1.5 全稱量詞與存在量詞（精講）-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講精煉（必修第一冊(cè)）（教師版含解析）

1.5全稱量詞與存在量詞(精講)思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點(diǎn)一全稱命題的判斷【例1】(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))下列命題含有全稱量詞的是()A．某些函數(shù)圖象不過(guò)原點(diǎn) B．實(shí)數(shù)的平方為正數(shù)C．方程有實(shí)數(shù)解 D．素?cái)?shù)中只有一個(gè)偶數(shù)【答案】B【解析】“某些函數(shù)圖象不過(guò)原點(diǎn)”即“存在函數(shù)，其圖象不過(guò)原點(diǎn)”；“方程有實(shí)數(shù)解”即“存在實(shí)數(shù)，使”；“素?cái)?shù)中只有一個(gè)偶數(shù)”即“存在一個(gè)素?cái)?shù)，它是偶數(shù)”，這三個(gè)命題都是存在量詞命題，“實(shí)數(shù)的平方為正數(shù)”即“所有的實(shí)數(shù)，它的平方為正數(shù)”，是全稱量詞命題，其省略了全稱量詞“所有的”，所以正確選項(xiàng)為B.由全稱命題的定義，全稱命題應(yīng)包含所有，任意的…等表示全部元素都滿足的語(yǔ)句由全稱命題的定義，全稱命題應(yīng)包含所有，任意的…等表示全部元素都滿足的語(yǔ)句【舉一反三】1．(2020·全國(guó)高一)下列語(yǔ)句不是全稱量詞命題的是()A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零B．自然數(shù)都是正整數(shù)C．高一(一)班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員D．每一個(gè)實(shí)數(shù)都有大小【答案】C【解析】A中命題可改寫為：任意一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零，故A是全稱量詞命題；B中命題可改寫為：任意的自然數(shù)都是正整數(shù)，故B是全稱量詞命題；C中命題可改寫為：高一(一)班存在部分同學(xué)是團(tuán)員，C不是全稱量詞命題；D中命題可改寫為：任意的一個(gè)實(shí)數(shù)都有大小，故D是全稱量詞命題．故選：C.2．(2020·全國(guó)高一單元測(cè)試)(多選)下列命題中，是全稱量詞命題的有()A．至少有一個(gè)x使成立 B．對(duì)任意的x都有成立C．對(duì)任意的x都有不成立 D．存在x使成立E.矩形的對(duì)角線垂直平分【答案】BCE【解析】A和D中用的是存在量詞“至少有一個(gè)”“存在”，屬存在量詞命題；B和C用的是全稱量詞“任意的”，屬全稱量詞命題，所以B、C是全稱量詞命題；E中命題“矩形的對(duì)角線垂直平分”省略量詞“任意”，是全稱量詞命題.故選：BCE考點(diǎn)二特稱命題的判斷【例2】(2020·全國(guó)高一)指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假.(1)?x∈N，2x＋1是奇數(shù)；(2)存在一個(gè)x∈R，使＝0；(3)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，|a|＞0；【答案】(1)是全稱量詞命題；是真命題；(2)是存在量詞命題；是假命題；(3)是全稱量詞命題；是假命題.【解析】(1)是全稱量詞命題.因?yàn)槎际瞧鏀?shù)，所以該命題是真命題.(2)是存在量詞命題.因?yàn)椴淮嬖?，使成立，所以該命題是假命題.(3)是全稱量詞命題.因?yàn)?，所以不都成立，因此，該命題是假命題.【舉一反三】1．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))下列命題中：①有些自然數(shù)是偶數(shù)；②正方形是菱形；③能被6整除的數(shù)也能被3整除；④對(duì)于任意，總有；存在量詞命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】命題①中含有存在量詞，是存在量詞命題；命題②中全稱量詞省略，可以敘述為“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題；命題③中全稱量詞省略，可以敘述為“一切能被6整除的數(shù)也都能被3整除”，是全稱量詞命題；而命題④中有全稱量詞“總有”，是全稱量詞命題故有1個(gè)存在量詞命題；故選：B.2．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))下列命題不是存在量詞命題的是()A．有的無(wú)理數(shù)的平方是有理數(shù) B．有的無(wú)理數(shù)的平方不是有理數(shù)C．對(duì)于任意，是奇數(shù) D．存在，是奇數(shù)【答案】C【解析】A、B、D中都有存在量詞，是存在量詞命題，C中含有量詞“任意”，為全稱量詞命題，故選：C.考點(diǎn)三全稱、特稱命題真假的判斷【例3】(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，然后寫出對(duì)應(yīng)的否定命題，并判斷真假:(1)不論取何實(shí)數(shù),關(guān)于的方程必有實(shí)數(shù)根；(2)所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除；(3)某些梯形的對(duì)角線互相平分；(4)函數(shù)圖象恒過(guò)原點(diǎn).【答案】見解析【解析】(1)即“所有，關(guān)于的方程都有實(shí)數(shù)根”，是全稱量詞命題，其否定為“存在實(shí)數(shù)，使得方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解”，真命題；(2)是全稱量詞命題，其否定為“存在末位數(shù)字是0或5的整數(shù)不能被5整除”，假命題；(3)是存在量詞命題，其否定為“所有梯形的對(duì)角線不互相平分”，真命題；(4)即“所有，函數(shù)圖象都過(guò)原點(diǎn)”，是全稱量詞命題，其否定為“存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)圖象不過(guò)原點(diǎn)”，是假命題.判斷命題是特稱命題還是全稱命題，要注意補(bǔ)上省略詞，同時(shí)注意判斷命題為假命題時(shí)，只要能舉出反例即可.判斷命題是特稱命題還是全稱命題，要注意補(bǔ)上省略詞，同時(shí)注意判斷命題為假命題時(shí)，只要能舉出反例即可.【舉一反三】1．(2020·平羅中學(xué)高二期末(文))下列是全稱命題且是真命題的是()A．?x∈R，x2>0 B．?x∈Q，x2∈QC．?x0∈Z，x>1 D．?x，y∈R，x2＋y2>0【答案】BA、B、D中命題均為全稱命題，但A、D中命題是假命題．故選B．2．