全等三角形（測試）（教師版含解析）-2023年中考一輪復(fù)習(xí)講練測（浙江專用）

2023耳中考撤號總復(fù)（~檢錦依例（新H專用J

專版18金等三龜形（制被J

班班:駁名，得臺：

注意事項：

本試卷滿分120分,試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑

色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.本試卷所選題目為浙江地區(qū)中考真題、模擬

試題、階段性測試題.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.（2021?浙江寧波?校聯(lián)考一模）如圖，已知4B=4。，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABCWA

ACO的是（）

A.CB=CDB.Z-BCA=Z-DCAC.Z.BAC=Z-DACD.乙B=乙D=90°

【答案】B

【分析】由圖形可知4C=4C,結(jié)合全等三角形的判定方法逐項判斷即可.

【詳解】解：在△ABC和△4DC中

SL4B=AD,AC=AC,

團當(dāng)CB=C。時，滿足SSS,可證明△ABC三△AC。，故A可以；

當(dāng)NBC4=NDCA時，滿足SSA,不能證明AABC三△4CD,故B不可以；

當(dāng)4BAC=4DAC時，滿足SAS,可證明A/IBC三△4CD,故C可以；

當(dāng)48=4。=90。時，滿足HL,可證明△ABC三△ACC,故D可以；

故選：B.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵，即SAS,ASA,AAS,

SSS和HL.

2.（2020?浙江紹興?模擬預(yù)測）如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知

識畫出一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

【答案】D

【分析】觀察圖形可知，有兩角以及兩角的夾邊是已知，由此即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角"定理作出完全一樣

的三角形.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵.

3.(2020?浙江紹興?模擬預(yù)測)如圖，已知乙4BC=NBAD,添加下列條件還不能判定△4BC三△BAD的是

()

A.AC=BDB.Z,CAB=Z-DBA

C.Z.C=乙DD.BC—AD

【答案】A

【分析】根據(jù)全等三角形的判定：SAS,A4S,ASA,可得答案.

【詳解】解：由題意，得4ABC=/BAD,AB=BA,

A、/.ABC=/.BAD,AB=BA,4C=8D(SS4)三角形不全等，故A符合題意;

B、在△ABC與△84。中，

/.ABC=乙BAD

AB=BA,

./.CAB=乙DBA

△ABC三△BADG4s4),故B不符合題意；

C、在△ABC與△BAD中，

zC-zD

UBC=/.BAD

.AB=BA

l^ABC^△BAD(AAS),故C不符合題意;

D、在△ABC與△BAO中,

,BC=AD

/.ABC-Z.BAD,

,AB=BA

^ABC^^BADiSAS）,故D不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS.ASA.AAS.HL.注意：444、SS4不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須

有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

4.（2020?浙江紹興?模擬預(yù)測）如圖是用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖，則說明4a4。=ND4B的

依據(jù)是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【答案】D

【分析】根據(jù)作圖過程可得，兩個三角形三條邊對應(yīng)相等，所以可得兩個三角形全等.

【詳解】由作圖過程可得：AE=AF,DE=DF,AD=AD,

所以△力DF三A/IDE（SSS）,

0ZC/1D=/.DAB,

故選：D.

【點睛】本題考查了作角平分線，三角形全等判定定理：三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等（簡稱SSS

或"邊邊邊）掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

5.（2016?浙江溫州?統(tǒng)考一模）如圖，已知AABC的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形和△4BC全等

A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙

【答案】B

【分析】根據(jù)全等三角形的判定4S4SAS,/MS,SSS,看圖形中含有的條件是否與定理相符合即可.

【詳解】解：甲、邊。、c夾角不是50。，團甲錯誤；

乙、兩角為58。、50°,夾邊是。，符合AS4回乙正確：

丙、兩角是50。、72°,72。角對的邊是“，符合A4S,0丙正確.

故選:B.

【點睛】本題主要考查對全等三角形的判定的理解和掌握，能熟練地根據(jù)全等三角形的判定定理進行判斷

是解此題的關(guān)鍵.

6.（2017?浙江溫州?統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，B。平分N4BC,BC的垂直平分線交BC于點E,交BD于

點F，連接CF.若NA=60°,AACF=45°,則乙4BC的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】設(shè)媯回C8￡>=x。，則a4BC=2T,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出8F=CF,推出根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程，求出方程的解即可.

