二項(xiàng)式定理經(jīng)典習(xí)題與答案

./二項(xiàng)式定理1.求展開(kāi)式的：〔1第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；〔2第3項(xiàng)的系數(shù)；〔3的系數(shù).分析：〔1由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式的通項(xiàng)公式易得：第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為；〔2,故第3項(xiàng)的系數(shù)為9；〔3,令,故r＝3,所求系數(shù)是2.求證：能被7整除.分析：,除以外各項(xiàng)都能被7整除.又顯然能被7整除,所以能被7整除.3.求除以100的余數(shù).分析：由此可見(jiàn),除后兩項(xiàng)外均能被100整除,而故除以100的余數(shù)為81.4.〔2009北京卷文若為有理數(shù),則A．33 B． 29 C．23 D．19[答案]B[解析]本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.∵,由已知,得,∴.故選B.5.〔2009北京卷理若為有理數(shù),則〔A．45B．55C[答案]C[解析]本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.∵,由已知,得,∴.故選C.6.已知的展開(kāi)式中,前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列.〔1證明展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；〔2求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).分析：依條件可得關(guān)于n的方程求出n,然后寫(xiě)出通項(xiàng),討論常數(shù)項(xiàng)和有理項(xiàng)對(duì)r的限制.解：依題意,前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值分別為1,且即解得n＝8或n＝1〔舍去〔1若為常數(shù)項(xiàng),當(dāng)且僅當(dāng),即,而,這不可能,故展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng).〔2若為有理數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù).,即展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng),7.〔1如果,則〔答：128；〔2化簡(jiǎn)〔答：已知,則等于_____〔答：；〔2,則＋＝_____〔答：2004；〔3設(shè),則_____〔答：.8．〔XX理15將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表．從上往下數(shù),第1次全行的數(shù)都為1的是第1行,第2次全行的數(shù)都為1的是第3行,…,第次全行的數(shù)都為1的是第行；第61行中1的個(gè)數(shù)是．第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011……圖1[答案],329．〔04.上海春季高考如圖,在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中,第第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051……第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………10.〔2009XX卷理展開(kāi)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為,不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為,則的值可能為A．B．C．D．.答案：D[解析],,則可取,選D11.<2009XX卷理>設(shè),則[答案]B[解析]令得令時(shí)令時(shí)兩式相加得：兩式相減得：代入極限式可得,故選B12.〔2009XX卷文已知〔1+ax3,=1+10x+bx3+…+a3x3,則b=..[答案]40[解析]因?yàn)椤?.解得13.〔2009XX卷文的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是〔用數(shù)字作答[答案]－20[解析],令,得故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為14.<2009XX卷理>在的展開(kāi)式中,的系數(shù)為_(kāi)__7__<用數(shù)字作答>[答案]：7[解析]由條件易知展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)分別是,即所求系數(shù)是15.〔2009XX卷理觀察下列等式：,,,,………由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于,．.答案：[解析]這是一種需類比推理方法破解的問(wèn)題,結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成,第二項(xiàng)前有,二項(xiàng)指數(shù)分別為,因此對(duì)于,16.在<x2＋3x＋2>5的展開(kāi)式中,x的系數(shù)為A.160 B.240 C.360 D.80017.已知S＝在S的展開(kāi)式中,x3項(xiàng)的系數(shù)為A.B.C.0D.118.<2002年全國(guó)高考題><x2+1><x-2>7的展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)是_________.答案:100819.展開(kāi)式中x4的系數(shù)為A.－40 B.10 C.40 D.4520.已知<＋3x2>n展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.<1>求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；<2>求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).答案：<1>21.設(shè),則.解：由二項(xiàng)式定理得,即,故原式.22.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,含的奇次冪的項(xiàng)之和為,當(dāng)時(shí),等于〔A.B.C.D.解：令,取,分別得兩式相減得故選B項(xiàng).23.