中國(guó)石油大學(xué)場(chǎng)論

第二章穩(wěn)定電場(chǎng)§

2.1真空中的靜電場(chǎng)1、庫侖定律

庫侖定律表述式

是表征真空電性質(zhì)的物理量，稱為真空的介電常數(shù)，其值為

（國(guó)際單位制）（高斯單位制）

庫侖定律表明，真空中兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷間的作用力大小與兩點(diǎn)電荷電量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線。同號(hào)電荷之間是斥力，異號(hào)電荷之間是引力。

施力電荷靜止，受力電荷運(yùn)動(dòng)，它們間的作用仍滿足庫侖定律。

兩點(diǎn)電荷之間的作用力符合牛頓第三定律。

庫侖定律只能直接用于點(diǎn)電荷。所謂點(diǎn)電荷，是指當(dāng)帶電體的尺度遠(yuǎn)小于它們之間的距離時(shí)，將其電荷集中于一點(diǎn)的理想化模型。（高斯單位制）

對(duì)于實(shí)際的帶電體，一般應(yīng)該看成是分布在一定的區(qū)域內(nèi)，稱其為分布電荷。用電荷密度來定量描述電荷的空間分布情況。其單位是庫/米3(C/m3)。這里的ΔV趨于零，是指相對(duì)于宏觀尺度而言很小的體積，以便能精確地描述電荷的空間變化情況；但是相對(duì)于微觀尺度，該體積元又是足夠大，它包含了大量的帶電粒子，這樣才可以將電荷分布看作空間的連續(xù)函數(shù)。2、電荷分布1）、電荷體密度：在電荷分布區(qū)域內(nèi)，取體積元ΔV，若其中的電量為Δq，則電荷體密度為

2）、電荷面密度：如果電荷分布在宏觀尺度h很小的薄層內(nèi)，則可認(rèn)為電荷分布在一個(gè)幾何曲面上，用面密度描述其分布。若面積元ΔS內(nèi)的電量為Δq，則面密度為

3）、電荷線密度：對(duì)于分布在一條細(xì)線上的電荷用線密度描述其分布情況。若線元Δl內(nèi)的電量為Δq，則線密度為3、電場(chǎng)強(qiáng)度

用電場(chǎng)強(qiáng)度來描述電場(chǎng)。

1）、定義：空間一點(diǎn)處的單位正試驗(yàn)電荷所受到的力定義為該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。由庫侖定律，在點(diǎn)電荷的場(chǎng)中距點(diǎn)電荷r處，試驗(yàn)電荷

受到的電場(chǎng)力為點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度2）場(chǎng)強(qiáng)疊加原理：對(duì)于離散的點(diǎn)電荷系，由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理有

對(duì)于體分布的電荷，可將其視為一系列點(diǎn)電荷的疊加，從而得出r點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為電場(chǎng)分布的幾何描述——電場(chǎng)線電場(chǎng)線方程

帶電平行板

負(fù)點(diǎn)電荷

正點(diǎn)電荷

幾種典型的電場(chǎng)線分布4、靜電場(chǎng)的第一基本定律1）、高斯定理

由高斯定理知，真空中電場(chǎng)強(qiáng)度關(guān)于一閉合曲面的電通量與閉合曲面內(nèi)的電荷有關(guān)系為

高斯定理以電通量的形式給出了靜電場(chǎng)與源——電荷間的關(guān)系；高斯定理具有普適性，但利用它求解電場(chǎng)時(shí)，對(duì)電場(chǎng)的對(duì)稱性有要求。2）、靜電場(chǎng)的散度表明：真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度在某點(diǎn)的散度等于該點(diǎn)的電荷體密度的4

倍。靜電場(chǎng)是有散的場(chǎng)，其源為電荷。5、靜電場(chǎng)的第二基本定律可以證明：由斯托克斯定理得

式中S是以回路L為周界的任意曲面。靜電場(chǎng)的旋度等于零，即靜電場(chǎng)是無旋的場(chǎng)。1)、靜電場(chǎng)的勢(shì)U6、靜電場(chǎng)的勢(shì)定義：?jiǎn)挝徽姾捎蓤?chǎng)中某一點(diǎn)P點(diǎn)移至無限遠(yuǎn)處時(shí)場(chǎng)力所作的功。對(duì)于點(diǎn)電荷：對(duì)于體電荷：對(duì)于面電荷：2）勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系當(dāng)B無限靠近A時(shí)，此增量可寫成一微分