【詳解】（3BO平分a4BC,

WABD=^CBD,

設(shè)a4BZ）=l3C8O=x°,則MBC=2Z,

G1E尸是8c的垂直平分線，

?BF=CF,

00FCB=I3CBD=x°,

EB4=60°,a4CF=45°,

團60°+45°+x°+2x°=180°,

解得：x=25,

EBA8C=2x°=50°

故選:B.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能求出是解此題的關(guān)鍵，

注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.

7.(2021?浙江湖州?統(tǒng)考二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy,四邊形OABC為正方形，若點8(1,4),

【答案】B

【分析】過點8作BZ龍)，軸于點。，過點A作4￡E比軸點E,與E4的延長線交于點F,通過證明

團8MEE3EO可得BF=AE^利用8(1,4),可得80=1,EF=4；通過說明四邊形0￡>FE為矩

形，可得DF=OE.計算出線段OE,AE的長即可求得結(jié)論.

【詳解】解：過點8作軸于點C,過點A作A否軸點E,DB與E4的延長線交于點F,如圖，

團四邊形。CFE為矩形,

SIEF=OD,DF=OE,

日點B(1,4),

圈。。=4,BD=1,

團四邊形0A8C為正方形，

團。4=A3,0BAO=9O°,

團團OAE+IZLBA尸=90°,

ELAfiUk軸，

WOAE+^AOE=90°1

團皿BAF=MOE,

在回胡尸和財Of中，

ZF=^AEO=90°

乙BAF=Z.A0E，

BA=A0

^\BAFWAOE(AAS),

團BF=AE,AF=OE,

◎DF=AF=OE,

團OE+AE=EF=4,OE-AE=BD=1,

53

WE=-,AE=-

229

故選：B.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形，

能利用〃一線三垂直〃構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?浙江金華?統(tǒng)考三模）如圖，在AABC中，分別以點A和點8為圓心，大于;的長為半徑畫弧，

兩弧相交于點M,N,作直線MN,交BC于點。，連接4D.若△ACC的周長為10,4B=7,則△力BC的周

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得MN是AB的垂直平分線，即4。=8。，根據(jù)△40C的周長為10得4C+4D+CD

AC+BD+CD=AC+BC=10,即可得.

【詳解】解：團在△4BC中，分別以點A和點8為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M,N,

作直線MN,交BC于點￡）,連接AD,

EJMN是4B的垂直平分線，

田AD=BD,

^△4。。的周長為10,

^AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10,

&AB=7,

0AABC的周長為：AC+BC+AB=10+7=17,

故選：C.

【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì).

9.（2022?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，在Rt△力BC中，ZC=90°,以頂點4為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分

別交4C,4B于點M,N,再分別以點M,N,為圓心，大于《MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線

AP交邊BC于苴D,點E在4B上.若AC=6,CD=2,AB=7,當(dāng)。E最小時，ZkBDE的面積是（）

【答案】B

【分析】過點。作ZW14B于E,由角平分線的作法可知，4。是△48C的角平分線，利用角平分線的性質(zhì)

得出DE=CC=2,根據(jù)過直線外一點到直線的垂線段最短，DE最短為2,由直角三角形全等的判定和

性質(zhì)可得出力E=AC=6,利用線段間的數(shù)量關(guān)系及三角形面積公式即可求解.

【詳解】解：如圖，

由角平分線的作法可知，是△4BC的角平分線，

,??點E為線段4B上的一個動點，0E最短，

???DE1AB,

???ZC=90°,

???DC1AC,

???DE=DC=2,

vZ-C=Z.AED=90°,AD=AD,

???Rt△ACD=/?t△AED（HL）,

二AE=AC=6,

:.BE=AB-AE=1?

???ABDE的面積=[BE,DE=[x1X2=1.

故選：B.

【點睛】本題考查的是作圖基本操作，角平分線的性質(zhì)，直角三角形全等的判定和性質(zhì)，過直線外一點到

直線的垂線段最短等，理解題意，然后熟練掌握運用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?浙江寧波?統(tǒng)考二模）如圖，等邊BL48c和等邊回OEF的邊長相等，點A、。分別在邊E凡BC

上，AB與。尸交于G,AC與DE交于，.要求出班BC的面積，只需已知（）

A.回3DG與回CD4的面積之和B.SBOG與EL4GF的面積之和

C.自BOG與回C￡>H的周長之和D.ISBOG與BL4G尸的周長之和

【答案】C

【分析】根據(jù)題意只要求出等邊三角形的邊長即可求解，設(shè)BG=a,BD=b,DG=c,CD=d,DH=e,CH=f,

等邊三角形邊長為x,證明HAFGH回DBG,同理可得△4HEDHC,根據(jù)相似三角形三角形的性質(zhì)即可求

解.

