排列與組合的概念及應(yīng)用

第12.2節(jié)排列與組合的概念及應(yīng)用【知識梳理】1.排列、組合的定義2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有_________的個數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有_________的個數(shù)不同排列不同組合n!1【常用結(jié)論】排列與組合的區(qū)別排列組合排列與順序有關(guān)組合與順序無關(guān)兩個排列相同,當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列的元素及其排列順序完全相同兩個組合相同,當(dāng)且僅當(dāng)這兩個組合的元素完全相同考點一排列的應(yīng)用1.(2018·濰坊模擬)中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和【基礎(chǔ)自測】題組一:走出誤區(qū)1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列. (

)(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(

)(3)(n+2)(n+1) (

)(4) (

)(5)(n+1)!-n!=n·n! (

)

2.山城農(nóng)業(yè)科學(xué)研究所將5種不同型號的種子分別試種在5塊并成一排的試驗田里,其中A,B兩型號的種子要求試種在相鄰的兩塊試驗田里,且均不能試種在兩端的試驗田里,則不同的試種方法數(shù)為 (

)A.12

B.24

C.36

D.483.將5名學(xué)生分到A,B,C三個宿舍,每個宿舍至少1人,至多2人,其中學(xué)生甲不到A宿舍的不同分法是(

)A.18種 B.36種 C.48種 D.60種題組二:走進教材1.(選修2-3P27T7改編)學(xué)校要安排一場文藝晚會的11個節(jié)目的演出順序,除第1個節(jié)目和最后1個節(jié)目已確定外,還有4個音樂節(jié)目,3個舞蹈節(jié)目,2個曲藝節(jié)目,且3個舞蹈節(jié)目要求不能相鄰,2個曲藝節(jié)目出場前后順序已定,共有________種不同排法.

【解析】先把4個音樂節(jié)目,2個曲藝節(jié)目,進行全排,且2個曲藝節(jié)目出場前后順序已定,形成了7個空,選3個,把舞蹈節(jié)目插入,故有=75600.答案:756002.(選修2-3P28T17改編)在100件產(chǎn)品中,有2件次品,從中任取3件,其中至少有1件次品的抽法有_____種.

【解析】方法一:第1類,“只有1件次品”,共有種;第2類,“有2件次品”,共有種,由分類加法計數(shù)原理知共有+=9604(種).方法二:無任何限制共有種,其中“沒有次品”共有種,則“至少有1件次品”共有-=9604(種).答案:9604考點一排列的應(yīng)用【題組練透】1.(2018·濰坊模擬)中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必須排在前三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同排課順序共有(

)A.120種 B.156種C.188種 D.240種【解析】選A.當(dāng)“數(shù)”排在第一節(jié)時有=48(種)排法,當(dāng)“數(shù)”排在第二節(jié)時有=36(種)排法,當(dāng)“數(shù)”排在第三節(jié)時,當(dāng)“射”和“御”兩門課程排在第一、二節(jié)時有

=12(種)排法,當(dāng)“射”和“御”兩門課程排在后三節(jié)的時候有=24(種)排法,所以滿足條件的共有48+36+12+24=120(種)排法.2.把5件不同產(chǎn)品擺成一排.若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰,且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰,則不同的擺法有________種.

【解析】記5件產(chǎn)品為A、B、C、D、E,A、B相鄰視為一個元素,先與D、E排列,有種方法;再將C插入,僅有3個空位可選,故共有×3=2×6×3=36(種)不同的擺法.答案:363.八個人分兩排坐,每排四人,限定甲必須坐在前排,乙、丙必須坐在同一排,共有________種安排辦法.

【解析】方法一:可分為“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法”兩類情況.應(yīng)當(dāng)使用分類加法計數(shù)原理,在每類情況下,劃分“乙丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”三個步驟,又要用到分步乘法計數(shù)原理,這樣可有如下算法:=8640(種).方法二:采取“總方法數(shù)減去不符合題意的所有方法數(shù)”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”,這個數(shù)目是

.在這種前提下,不合題意的方法是“甲坐第一排,且乙、丙坐兩排的八人坐法.”這個數(shù)目是

.其中第一個因數(shù)表示甲坐在第一排的方法數(shù),表示從乙、丙中任選出一人的方法數(shù),表示把選出的這個人安排在第一排的方法數(shù),下一個則表示乙、丙中未安排的那個人坐在第二排的方法數(shù),就是其他五人的坐法數(shù),于是總的方法數(shù)為

=8640(種).答案:86404.5對姐妹站成一圈,要求每對姐妹相鄰,有________種不同站法.

