第11章 三角形【B卷】（解析版）

第11章三角形培優(yōu)卷一、單選題1.(3分)下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（

）A.

2，2，4

B.

3，4，5

C.

1，4，5

D.

2，5，9【答案】B【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系【解析】【解答】A.2+2＝4，故不能；B.3+4>5，故可以；C.1+4=5，故不能；D.2+5<9，故不能．故答案為：B．【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．2.(3分)若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為1：2：3，那么這個(gè)三角形是（

）A.

銳角三角形

B.

等邊三角形

C.

鈍角三角形

D.

直角三角形【答案】D【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理【解析】【解答】解：設(shè)一份為k°，則三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為k°，2k°，3k°．則k°+2k°+3k°=180°，解得k°=30°，∴k°=30°，2k°=60°，3k°=90°，所以這個(gè)三角形是直角三角形．故選D．【分析】已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比，可以設(shè)一份為k°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列方程求三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，從而確定三角形的形狀．3.(3分)將一副直角三角板如圖放置，使兩直角邊重合，則∠α的度數(shù)為(

)A.

75°

B.

105°

C.

135°

D.

165°【答案】D【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)【解析】【解答】由三角形的外角性質(zhì)得，∠1=45°+90°=135°，∠α=∠1+30°=135°+30°=165°.故答案為：D.【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠1，再求出∠α即可.4.(3分)如圖，在ΔABC中，∠C=90°．若BD//AE，∠CAE=70°，則∠DBC的度數(shù)是（

）A.

10°

B.

15°

C.

20°

D.

25°【答案】C【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理【解析】【解答】解：∵在△ACB中，∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵BD∥AE，∴∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°，∴∠CAE=180°-90°-70°=20°．故答案為：C．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CAB+∠CBA=90°，利用平行線的性質(zhì)得出∠DBC+∠CBA+

∠CAB+∠CAE=180°，據(jù)此即可求出結(jié)論.5.(3分)如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′恰好落在CD上，若∠BAD=α，則∠ACB的度數(shù)為（

）A.

12α

B.

90°-12α

C.

45°

D.

α-45°【答案】B【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)，多邊形內(nèi)角與外角【解析】【解答】如圖，連接AB'，BB'，過(guò)A作AE⊥CD于E．∵點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB=AB'，∴∠BAC=∠B'AC．∵AB=AD，∴AD=AB'．又∵AE⊥CD，∴∠DAE=∠B'AE，∴∠CAE=12∠BAD=12又∵∠AEB'=∠AOB'=90°，∴四邊形AOB'E中，∠EB'O=180°﹣12α，∴∠ACB'=∠EB'O﹣∠COB'=180°﹣12α﹣90°=90°﹣12α，∴∠ACB故答案為：B．【分析】連接AB'，BB'，過(guò)A作AE⊥CD于E，依據(jù)∠BAC=∠B'AC，∠DAE=∠B'AE，即可得出∠CAE=12∠BAD=12α，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠ACB=∠ACB'=90°﹣6.(3分)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A.

5

B.

6

C.

7

D.

8【答案】B【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角【解析】【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得（n﹣2）×180°=2×360，解得：n=6．即這個(gè)多邊形為六邊形．故選：B．【分析】多邊形的外角和是360°，則內(nèi)角和是2×360=720°．設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，這樣就得到一個(gè)關(guān)于n的方程組，從而求出邊數(shù)n的值．7.(3分)如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變.請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（

）

A.

∠A=∠1+∠2

B.

2∠A=∠1+∠2

C.

3∠A=2∠1+∠2

D.

3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角與外角，翻折變換（折疊問(wèn)題）【解析】【解答】

解：如圖，連接DE，

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°；

∴∠A’+∠B+∠C=180°①；

在△A'DE中∠A‘+∠A’DE+∠A‘ED=180°②；

在四邊形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠A'DE+∠A'ED=360°③；

①+②﹣③得2∠A’=∠1+∠2，

即2∠A=∠1+∠2.

故答案為：B.

．

【分析】在△ABC、四邊形BCDE和△A'D中，分別根據(jù)內(nèi)角和列式，三式聯(lián)立再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得2∠A’=∠1+∠2，則知結(jié)果.8.(3分)將一副三角板按如圖放置，有下列結(jié)論：①若∠2=30°，則AC∥DE；②∠BAE+∠CAD=180°；③若BC∥AD，則∠2=30°；④若∠CAD=150°，則∠4=∠C.其中正確的是（

）A.

①②④

B.

①③④

C.

②③④

D.

①②③④【答案】A【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理【解析】【解答】解：∵∠2=30°，∠CAB=90°

∴∠1=60°

∵∠E=60°

∴∠1=∠E

∴AC∥DE，即①正確；

∵∠CAB=∠DAE=90°

∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，即②正確；

∵BC∥AD，∠B=45°

∴∠3=∠B=45°

∵∠2+∠3=∠DAE=90°

∴∠2=45°，即③錯(cuò)誤

∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°

∴∠BAE=30°

∵∠E=60°

∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°

∴∠4+∠B=90°

∵∠B=45°

∴∠4=45°

∵∠C=45°

∴∠4=∠C，即④正確故答案為：A.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)角和定理逐個(gè)判斷得到答案即可。9.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1，A2，A3，…，An在x軸上，點(diǎn)B1，B2，…，Bn在直線y=33x上，若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1,0)，且△A1BA.

