二項式定理經(jīng)典習題與答案

./二項式定理1.求展開式的：〔1第6項的二項式系數(shù)；〔2第3項的系數(shù)；〔3的系數(shù).分析：〔1由二項式定理及展開式的通項公式易得：第6項的二項式系數(shù)為；〔2,故第3項的系數(shù)為9；〔3,令,故r＝3,所求系數(shù)是2.求證：能被7整除.分析：,除以外各項都能被7整除.又顯然能被7整除,所以能被7整除.3.求除以100的余數(shù).分析：由此可見,除后兩項外均能被100整除,而故除以100的余數(shù)為81.4.〔2009北京卷文若為有理數(shù),則A．33 B． 29 C．23 D．19[答案]B[解析]本題主要考查二項式定理及其展開式.屬于基礎知識、基本運算的考查.∵,由已知,得,∴.故選B.5.〔2009北京卷理若為有理數(shù),則〔A．45B．55C[答案]C[解析]本題主要考查二項式定理及其展開式.屬于基礎知識、基本運算的考查.∵,由已知,得,∴.故選C.6.已知的展開式中,前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列.〔1證明展開式中沒有常數(shù)項；〔2求展開式中所有的有理項.分析：依條件可得關于n的方程求出n,然后寫出通項,討論常數(shù)項和有理項對r的限制.解：依題意,前三項系數(shù)的絕對值分別為1,且即解得n＝8或n＝1〔舍去〔1若為常數(shù)項,當且僅當,即,而,這不可能,故展開式中沒有常數(shù)項.〔2若為有理數(shù),當且僅當為整數(shù).,即展開式中的有理項共有三項,7.〔1如果,則〔答：128；〔2化簡〔答：已知,則等于_____〔答：；〔2,則＋＝_____〔答：2004；〔3設,則_____〔答：.8．〔XX理15將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表．從上往下數(shù),第1次全行的數(shù)都為1的是第1行,第2次全行的數(shù)都為1的是第3行,…,第次全行的數(shù)都為1的是第行；第61行中1的個數(shù)是．第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011……圖1[答案],329．〔04.上海春季高考如圖,在由二項式系數(shù)所構成的楊輝三角形中,第第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051……第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………10.〔2009XX卷理展開式中不含的項的系數(shù)絕對值的和為,不含的項的系數(shù)絕對值的和為,則的值可能為A．B．C．D．.答案：D[解析],,則可取,選D11.<2009XX卷理>設,則[答案]B[解析]令得令時令時兩式相加得：兩式相減得：代入極限式可得,故選B12.〔2009XX卷文已知〔1+ax3,=1+10x+bx3+…+a3x3,則b=..[答案]40[解析]因為∴..解得13.〔2009XX卷文的展開式的常數(shù)項是〔用數(shù)字作答[答案]－20[解析],令,得故展開式的常數(shù)項為14.<2009XX卷理>在的展開式中,的系數(shù)為___7__<用數(shù)字作答>[答案]：7[解析]由條件易知展開式中項的系數(shù)分別是,即所求系數(shù)是15.〔2009XX卷理觀察下列等式：,,,,………由以上等式推測到一個一般的結論：對于,．.答案：[解析]這是一種需類比推理方法破解的問題,結論由二項構成,第二項前有,二項指數(shù)分別為,因此對于,16.在<x2＋3x＋2>5的展開式中,x的系數(shù)為A.160 B.240 C.360 D.80017.已知S＝在S的展開式中,x3項的系數(shù)為A.B.C.0D.118.<2002年全國高考題><x2+1><x-2>7的展開式中x3項的系數(shù)是_________.答案:100819.展開式中x4的系數(shù)為A.－40 B.10 C.40 D.4520.已知<＋3x2>n展開式中各項系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.<1>求展開式中二項式系數(shù)最大的項；<2>求展開式中系數(shù)最大的項.答案：<1>21.設,則.解：由二項式定理得,即,故原式.22.在的二項展開式中,含的奇次冪的項之和為,當時,等于〔A.B.C.D.解：令,取,分別得兩式相減得故選B項.23.農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構成.2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元〔其中工資性收入為1800元,其它收入為1350元,預計該地區(qū)自2004年起的5年內,農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長,其它收入每年增加160元.