高中專題復習及考試要求 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第6節(jié) 離散型隨機變量及其分布列

第6節(jié)離散型隨機變量及其分布列考試要求1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性；2.理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單應用.1.離散型隨機變量知

識

梳

理隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為___________，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為_________隨機變量.隨機變量離散型2.離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機變量X的______________.(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②_______________＝1.概率分布列p1＋p2＋…＋pn3.常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，其分布列為X01P1－pp，其中p＝P(X＝1)稱為成功概率.[常用結(jié)論與微點提醒]隨機變量的線性關(guān)系若X是隨機變量，Y＝aX＋b，a，b是常數(shù)，則Y也是隨機變量.診

斷

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)離散型隨機變量的概率分布列中，各個概率之和可以小于1.(

)(2)對于某個試驗，離散型隨機變量的取值可能有明確的意義，也可能不具有實際意義.(

)(3)如果隨機變量X的分布列由下表給出，則它服從兩點分布.(

)(4)一個盒中裝有4個黑球、3個白球，從中任取一球，若是白球則取出來，若是黑球則放回盒中，直到把白球全部取出來，設(shè)取到黑球的次數(shù)為X，則X服從超幾何分布.(

)X25P0.30.7解析對于(1)，離散型隨機變量所有取值的并事件是必然事件，故各個概率之和等于1，故(1)不正確；對于(2)，因為離散型隨機變量的所有結(jié)果都可用數(shù)值表示，其中每一個數(shù)值都有明確的實際的意義，故(2)不正確；對于(3)，X的取值不是0和1，故不是兩點分布，(3)不正確；對于(4)，因為超幾何分布是不放回抽樣，所以試驗中取到黑球的次數(shù)X不服從超幾何分布，(4)不正確.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×2.(老教材選修2－3P49練習2改編)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，則正面向上次數(shù)X的所有可能取值是______.

答案0，1，23.(多選題)(老教材選修2－3P77A1改編)已知隨機變量ξ的分布如下：則實數(shù)a的值為(

)答案BC4.(2020·廣州調(diào)研)若隨機變量X的分布列為則當P(X＜a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(－∞，2] B.[1，2]C.(1，2] D.(1，2)X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1解析由隨機變量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，則當P(X＜a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(1，2].答案C5.(2020·菏澤聯(lián)考)一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，則P(X＝4)的值為(

)答案C6.(2019·福州二模)設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)＝________.

解析由已知得X的所有可能取值為0，1，

且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，考點一離散型隨機變量分布列的性質(zhì)(2)(2019·南寧二模改編)設(shè)隨機變量X的概率分布列為則P(|X－3|＝1)＝________.規(guī)律方法分布列性質(zhì)的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性.(2)隨機變量X所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率.則P(X≥2)＝(

)A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6答案(1)A

(2)D考點二離散型隨機變量的分布列【例2】

(2019·冀州期末)有編號為1，2，3，…，n的n個學生，入座編號為1，2，3，…，n的n個座位，每個學生規(guī)定坐一個座位，設(shè)學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為X，已知X＝2時，共有6種坐法. (1)求n的值； (2)求隨機變量X的概率分布列.解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.(2)因為學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為X，由題意可知X的可能取值是0，2，3，4，所以X的概率分布列為規(guī)律方法求隨機變量分布列的主要步驟：(1)明確隨機變量的取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；(2)求每一個隨機變量取值的概率；(3)列成表格.對于抽樣問題，要特別注意放回與不放回的區(qū)別，一般地，不放回抽樣由排列數(shù)公式求隨機變量對應的概率，放回抽樣由分步乘法計數(shù)原理求隨機變量對應的概率.【訓練2】

(2020·濟南調(diào)研)某企業(yè)對設(shè)備進行升級改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項質(zhì)量指標值，若該項質(zhì)量指標值落在[20，40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品，圖1是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，表1是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表：

圖1：設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖表1：設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表(1)請估計該企業(yè)在設(shè)備改造前的產(chǎn)品質(zhì)量指標的平均值；(2)該企業(yè)將不合格品全部銷毀后，對合格品進行等級細分，質(zhì)量指標值落在[25，30)內(nèi)的定為一等品，每件售價240元；質(zhì)量指標值落在[20，25)或[30，35)內(nèi)的定為二等品，每件售價180元；其他的合格品定為三等品，每件售價120元.根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應等級產(chǎn)品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費用為X(單位：元)，求X的分布列.質(zhì)量指標值[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)頻數(shù)2184814162解(1)根據(jù)題圖1可知，設(shè)備改造前樣本的頻數(shù)分布表如下：質(zhì)量指標值[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)頻數(shù)416401218104×17.5＋16×22.5＋40×27.5＋12×32.5＋18×37.5＋10×42.5＝3020.根據(jù)樣本質(zhì)量指標平均值估計總體質(zhì)量指標平均值為30.2.隨機變量X的取值為240，300，360，420，480.所以隨機變量X的分布列為考點三超幾何分布題號12345考前預估難度Pi0.90.80.70.60.4測試后，隨機抽取了20名學生的答題數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：題號12345實測答對人數(shù)161614144解(1)因為20人中答對第5題的人數(shù)為4，所以，估計240人中有240×0.2＝48人實測答對第5題.(2)X的所有可能取值是0，1，2.X的分布列為(3)將抽樣的20名學生測試中第i題的實測難度作為240名學生測試中第i題的實測難度.列表如下：題號12345實測難度0.80.80.70.70.2因為S＝0.012＜0.05，所以，該次測試的難度預估是合理的.規(guī)律方法1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù)；(3)從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.2.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.【訓練3】

某共享單車經(jīng)營企業(yè)欲向甲市投放單車，為制定適宜的經(jīng)營策略，該企業(yè)首先在已投放單車的乙市進行單車使用情況調(diào)查.調(diào)查過程分隨機問卷、整理分析及開座談會三個階段.在隨機問卷階段，A，B兩個調(diào)查小組分赴全市不同區(qū)域發(fā)放問卷并及時收回；在整理分析階段，兩個調(diào)查小組從所獲取的有效問卷中，針對15至45歲的人群，按比例隨機抽取了300份，進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，具體情況如下表：組別年齡A組統(tǒng)計結(jié)果B組統(tǒng)計結(jié)果經(jīng)常使用單車偶爾使用單車經(jīng)常使用單車偶爾使用單車[15，25)27人13人40人20人[25，35)23人17人35人25人[35，45]20人20人35人25人先用分層抽樣的方法從上述300人中按“年齡是否達到35歲”抽出一個容量為60人的樣本，再用分層抽樣的方法將“年齡達到35歲”的被抽個體分配到“經(jīng)常使用單車”和“偶爾使用單車”中去，(1)求這60人中“年齡達到