近五年20172021高考數(shù)學(xué)真題分類匯編11立體幾何含解析

H、立體幾何

一、多選題

1.（2021?全國高考真題）在正三棱柱ABC-A4G中，A6=A4,=1，點P滿足

BP=ABC+pBB],其中；則（）

A.當4=1時，△AB/的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐尸一48。的體積為定值

C.當時，有且僅有一個點P,使得A尸，8尸

D.當〃=（時，有且僅有一個點P,使得平面437

二、單選題

2.（2021?浙江高考真題）如圖已知正方體A8C￡>-A4CQ,M,N分別是A。，[B

的中點，則（）

A.直線A。與直線垂直，直線MN//平面ABCD

B.直線A。與直線平行，直線平面用

C.直線A。與直線。乃相交，直線MN//平面ABCO

D.直線AQ與直線0B異面，直線MNL平面BDRB]

3.（2021?浙江高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（)

3Q2

A.-B.3C.D.3J?

22

4.（2021?全國高考真題（理））已如A,B,C是半徑為I的球。的球面上的三個點,

且4。_1_8。,4。=8。=1,則三棱錐0-45。的體積為（）

AV2R百cV2口百

121244

5.（2021.全國高考真題（文））在一個正方體中，過頂點力的三條棱的中點分別為￡,

F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，

則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

D.

6.（2021?全國高考真題（理））在正方體ABC。-44G2中，P為4R的中點，則

直線尸3與所成的角為（）

717171K

A.-B.-C.-D.一

2346

7.（2021.全國高考真題）已知圓錐的底面半徑為灰,其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該

圓錐的母線長為（）

A.2B.272C.4D.4夜

8.（2020?天津高考真題）若棱長為26的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表

面積為（）

A.12萬B.24〃C.36萬D.144萬

9.（2020?北京高考真題）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱

的表面積為（）.

A.6+6B.6+2百C.12+V3D.12+2百

10.（2020?浙江高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體

積（單位：cm?）是（）

14

TC.3D.6

11.（2020?海南高考真題）日號是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇而垂直的辱

針投射到號面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為。），地球上一點A的緯

度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與04垂直的平

面.在點A處放置一個日辱，若愚面與赤道所在平面平行，點4處的緯度為北緯40。，則

號針與點A處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

12.（2020?全國高考真題（文））下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+4行B.4+4后C.6+273D.4+26

13.（2020?全國高考真題（理））已知A,8,C為球0的球面上的三個點，。。1為一ABC

的外接圓，若。。?的面積為4兀，AB=BC=AC=00{,則球。的表面積為（）

A.64KB.48KC.367rD.32K

14.（2020.全國高考真題（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀

可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角

形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

\/5—1^^5—1RA/5+1n亞+1

A.-----D.------C.------U.------

4242

15.（2020?全國高考真題（理））已知△ABC是面積為藝的等邊三角形，且其頂點都

4

在球O的球面上.若球O的表面積為16必則。到平面ABC的距離為（）

A.J3B.-C.1D.—

22

16.（2020?全國高考真題（理））如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一

個端點在正視圖中對應(yīng)的點為M,在俯視圖中對應(yīng)的點為N,則該端點在側(cè)視圖中對

應(yīng)的點為（）

E

GH

A.EB.FC.GD.H

17.（2019?浙江高考真題）祖唯是我國南北朝時代的偉大科學(xué)家，他提出的“基勢既同,

則積不容異''稱為祖曬原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式匕主體=5%，其中S是

柱體的底面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該柱體的

體積（單位：cnP）是

A.158B.162

C.182D.324

18.（2019?全國高考真題（理））如圖，點N為正方形ABCO的中心，AECD為正三

角形，平面ECD_L平面是線段的中點，則

A.BM=EN,且直線是相交直線

B.BM手EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM手EN,且直線BM,EN是異面直線

19.（2019?浙江高考真題）祖眶是我國南北朝時代的偉大科學(xué)家.他提出的“帚勢既同,

則積不容易”稱為祖隨原理，利用該原理可以得到柱體體積公式K?*=s/7,其中S是柱

體的底面積，/I是柱體的高，若某柱體的三視圖如圖所示，則該柱體的體積是

A.158B.162

C.182D.32

20.（2019?浙江高考真題）設(shè)三棱錐V—ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是

