重慶市部分區(qū)2023-2024學年高二上學期期末聯考數學試題

重慶市部分區(qū)2023~2024學年度第一學期期末聯考高二數學試題卷注意事項：1．考試時間：120分鐘，滿分：150分．試題卷總頁數：4頁．2．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷、草稿紙上答題無效．3．需要填涂的地方，一律用2B鉛筆涂滿涂黑．需要書寫的地方一律用0.5mm簽字筆．4．答題前，務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知，，且，則的值為（）A．－2 B．－1 C．0 D．22．已知直線：在軸與y軸上的截距相等，則實數的值為（）A．－1 B．0 C．1 D．23．若圓：與圓：外切，則實數的值為（）A．±4 B．±2 C．2 D．44．設是等差數列的前項和，若，則＝（）A．1 B．3 C．5 D．105．任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2，反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．若取正整數，根據上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經過8個步驟變成（簡稱為8步“雹程”），當時，需要的“雹程”步數為（）A．8 B．9 C．10 D．116．已知雙曲線：的兩個焦點分別是和，點在雙曲線上，且，則點到軸的距離為（）A． B． C． D．7．已知圓的方程為，則該圓中過點的最短弦的長為（）A． B． C． D．8．已知橢圓：，是橢圓的一條弦的中點，點在直線上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．在等比數列中，，，則（）A．該數列的第5項 B．該數列的通項公式C．數列是等比數列 D．設數列的前項和為，則10．在正方體中，下列結論正確的是（）A．直線與直線所成角為 B．直線與平面所成角為C．二面角的大小為 D．11．給出下列命題，其中正確的是（）A．任意向量，，滿足B．在空間直角坐標系中，點關于坐標平面的對稱點是C．已知，，，為空間向量的一個基底，則向量，，能共面D．已知，，，則向量在向量上的投影向量是12．已知圓：，點為直線：上一動點，過點向圓引兩條切線和，其中，為切點，則下列說法正確的是（）A．的最小值為B．的最大值為C．當最小時，直線的方程為D．原點到動直線距離的最大值是1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知直線：與直線：平行，則實數的值為______．14．已知數列，則通過該數列圖象上所有點的直線的斜率為______．15．已知直線：和橢圓：，寫出滿足條件“直線與橢圓有兩個公共點”的m的一個值為______．16．一種糖果的包裝紙由一個邊長為3的正方形和兩個等腰直角三角形組成（如圖1），沿AD，BC將這兩個三角形折起到與平面ABCD垂直（如圖2），連接EF，AE，CF，AC，若點G滿足且，則的最小值為______．四、解答題：本題共有6個小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知數列是公差為2的等差數列，且滿足，，成等比數列，，（1）求數列的通項公式；（2）已知數列的前項和為，求使不等式成立的的最小值．18．（12分）已知拋物線：過點．（1）求拋物線的標準方程及準線方程；（2）過焦點的直線與拋物線相交于A，B兩點，再從條件①、條件②中選擇一個作為已知，求的長．條件①：直線的斜率為2；條件②：線段的中點為．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．19．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，M為BC中點，N為PA中點，．（1）證明：；（2）求直線MN與平面PBC所成角的正弦值．20．（12分）已知數列的前項和為，且，．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．21．（12分）如圖，在三棱錐P－ABC中，，，O為AC的中點．（1）證明：；（2）若點E在線段BC上（異于點B，C），平面PAE與平面PAC的夾角為，求的值．22．（12分）已知雙曲線：的實軸長為2，且其漸近線方程為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點且斜率不為0的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點A，B，點Q在線段AB上，且，T為線段AB的中點，記直線OT，OQ（O為坐標原點）的斜率分別為，，求是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由．重慶市部分區(qū)2023~2024學年度第一學期期末聯考高二數學參考答案一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．12345678ADACBDDA二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9101112ACACDBCABD三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．13．； 14．3； 15．3（答案不唯一，滿足即可）； 16．四、解答題：本大題共有6個小題，共70分．17．（10分）解：（1）∵，，成等比數列，∴∵數列是公差為2的等差數列，∴解得∴∴（2）由（1）可得，由可得，∴或又，∴的最小值為11．18．（12分）解：（1）由已知可得，，∴所以拋物線C的標準方程為拋物線C的的準線方程為（2）選條件①：由（1）可知，焦點坐標為∴直線的的方程為，即由消去，整理可得設，，∴∴選條件②：設，∵線段AB的中點為∴∴19．（12分）方法不唯一．（1）證明：取PD中點E，連接NE，CE．∵N為PA的中點∴且又底面ABCD為矩形，M為BC中點且∴且∴四邊形MNEC為平行四邊形∴∵，∴（2）解：以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系．則，，，，∴，，設平面PBC的一個法向量為，則，∴取，則，∴設直線MN與平面PBC所成角為．則20．（12分）解：（1）由題可知①∴（且）②由①－②得即（且）又當時，∴∵∴∴（且）所以數列是以3為首項，3為公比的等比數列．∴（2）∵∴∴①∴②由①—②得∴∴即21．（12分）（1）證明：∵且O為AC中點∴又∵且O為AC中點∴又∴且∴∴為等腰直角三角形又∵O為AC中點∴又∵，即，∴又∵∴（2）解：以O點為坐標原點，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系∵且∴∴平面PAC的一個法向量設，，∴，