【詳解】設(shè)BG=。，BD=b,DG=c,CD=d,DH=e,CH=f,等邊三角形邊長為x,

則FG=x-c,AG=x-a,

???4F=48=60°,/.AGF=乙BGD

.-.&AFG^BDBG,

的="，即==上￡,

DGBGca

0ax—a2=ex-c2,

團(a—c)x=(Q+C)(Q—c),

0x=a4-c或Q=c,

同理△AHEDHC,可得％=e+f或e=f,

①當(dāng)<1=<:時，團BOG是等邊三角形，同理ISQC”為等邊三角形，

此時回BDG和回。CH的周長之和為a+b+c+d+e+f=3x,

②當(dāng)x=a+c時，

0FG=a=BG,AG=c=GD,

又???Z.AGF=乙DGB,

00BDG00MG,

則AE=d,

同理△AHE三△DHC,

貝!1a+b+c+d+e+J^x+x+b+d=x+x+x=3x.

綜上所述，只需已知團BOG與I3CD”的周長之和，即可求出EL48C的邊長，也可求出等邊三角形EL48c面

積.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，證明MFG迥QBG,4AHEfDHC

得出比例式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上

11.（2022?浙江衢州?衢州市實驗學(xué)校教育集團（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團）校聯(lián)考二模）如圖，已知

AC=BD,乙4=4。，添加一個條件,使△AFC三ADEB（寫出一個即可）.

【答案】乙ACF=乙DBE或AF=DE或乙F=AE

【分析】由全等三角形的判定定理，添加一組角對應(yīng)相等，可證AAFC三ADEB.

【詳解】解：根據(jù)題意，

EL4c=BD,=Z.D,

可添力口NACF=乙DBE,

EIAAFCSADEB（ASA）；

也可以添加：AF=DE,ZF=ZE,分別利用SAS和A4S證明△AFC三△DEB；

故答案為：乙4CF=NDBE或A尸=￡>E或"=㈤

【點睛】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、

SAS、SSS,直角三角形可用ML定理，但也、SSA,無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題

目.

12.（2022?浙江舟山??？家荒＃┤鐖D，在IBABC中，0C=9O°,AC=BC,AD平分I3CAB交BC于。，

OEB48于E,且AB=8cm,則回BED的周長是.

【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CD=DE,再根據(jù)"HL證明A4CD和44ED全等,

根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得4c=4E,然后求出ABED的周長=AB,即可得解.

【詳解】解：??1ZC=90°,4。平分4CAB,DELAB,

???CD=DE,

在AACO和AAEO中，｛絲=空，

CD—DE

???A4CD=XAED(HL),

???AC-AE,

???ABED的周長=DE+BD+BE,

=BD4-CD+BE,

=BC+BE,

=4C+BE,

=AE+BE,

=48,

vAB=8cm,

???ABED的周長是8cm.

故答案為：8cm.

【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是熟記性質(zhì)并求出△BE。的周長=AB.

13.(2021?浙江金華?校聯(lián)考二模)如圖，ADWBC,回84。=90。，以點8為圓心，8C長為半徑畫弧，與射

線4。相交于點￡,連接8E,過C點作C7W8E,垂足為立若AB=2,BC=3f則8/的長為.

【答案】V5

【分析】首先根據(jù)題意可得BE=8C,根據(jù)勾股定理可求得AE的長，再根據(jù)垂宜的定義和平行線的性質(zhì),

可得?BAZ)=iaCF8,SAEB^FBC,即可證得MBEHSFCB,據(jù)此:即可求得.

【詳解】解：13以點8為圓心，BC長為半徑畫弧，與射線AO相交于點E,

0BE=BC,

03840=90°,CF^BE,

2084。=回C尸8=90°,

在Rt^ABE中，4E=yjBE2-AB2=V32-22=V5,

&ADWBC,

^AEB=SFBC,

在a4B￡EL4EB和I3FC2中，

/.BAE=乙CFB

4AEB=Z.FBC

.BE=BC

0EL4B￡0@FCB(AAS),

SAE=BF=V5,

故答案為：V5.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及勾股定理等知識；證明三角形全等是解

題的關(guān)鍵.