棱L4上的點（不含端點），記直線依與直線AC所成角為a，直線P3與平面ABC所

成角為二面角P—AC—8的平面角為/,則

A.f3<y,a<yB.P<a,f3<y

C.P<a,y<aD.a</3,y<P

21.（2019?全國高考真題（理））已知三棱錐P-A8C的四個頂點在球。的球面上，

PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形，E,尸分別是PA,AB的中點，NCE尸=90。,

則球。的體積為

A.8m兀B.4瓜兀C.2瓜兀D.娓兀

22.（2019?全國高考真題（文））設(shè)a,“為兩個平面，則a〃夕的充要條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與萬平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與尸平行

C.a,夕平行于同一條直線

D.a,￡垂直于同一平面

23.（2019?上海高考真題）已知平面￡、/兩兩垂直，直線a、b、c滿足：

a=a,b三B，c三Y,則直線a、b、C不可能滿足以下哪種關(guān)系

A.兩兩垂直B.兩兩平行C.兩兩相交D.兩兩異面

24.（2018?浙江高考真題）已知直線犯〃和平面a,"ua,則是“小〃q”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

25.（2018?上海高考真題）《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四

棱錐為陽馬，設(shè)AA是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點、

以AA為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是（）

A.4B.8C.12D.16

26.（2018?浙江高考真題）已知四棱錐S-A8CD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是

線段A3上的點（不含端點），設(shè)SE與3C所成的角為4，SE與平面ABCO所成的

角為。2,二面角S-A8-C的平面角為。3,則

A.<02—^3B.W02W4C.Oy<<O2D.。240344

27.（2018?全國高考真題（文））在長方體A8C。一A4G。中，AB=BC^2,AC,

與平面所成的角為30,則該長方體的體積為

A.8B.672C.872D.8后

28.（2018?北京高考真題（理））某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中,

直角三角形的個數(shù)為

29.（2018?全國高考真題（文））某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示，

圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點

為5,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為

B

A.2歷B.2#)C.3D.2

30.（2018?全國高考真題（理））設(shè)A,B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，

ABC為等邊三角形且其面積為9百，則三棱錐O-ABC體積的最大值為

A.B.1873C.24百D.54拒

31.（2018?全國高考真題（理））中國古建筑借助柳卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出

部分叫樺頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是樣頭.若如圖擺放的木構(gòu)

件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是

A.B.

32.（2018?浙江高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該兒何體的體

俯視圖

A.2B.4C.6D.8

33.（2018?全國高考真題（文））在正方體ABC。—A4GA中，E為棱的中點,

則異面直線AE與CO所成角的正切值為

A.—B.—C.此D.—

2222

34.（2018?全國高考真題（文））已知圓柱的上、下底面的中心分別為。-02,過直線

O}o2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為

A.]2x/27tB.12KC.8&兀D.10K

35.（2018.全國高考真題（理））在長方體ABC?！?，AB=BC^\,

AA=^3,則異面直線AR與。用所成角的余弦值為

立

如

1在

-

A.5B.65D.2

36.（2018?全國高考真題（理））已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面。所成

的角都相等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為

A3A/3r273r3>/2n73

4342

37.（2017?全國高考真題（文））如圖，在下列四個正方體中，A、8為正方體的兩個

頂點，M、N、。為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線A3與平面MNQ不

平行的是（）

未命名

未命名

三、解答題

38.（2021?全國高考真題）如圖，在三棱錐A—BCD中，平面平面BCD,

AB=AD，。為3。的中點.

（1）證明：OA1CD；

（2）若一OCZ）是邊長為1的等邊三角形，點七在棱AD上，DE=2EA，且二面角

E-BC-。的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.

39.（2021?全國高考真題（文））如圖，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，底面

ABCD,例為的中點，且依_LA〃.

（1）證明：平面平面P8Z）;

（2）若PD=DC=1,求四棱錐P—ABC。的體積.