【解析】首先可讓5位姐姐站成一圈,屬圓排列有種,然后再讓妹妹插入其間,每位均可插入其姐姐的左邊和右邊,有25種方式,故不同站法有·25=768種.答案:768【規(guī)律方法】

1.求解有限制條件排列問題的主要方法直接法分類法選定一個適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準,將要完成的事件分成幾個類型,分別計算每個類型中的排列數(shù),再由分類加法計數(shù)原理得出總數(shù)分步法選定一個適當(dāng)?shù)臉?biāo)準,將事件分成幾個步驟來完成,分別計算出各步驟的排列數(shù),再由分步乘法計數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問題捆綁處理,即可以把相鄰幾個元素看作一個整體與其他元素進行排列,同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題插空處理,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中除法對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以已定元素的全排列間接法對于分類過多的問題,按正難則反,等價轉(zhuǎn)化的方法2.圓排列問題把n個不同元素放在圓周n個無編號位置上的排列,順序(例如按順時針)不同的排法才算不同的排列,如下列n個普通排列:a1,a2,a3,…,an;a2,a3,a4,…,an,a1;…;an,a1,…,an-1;在圓排列中只算一種,所以n個元素的圓排列數(shù)有種.因此可將某個元素固定展成線排,其他的n-1個元素全排列.考點二組合的應(yīng)用【典例】(1)從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺,其中至少要甲型和乙型電視機各一臺,則不同的取法共有 (

)A.140種B.80種C.70種D.35種(2)(2018·全國卷Ⅰ)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有________種.(用數(shù)字填寫答案)

(3)四面體的頂點和各棱中點共10點,在其中取4個不共面的點,不同的取法共有________種. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】(1)選C.至少要甲型和乙型電視機各一臺可分兩種情況:甲型1臺乙型2臺;甲型2臺乙型1臺;故不同的取法有=70種.【一題多解微課】解決本題(1)還可以采用以下方法:選C.至少各一臺的反面就是分別只取一種型號,不取另一種型號的電視機,故不同的取法共有=70種.(2)方法一:根據(jù)題意,沒有女生入選有=4種選法,從6名學(xué)生中任意選3人有=20種選法,故至少有1位女生入選的選法共有20-4=16種.方法二:恰有1位女生,有=12種,恰有2位女生,有=4種,所以不同的選法共有12+4=16種.答案:16(3)10個點中任取4個點共有種,其中四點共面的有三種情況:①在四面體的四個面上,每面內(nèi)四點共面的情況為,四個面共有4個;②過四面體各棱中點的平行四邊形共3個;③過棱上三點與對棱中點的三角形共6個.所以四點不共面的情況的種數(shù)是-3-6=141(種).答案:141

【互動探究】在本例(1)條件下,任取3臺,其中甲型電視機至多兩臺,則不同的取法共有多少種?【解析】可分三種情況:甲型2臺乙型1臺;甲型1臺乙型2臺;甲型0臺乙型3臺;故不同的取法有

=80(種).【規(guī)律方法】兩類含有附加條件的組合問題的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:若“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;若“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取.(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型:解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義,謹防重復(fù)與漏解.用直接法或間接法都可以求解,通常用直接法分類復(fù)雜時,用間接法求解.【對點訓(xùn)練】1.某軍醫(yī)大學(xué)組成的7名醫(yī)療小組(含甲乙)赴沂蒙山區(qū)開展對口支援工作.現(xiàn)將這7名醫(yī)生分成三個醫(yī)療小組,一組3人,另兩組每組各2人,則甲乙不分在同一組的分法有 (

)A.80種B.90種C.25種D.120種【解析】選A.除甲乙外的5人分三組,1人、2人、2人和1人、1人、3人兩種類型.1人、2人、2人的方法是

=15;1人、1人、3人的類型方法是;對于1人、2人、2人類型:甲乙二人必有一人進三組中的1人組,另一人進另兩組,方法是=60.對于1人、1人、3人的類型:甲乙二人都進一人組,方法是

=20.所以總方法有60+20=80(種).2.本周日有5所不同的高校來我校作招生宣傳,學(xué)校要求每位同學(xué)可以從中任選1所或2所去咨詢了解,甲、乙、丙三位同學(xué)的選擇沒有一所是相同的,則不同的選法共有 (

)A.330種 B.420種 C.510種 D.600種【解析】選A.分以下三種情況:(1)甲1,乙1,丙1,方法數(shù)有=60;(2)甲2,乙1,丙1;或甲1,乙2,丙1;或甲1,乙1,丙2方法數(shù)有3×=180;(3)甲2,乙2,丙1;或甲1,乙2,丙2;或甲2,乙1,丙2方法數(shù)有3×=90.所以總的方法數(shù)有60+180+90=330(種).3.現(xiàn)有12張不同的撲克牌,其中紅桃、方片、黑桃、梅花各3張,現(xiàn)從中任取3張,要求這3張牌不能是同一種且黑桃至多一張,則不同的取法種數(shù)為________.