14.(2021?浙江杭州??？家荒?如圖，在四邊形ABC。中，BC^AD,以平分且8他4「，過點P作一

條直線分別與40,8c所在直線交于點E,F,若A8=EF,BP=3,AP=4,則AE=.

【答案】武

210

【分析】根據(jù)題意對E尸的位置進行分類討論，①當(dāng)EF||48時，根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，平

行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定定理和等量代換思想確定AE=(48,再根據(jù)勾股定理求出48的長度即可

求出AE的長度；②當(dāng)E尸與48不平行時，過點尸作P70A。于T,并延長T尸交BC的延長線于S.根據(jù)

①中結(jié)果可得回四。的正弦，余弦，13cBp的正弦，進而求出A7的長度并確定P5=PT,根據(jù)全等三角形的

判定定理和性質(zhì)求得PE的長度，根據(jù)勾股定理求出7E的長度，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系求出AE的長

度.

【詳解】解：①當(dāng)時，如下圖所示.

BC

團BCEAZ),

團團。84+團胡。=180°,艮|1團C3P+國P84+囿％尸+團%0=180°.

又團％平分團84￡)且3刖4尸，

WBAP=^PAD,且團P84+團B4P=90°.

WCBP+^PAD=13Q°-^PBA-^BAP=9Q°.

^\CBP=^PBA.

回￡7回48,

^PBA=^FPB,^PAB=^EPA.

盟FPB二⑦CBP,0EB4=0B4D.

國BF;PF,AE=PE.

0BOMD,EKL48,

團四邊形氏4EF是平行四邊形.

^1AE=BF.

團PE=PF=「EF.

2

^B=EF,

S1AE=-AB.

2

□BraAP,4P=4,BP=3,

^AB=^AP2+BP2=5.

BAE=-AB=

22

②當(dāng)E■尸與A8不平行時.如下圖所示，過點P作P7G3D于T,并延長7P交BC的延長線于S.

BFCS

ATDE

SIBP=3,AP=4,AB=5,BP^AP,

^sinZ-BAP=34cos4824P=4s\nz.PBA=

555

^BAP^PAD,?CBP二團PBA,

344

回sinz_PAD=pcosZ-PAD=sin乙CBP=

□BCWAD,P71ME,

^PS^BCTS,團PTE=900.

00PSF=9O°,PS=BPxsin乙CBP=募,PT=APXsin^PAD=y,AT=APXcos￡P(guān)AD=y.

WPSF=&PTE,PS=PT.

SBSPF=STPE,

0ASPF三ATPEIASA).

^PF=PE=-EF.

2

MB:EF,

S1PE=2-A2B=-.

SITE=y/PE2-PT2=—.

10

39

^AE=AT+TE=—io.

綜上所述，A￡的長為|或茅

故答案為：弼蕓

【點睛】本題考查平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，直線平行的性質(zhì)，勾股定理，全等二角形的判定定理和

性質(zhì)，解直角三角形，正確進行分類討論是解題關(guān)鍵.

15.（2019?浙江杭州?統(tǒng)考三模）如圖，已知0ABe中，站=50。，P為S4BC內(nèi)一點，過點尸的直線分別

交AB,BC于點M,N,若M在唐的垂直平分線上，N在PC的垂直平分線，則MPC的度數(shù)為

【答案】1150##115度

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到回BAC+姐CB=130。，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到

PN=CN,由等腰三角形的性質(zhì)得到aWAPWAPM,^CPN^PCN,推出

WAP+0PC^=l3fl4C+a4CP=|xl3O°=65o,于是得到結(jié)論.

【詳解】解：0a4BC=5O",

SB84C+EL4C8=130°,

回若M在用的中垂線上，N在PC的中語線上，

B1AM=PM,PN=CN,

mMAP=BiAPM,田CPNR1PCN,

^APC=180"SiAPM-SiCPN=lS0',^iPAC-^ACP,

0aM4P+l3PCN=iaB4C+a4CP=Lxl30°=65°,

2

0EL4PC=115°,

故答案為：115。

【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握線段的垂

直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.（2022?浙江紹興?模擬預(yù)測）如圖，在即AABC中，El4c8=90°,EL4>0B.C￡>是斜邊上的高線，CE是

△48C的角平分線.FG是邊AB的垂直平分線，F(xiàn)G分別交BC邊，AB邊于點F,點G.若回OCE=!3B,則

BF

~FC~'------------------------------------'

c

【答案】V2

【分析】連接4F,根據(jù)CD是放AABC斜邊上的高線，易證乙4CD=乙DCE=乙B.由角平分線定義可求出

AACE=^AACB=45°,即可得出ZB="CD=NCCE=22.5。.由FG是邊AB的垂直平分線，即可得出

AF=BF,從而可得出"48=48=22.5°,再由三角形外角性質(zhì)可求出乙4%=NB+^FAB=45°,即證

明AACF為等腰直角三角形，結(jié)合勾股定理即得出整=e.