40.（2021?浙江高考真題）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是平行四邊形,

ZABC=120°,A5=1,BC=4,PA=V151M,N分別為8cpe的中點，

PD1DC,PM±MD.

（1）證明：AB1PM-,

（2）求直線AN與平面PDW所成角的正弦值.

41.（2021?全國高考真題（文））已知直三棱柱ABC-AAG中，側(cè)面A448為正方

形，AB=BC=2,E,尸分別為AC和CC的中點，BF

(2)已知。為棱4月上的點，證明：BFLDE.

42.(2021.全國高考真題(理))已知直三棱柱ABC-48cl中，側(cè)面44由8為正方

形，AB=BC=2,E,尸分別為AC和C0的中點，。為棱4月上的點.BF

(1)證明：BF上DE；

(2)當為何值時，面B4GC與面￡>EE所成的二面角的正弦值最?。?/p>

43.(2021?全國高考真題(理))如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，QDJ_底面

ABCD,PD=DC=\,M為3C的中點，且m_LAM.

R

（2）求二面角A—90—B的正弦值.

44.（2020海南高考真題）如圖，四棱錐/MBCD的底面為正方形，底面A8CD設(shè)

平面PAD與平面PBC的交線為/.

（1）證明：/1平面/>。（7；

（2）已知產(chǎn)￡>=AD=1,。為/上的點，QB=g,求P8與平面QC。所成角的正弦值.

45.（2020?天津高考真題）如圖，在三棱柱ABC—中，CG，平面

ABC,ACLBC,AC^BC^2,CG=3,點。，￡分別在棱和棱C0上，且

4)=1CE=2,M為棱4月的中點.

Cl

Bi

(1)求證：C}M±BtD；

(II)求二面角8—gE—。的正弦值；

(III)求直線AB與平面。與E所成角的正弦值.

46.(2020.北京高考真題)如圖，在正方體ABCD—agGR中，E為8月的中點.

(I)求證：BC"/平面A"E；

(II)求直線A4與平面A"E所成角的正弦值.

47.(2020?浙江高考真題)如圖，三棱臺ABC—QEF中，平面ACFC平面ABC,

ZACB=ZACD=45°,DC=2BC.

（I）證明：EFYDB,

（ID求。尸與面。8c所成角的正弦值.

48.（2020?海南高考真題）如圖，四棱錐P-A8C。的底面為正方形，PZ），底面4BCD.設(shè)

平面PAD與平面PBC的交線為I.

（1）證明：平面POC；

（2）已知PO=A￡>=1,Q為/上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

49.（2020?江蘇高考真題）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=亞,BD=2,。為的

中點，AO_L平面8C。，AO=2,E為4c的中點.

（1）求直線48與。E所成角的余弦值；

⑵若點F在BC上，滿足BF=-BC,設(shè)二面角F—DE—C的大小為仇求sin。的值.

4

50.（2020?江蘇高考真題）在三棱柱ABC-AIBICI中，AB±AC,BiC,平面A8C,E,F

分別是AC,BC的中點.

（1）求證：EF〃平面A3G；

（2）求證：平面A8iC_L平面ABBi.

51.（2020.全國高考真題（理））如圖，在長方體ABCO—AgGA中，點分別在

梭DD],BB[上,K2DE=ED},BF=2FB、.

（1）證明：點C1在平面AE/7內(nèi)；

（2）若A6=2,AD=bA4=3,求二面角4一砂一4的正弦值.

52.（2020.全國高考真題（文））如圖，在長方體ABCO-AAGA中，點E,尸分別

在棱BB1上,且2DE=EQ,BF=2F%證明：

(1)當AB=BC時，EFLAC-,

（2）點G在平面A防內(nèi).

53.（2020?全國高考真題（文））如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，.A6c

是底面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點，N4PC=90。.

（1）證明：平面布8_L平面布C；

（2）設(shè)。。=近，圓錐的側(cè)面積為也兀，求三棱錐尸-ABC的體積.