在直角坐標(biāo)系中，場(chǎng)強(qiáng)度沿坐標(biāo)軸的三分量應(yīng)為

根據(jù)全微分定義我們有

靜電場(chǎng)中任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E等于該點(diǎn)的勢(shì)的負(fù)梯度

若討論的區(qū)域ρ=0，則方程為7、靜電場(chǎng)的泊松方程和拉普拉斯方程

上述方程稱為拉普拉斯方程。因?yàn)樗?/p>

用電偶極矩表示電偶極子的大小和空間取向，定義為電偶極子在空間任意點(diǎn)的電勢(shì)為§

2.2偶極子場(chǎng)1、電偶極子一對(duì)等量異號(hào)的電荷+q、-q，位置十分靠近，其距離為l，

方向是從負(fù)電荷指向正電荷。由于l<<r偶極子電場(chǎng)強(qiáng)度為

上述結(jié)果表明：電偶極子遠(yuǎn)區(qū)的電勢(shì)與距離平方成反比，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與距離的三次方成反比。電偶極子的電場(chǎng)分布圖2、偶極子面分布（偶層）的場(chǎng)偶層：兩個(gè)十分靠近，彼此平行的帶電面，面上帶有數(shù)量相等，符號(hào)相反的電荷。設(shè)偶層矩為結(jié)論：均勻偶層在P點(diǎn)的勢(shì)值等于偶層矩和偶層邊緣對(duì)P點(diǎn)所張立體角的乘積（規(guī)定：從P點(diǎn)看到偶層正荷面，立體角為正，反之為負(fù)。討論：任一偶層（閉合或不閉合均可）的勢(shì)，當(dāng)經(jīng)過層面時(shí)，發(fā)生的突變。閉合偶層非閉合偶層★例1一均勻圓薄板（偶層）的場(chǎng)強(qiáng)和勢(shì)，面電荷密度為§2.3電介質(zhì)中的場(chǎng)方程1、電介質(zhì)在外加電場(chǎng)中產(chǎn)生極化的物質(zhì)稱為電介質(zhì)。電介質(zhì)是由分子組成的，而分子又是由帶正負(fù)電荷的質(zhì)點(diǎn)（電子和原子核）組成的。有極分子：分子的正負(fù)電荷中心在無外場(chǎng)時(shí)不重合，分子存在固有電偶極矩。無極分子：分子的正負(fù)電荷中心在無外場(chǎng)時(shí)重合，不存在固有電偶極矩。沒有外電場(chǎng)作用的情形下，由于分子的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，有極分子偶極矩取不同的方向，體積內(nèi)所有分子的偶極矩之矢量和為零，無極分子由于正負(fù)電荷中心重合，都處于不帶電狀態(tài)。2、介質(zhì)的極化

導(dǎo)體中的電子稱為自由電子，其攜帶的電荷稱為自由電荷。介質(zhì)中的電荷是不會(huì)自由運(yùn)動(dòng)的，這些電荷稱為束縛電荷。在外電場(chǎng)的作用下，電荷會(huì)沿電場(chǎng)方向產(chǎn)生位移，產(chǎn)生極化。介質(zhì)的極化方式可分為：位移極化（無極分子）取向極化（有極分子）外電場(chǎng)作用下，便偶極矩方向轉(zhuǎn)向和外電場(chǎng)一致。外電場(chǎng)作用下，不再重合，出現(xiàn)偶極矩。1）極化強(qiáng)度的定義

極化強(qiáng)度描述介質(zhì)的極化程度，表示極化介質(zhì)中某位置處單位體積內(nèi)（平均）分子電偶極矩。其中的表示分子的電偶極矩，為介質(zhì)中的體積元。極化介質(zhì)可視為無數(shù)偶極子的組合，極化狀態(tài)完全由極矩來決定。極化強(qiáng)度的定義：?jiǎn)挝惑w積介質(zhì)內(nèi)的極矩