22n3

B.

22n?13

C.

【答案】D【考點(diǎn)】三角形的面積【解析】【解答】解：∵△A1B1A2∴A1B1//∵直線y=33x與x軸的成角∠B∴∠OB1∴OA1∵A1(1,0)∴A1B同理∠OB2A2∴B2A2=OA2易得∠OB1A2∴B1B2=3，∴S1=12×1×3故答案為：D．【分析】先求出∠OB2A210.(3分)如圖，在紙片ΔABC中，AB=AC=12，∠B=30°，折疊紙片，使點(diǎn)B落在AC的中點(diǎn)D處，折痕為EF，則ΔDEFA.

4935

B.

103

C.

113

D.

56【答案】A【考點(diǎn)】三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為G，∵∠BAC=120°，∴∠GAC=60°，∴DG=ADsin∠GAC=12AC·sin∠GAC=12×12×32=AG=ADcos∠GAC=12AC·cos∠GAC=12×12×1設(shè)AE=x，則BE=12-x=DE，在Rt△DGE中，DE2即(12?x)2=解得：x=185，∴S△ADE=12DE×AE=12×18過(guò)D作CF的垂線，垂足為H，過(guò)A作BC的垂線，垂足為N，∴AN=12AB=6，BN=122∴BC=123，設(shè)DF=y，則CF=BC-DE=2×AB?cos∠B?y=12DH=CD·sin∠C=b×12=3，CH=CD·cos∠C=則有DH2+FH解得：y=143則S△DFC=12DH?CF=∴S△DEF=12×（S△ABC-S△DEA-S△DFC）=12=12=495故選A．【分析】過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為G，過(guò)D作CF的垂線，垂足為H，過(guò)A作BC的垂線，垂足為N，分別求出△DEA和△DFC的面積，利用S△DEF=12×（S△ABC-S△DEA-S△DFC）可得結(jié)果．二、填空題11.(4分)已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于900°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是________．【答案】7【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角【解析】【解答】解：設(shè)所求正n邊形邊數(shù)為n，則（n﹣2）?180°=900°，解得n=7．故答案為：7．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式作答．12.(4分)一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角等于150°，則它的邊數(shù)是________.【答案】十二【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角【解析】【解答】解：∵一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為150°，∴它的外角為30°，360°÷30°＝12，故答案為：十二.

【分析】根據(jù)多邊形的每一個(gè)外角與每一個(gè)相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)算出多邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)，由于任何多邊形的外角和都是360°，故用360°除以每一個(gè)外角的度數(shù)即可算出該多邊形的邊數(shù)。13.(4分)四邊形ABCD中，∠A=100°，∠C=70°，點(diǎn)M、N分別在AB、BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF//AD，F(xiàn)N//DC【答案】95【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角與外角，翻折變換（折疊問(wèn)題）【解析】【解答】解：∵M(jìn)F∥AD，F(xiàn)N∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，∴∠BMF＝∠A＝100°，∠FNB＝∠C＝70°，∵將△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，∴∠D＝360°﹣100°﹣70°﹣95°＝95°.故答案為：95.【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BMF和∠FNB，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠FMN＝∠BMN，∠FNM＝∠MNB，再利用三角形的內(nèi)角和即可求出∠B的度數(shù)，然后即可根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出∠D的度數(shù).14.(4分)已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是30°，則這個(gè)多邊形為_(kāi)_______邊形【答案】12【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角【解析】【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，

則n=360°÷30°=12.

故答案為：12.

【分析】由已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是30°，用360°除以每一個(gè)外角的度數(shù)即可。15.(4分)五邊形的內(nèi)角和等于________