54.（2020?全國高考真題（理））如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AE為

底面直徑，AE^AD..A3C是底面的內(nèi)接正三角形，尸為。O上一點，PO=—DO.

（1）證明：PA_L平面PBC；

（2）求二面角8—PC-E的余弦值.

55.（2020?全國高考真題（文））如圖，已知三棱柱ABC-4BC1的底面是正三角形，側(cè)

面88cle是矩形，M,N分別為BC,BiCi的中點，P為4例上一點.過BCi和尸的

平面交AB于E,交AC于F.

(1)證明：A4//MN,且平面4AMN_L平面EBCiF；

(2)設(shè)。為A48Q的中心，若AO=A8=6,AO〃平面EB1C1F,且NMPN=三，求四

3

棱錐的體積.

56.(2020?全國高考真題(理))如圖，已知三棱柱ABC-A山iG的底面是正三角形，側(cè)

面8BCC是矩形，M,N分別為BC,81G的中點，尸為AM上一點，過81cl和尸的

平面交AB于E,交AC于E

(1)證明：AA\//MN,且平面AiAMN_LEBiGF；

(2)設(shè)。為△AiBCi的中心，若AO〃平面EBiCiF,且求直線BE與平面

44WV所成角的正弦值.

57.(2019?江蘇高考真題)如圖，在直三棱柱ABC—43G中，D,E分別為BC,AC

的中點，AB=BC.

4氏

C

求證：(1)〃平面DECi；

(2)BELCiE.

58.(2019?天津高考真題(理))如圖，AE，平面ABC。，CF//AE,AD//BC,

AD±AB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(I)求證：〃平面石；

(II)求直線CE與平面BOE所成角的正弦值；

(III)若二面角￡一89—/的余弦值為:，求線段。戶的長.

59.(2019?全國高考真題(理))圖1是由矩形AOEB,RsABC和菱形BFGC組成的

一個平面圖形，其中AB=1,BE=BF=2,NFBC=60。,將其沿AB,BC折起使得2E與

8F重合，連結(jié)力G,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面ABC,平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

圖1圖2

60.(2019?全國高考真題(文))如圖，直四棱柱ABCM山Ci。/的底面是菱形，44=4,

AB=2,ZBAD=6Q°,E,M,N分別是BC,BBj,A/O的中點.

(1)證明：MN〃平面C/OE；

(2)求點C到平面。。E的距離.

61.(2019?全國高考真題(理))

如圖，長方體ABCQ-AIBIGG的底面ABCQ是正方形，點￡在棱A4i上，8ELEG.

(1)證明：BE，平面EBCi；

(2)若AE=4E,求二面角B-EC-G的正弦值.

62.(2019?上海高考真題)如圖，在正三棱錐P—ABC中，

PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=C

(1)若P3的中點為M，8c的中點為N,求AC與MN的夾角;

(2)求。一ABC的體積.

63.(2018?上海高考真題)已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，半徑為2.

(1)設(shè)圓錐的母線長為4,求圓錐的體積；

(2)設(shè)PO=4,OA、是底面半徑，且NAOB=90°,M為線段A3的中點，

如圖.求異面直線PM與OB所成的角的大小.

64.(2018?江蘇高考真題)在平行六面體ABC?！?4GA中，AA,=AB,AB{LB.C,.

求證：⑴鉆//平面430；

(2)平面J.平面48c.

5

65.（2018?江蘇高考真題）如圖，在正三棱柱ABC-4B1G中，AB=AA]=2,點產(chǎn)，。分

別為4Bi,8c的中點.

（1）求異面直線8尸與4a所成角的余弦值：

（2）求直線CG與平面AQG所成角的正弦值.

66.（2018?全國高考真題（文））如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧C0所在平面垂

直，M是C。上異于C，。的點.

（1）證明：平面4WD,平面8MC；

（2）在線段上是否存在點P,使得MC〃平面P8D?說明理由.

67.（2018?北京高考真題（理））如圖，在三棱柱ABC-A4G中，CG，平面ABC,

D,E,F,G分別為A41,AC,AG，8片的中點，AB=BC=亞,AC=AA]=2.