發(fā)生極化以后，介質(zhì)表面出現(xiàn)面分布的束縛電荷。若介質(zhì)內(nèi)部是不均勻的，則極化產(chǎn)生的電偶極子的分布也是不均勻的，在介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)束縛電荷的體分布，因而出現(xiàn)體分布的束縛電荷。這種因極化產(chǎn)生的面分布及體分布的束縛電荷又稱為極化電荷。極化電荷也要產(chǎn)生電場(chǎng)，影響原外電場(chǎng)分布。2）、極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位設(shè)極化介質(zhì)的體積為V，表面積是S，極化強(qiáng)度，現(xiàn)在計(jì)算介質(zhì)外部任一點(diǎn)的電位。取體積元dV′，將其中的介質(zhì)當(dāng)成一偶極子，其偶極矩為

，它在處產(chǎn)生的電位是整個(gè)極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位為再利用矢量恒等式：

極化電荷體密度極化電荷面密度與前述電位的積分公式比較，有3、介質(zhì)中的場(chǎng)方程靜電場(chǎng)中放入一電介質(zhì)，在某點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)應(yīng)為靜電場(chǎng)產(chǎn)生的勢(shì)電介質(zhì)極化后產(chǎn)生的勢(shì)在電介質(zhì)中應(yīng)為電位移矢量有4、介電常數(shù)

對(duì)于線性的均勻介質(zhì)為極化率，是一個(gè)大于或等于0的無量綱常數(shù)，與介質(zhì)有關(guān)由為介質(zhì)的介電常數(shù)，

因?yàn)閗>0,所以總是大于1，只有在真空中，k=0,

空間各點(diǎn)極化率相同的介質(zhì)稱為均勻介質(zhì)，否則，稱為非均勻介質(zhì)；極化率與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小無關(guān)的介質(zhì)稱為線性介質(zhì)，否則，稱為非線性介質(zhì)；若極化率是一個(gè)正實(shí)常數(shù)，為線性均勻且各向同性的介質(zhì)。若極化率表示為矩陣，且矩陣的各個(gè)元素都是一個(gè)正實(shí)常數(shù)，則為線性均勻各向異性的介質(zhì)。極化率與時(shí)間無關(guān)的介質(zhì)稱為靜止媒質(zhì)，否則稱為運(yùn)動(dòng)媒質(zhì)。對(duì)于均勻線性介質(zhì)(ε為常數(shù))，電位滿足如下的泊松方程

5、電介質(zhì)場(chǎng)方程若無電荷分布，電位滿足拉普拉斯方程§

2.4電介質(zhì)場(chǎng)的邊界條件

1、電位移法向分量的連續(xù)條件或

電位移法向分量的不連續(xù)，與分界面的自由面電荷的存在有關(guān)電位移法向分量的邊界條件用電位可表示為

如果界面上無自由電荷分布，即在σ=0時(shí)，邊界條件變?yōu)榛?/p>

當(dāng)分界面的自由面電荷不存在，電位移法向分量連續(xù)對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，有

此式表明：在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上電場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量不連續(xù)。

在σ=0時(shí)，電位移法向分量的邊界條件用電位可表示為

2、電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量的連續(xù)條件即此式表明：在兩種介質(zhì)形成的邊界上，兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量相等，即電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的。

對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)在邊界上，電位移的切向分量是不連續(xù)的。

設(shè)區(qū)域1和區(qū)域2內(nèi)電場(chǎng)線與法向的夾角分別為θ1、θ2，分界面處的折射定理

折射定理表明，電場(chǎng)線在分界面上通常要改變方向。

在σ=0時(shí)，由電位移法向分量和場(chǎng)強(qiáng)的切向分量的邊界條件有：

§

2.5導(dǎo)電體中的穩(wěn)定電場(chǎng)—電流場(chǎng)1、傳導(dǎo)電流是導(dǎo)體中的自由電子或者是電解液中的離子運(yùn)動(dòng)形成的電流。

一、電流密度與電場(chǎng)之間的關(guān)系2、電流強(qiáng)度I：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過導(dǎo)體上任一橫截面的電荷量。3、電流密度

：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方向垂直的單位面積的電流。方向與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同。4、歐姆定律（實(shí)驗(yàn)結(jié)果）一段載流I導(dǎo)體，端電壓為U，電阻為R，由歐姆定律歐姆定律微分形式（電流密度與電場(chǎng)關(guān)系）

