吉林省延邊朝鮮族自治州汪清縣2023年高考仿真模擬數學試卷含解析

2023年高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3,請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

'x+y-2<0

2x-y+3》0

i.設實數”滿足條件l貝！i'"+/的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為（）

3.設，■為虛數單位，若復數z（l-i）=2+2i,則復數z等于（）

A.-2zB.2iC.-1+zD.0

4.五行學說是華夏民族創(chuàng)造的哲學思想，是華夏文明重要組成部分.古人認為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五

類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關系.若從5類元素中任選2類元素，則2

類元素相生的概率為（）

x(x+2),-2<x<0“八”、

5.已知函數，（x）滿足：當工且—2,2）時，/（%）=，\二，且對任意xeR,都有〃x+4)=/(x),

log2x,0<x<2

則“2019)=(

I).log23

6.已知復數二滿足z（l+i）=4-3i,其中i是虛數單位，則復數二在復平面中對應的點到原點的距離為（）

7.某幾何體的三視圖如圖所示，若側視圖和俯視圖均是邊長為2的等邊三角形，則該幾何體的體積為

俯視圖

4G

8.我國古代數學著作《九章算術》中有如下問題：“今有器中米，不知其數，前人取半，中人三分取一，后人四分取

一，余米一斗五升（注：一斗為十升）.問，米幾何？”下圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的S=15（單

位：升），則輸入的k的值為（）

［開始）

/輸L/

A.45B.60C.75D.1（）0

9.若a<匕<0,則下列不等式不能成立的是（）

A.->-J-B.—C.\a\>\b\D.a2>b2

aba-ba

x2+x+ax<0

10.已知A,3是函數/（x）={'~圖像上不同的兩點，若曲線v=/（x）在點A,8處的切線重合，則

xlnx-a,x>0

實數。的最小值是（）

11

A.—1B.------C.一

22

H.二項式（土―3］展開式中，，項的系數為（）

12X）x

2835

D.-------

8

4九一y..2,

12.不等式《‘°的解集記為O,有下面四個命題:Pi:V(x,y)eD,2y-%,5；p:3(x,y)eD,2y-x..2；

、x+y,,32

P3：V(x,y)eD,2y-%,2；p&H(x,y)eO,2y-x..4淇中的真命題是()

A.P1，P2B.P2,PiC.P\,P3D.P2，P4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知平面向量〃，5，3滿足|團=1,區(qū)1=2,a,5的夾角等于（，且（M3）?（5-E）=0,則|守|的取值

范圍是.

14.已知函數?。?logJ》>1,則/（/（2））=——.

15.(31-2x-1?的展開式中，/的系數是.(用數字填寫答案)

16.某高校開展安全教育活動，安排6名老師到4個班進行講解，要求1班和2班各安排一名老師，其余兩個班各安

排兩名老師，其中劉老師和王老師不在一起，則不同的安排方案有種.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試，每位同學彼此獨立的從五所高校中

任選2所.

(D求甲、乙、丙三名同學都選。高校的概率；

(2)若已知甲同學特別喜歡A高校，他必選A校，另在5,C,Q,E四校中再隨機選1所；而同學乙和丙對五所高校沒

有偏愛，因此他們每人在五所高校中隨機選2所.

(0求甲同學選。高校且乙、丙都未選O高校的概率；

(?)記X為甲、乙、丙三名同學中選O高校的人數，求隨機變量X的分布列及數學期望.

18.(12分)如圖，四棱錐尸一ABC。的底面ABC。中，八鉆。為等邊三角形，△BCD是等腰三角形，且頂角

=120°,PC±BD,平面P8D,平面ABCD,M為必中點.

(1)求證：DM//平面P8C；

(2)若PD工PB,求二面角。一帖-3的余弦值大小.

19.(12分)己知ae(0闖，匹仁，兀)，cos0=-；,sin(a+/7)=1.

(1)求sina的值；

(2)求tan(a+f)的值.

20.（12分）如圖，在三棱柱ABC-AB|G中，AC=3C=1,AB=0，4C=1，4C_L平面ABC.

A?

(1)證明：平面AACG，平面BCC4

(2)求二面角A-旦6-C的余弦值.