Ci

Ai

（1）求證：ACJ-平面BEF；

（2）求二面角8-CD-Ci的余弦值；

（3）證明：直線FG與平面BCD相交.

68.（2018?北京高考真題（文））如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面A6C。為矩形,

平面平面ABCD,PA±PD，PA=PD，E、尸分別為A。、依的中點.

（1）求證：PE工BC；

（II）求證：平面R48,平面PC。；

（III）求證：EF〃平面PCD.

69.（2018?全國高考真題（理））如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC

的中點，以。尸為折痕把△。尸C折起，使點C到達點P的位置，且PE_L斯.

（1）證明：平面PEE_L平面A3H）；

（2）求。。與平面ABED所成角的正弦值.

70.（2018?全國高考真題（理））如圖,邊長為2的正方形A8CO所在的平面與半圓弧CO

所在平面垂直，M是CO上異于C,。的點.

(1)證明：平面AMD,平面BMC；

(2)當三棱錐M-ABC體積最大時，求面與面MC。所成二面角的正弦值.

71.（2018?浙江高考真題）如圖，已知多面體ABC-AiBiG,A,A,B,B,CiC均垂直于

平面ABC,ZABC=120°,A,A=4.CiC=l,AB=BC=B,B=2.

(I)證明：ABi,平面AiBiCi；

(II)求直線AC,與平面ABBi所成的角的正弦值.

72.(2018?全國高考真題(文))如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=BC=2丘,

PA=PB=PC=AC=-4,。為AC的中點.

(1)證明：POJ■平面A8C；

(2)若點M在棱8C上，且MC=2MB,求點C到平面PQM的距離.

p

73.(2018?全國高考真題(文))如圖，在平行四邊形中，A8=AC=3,

ZACM=90°,以AC為折痕將小ACM折起，使點M到達點D的位置,且A5J_D4.

(1)證明：平面ACD_L平面ABC；

2

(2)Q為線段AO上一點，P為線段BC上一點，且BP=DQ=§DA，求三棱錐

。一ABP的體積.

74.(2017.山東高考真題(文))由四棱柱ABOABICQI截去三棱錐CLBCG后得

到的幾何體如圖所示，四邊形A8CQ為正方形，。為AC與8。的交點，E為AQ的中

點，AiE_L平面A8CD

(1)證明：A。〃平面BC。；

(2)設(shè)M是。。的中點，證明：平面4EM1平面BCG.

四、填空題

75.（2021.全國高考真題（理））以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)

視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為

（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖①圖②圖③

76.（2021?全國高考真題（文））已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30〃則該圓

錐的側(cè)面積為.

77.（2020.海南高考真題）已知正方體4BC￡>-AIBICI￡）I的棱長為2,M、N分別為B海、

AB的中點，則三棱錐A-NMA的體積為

78.（2020?海南高考真題）已知直四棱柱ABCD-AiBGn的棱長均為2,ZBAD=60°.以

。為球心，V5為半徑的球面與側(cè)面BCCB的交線長為.

79.（2020?江蘇高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成

的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角

螺帽毛坯的體積是一cm.

80.（202。全國高考真題（文））已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半

徑最大的球的體積為.

81.（2020?全國高考真題（理））設(shè)有下列四個命題：

pi：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P1-,過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3:若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/U平面a,直線相，平面a,則機，/.

則下述命題中所有真命題的序號是.

①Pl人〃4②P|A〃2③-1P2Vp3④-V73

82.（2019?江蘇高考真題）如圖，長方體ABCO-4片0。的體積是120,E為CQ的

83.（2019?北京高考真題（理））某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三

視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為.

①/_1_m；?m//a.③/J.a.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題:

85.（2019?全國高考真題（理））學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3。打印技術(shù)制作模型.如

圖，該模型為長方體A5CO-AgGA挖去四棱錐。―EFG”后所得的幾何體，其中

。為長方體的中心，瓦EG,“分別為所在棱的中點，A6=8C=6cm,AA=4cm,

3。打印所用原料密度為0.9g/CH?,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為

86.（2019?天津高考真題（文））已知四棱錐的底面是邊長為正的正方形，側(cè)棱長均為

石.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐

底面的中心，則該圓柱的體積為.