【解析】分兩種情況:含有一張黑桃的不同取法有

=108(種),不含黑桃時,有=81(種)不同的取法.故共有108+81=189(種)不同的取法.答案:189考點三排列組合的綜合問題【明考點·知考法】

排列組合的綜合問題作為考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的最佳載體,在高考題中經(jīng)常出現(xiàn),試題常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查排列、組合模型在計數(shù)問題中的靈活應(yīng)用.解題過程中常滲透分類討論思想.命題角度1數(shù)字問題【典例】(2018·浙江高考)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)

【解析】分類討論:第一類:不含0的,按照分步乘法計數(shù)原理:

=10×3×24=720;第二類:包含0的,按照分步乘法計數(shù)原理:

=10×3×3×6=540,所以一共有1260個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).答案:1260【狀元筆記】用排列組合解數(shù)字問題的三個關(guān)注點(1)明確數(shù)字與編號的區(qū)別.(2)關(guān)注題目條件對數(shù)字的特殊要求.(3)適當(dāng)分類先選后排.命題角度2涂色問題【典例】用五種不同的顏色給三棱柱ABC﹣DEF六個頂點涂色,要求每個點涂一種顏色,且每條棱的兩個端點涂不同顏色,則不同的涂色方法有________種(用數(shù)字作答). 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】分兩步來進行,先涂A,B,C,再涂D,E,F.①若5種顏色都用上,先涂A,B,C,方法有種;再涂D,E,F中的兩個點,方法有種,最后剩余的一個點只有2種涂法,故此時方法共有×2=720(種).②若5種顏色只用4種,首先選出4種顏色,方法有種;先涂A,B,C,方法有種;再涂D,E,F中的1個點,方法有3種,最后剩余的兩個點只有3種涂法,故此時方法共有

×3×3=1080(種).③若5種顏色只用3種,首先選出3種顏色,方法有種;先涂A,B,C,方法有種;再涂D,E,F,方法有2種,故此時方法共有·×2=120(種).綜上可得,不同涂色方案共有720+1080+120=1920(種).答案:1920【狀元筆記】解答涂色問題的三個常用策略(1)根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,對各個區(qū)域分步涂色.(2)根據(jù)共用了多少種顏色討論.(3)根據(jù)某兩個不相鄰區(qū)域是否同色分類討論.命題角度3分組分配問題【典例】按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本.(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本.(3)平均分成三份,每份2本.(4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本.(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本.(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本.(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】(1)先選1本,有種選法;再從余下的5本中選2本,有種選法;最后余下3本全選,有種選法.故共有=60(種).(2)由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)題基礎(chǔ)上,還應(yīng)考慮再分配,共有=360(種).(3)先分三步,則應(yīng)是種方法,但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本書為A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,記該種分法為(AB,CD,EF),則種分法中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有種情況,而這種情況僅是AB,CD,EF的順序不同,因此只能作為一種分法,故分配方式有=15(種).(4)在(3)的基礎(chǔ)上再分配給3個人,共有分配方式=90(種).(5)共有=15(種).(6)在(5)的基礎(chǔ)上再分配給3個人,共有分配方式=90(種).(7)甲選1本,有種方法;乙從余下的5本中選1本,有種方法,余下4本留給丙,有種方法,故共有分配方式=30(種).

【互動探究】本例條件下,計算“分給甲、乙、丙三人,每人至少1本”有多少種不同的選法?【解析】可以分為三類情況:①“2、2、2型”,有

=90種方法;②“1、2、3型”,有=360(種)方法;③“1、1、4型”,有=90種方法,所以,一共有90+360+90=540(種)方法.【狀元筆記】均勻分組與不均勻分組、無序分組與有序分組是組合問題的常見題型.解決此類問題的關(guān)鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組,無序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù),還要充分考慮到是否與順序有關(guān);有序分組要在無序分組的基礎(chǔ)上乘以分組數(shù)的階乘數(shù).【對點練·找規(guī)律】1.某學(xué)校為了更好地培養(yǎng)尖子生,使其全面發(fā)展,決定由3名教師對5個尖子生進行“包教”,要求每名教師的“包教”學(xué)生不超過2人,則不同的“包教”方案有 (

)A.90 B.60 C.150 D.120【解析】選A.由題知,第1步,將5個學(xué)生分成2,2,1三組的不同方法數(shù)有種,第2步,將3組學(xué)生分配給3位老師的不同方法數(shù)為,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的“包教”方案有=90(種).2.用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色,要求每個點涂一種顏色,且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色,則不同的涂色方法有________種(用數(shù)字作答).

【解析】因為圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色,所以可按所涂的顏色來分類.BDEF用四種顏色,則有×1×1=24(種)涂法,BDEF用三種顏色,則有×2×2+×2×1×2=192(種)涂法,BDEF用兩種顏色,則有×2×2=48(種)涂法,由分類加法計數(shù)原理有24+192+48=264(種).答案:2643.(2017·天津高考)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有________個.(用數(shù)字作答)

【解析】分兩種情況:第一種:四位數(shù)都不是偶數(shù)的個數(shù)為:=120,第二種:四位數(shù)中有一位為偶數(shù)的個數(shù)為=960,則共有1080個.答案:1080數(shù)學(xué)能力系列28——排列組合問題中的應(yīng)用意識【能力詮釋】應(yīng)用意識是指能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題,包括解決相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的簡單的數(shù)學(xué)