21.(12分)設橢圓C：》+*=l(a>b>0)的右焦點為F,右頂點為A,已知橢圓離心率為,，過點尸且與》軸

垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設過點A的直線/與橢圓。交于點8(3不在X軸上)，垂直于/的直線與/交于點與)'軸交于點H,若

BFA.HF,且NMQ4WNM4O,求直線/斜率的取值范圍.

，2

22.(10分)已知P(0,—2),點A,B分別為橢圓后：三+3=1(。>匕>0)的左、右頂點，直線秘交￡于另一點

Q,AA8P為等腰直角三角形，且|PQ|：|0B|=3:2.

(I)求橢圓E的方程；

(II)設過點/，的直線/與橢圓E交于M,N兩點，總使得NMON為銳角，求直線/斜率的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

畫出可行域和目標函數，根據目標函數的幾何意義平移得到答案.

【詳解】

如圖所示：畫出可行域和目標函數,

z=x+y+lf即r=-x+z-/,z表示直線在y軸的截距加上1,

-1'

x《--,7

根據圖像知，當x+y=2時，且3'J時，z=x+y+/有最大值為3.

故選：C

【點睛】

本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關鍵.

2.A

【解析】

19

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的孤例的值，當x=3,M=—>4,退出循環(huán)，輸出結果.

【詳解】

程序運行過程如下：

x-3,M=0；x=-|,M=-|；%=_；，用=：；

c019223

X=3,A/=；x=—fA/=；

636

1101919

x=-p；x=3,M=y>4,退出循環(huán)，輸出結果為丁，

故選：A.

【點睛】

該題考查的是有關程序框圖的問題，涉及到的知識點有判斷程序框圖輸出結果，屬于基礎題目.

3.B

【解析】

根據復數除法的運算法則，即可求解.

【詳解】

z（l-z）=2+2z,z=Y^-=2Z.

故選:B.

【點睛】

本題考查復數的代數運算，屬于基礎題.

4.A

【解析】

列舉出金、木、水、火、土任取兩個的所有結果共10種，其中2類元素相生的結果有5種，再根據古典概型概率公式

可得結果.

【詳解】

金、木、水、火、土任取兩類，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結果，

其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結果，

所以2類元素相生的概率為之==,故選A.

【點睛】

本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數是解題的

關鍵，基本事件的探求方法有⑴枚舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的；⑵樹狀圖法：適合于較

為復雜的問題中的基本事件的探求.在找基本事件個數時，一定要按順序逐個寫出：先（A，A），（4，員工...（4，4），

再（4,耳），（&,紇）..…（4,紇）依次（&,即（4，與）....（4,旦）…這樣才能避免多寫、漏寫現象的發(fā)生.

5.C

【解析】

由題意可知/（2019）=/（-1）,代入函數表達式即可得解.

【詳解】

由/(x+4)=/(x)可知函數/(x)是周期為4的函數，

/(2019)=/(-l+4x505)=/(-l)=-lx(-l+2)=-l.

故選：C.

【點睛】

本題考查了分段函數和函數周期的應用，屬于基礎題.

6.B

【解析】

利用復數的除法運算化簡Z,復數z在復平面中對應的點到原點的距離為Iz|,利用模長公式即得解.

【詳解】

由題意知復數二在復平面中對應的點到原點的距離為IZI,

故選：B

【點睛】

本題考查了復數的除法運算，模長公式和幾何意義，考查了學生概念理解，數學運算，數形結合的能力，屬于基礎題.

7.C

【解析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長為2的等邊三角形，三棱錐的高為道，所以該幾何體的體積

V=lxlx2x2x^-x^=l,故選C.

322

8.B

【解析】

根據程序框圖中程序的功能，可以列方程計算.

【詳解】

123

由題意Sx—x—x—=15,S=60.

234

故選：B.

【點睛】

本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關鍵.

9.B

【解析】

根據不等式的性質對選項逐一判斷即可.

【詳解】

選項A：由于即,沿＞0,b-a＞0,所以，一,=幺心＞0,所以!＞工，所以成立；

abahab

11〃八11

選項B：由于。＜人＜0,即Q—/?＜0,所以一-一一~~-＜0,所以一所以不成立；

a-baa(a-b)a-ba

選項C：由于a＜8＜0,所以—。＞一8＞0,所以|。|〉附I,所以成立；

選項D：由于。＜匕＜0,所以一。＞一匕＞0,所以|a|＞|",所以/＞從，所以成立.