根據(jù)以上數(shù)據(jù),2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于〔A.4200元~4400元B.4400元~4600元C.4600元~4800元D.4800元~5000元解：2008年農(nóng)民工資性收入為〔元又2008年農(nóng)民其它人均收入為〔元故2008年農(nóng)民人均總收入約為〔元.故選B項.24.〔2003已知數(shù)列〔n為正整數(shù)是首項是a1,公比為q的等比數(shù)列,〔1求和：,；〔2由〔1的結果歸納概括出關于正整數(shù)n的一個結論,并加以證明.[〔1；；〔2歸納概括的結論為：若數(shù)列是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列,則,證明略]25.〔2007XX文、理如果的展開式中含有非零常數(shù)項,則正整數(shù)n的最小值為〔BA.3B.5C.6D.1026．〔2007XX若對于任意實數(shù),有,則的值為〔BA．B．C．D．27．〔2007XX文設<x2＋1><2x＋1>9＝a0＋a1<x＋2>＋a2<x＋2>2＋…＋a11<x＋2>11,則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為〔ＡA．－2B．－1C．1D．28．〔2007XX理已知<＋>n展開式中,各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為64,則n等于〔CA．4B．5C29.<2007XX文>已知,則<的值等于-256.30.〔2005XX卷理第5題在<1－x>5＋<1－x>6＋<1－x>7＋<1－x>8的展開式中,含x3的項的系數(shù)是<><A>74<B>121<C>－74<D>－121答案：D10．求展開式中系數(shù)最大的項；解：記第項系數(shù)為,設第項系數(shù)最大,則有又,那么有即解得,系數(shù)最大的項為第3項和第4項.系數(shù)絕對值最大的項例11．在〔的展開式中,系數(shù)絕對值最大項是；解：求系數(shù)絕對最大問題都可以將""型轉化為型來處理,故此答案為第4項,和第5項.31．〔99全國若,則的值為；解：令,有,令,有故原式===32．〔04天津若,則；解：,令,有令,有故原式==在用"賦值法"求值時,要找準待求代數(shù)式與已知條件的聯(lián)系,一般而言：特殊值在解題過程中考慮的比較多.33．設,則；分析：解題過程分兩步走；第一步確定所給絕對值符號內的數(shù)的符號；第二步是用賦值法求的化簡后的代數(shù)式的值.解：==034.<XX省啟東中學2008年高三綜合測試一>若<1+mx>6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6且a1+a2+…+a6=63,則實數(shù)m的值為〔A.1B.-1C.-3D.1或-3答案：D35.<XX省XX外國語學校2008屆第三次質檢>若,則=〔A．32B．1C．-1D．-32答案：A36.<XX省正定中學2008年高三第五次月考>若二項式展開式中含有常數(shù)項,則的最小取值是〔A5B6C7D8答案：C37.<XX省XX九中2008年第三次模擬考試>設1+〔1+x2+〔1+2x2+〔1+3x2+…+〔1+nx2=a0+a1x+a2x2,則的值是〔 A．0 B．EQ\f<1,2> C．1 D．2答案：C38.<XX省XX市一中2008屆高三第六次月考>代數(shù)式的展開式中,含項的系數(shù)是 A．－30 B．30 答案：A39.〔08年XX卷15已知的展開式中沒有常數(shù)項,,且2≤n≤8,則n=______．分析：本小題主要考查二項式定理中求特定項問題.依題對中,只有時,其展開式既不出現(xiàn)常數(shù)項,也不會出現(xiàn)與、乘積為常數(shù)的項.故填5.40．<04天津>若,則.解析：直接展開由各項系數(shù)求解將誤入歧途.二項式定理既是公式,又可視為方程式或恒等式,故可用多項式恒等理論和賦值法去求解.解：取得；故原式=41.〔2009北京卷理若為有理數(shù),則〔A．45B．55C[答案]C[解析]本題主要考查二項式定理及其展開式.屬于基礎知識、基本運算的考查.∵,由已知,得,∴.故選C.42.〔2009XX卷理展開式中不含的項的系數(shù)絕對值的和為,不含的項的系數(shù)絕對值的和為,則的值可能為A．B．C．D．答案：D[解析],,則可取,選D43.〔2009XX卷文若,則的值為〔A2 〔B0 〔C <D>答案:C.解析:由題意容易發(fā)現(xiàn),則,同理可以得出,………亦即前2008