電導(dǎo)率為無限大的導(dǎo)體稱為理想導(dǎo)電體。

電導(dǎo)率為零的媒質(zhì)，不具有導(dǎo)電能力，這種媒質(zhì)稱為理想介質(zhì)。理想介質(zhì)內(nèi)無電流存在。

電導(dǎo)率不為零的媒質(zhì)，具有導(dǎo)電能力，這種媒質(zhì)稱為導(dǎo)電介質(zhì)。媒質(zhì)電導(dǎo)率(S/m)媒質(zhì)電導(dǎo)率(S/m)銀海水4紫銅淡水金干土鋁變壓器油黃銅玻璃鐵橡膠二、電流連續(xù)性方程

在電流場(chǎng)中有一閉合曲面S，由電荷守恒定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流出任何封閉面的電荷量等于該時(shí)間內(nèi)封閉面中總電荷量的減少。電流連續(xù)性方程

要該積分對(duì)任意的體積V均成立，必須有被積函數(shù)為零

電流連續(xù)性方程微分形式

電流連續(xù)性方程積分形式

恒定電場(chǎng)的電流連續(xù)性方程

若電荷分布恒定，即結(jié)論：穩(wěn)定（恒定）電流是連續(xù)的，電流沒有起點(diǎn)和終點(diǎn)。（動(dòng)態(tài)穩(wěn)定，有電源不斷補(bǔ)充）三、穩(wěn)定電流場(chǎng)的勢(shì)場(chǎng)性質(zhì)

穩(wěn)定電流場(chǎng)，電荷在空間的分布應(yīng)該始終是穩(wěn)定的，不隨時(shí)間改變。雖然是一種動(dòng)態(tài)穩(wěn)定，空間某點(diǎn)的電荷被另一些電荷動(dòng)態(tài)替代，但不會(huì)影響到電場(chǎng)強(qiáng)度改變，因此穩(wěn)定電流場(chǎng)和靜電場(chǎng)一樣，是一個(gè)勢(shì)場(chǎng)。四、穩(wěn)定電流場(chǎng)的勢(shì)的微分方程1、均勻?qū)щ娊橘|(zhì)中結(jié)論：均勻?qū)щ婓w內(nèi)部無電荷密度分布。2、非均勻?qū)щ娊橘|(zhì)中與靜電場(chǎng)類比：結(jié)論：在穩(wěn)定電流經(jīng)過的不均勻?qū)щ娊橘|(zhì)中，其內(nèi)部有體電荷密度存在。由積分形式

可得穩(wěn)定電流場(chǎng)中不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面的邊界條件

§

2.6電流場(chǎng)中的邊界條件和邊值問題即穩(wěn)定電流場(chǎng)的邊界條件為

穩(wěn)定電流場(chǎng)中不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量連續(xù)，但其法向分量不連續(xù)；而電流密度的法向分量連續(xù)，但其法向分量不連續(xù)。

應(yīng)用邊界條件，可得分界面處的折射定理討論：兩種導(dǎo)電媒質(zhì)

當(dāng)一種導(dǎo)電媒質(zhì)為不良導(dǎo)體，另一種導(dǎo)電媒質(zhì)為良導(dǎo)體，若電導(dǎo)率，如同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體通常由電導(dǎo)率很高(107

數(shù)量級(jí))的銅或鋁制成，填充在兩導(dǎo)體間的材料不可能是理想的絕緣電介質(zhì),總有很小的漏電導(dǎo)存在，如聚乙烯的電導(dǎo)率為10-10

數(shù)量級(jí)，由

當(dāng)λ1>>λ2，第一種媒質(zhì)為良導(dǎo)體時(shí)，第二種媒質(zhì)為不良導(dǎo)體時(shí)，只要θ1≠π/2,θ2≈0，即在不良導(dǎo)體中，電力線近似地與界面垂直，這時(shí)可將良導(dǎo)體的表面近似地看作等位面。

2）理想介質(zhì)與良導(dǎo)體由上知，理想介質(zhì)與良導(dǎo)體邊界面上，不存在法向穩(wěn)定電流，即導(dǎo)體內(nèi)電流與界面平行。3）有電流流過兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面時(shí)界面的電荷

當(dāng)恒定電流通過電導(dǎo)率不同的兩導(dǎo)電媒質(zhì)時(shí),其電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度要發(fā)生變化。分界面上的面電荷密度可見,在兩種導(dǎo)電介質(zhì)分界面上有面電荷（感生電荷）分布。前面已講過如果導(dǎo)電介質(zhì)不均勻,在介質(zhì)中還會(huì)有體電荷的存在?！?/p>