故選：B.

【點睛】

本題考查不等關系和不等式，屬于基礎題.

10.B

【解析】

先根據導數的幾何意義寫出/(x)在A,B兩點處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關系樹,

從而得出a=；(x；-02外)，令函數8口卜；*々?*)^^。)，結合導數求出最小值，即可選出正確答案.

【詳解】

解：當xWO時，/(x)=x2+x+a,則/'(x)=2x+l；當x＞()時，f(x)=x\nx-a

則尸(x)=lnx+l.設4(%,.”網)),3(々,〃工2))為函數圖像上的兩點，

當王＜々＜0或0＜玉＜彳2時，/'(xj5t/'(X2),不符合題意，故再＜0＜%2.

則/(X)在A處的切線方程為y—+玉+”)=(2演+1)(工一七)；

“X)在8處的切線方程為.V-WIn4+。=(lnx2+l)(x-x,).由兩切線重合可知

整理得。專任-^^叫不妨設g(x)=；(x2_e2，)(x?o)

貝ijg(x)=x—e2，,g"(x)=i—2e2x,由g"(x)=O可得》=Jn；

則當x=_Lln，時,g'(x)的最大值為=-J<0.

22

貝雅(力=，尤2_62,在(7,0]上單調遞減，則aNg(O)=-；.

故選:B.

【點睛】

本題考查了導數的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數與方程、分類與整合、轉化與化歸等思想方法.本題的

難點是求出4和X的函數關系式.本題的易錯點是計算.

11.D

【解析】

寫出二項式的通項公式,再分析x的系數求解即可.

【詳解】

二項式(AC!展開式的通項為(V)=C；W(―3)十",令7_2r=_1,得廠=4,故1項的系

數為(—3)4=等.

故選：D

【點睛】

本題主要考查了二項式定理的運算，屬于基礎題.

12.A

【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結果.

【詳解】

作出可行域如圖所示，當x=Ly=2時，(2y-x)max=3,即2〉-x的取值范圍為(—8,3],所以

V(x,y)GD,2y-%,5,0為真命題；

3(%,y)eD,2y-x..2,p2為真命題；p3,p4為假命題.

故選：A

【點睛】

此題考查命題的真假判斷與應用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關鍵，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

77-73"+石

13.

22

【解析】

_￡2+1

計算得到應+51="，c2-J71C\cosa-1,解得cosa="同?根據三角函數的有界性計算范圍得到答案.

【詳解】

,___乃__

由—忑)=0可得c2=(<a+b^9c-a-b=\a^-h1*1c\cosa-\^2cos—=\a+h\9\c\cosa-1,“為萬+5

與3的夾角.

再由(1+/?)=萬'+力~+2日，6=l+4+2xlx2cos—=7可得+。|=，

c2+l

:.c2=y/7IC\cosa-1,解得cosa

Wi,

???0W,...-IMosaWl,...方BP|c|2-V7|c|+l<0,解得'J￡建\￡RS

故答案為［書回吟^

【點睛】

本題考查了向量模的范圍，意在考查學生的計算能力，利用三角函數的有界性是解題的關鍵.

1

14.-

2

【解析】

先由解析式求得/(2),再求/(.f(2)).

【詳解】

f(2)=%2=T,/(-1)=2-'=|,

所以(2))=/(-1)=：,

故答案為：—

2

【點睛】

本題考查對數、指數的運算性質，分段函數求值關鍵是“對號入座”，屬于容易題.

15.-25

【解析】

根據組合的知識，結合組合數的公式，可得結果.

【詳解】

由題可知：/項來源可以是：(1)取1個3f,4個—1

(2)取2個-2x,3個-1

%2的系數為：C；x3xC：(―1)4+C；(―2『C(―1)3=-25

故答案為：-25

【點睛】

本題主要考查組合的知識，熟悉二項式定理展開式中每一項的來源，實質上每個因式中各取一項的乘積，轉化為組合

的知識，屬中檔題.

16.156

【解析】

先考慮每班安排的老師人數，然后計算出對應的方案數，再考慮劉老師和王老師在同一班級的方案數，兩者作差即可

得到不同安排的方案數.