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))關(guān)于命題“當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解”，下列說(shuō)法正確的是()A．是全稱量詞命題，假命題 B．是全稱量詞命題，真命題C．是存在量詞命題，假命題 D．是存在量詞命題，真命題【答案】A【解析】原命題的含義是“對(duì)于任意，方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)解”，但當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解，故命題是含有全稱量詞的假命題，所以正確選項(xiàng)為A.3．(2020·全國(guó)高一)用符號(hào)“”與“”表示下列含有量詞的命題,并判斷真假：(1)任意實(shí)數(shù)的平方大于或等于0；(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；(3)存在整數(shù)x，y，使得；(4)存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的立方是有理數(shù).【答案】(1).真命題；(2),二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,真命題；(3)假命題；(4)，真命題.【解析】(1)，是真命題；(2),二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,真命題，；(3)假命題,因?yàn)楸貫榕紨?shù)；(4).真命題,例如.考點(diǎn)四命題的否定【例4】(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))設(shè)是奇數(shù)集，是偶數(shù)集，則命題“，”的否定是()A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】“，”即“所有，都有”，它的否定應(yīng)該是“存在，使”，所以正確選項(xiàng)為A.全稱(存在性)命題進(jìn)行否定的兩步操作：全稱(存在性)命題進(jìn)行否定的兩步操作：①找到命題所含的量詞，沒(méi)有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進(jìn)行否定；②對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.【舉一反三】1．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))下列命題的否定為假命題的是()A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】對(duì)A，命題的否定為假命題等價(jià)于該命題是真命題，由得，這樣的整數(shù)x不存在，故A為假命題，其否定為真命題，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，，故B為假命題，其否定為真命題，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C為假命題，其否定為真命題，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，存在或，使，故D為真命題，從而D的否定是假命題，故D正確.故選：D.2．(2020·湖南天心.長(zhǎng)郡中學(xué)高三其他(文))已知命題，，則命題的否定是()A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】命題為特稱命題，其否定為，.故選：C.3．(2019·銀川唐徠回民中學(xué)高三月考(理))命題“”的否定為()A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，將全稱量詞換為存在量詞，不等號(hào)換為＞，可得命題“”的否定為“”，故選：B.考點(diǎn)五全稱特稱求參數(shù)【例5】(1)(2020·湖南雁峰.衡陽(yáng)市八中高二期中)命題“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()A． B． C． D．(2)(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))若命題“使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A． B．C． D．(3)(2019·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高三月考(理))已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】(1)B(2)B(3)D【解析】(1)，，∴要使恒成立，則恒成立，即，本題求的是充分不必要條件，結(jié)合選項(xiàng)，只有B符合.故選：B.(2)由題得，原命題的否命題是“，使”，即，解得．選B.(3)由，知當(dāng)時(shí)，由，知當(dāng)時(shí)，由題意得：，即，解得綜上，.故選：D1.1.含參數(shù)的一元二次不等式的恒成立問(wèn)題，優(yōu)先考慮參變分離的方法，把問(wèn)題歸結(jié)為不含參數(shù)的函數(shù)的值域問(wèn)題，也可以討論不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的最值.2.求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍的策略(1)對(duì)于全稱命題“?x∈M，a>f(x)(或a<f(x))”為真的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是不等式恒成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最大值(或最小值)，即a>f(x)max(或a<f(x)min)．(2)對(duì)于特稱命題“?x0∈M，a>f(x0)(或a<f(x0))”為真的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是不等式能成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最小值(或最大值)，即a>f(x)min(或a<f(x)max)．【舉一反三】1．(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().A． B． C． D．【答案】B【解析】命題“”是真命題，則需滿足，解得或.故選：B.2．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))命題“已知，都有”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，得，要使，都有成立，只需，所以正確選項(xiàng)為C.3．(2020·廣東高三其他(文))已知命題，命題，若p假q真，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A． B．