江蘇專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第九章統(tǒng)計(jì)9.2用樣本估計(jì)總體9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)9.2.4總體離散程度的估計(jì)課件新人教A版必修第二冊(cè)

9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)9.2.4總體離散程度的估計(jì)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的定義和特征及其在刻畫數(shù)據(jù)中各自的作用.2.理解平均數(shù)和中位數(shù)在頻率分布直方圖中的關(guān)系.3.理解標(biāo)準(zhǔn)差、方差公式的基本性質(zhì).4.通過具體實(shí)際問題不斷體會(huì)集中趨勢(shì)、離散程度是如何刻畫的,以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.1基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)2重難探究·能力素養(yǎng)全提升01基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

1.眾數(shù)

（1）定義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻率分布最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)）稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

（2）特征:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè),也可能沒有,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).

2.中位數(shù)

（1）定義:一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺懦梢涣?處于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)）或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)）稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

（2）特征:一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.

名師點(diǎn)睛

三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)（1）體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn);（2）容易得到（1）它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息;（2）無(wú)法客觀地反映總體特征中位數(shù)（1）不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù),即排序靠前或靠后的幾個(gè)數(shù)據(jù)的影響;（2）容易得到,便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對(duì)極端值不敏感平均數(shù)能反映出更多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變,數(shù)據(jù)越“離群”,對(duì)平均數(shù)的影響越大過關(guān)自診

（1）一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是1個(gè)或幾個(gè),也可以沒有.(

)

√（2）一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能不存在.(

)

×（3）樣本量越小,樣本平均數(shù)越接近總體平均數(shù).(

)

×2.一組樣本數(shù)據(jù)為：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為(

)

A

[解析]

把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27,則可知其眾數(shù)為14,中位數(shù)為14.

13.2

知識(shí)點(diǎn)2

探索圖表中的中位數(shù)與平均數(shù)數(shù)值規(guī)律

平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖的三種分布形態(tài)中,平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？

一般來(lái)說(shuō),對(duì)一個(gè)單峰的頻率分布直方圖來(lái)說(shuō),如果直方圖的形狀是對(duì)稱的（圖1）,那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多;如果直方圖在右邊“拖尾”（圖2）,那么平均數(shù)______中位數(shù);如果直方圖在左邊“拖尾”（圖3）,那么平均數(shù)______中位數(shù).也就是說(shuō),和中位數(shù)相比,平均數(shù)總是在“長(zhǎng)尾巴”那邊.大于小于

過關(guān)自診

（1）平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(

)

√（2）樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長(zhǎng)方形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).(

)

×（3）若改變一組數(shù)據(jù)中其中一個(gè)數(shù),則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)一定都會(huì)發(fā)生改變.(

)

×

C

知識(shí)點(diǎn)3

方差、標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差

過關(guān)自診

（1）若一組數(shù)據(jù)的值大小相等,沒有波動(dòng)變化,則標(biāo)準(zhǔn)差為0.(

)

√（2）標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散.(

)

×2.現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的.如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢？提示

通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來(lái)近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.02重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一

平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的求法【例1】

對(duì)于數(shù)據(jù)3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2,有下列結(jié)論:①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3;②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值不相等;③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等;④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的數(shù)值相等.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(

)

AA.1

B.2

C.3

D.4

規(guī)律方法

平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的求解策略

（1）求平均數(shù)時(shí)要注意數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),不要重計(jì)或漏計(jì).

（2）求中位數(shù)時(shí)一定要先對(duì)數(shù)據(jù)按大小排序,若最中間有兩個(gè)數(shù)據(jù),則中位數(shù)是這兩數(shù)據(jù)的平均數(shù).

（3）若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多,且出現(xiàn)的次數(shù)一樣,則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù);若一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多,則沒有眾數(shù).

DA.152

B.168

C.190

D.170

探究點(diǎn)二

方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算及應(yīng)用

（1）分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;

（2）根據(jù)計(jì)算說(shuō)明哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.

變式訓(xùn)練2

某校高二年級(jí)在一次數(shù)學(xué)選拔賽中,由于甲、乙兩人的競(jìng)賽成績(jī)相同,從而決定根據(jù)平時(shí)在相同條件下進(jìn)行的六次測(cè)試確定出最佳人選,這六次測(cè)試的成績(jī)數(shù)據(jù)如下:甲127138130137135131乙133129138134128136

求兩人比賽成績(jī)的平均數(shù)以及方差,并且分析成績(jī)的穩(wěn)定性,從中選出一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽.

探究點(diǎn)三

頻率分布直方圖（折線圖）中的“隱藏”的數(shù)據(jù)信息【例4】

如圖為學(xué)生身高頻率分布直方圖.（1）如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計(jì)出眾數(shù)的值？解

眾數(shù)大致的值就是樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中最高小長(zhǎng)方形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).由直方圖可估計(jì)學(xué)生身高眾數(shù)應(yīng)為174.5.（2）如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計(jì)出中位數(shù)的值？

（3）如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計(jì)出平均數(shù)的值？

解因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)頻率分布直方圖只是直觀地表明分布的形狀,從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,也就是說(shuō)頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)的信息,得到的是一個(gè)估計(jì)值,且所得估計(jì)值與數(shù)據(jù)分組有關(guān),所以估計(jì)的值有一定的偏差.規(guī)律方法

1.利用直方圖或折線圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值,往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一致.但它們能粗略估計(jì)其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).

2.利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征的近似值:

（1）眾數(shù)是最高小長(zhǎng)方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo);

（2）中位數(shù)使得在它左、右兩側(cè)直方圖的面積相等;

（3）平均數(shù)等于每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.變式訓(xùn)練3

甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次,每次射靶的成績(jī)情況如圖所示.請(qǐng)從下列四個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析.解

根據(jù)各問情況作如下統(tǒng)計(jì)表.類別平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及9環(huán)以上次數(shù)甲71.271乙75.47.53則（1）從平均數(shù)和方差相結(jié)合看（分析誰(shuí)的成績(jī)好些）;

（2）從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看（分析誰(shuí)的成績(jī)好些）;

（3）從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看（分析誰(shuí)的成績(jī)好些）;

（4）從折