87.（2019?全國高考真題（文））已知NAC8=90。，P為平面ABC外一點，PC=2,點P

到ZACB兩邊AC,BC的距離均為也,那么P到平面ABC的距離為.

88.（2018?江蘇高考真題）如圖所示，正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的

多面體的體積為.

89.（2018?全國高考真題（文））已知圓錐的頂點為S,母線必，SB互相垂直，SA與

圓錐底面所成角為30°,若6S45的面積為8,則該圓錐的體積為.

90.（2018?全國高考真題（理））已知圓錐的頂點為S,母線SA,S3所成角的余弦

值為C，SA與圓錐底面所成角為45。，若25AB的面積為5厲，則該圓錐的側(cè)面

積為.

91.（2018?天津高考真題（理））已知正方體ABC?！狝4C%的棱長為1,除面ABCD

外，該正方體其余各面的中心分別為點E,F,G,H,M（如圖），則四棱錐M—EFG”

的體積為.

五、雙空題

92.（2019?全國高考真題（文））中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印

信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半

正多面體'’（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面

體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一

個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面，其棱

長為.

圖1圖2

近五年（2017-2021）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

十一、立體幾何（答案解析）

1.BD

【分析】

對于A,由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進而確定點的坐標；

對于B,將P點的運動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進而考慮體積是否為定值；

對于C,考慮借助向量的平移將尸點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解P點

的個數(shù)；

對于D,考慮借助向量的平移將P點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解P點

的個數(shù).

【解析】

易知，點尸在矩形BCCg內(nèi)部（含邊界）.

對于A,當2=1時，BP=BC+〃BB[=BC+〃CQ，即此時Pe線段CG，△AB/周長

不是定值，故A錯誤；

對于B,當〃=1時，=,故此時2點軌跡為線段，而

B\CJ/BC,平面4BC,則有P到平面的距離為定值，所以其體積為定值，

故B正確.

1-1-一

對于C,當丸=3時，BP=-BC^iuBB},取BC,4G中點分別為Q，H,則

BP=BQ+、NQH,所以尸點軌跡為線段Q",不妨建系解決，建立、空間直角坐標系如圖,

,0,//-1,BP=\0,--,//j,

y,O,l,P（0,0,〃）,則4P=

A2

7

4尸=1)=0,所以〃=0或〃=1.故“，。均滿足，故C錯誤;

I--1

對于D,當〃=5時，BP=4BC+]B4,取四，CC,中點為M,N.BP=BM+九MN'

所以P點軌跡為線段MN.設(shè)P0,此；，因為4f_V31）

，所以AP=，為，彳‘

22

7

731nfiC1.311n

A,B'所以z+5%-5=0n%=-此時P與N重合，故D正確.

乙乙/一4■乙2乙22

7

故選：BD.

【小結(jié)】

本題主要考查向量的等價替換，關(guān)鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內(nèi).

2.A

【分析】

由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面AB。，即可得出結(jié)論.

【解析】

連A。，在正方體ABC。-中,

"是的中點，所以M為中點,

又N是R8的中點，所以MN〃/W,

MN?平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN〃平面ABCD.

因為A3不垂直30,所以MN不垂直BD

則MN不垂直平面8。。與，所以選項B,D不正確;

在正方體A6CD—4耳G2中，A。，4。，

45，平面A4.DQ,所以A6_LA。，

AD}r>AB=A,所以AQ,平面AB",

RBu平面ABR,所以AQ_L26,

且直線4。,是異面直線，

所以選項B錯誤，選項A正確.

故選：A.

【小結(jié)】

關(guān)鍵點小結(jié)：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同

一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.

3.A

【分析】

根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.

【解析】

幾何體為如圖所示的四棱柱ABC。-44GA，其高為I，底面為等腰梯形ABC。，

該等腰梯形的上底為Ji,下底為20，腰長為1，故梯形的高為

故=QX（夜+2五卜=

故選：A.