FC

【詳解】如圖，連接4尸，

團CO是放ZkABC斜邊上的高線，

⑦乙ACD+乙CAB=90°.

能］-0°,

田乙CAB+匕8=90°,

MACD=乙B,

團乙ACD=Z-DCE—乙B.

EICE是乙4cB的平分線，

^ACE=-2/.ACB=45°,

團乙ACD+匕DCE=45°,

例乙B="CD=Z.DCE=ix45°=22.5°.

2

0FG是邊AB的垂直平分線，

匿4尸=BF,

&/.FAB=48=22.5°,

^/.AFC=NB+乙FAB=45°,

為等腰直角三角形，

嘮=/，即胃=心

故答案為：V2.

【點睛】本題考查角平分線定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性

質(zhì)以及勾股定理.連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（2022?浙江溫州?溫州市第二實驗中學(xué)?？级＃┤鐖D，在△ABC和中，D是BC邊上一點,

AC=AE,ZC=Z.E,已知NB4O=zC4E.

（1）求證：△ABC三△ADE.

（2）若NEAC=50。，求ae的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析

⑵65°

【分析】（1）利用ASA證明0A8Caa4OE即可；

（2）根據(jù)SABCHMDE,可得48=A￡>,所以然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題.

（1）

證明：00BAZW3C4E,

EB8AQ+回。AC=I3CAE+E1￡）AC,

00BAC=0D/1￡.

zC=Z.E

在財BC和EADE中，｛AC=AE,

ABAC=/.DAE

■■■^ABC^ADE(ASA)；

(2)

解：^ABCmADE,

^AB=AD,

00B=[MDB,

團團540=團E4C=50°,

00B=-(180°-50°)=65°.

2

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到BABCSHAOE.

18.(2022?浙江溫州?溫州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖，在△ABC中，4D是BC邊上的中線，過點B,C

分別作BF140,CELAD,垂足為E,F.

⑴求證：BF=CE.

⑵若BF=3,AE=2,求AC的長.

【答案】⑴見解析

(2)713

【分析】(1)利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明三即可證得結(jié)論;

(2)利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：西D是BC邊上的中線，

WD=CD

SBF1AD,CE1AD,

用4BFD=乙CED=90°

在^BFD^lACEO中，

《BFD=Z.CED

1/.BDF=乙CDE

IBD=CD

0ABFD=ACED(AAS),

08尸=CE；

(2)在ZMEC中，CE=BF=3,AE=2,

EL4c=yjAE2+CE2=V22+32=/13.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂直定義，熟練掌握全等三角形的判定與

性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

19.(2020?浙江?模擬預(yù)測)如圖，在E1ABC中，AB=CB,EL4BC=90。，/為AB延長線上一點，點E在BC

上，S.AE=CF.

⑴求證：RtSABESiRtZCBF.

(2)若13cAE=22。，求財CF的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)68°

【分析】(1)利用HL證明Rl^ABE^Rt^CBF,即可；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得回C48=0ACB=45。，從而得到回8AE=23。，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可

得m8(7尸=團84后=23。，即可求解.

【詳解】(1)證明：證明：EEL4BC=90°,

03C2F=a4BE=9O°,

在RrBLABE和/中，

^AE=CF,AB=BC,

回R/EWBEBR/0cBF(HL)；

(2)解：^AB=BC,EL4BC=90o,

WCAB=^ACB=A5",

EBC4E=22°,

EBB4E=I3CAB-回C4E=45°-22°=23°,

由(1)知：RfMBESiRt^CBF,

aa8CF=EIBAE=23°,

00ACF=0BCF+EL4CB=45°+23°=68°.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度不大，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性

質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

20.（2022?浙江溫州?溫州繡山中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖，在四邊形A8CD中，CDIIAB,4B=4C,點E在AC

上，S.AE=CD,連接BE.

