī)具15件；方案二：購(gòu)買(mǎi)甲種農(nóng)機(jī)具3件，乙

種農(nóng)機(jī)具7件

【解析】

【分析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需x萬(wàn)元，購(gòu)進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需y萬(wàn)元，根據(jù)題意可直接列出二元一

次方程組求解即可；

（2）在（1）的基礎(chǔ)之上，結(jié)合題意，建立關(guān)于"?的一元一次不等式組，求解即可得到，〃的范圍，從而根

據(jù)實(shí)際意義確定出，"的取值，即可確定不同的方案，最后再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)確定最小值即可;

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，直接求出可節(jié)省的資金，然后確定降價(jià)后的單價(jià)，再建立二元一次方程，并結(jié)合

實(shí)際意義進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需x萬(wàn)元，購(gòu)進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需y萬(wàn)元.

2x+y=3.5

根據(jù)題意,得《；，

x+3y=3

x=l.5

解得:

y=0.5

答：購(gòu)進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需1.5萬(wàn)元，購(gòu)進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需0.5萬(wàn)元.

1.5m+0.5(10—m)>9.8

（2）根據(jù)題意,

1.5/77+0.5(10-m)<12

解得：4.8</?z<7,

；機(jī)為整數(shù)，

...加可取5、6、7,

有三種方案：

方案一：購(gòu)買(mǎi)甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件;

方案二：購(gòu)買(mǎi)甲種農(nóng)機(jī)具6件，乙種農(nóng)機(jī)具4件;

方案三：購(gòu)買(mǎi)甲種農(nóng)機(jī)具7件，乙種農(nóng)機(jī)具3件.

設(shè)總資金為叩萬(wàn)元，則W=1.5m+0.5(10-m)=m+5,

?.?左=1>0,

W隨m的增大而增大,

，當(dāng)m=5時(shí)，％小=5+5=10（萬(wàn)元），

.??方案一需要資金最少，最少資金是10萬(wàn)元.

（3）由（2）可知，購(gòu)買(mǎi)甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件時(shí)，費(fèi)用最小，

根據(jù)題意，此時(shí)，節(jié)省的費(fèi)用為5x0.7+5x0.2=4.5（萬(wàn)元），

降價(jià)后單價(jià)分別為：甲種0.8萬(wàn)元，乙種0.3萬(wàn)元，

設(shè)節(jié)省的資金可購(gòu)買(mǎi)。臺(tái)甲種，〃臺(tái)乙種，

則：0.8a+0.3。=4.5,

由題意，。，匕均為非負(fù)整數(shù)，

.??滿(mǎn)足條件的解為：4,或4,

0=15[b=l

.?.節(jié)省的資金再次購(gòu)買(mǎi)農(nóng)機(jī)具的方案有兩種：

方案一：購(gòu)買(mǎi)甲種農(nóng)機(jī)具0件，乙種農(nóng)機(jī)具15件；

方案二：購(gòu)買(mǎi)甲種農(nóng)機(jī)具3件，乙種農(nóng)機(jī)具7件.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組、一元一次不等式組以及一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，理解一

次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A4OB的邊OA在X軸上，Q4=AB,且線段OA的長(zhǎng)是方程

4

了2一4%_5=0的根，過(guò)點(diǎn)3作軸，垂足為E，tan/84E=—,動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速