農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成.2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元〔其中工資性收入為1800元,其它收入為1350元,預(yù)計(jì)該地區(qū)自2004年起的5年內(nèi),農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng),其它收入每年增加160元.根據(jù)以上數(shù)據(jù),2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于〔A.4200元~4400元B.4400元~4600元C.4600元~4800元D.4800元~5000元解：2008年農(nóng)民工資性收入為〔元又2008年農(nóng)民其它人均收入為〔元故2008年農(nóng)民人均總收入約為〔元.故選B項(xiàng).24.〔2003已知數(shù)列〔n為正整數(shù)是首項(xiàng)是a1,公比為q的等比數(shù)列,〔1求和：,；〔2由〔1的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個(gè)結(jié)論,并加以證明.[〔1；；〔2歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列是首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列,則,證明略]25.〔2007XX文、理如果的展開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng),則正整數(shù)n的最小值為〔BA.3B.5C.6D.1026．〔2007XX若對(duì)于任意實(shí)數(shù),有,則的值為〔BA．B．C．D．27．〔2007XX文設(shè)<x2＋1><2x＋1>9＝a0＋a1<x＋2>＋a2<x＋2>2＋…＋a11<x＋2>11,則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為〔ＡA．－2B．－1C．1D．28．〔2007XX理已知<＋>n展開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64,則n等于〔CA．4B．5C29.<2007XX文>已知,則<的值等于-256.30.〔2005XX卷理第5題在<1－x>5＋<1－x>6＋<1－x>7＋<1－x>8的展開(kāi)式中,含x3的項(xiàng)的系數(shù)是<><A>74<B>121<C>－74<D>－121答案：D10．求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；解：記第項(xiàng)系數(shù)為,設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大,則有又,那么有即解得,系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng).系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)例11．在〔的展開(kāi)式中,系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)是；解：求系數(shù)絕對(duì)最大問(wèn)題都可以將""型轉(zhuǎn)化為型來(lái)處理,故此答案為第4項(xiàng),和第5項(xiàng).31．〔99全國(guó)若,則的值為；解：令,有,令,有故原式===32．〔04天津若,則；解：,令,有令,有故原式==在用"賦值法"求值時(shí),要找準(zhǔn)待求代數(shù)式與已知條件的聯(lián)系,一般而言：特殊值在解題過(guò)程中考慮的比較多.33．設(shè),則；分析：解題過(guò)程分兩步走；第一步確定所給絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)的符號(hào)；第二步是用賦值法求的化簡(jiǎn)后的代數(shù)式的值.解：==034.<XX省啟東中學(xué)2008年高三綜合測(cè)試一>若<1+mx>6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6且a1+a2+…+a6=63,則實(shí)數(shù)m的值為〔A.1B.-1C.-3D.1或-3答案：D35.<XX省XX外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2008屆第三次質(zhì)檢>若,則=〔A．32B．1C．-1D．-32答案：A36.<XX省正定中學(xué)2008年高三第五次月考>若二項(xiàng)式展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng),則的最小取值是〔A5B6C7D8答案：C37.<XX省XX九中2008年第三次模擬考試>設(shè)1+〔1+x2+〔1+2x2+〔1+3x2+…+〔1+nx2=a0+a1x+a2x2,則的值是〔 A．0 B．EQ\f<1,2> C．1 D．2答案：C38.<XX省XX市一中2008屆高三第六次月考>代數(shù)式的展開(kāi)式中,含項(xiàng)的系數(shù)是 A．－30 B．30 答案：A39.〔08年XX卷15已知的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng),,且2≤n≤8,則n=______．分析：本小題主要考查二項(xiàng)式定理中求特定項(xiàng)問(wèn)題.依題對(duì)中,只有時(shí),其展開(kāi)式既不出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng),也不會(huì)出現(xiàn)與、乘積為常數(shù)的項(xiàng).故填5.40．<04天津>若,則.解析：直接展開(kāi)由各項(xiàng)系數(shù)求解將誤入歧途.二項(xiàng)式定理既是公式,又可視為方程式或恒等式,故可用多項(xiàng)式恒等理論和賦值法去求解.解：取得；故原式=41.〔2009北京卷理若為有理數(shù),則〔A．45B．55C[答案]C[解析]本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.∵,由已知,得,∴.故選C.42.〔2009XX卷理展開(kāi)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為,不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為,則的值可能為A．B．C．D．答案：D[解析],,則可取,選D43.〔2009XX卷文若,則的值為〔A2 〔B0 〔C <D>答案:C.解析:由題意容易發(fā)現(xiàn),則,同理可以得出,………亦即前2008