（1）求證：MBE三△GW；

⑵若40=125。，乙4BE=25。，求助CB的度數(shù).

【答案】（1）見詳解

（2）75°

【分析】（1）由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等"可知然后根據(jù)"S4S"證明△48E三△C4D；

（2）借助全等三角形的性質(zhì)，可知NAEB=W=125。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出NBAE=30。，然后

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出西1C8的度數(shù).

【詳解】（1）證明:SCDWAB,

S\/.EAB=^.DCA,

在AZBE和△C/W中，

-AB=AC

/-EAB=^.DCA,

.AE=CD

回△48E三△C4C（S4S）；

（2）解：回ZiABE三△C4C,

E1ZSEB=ND=125。，

SEB+乙4BE+4B4E=180°,乙4BE=25°,

皿血4E=18O°--1BE-乙4EB=30°,

道AB=AC,

回乙4cB=|(180"NBAE)=Ix(180°-30°)=75°.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的

性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)如圖(1),已知I：在A4BC中，回BAC=90。，AB=AC,直線機經(jīng)過點A,800直線“，C￡0直線加，垂足

分別為點￡>、E.證明：DE=BD+CE.

⑵如圖(2),將(1)中的條件改為：在"8C中，AB=AC,D、4、E三點都在直線m上，并且有

?BDA=SAEC=SBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論。E=8D+CE是否成立？如成立，請你給出證

明；若不成立，請說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)成立，見解析

【分析】(1)根據(jù)^BAD+^ABD=90°,得到回CAE=a4B￡>,運用A4S證明△CA￡0AA8D,

根據(jù)DE=AD+AE,利用等量代換即可得證.

(2)根據(jù)(3BAD+E]CAE=：L80°-a,^BAD+^ABD=180°-a,得至靦CAE=S48。，運用A4S證明根

據(jù)QE=AO+A￡,利用等量代換即可得證.

【詳解】(1)如圖，因為E1BAC=9O°,800直線〃/，CE0直線〃?，

所以ElBAO+ElCAfi^O。，&BAD+SABD=90°,&CEA=&AD8=90°,

所以E1CAE=0A8。，

因為AB=AC,

所以△C4E0A48O,

所以AO=CE,AE=BD,

因為OE=AD+AE,

所以DE=BD+CE.

c

(2)DE=BD+CE成?立.理由如下：

如圖，因為(3BD4=ia4EC=l3&4C=a,

所以回BA￡>+l3CAE=180°-a,SBAD+SABD=180°-a,

所以!3C4E=a4B￡>,

因為AB=AC,

所以△CAE0"8D,

所以AD=CE,AE=BD,

因為。E=A￡>+AE,

所以DE=BD+CE.

【點睛】本題考查了AAS證明三角形全等，運用全等性質(zhì)證明線段和問題，熟練掌握三角形全等的判定和

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.（2022?浙江紹興?一模）（1）問題背景

如圖①，R/AABC中，回BAC=90。，AB=AC,EL48C的平分線交直線AC于。，過點C作C￡HB。，交直線

BD于E,CE交直線BA于M.探究線段80與CE的數(shù)量關(guān)系得到的結(jié)論是.

（2）類比探索

在（1）中，如果把改為aASC的外角S4BF的平分線，其他條件均不變（如圖②），（1）中的結(jié)論還

成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

（3）拓展延伸

在（2）中，如果=其他條件均不變（如圖③），請直接寫出BQ與CE的數(shù)量關(guān)系為.

D

D

【答案】(1)問題背景：BD=2CE(2)類比探索：結(jié)論/>2CE仍然成立，證明見解析(3)拓展延伸：

BD=CE

【分析】(1)根據(jù)角平分線及全等三角形的判定和性質(zhì)得出團團3CE(ASA),CE=ME,結(jié)合圖形得出

斯/)6團M,sin(MO8:sintW,再由正弦函數(shù)證明即可；

(2)根據(jù)題意，證明方法同(1)類似，證明即可；

(3)根據(jù)②得需=含，將線段間的數(shù)量關(guān)系代入即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：回BE是S4BC的平分線，

的43￡>二團C8D,

在ELBME和姐CE中，

Z.ABD=Z.CBD

BE=BE,

ZBEM=乙BEC

^BME^BCE(ASA),

⑦CE=ME,

團C￡W3O,^BAC=90°f

0[MBD+0M=9OO,0ADB+[MBD=9OO,

ElsinELADB二sin團M,

BP—=—,

BD