2.7勢(shì)的特征及邊界條件1電荷不存在區(qū)域2勢(shì)處處連續(xù)，但在通過偶層時(shí)發(fā)生突變3勢(shì)處處有限，除r=0時(shí)點(diǎn)電荷的場(chǎng)4在電介質(zhì)分界面上，如無自由面荷5在導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面上（法向由導(dǎo)體指向電介質(zhì)）6在導(dǎo)體表面，勢(shì)為一已知常數(shù)或總電荷為已知常數(shù)7

r∞時(shí)，U為零§2.8

電象法（鏡像法）1、電象法用電象法求解的依據(jù)是解的唯一性定理。電象法是求解靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的一種方法。該方法的實(shí)質(zhì)是在滿足方程和邊界條件下，用假想電荷代替復(fù)雜的感應(yīng)電荷或極化電荷。

求解的關(guān)鍵問題是（1）確定象電荷的位置、電量、電性等，依據(jù)是邊界條件；（2）象電荷只能置于求解區(qū)域外。2、平面電象法例1、求置于無限大接地平面導(dǎo)體上方，距導(dǎo)體面為h處的點(diǎn)電荷q的電位。

介質(zhì)

導(dǎo)體

qrP分析：

導(dǎo)體平面上空的電場(chǎng)是由點(diǎn)電荷和導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。但感應(yīng)電荷分布非均勻，且未知，直接求解困難。該問題的求解條件是：當(dāng)導(dǎo)體上方時(shí)，（除點(diǎn)電荷所在位置）；當(dāng)導(dǎo)體表面處時(shí)，；

設(shè)在導(dǎo)體下方與點(diǎn)電荷對(duì)稱的位置處有一點(diǎn)電荷（象電荷），用該象電荷代替導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷，即引入后，就像把導(dǎo)體平面抽走一樣，用兩點(diǎn)電荷的場(chǎng)疊加計(jì)算。

用一個(gè)處于鏡像位置的點(diǎn)電荷代替邊界的影響，使整個(gè)空間變成均勻的介電常數(shù)為

的空間，則空間任一點(diǎn)P的電位由q

及q'

共同產(chǎn)生，即

解：

介質(zhì)

導(dǎo)體

qrP

介質(zhì)qrPhh

介質(zhì)z0對(duì)于平面上的任一點(diǎn)的電位有即像電荷與原點(diǎn)電荷電量相等，電性相反；的作用代替了導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷。在區(qū)域內(nèi)，電位的解為可得導(dǎo)體表面的面電荷密度：導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷：

電場(chǎng)線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。電場(chǎng)線等位線z

電場(chǎng)線等位線由此可見，電場(chǎng)線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體表面吻合。

半空間等效：上述等效性僅對(duì)于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因?yàn)樵谏习肟臻g中，源及邊界條件未變。

例2、設(shè)兩種介電常數(shù)分別為ε1、ε2的介質(zhì)充填于z<0及z>0的半空間，在介質(zhì)2中點(diǎn)(0,0,h)處有一點(diǎn)電荷q,如圖所示，求空間各點(diǎn)的電位。

2

1qetenz分析：為了求解上半空間的場(chǎng)可用鏡像電荷q'等效邊界上束縛電荷的作用，將整個(gè)空間變?yōu)榻殡姵?shù)為

2的均勻空間。對(duì)于下半空間，可用位于原點(diǎn)電荷處的q"等效原來的點(diǎn)電荷q

與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個(gè)空間變?yōu)榻殡姵?shù)為

1的均勻空間。例3、

如下圖所示，一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)體球，一點(diǎn)電荷q位于距球心d處（d>a)，求球外任一點(diǎn)的電位。

dqo分析：先試探用一個(gè)鏡像電荷q′等效球面上的感應(yīng)面電荷在球外產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)。從對(duì)稱性考慮，鏡像電荷q′應(yīng)置于球心與電荷q的連線上，設(shè)q′離球心距離為b(b<a)，球外任一點(diǎn)的電位是由電荷q與鏡像電荷q′產(chǎn)生電位的疊加Pabrq

AB§

2.9解電流場(chǎng)的靜電類比法物理量的對(duì)偶關(guān)系

靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)