度．【答案】540【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角【解析】【解答】解：五邊形的內(nèi)角和=（5﹣2）?180°=540°．故答案為：540．【分析】直接根據(jù)n邊形的內(nèi)角和=（n﹣2）?180°進(jìn)行計(jì)算即可．16.(4分)如圖，AD是△ABC的高，AE，BF分別平分∠BAC、∠ABC，且相交于點(diǎn)G，AD與BF相交于點(diǎn)H，∠C=70°，∠AEC=85°，則∠AHB=________．【答案】120°【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高，三角形的外角性質(zhì)【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的高，∠C=70°，∠AEC=85°，∴∠EAD=20°，∠CAD=5°，∴∠CAE=25°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=50°，∴∠ABC=180°﹣50°﹣70°=60°，∵BF平分∠ABC，∴∠CBG=30°，∴∠AHB=∠CBG+∠BDH=30°+90°=120°，故答案為：120°【分析】根據(jù)AD是△ABC的高和已知角的度數(shù)，可得到∠CAE=25°，根據(jù)AE平分∠BAC，可得∠BAC=50°，進(jìn)而得出∠ABC的度數(shù)，依據(jù)BF平分∠ABC，可得∠CBG=30°，最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)，可得到∠AHB=∠CBG+∠BDH即可求得答案.17.(4分)如圖，D,E,F分別是ΔABC的邊AB,BC,AC上的中點(diǎn)，連接AE,BF,CD交于點(diǎn)G，AG:GE=2:1，ΔABC的面積為6，設(shè)ΔBDG的面積為S1，ΔCGF的面積為S2，則S【答案】2【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高，三角形的面積【解析】【解答】解：∵D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，AC上的中點(diǎn)，∴AD=DB，AF=CF，BE=EC，∴△BDG的面積=△ADG的面積，△CFG的面積=△AGF的面積，△BEG的面積=△ECG的面積．∵AG=2GE，∴△ABG的面積=2△BEG的面積，△ACG的面積=2△ECG的面積，∴△ADG，△BDG，△BEG，△AFG，△FCG，△ECG的面積相等，∴S1+S2=13?S△ABC=2，故答案為：2．【分析】借助三角形中線平分三角形的面積和等高的三角形面積之比等于底之比可求得圖中六個(gè)小三角形（△ADG，△BDG，△BEG，△AFG，△FCG，△ECG）面積相等，由此可得解．18.(4分)過(guò)四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)一條對(duì)角線，且把四邊形分成兩個(gè)三角形；過(guò)五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)兩條對(duì)角線，且把五邊形分成三個(gè)三角形；......猜想：過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)________條對(duì)角線，且把n邊形分成________個(gè)三角形.【答案】(n?3)；(n?2)【考點(diǎn)】多邊形的對(duì)角線【解析】【解答】解：從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引1條對(duì)角線，將四邊形分成2個(gè)三角形；從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引2條對(duì)角線，將五邊形分成3個(gè)三角形；從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引3條對(duì)角線，將六邊形分成4個(gè)三角形；從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引(n?3)條對(duì)角線，將n邊形分成(n?2)個(gè)三角形故答案為：(n?3)，(n?2).【分析】根據(jù)四邊形可以4?3=1條對(duì)角線，被分成了4-2=2個(gè)三角形，五邊形可以引5?3=2條對(duì)角線，被分成了5-2=3個(gè)三角形，依此類(lèi)推，n邊形可以引(n?3)條對(duì)角線，被分成(n?2)個(gè)三角形.三、作圖題19.(10分)如圖所示，已知銳角∠AOB及一點(diǎn)P．（1）過(guò)點(diǎn)P作OA、OB的垂線，垂足分別是M、N；（只作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）猜想∠MPN與∠AOB之間的關(guān)系，并證明．【答案】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作OA、OB的垂線PM、PN如圖所示；

（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．理由：左圖中，在四邊形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，∴∠MPN+∠AOB=180°．右圖中，∵∠PJM=∠OJN，∠AMJ=∠JNO=90°，∴∠MPN=∠AOB．【考點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)，多邊形內(nèi)角與外角，作圖-垂線【解析】【分析】(1)根據(jù)垂線的定義畫(huà)出圖形即可解決問(wèn)題；(2)根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360o或“8字型”性質(zhì)即可解決問(wèn)題.20.(5分)在圖中分別畫(huà)出三角形BC邊上的高．【答案】解：如圖所示：【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高【解析】【分析】根據(jù)三角形BC邊上的高即為過(guò)點(diǎn)A向BC作垂線，進(jìn)而得出答案．四、解答題21.(7分)如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E分別在AC、AB邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度數(shù)．【答案】解：∵DE=EB∴設(shè)∠BDE=∠ABD=x，∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，∵AD=DE，∴∠AED=∠A=2x，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3x，在△ABC中，3x+3x+2x=180°，解得x=22.5°，∴∠A=2x=22.5°×2=45°．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)【解析】【分析】根據(jù)同一個(gè)三角形中等邊對(duì)等角的性質(zhì)，設(shè)∠ABD=x，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，則可用x的代數(shù)式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，運(yùn)用三角形的內(nèi)角和為180°，可求∠A的度數(shù)．22.(7分)已知：如圖所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù)．【答案】解：在△ABC中，AB=AD=DC，∵AB=AD，在三角形ABD中，∠B=∠ADB=（180°﹣26°）×12=77°，又∵AD=DC，在三角形ADC中，∴∠C=12∠ADB=77°×1【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理【解析】【分析】由題意，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以求出底角，再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系即可求出內(nèi)角∠C．23.(7分)如圖，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度數(shù)．【答案】解：因?yàn)锳B∥CD，所以∠CFE＝∠ABE＝60°．因?yàn)椤螪＝50°，所以∠E＝∠CFE－∠D＝60°－50°＝10°．【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同位角相等）可得出∠CFE=∠ABD，再根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得出∠E=∠CFE-∠D，代入數(shù)值計(jì)算即可.24.(7分)如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．若△ABC的面積為40，BD=5，則△BDE中BD邊上的高為多少？【答案】解：∵AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線，∴S△ABD＝12S△ABC，S△BD