【詳解】

安排6名老師到4個班則每班老師人數為1,1,2,2,共有C：C；C：C；=180種，

劉老師和王老師分配到一個班，共有C\C\A^=24種，

所以180—24=156種.

故答案為：156.

【點睛】

本題考查排列組合的綜合應用，難度一般.對于分組的問題，首先確定每組的數量，對于其中特殊元素，可通過“正難

則反”的思想進行分析.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

8921

17.(1)—(2)(I)—(?)分布列見解析，E(X)=一

12510020

【解析】

(1)先計算甲、乙、丙同學分別選擇D高校的概率，利用事件的獨立性即得解；

(2)(i)分別計算每個事件的概率，再利用事件的獨立性即得解；

(ii)X=0,1,2,3,利用事件的獨立性，分別計算對應的概率，列出分布列，計算數學期望即得解.

【詳解】

(1)甲從A5,C,O,E五所高校中任選2所，共有

BE,CD,CE,DE共10種情況,

甲、乙、丙同學都選。高校，共有AD,BD,CD,四種情況,

42

甲同學選D高校的概率為=

2

因此乙、丙兩同學選。高校的概率為

因為每位同學彼此獨立，

所以甲、乙、丙三名同學都選。高校的概率為[2]=3.

⑶125

(2)(0甲同學必選A校且選。高校的概率為!，乙未選。高校的概率為2=[,

4105

丙未選。高校的概率為右=(,因為每位同學彼此獨立，

1339

所以甲同學選。高校且乙、丙都未選。高校的概率為？『分而.

(n)X=0,1,2,3,

E…“小33327…八133323c9

因此P(X=0)=—x-x-=,P(X=1)=—x-x-+—x—x-x2=一,

45510045545520

173132322_6

p(X=2)=-x—x二+—X—X—+—X—X

455455455-25

p(x=3)=-x-x-=—.

45525

即X的分布列為

X0123

27961

p

100202525

因此數學期望為

…、八27,9C6.121

E(X)=0x---F1x---P2x--F3x—=—

10020252520

【點睛】

本題考查了事件獨立性的應用和隨機變量的分布列和期望，考查了學生綜合分析，概念理解，實際應用，數學運算的

能力，屬于中檔題.

18.(1)見解析；(2)叵

7

【解析】

(1)設AB中點為N,連接MN、DN,首先通過條件得出AB,加ON_LAB,可得DN//BC,進而可得

DN//平面PBC,再加上MN//平面P8C,可得平面DW?V//平面P8C,則DM//平面PBC；

(2)設8。中點為。，連接A。、CO,可得平面ABC。，加上8O_L平面PCO,則可如圖建立直角坐標系

O-xyz,求出平面Z45的法向量和平面PAC的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.

【詳解】

(D證明：設AB中點為N,連接MN、DN,

為等邊三角形，

：.DN±AB,

?;DC=CB,NOC3=120。，

/.ZCBD=30°,

.-.ZABC=60°+30°=90°,即CBL43,

?;DNLAB,

：.DN//BC,

?.?BCu平面PBC,DNz平面PBC>

:.DN//平面PBC,

??,MV為△P48的中位線，

:.MN//PB,

?.?PBu平面P8C,用N<z平面P6C,

.?.加乂//平面尸8。，

■;MN、￡W為平面OMN內二相交直線，

平面DMN//平面PBC,

?.?DWu平面DMN,

.?.。加//平面尸8。；

(2)設3。中點為。，連接A。、CO

?.?△ABD為等邊三角形，△88是等腰三角形，且頂角N3CZ)=12()°

AO±BD,COYBD,

.?.A、C、。共線，

-.PCLBD,BD1CO,PCC\CO=C,PC,COu平面PC。

.?.3O_L平面PCO.

?.POu平面PCO

:.BD±PO

?.?平面PBDJ>平面ABC。，交線為BD,POu平面PBD

.?.PO_L平面ABCD.

設AB=2,則AO=3

在△3C￡>中，由余弦定理，得：BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosZBCD

又?.?BC=C。，

22=2BC2-2BC2-COS120°?

.rRrn2出

..Co=CLJ=-----?C(J=---->

33

PDCB,0為BD中點,

PO=-BD=\,

2

建立直角坐標系。-型（如圖），則

c|-^,o,o\P(OQ1),A(瘋0,0),3(0,1,0).