因此，當(dāng)穩(wěn)定電流場(chǎng)與靜電場(chǎng)的邊界條件相同時(shí)，電流密度的分布與電場(chǎng)強(qiáng)度的分布特性完全相同。根據(jù)這種類似性，可以利用已經(jīng)獲得的靜電場(chǎng)的結(jié)果直接求解穩(wěn)定電流場(chǎng)?；蛘哂捎谠谀承┣闆r下，穩(wěn)定電流場(chǎng)容易實(shí)現(xiàn)且便于測(cè)量時(shí)，可用邊界條件與靜電場(chǎng)相同的電流場(chǎng)來研究靜電場(chǎng)的特性，這種方法稱為靜電比擬法。

靜電比擬法的理論依據(jù)：解的唯一性定理

利可用已經(jīng)獲得的靜電場(chǎng)結(jié)果可以求解穩(wěn)定電流場(chǎng)。

例:(1)均勻各向同性介質(zhì)中點(diǎn)電流源的場(chǎng)(2)點(diǎn)電流源在地面（半均勻空間）的場(chǎng)(3)兩個(gè)接地電源產(chǎn)生的場(chǎng)§

2.10分離變量法1、直角坐標(biāo)系中的分離變量法設(shè)可以表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，即

在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程為然后用fgh除上式，得令知分離變數(shù)間有關(guān)系為分離變數(shù)、、與變量無關(guān)，且不可全為實(shí)數(shù)或虛數(shù)。這樣，將拉普拉斯方程的求解問題分解為三個(gè)分別僅與x、y、z變量有關(guān)的常微分方程組的求解，以下以與x有關(guān)的微分方程為例，說明當(dāng)分離變數(shù)取不同值時(shí)的特征解。當(dāng)時(shí)，則

當(dāng)時(shí)，則

當(dāng)時(shí)，則

或的特征解有：

例、橫截面如圖所示的導(dǎo)體長(zhǎng)槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導(dǎo)體蓋板，截面尺寸為a×b，槽體的電位為零，蓋板的電位為U0，求此區(qū)域內(nèi)的電位。

解：

本題的電位與z無關(guān)，只是x、y的函數(shù)。

在區(qū)域0<x<a、0<y<b內(nèi)，邊界條件為：①x=0,(0,y)=0；②x=a,(a,y)=0③y=0,(x,0)=0；④

y=b,(x,b)=U0

設(shè)，利用分離變量法求解由邊界條件（1）、（2）知具有周期性，且

取不同的n值對(duì)應(yīng)的并疊加，即由邊界條件④，有其中

左右兩邊同乘以sin(mπx/a)，并在區(qū)間(0，a)積分，有有

所以，當(dāng)n=1,3,5,…時(shí)，

得到待求區(qū)域的電位為2、圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法運(yùn)用分離變量法，令

當(dāng)電位與坐標(biāo)變量z無關(guān)時(shí)，上式第三項(xiàng)為零，此時(shí)電位

(r,φ)滿足二維拉普拉斯方程：兩個(gè)常微分方程：

當(dāng)時(shí)，n=1，2，3…為整數(shù)，且()與()是空間同一點(diǎn)，有方程（1）的解為所以，方程（2）的解為三角函數(shù)解，即即電位的通解為上式對(duì)n的求和當(dāng)n=0時(shí)，

例、

將半徑為a的無限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱置于真空中的均勻電場(chǎng)E0中，柱軸與E0方向垂直，求任意點(diǎn)的電位分布。

解：令圓柱的軸線與z軸重合，E0的方向與x方向一致，如圖所示。由于導(dǎo)體柱是一個(gè)等位體，令其電位為零，即在柱內(nèi)(r<a),，柱外電位滿足拉普拉斯方程。的形式就是圓柱坐標(biāo)系拉普拉斯方程的通解。以下由邊界條件確定待定系數(shù)。本例的邊界條件是：①r→∞，柱外電場(chǎng)E2→E0,即→-E0x，設(shè)僅有外場(chǎng)時(shí)的電位為，即。②r=a，導(dǎo)體柱內(nèi)、外電位連續(xù)，即。且，電位關(guān)于軸對(duì)稱，即在通解中只取余弦項(xiàng)，于是，因這一表達(dá)式對(duì)任意的φ成立，所以所以，得

例、

若在電場(chǎng)強(qiáng)度為E0的均勻靜電場(chǎng)中