【分析】

由題可得，A5C為等腰直角三角形，得出一"。外接圓的半徑，則可求得。到平面ABC

的距離，進而求得體積.

【解析】

==ABC為等腰直角三角形，；.48=0，

則..A6C外接圓的半徑為在，又球的半徑為1,

2

設(shè)0到平面A8C的距離為d,

所以%.A8C=gsABC-d=與=*?

故選：A.

【小結(jié)】

關(guān)鍵小結(jié)：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到

截面距離的勾股關(guān)系求解.

5.D

【分析】

根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結(jié)合直觀圖進行判斷.

【解析】

由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，

6.D

【分析】

平移直線A。至BC-將直線依與AA所成的角轉(zhuǎn)化為形與BG所成的角，解三角形即

可.

如圖，連接8￡,PG，P8,因為A￡)1〃BG，

所以NPBG或其補角為直線PB與AR所成的角，

因為BBi±平面A4GA,所以BB11PC,,又PC,1BR,BB,nB.D,=4，

所以PCi1平面PBB、,所以PG，尸8,

設(shè)正方體棱長為2,則BG=2JIPG=gf)4=0,

sinZPBC,=^-=1所以NP8G=工.

%L6

故選：D

7.B

【分析】

設(shè)圓錐的母線長為/,根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為所求.

【解析】

設(shè)圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則R=2萬x也，解得

/=2萬

故選：B.

8.C

【分析】

求出正方體的體對角線的一半，叩為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.

【解析】

這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半，

即,（2國+（2村+（2國

2

所以，這個球的表面積為S=4萬&=44x32=36萬.

故選：C.

【小結(jié)】

本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)

題.求多面體的外接球的面積和體積問題，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢

復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球

可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點,

再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作

兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心.

9.D

【分析】

首先確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.

【解析】

由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長為2的等邊三角形，側(cè)面為三個邊長為2的正方形,

貝ij其表面積為：S=3x(2x2)+2x(gx2x2xsin60o)=12+26.

故選：D.

【小結(jié)】

(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當?shù)姆治?，?/p>

三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.

(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而

表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.

10.A

【分析】

根據(jù)三視圖還原原圖，然后根據(jù)柱體和錐體體積計算公式，計算出幾何體的體積.

【解析】

由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，

且三棱錐的一個側(cè)面垂直于底面，且棱錐的高為1,

棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2,

所以幾何體的體積為：

lx|1x2x1|xl+|1x2x1|x2=-+2=-.

3(2J(2)33

故選：A

【小結(jié)】

本小題主要考查根據(jù)三視圖計算幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【分析】

畫出過球心和劈針所確定的平面截地球和號面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面垂

直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系，根據(jù)點A處的緯度，計算出谷針與點A處的水平面所成角.

【解析】

畫出截面圖如下圖所示，其中CO是赤道所在平面的截線；/是點A處的水平面的截線，依

題意可知OA_L/；A3是辱針所在直線是唇面的截線，依題意依題意，唇面和赤道平面

平行，唇針與唇面垂直，

根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知mllCD、根據(jù)線面垂直的定義可得ABlm..

由于NAOC=40。,m〃8,所以N。4G=NAOC=40°,

由于NQ4G++NG4E=90°，

所以NBAE=ZOAG=40°,也即愚針與點A處的水平面所成角為ZBAE=40°.

故選：B

【小結(jié)】

本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計算，涉及平面平行，線面垂直的性質(zhì),

屬于中檔題.

【分析】

根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個面的面積，即可求得其

表面積.

【解析】

根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形

根據(jù)立體圖形可得：!…

根據(jù)勾股定理可得：AB=AD=DB=2O

出是邊長為20的等邊三角形

根據(jù)三角形面積公式可得：

S-=^ABAD-sin600=g(272)2-=2y/3

...該幾何體的表面積是：3x2+26=6+2百.

故選：c.

【小結(jié)】

本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體

圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.A

【分析】

由已知可得等邊..A6c的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出的值，根據(jù)球的截面性

質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.

【解析】

設(shè)圓&半徑為廣，球的半徑為H，依題意，

得萬y