V3)

.?.麗=(6,-1,0),PA=(^,O,-1),

設平面QAB的法向量為〃=(x,y,z),貝！1,

n-BA—0-J3x-y=0

，一一CL，

n-PA=0y/3x—z=0

取x=l,則y=z=退，

=百)，

平面PAC的法向量為麗=(0,1,0),

c°“廊卜耦=與’

???二面角C—P4—B為銳角，

二面角C—PA—B的余弦值大小為也.

7

【點睛】

本題考查面面平行證明線面平行，考查向量法求二面角的大小，考查學生計算能力和空間想象能力，是中檔題.

19.(1)-(2)述

32

【解析】

(1)先利用同角的三角函數關系解得sin(3和cos(c+4)，再由sina=sin[(e+/?)一4],利用正弦的差角公式求解

即可；

(2)由(1)可得tana和tan尸,利用余弦的二倍角公式求得tan2,再由正切的和角公式求解即可.

2

【詳解】

解：(1)因為尸乃),COS/?=-g,

所以sin,=Jl-cos，(5=

又ae，故a+Z?e

所以cos(a+￡)=_Jl_sin2(a+夕)=

所以sina=sin[(a+4)一切=sin(a+。)cos°-cos(a+4)sin0

1](4420」

9I3)(9J33

(2)由⑴得,sina=g,ae(0,9，

所以cosa=Vl-sinl2?=^1-^"番'

的a,sinaV2

所以tana=----=---,

cosa4

nBcos?§-sin2g1-tan2g]

因為cos/?=cos2f-sin2f=-j-----專=-------吃且COS4=一；,

2cos24+sin241+tan嘴3

222

即=-\解得tai?§=2,

l+tan2y

因為所以所以tan^＞。，

所以tan/8

所以tan/a+與n\=--t-u-n-a--+--t-a-n2-^=工_^=羋cnz

I211-tanatan—1-2

22

【點睛】

本題考查已知三角函數值求值，考查三角函數的化簡,考查和角公式，二倍角公式，同角的三角函數關系的應用，考查運算

能力.

20.(1)證明見解析(2)走

3

【解析】

(1)證明AC_L平面8CCM即平面4ACG，平面BCC4得證；⑵分別以所在直線為x軸，y軸.

軸，建立如圖所示的空間直角坐標系。孫z,再利用向量方法求二面角A的余弦值.

【詳解】

(1)證明：因為耳C_L平面ABC,所以用C，AC

因為AC==1,A5=應.所以AC2+BC2=AB?.即AC±BC

又BC口與。=C.所以AC_L平面BCC.B,

因為4Cu平面4ACG?所以平面4ACGJ_平面BCCE

(2)解：由題可得BC，C4,CB兩兩垂直，所以分別以C4,CB,BC所在直線為x軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間

直角坐標系C-xyz,則A(1,O,O),C(0,0,0),8(0,1,0),。(0,0,1),所以函=(0,-1,1),麗=(一1,1,0)

設平面ABB｝的一個法向量為m=(x,y,z),

----------------f-y+z=0

由心BBi=0,mA8=0.得j、0

令x=l,得加=(1,1,1)

又CA,平面C8片,所以平面。?用的一個法向量為b=(1,0,0).

cos(m,CA)=-^==

所以二面角A-8/-C的余弦值為巫.

3

【點睛】

本題主要考查空間幾何位置關系的證明，考查二面角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

21.(I)—+^=1(H)

43

【解析】

2b*c

(I)由題意可得二=3,e=2,a2=h2+c2,解得即可求出橢圓的C的方程；

aa

(D)由已知設直線/的方程為產左(x-2),(A#)),聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關于X的一元二次方程，利用根

與系數的關系求得8的坐標，再寫出所在直線方程，求出”的坐標，由8幾L//F,解得由方程組消去y,解

得龍，由ZMOA<NM4O,得到xM>1，轉化為關于k的不等式，求得上的范圍.

【詳解】

(I)因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3,

因為橢圓離心率e為!，所以￡=二,

2a2

又。2=及+。2,

解得a=29c=l?b=5/3,

所以橢圓C的方程為三+匯=1