金融工程計(jì)算題練習(xí)

計(jì)算題練習(xí)1、某股票預(yù)計(jì)在2個(gè)月和5個(gè)月后每股分別派發(fā)1元股息,該股票當(dāng)前市價(jià)為30元,所有期限的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率均為6%,某投資者剛?cè)〉迷摴善?個(gè)月期的遠(yuǎn)期合約〔交割價(jià)為遠(yuǎn)期價(jià)格〕空頭,交易單位為100.請(qǐng)問(wèn)：〔1〕當(dāng)前時(shí)點(diǎn)該股票的遠(yuǎn)期價(jià)格是多少？合約初始價(jià)值為多少？〔2〕3個(gè)月后,若該股票價(jià)格漲至35元,若利率期限結(jié)構(gòu)沒(méi)變,此時(shí),遠(yuǎn)期價(jià)格是多少？合約對(duì)該投資者的價(jià)值是多少？2、20XX5月22日,市場(chǎng)中美國(guó)和歐元的利率和即期匯率數(shù)據(jù)如下表所示,若歐元遠(yuǎn)期匯率為1EUR=1.2750USD，判斷是否存在套利機(jī)會(huì)？如果存在套利機(jī)會(huì)，該如何進(jìn)行套利操作？1年后所獲套利利潤(rùn)是多少？〔不考慮交易成本〕Currencies1年期市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率〔連續(xù)復(fù)利〕即期匯率EUR1.25%1.2683USD/EURUSD1.00%3、 假設(shè)在一筆互換合約中，某一金融機(jī)構(gòu)每半年支付6個(gè)月期的LIBOR，收取固定利率,互換的期限1.5年.已知6個(gè)月、12個(gè)月和18個(gè)月的LIBOR〔連續(xù)復(fù)利利率〕分別為10%、11%和12%.試確定此互換中固定利率的合理水平.4、 公司A和B可按以下利率借入期限為5年的1000萬(wàn)美元: 固定利率浮動(dòng)利率公司A12.0%LIBOR+0.1%公司B13.4%LIBOR+0.6%公司A想獲得浮動(dòng)利率貸款；公司B想獲得固定利率貸款?請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)互換，一家銀行作為中介，凈收益為年率0.1%,并且使得該互換對(duì)A和B雙方都同樣有吸引力.5、 執(zhí)行價(jià)格為30元的3個(gè)月期某股票歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格分別為3元和1元.標(biāo)的股票價(jià)格為31元,3個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%〔連續(xù)復(fù)利〕,問(wèn):是否存在套利機(jī)會(huì)？若存在套利機(jī)會(huì),該如何進(jìn)行套利操作？3個(gè)月后的套利利潤(rùn)是多少？〔不考慮交易摩擦〕6、 20XX5月20日，美元6個(gè)月期與1年期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率〔連續(xù)復(fù)利〕分別為4%與6%.市場(chǎng)上一種10年期國(guó)債現(xiàn)金價(jià)格為1000美元,該證券一年期遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格為900美元,該債券在6個(gè)月和12個(gè)月后都將收到50美元的利息,且第二次付息日在遠(yuǎn)期合約交割日之前,求該合約多頭與空頭的價(jià)值各為多少？7、 美元和英鎊的1年期連續(xù)復(fù)利分別為3.92%和6.77%,英鎊的現(xiàn)貨匯率為1.60美元,1年期的英鎊遠(yuǎn)期價(jià)格為1.58美元,問(wèn)是否存在套利機(jī)會(huì)？如果存在,如何套利？利潤(rùn)是多少？8、 A公司和B公司均需要在市場(chǎng)上進(jìn)行10年期500萬(wàn)美元的投資，且A公司希望以固定利率投資,B公司希望以浮動(dòng)利率投資?兩個(gè)公司可獲得的投資收益如下：以固定利率投資A公司可獲利率8.0%,B公司可獲利率8.8%；以浮動(dòng)利率投資均獲得LIBOR.試設(shè)計(jì)一利率互換,其中銀行作為中介獲得利差0.2%的報(bào)酬,而兩個(gè)公司獲相同收益.9、 標(biāo)的股票現(xiàn)價(jià)為24美元,2個(gè)月和5個(gè)月后每股將分別派發(fā)0.5美元紅利.現(xiàn)有執(zhí)行價(jià)格均為25美元,6個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán),售價(jià)都為2美元.設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%〔連續(xù)復(fù)利〕.問(wèn)是否存在套利機(jī)會(huì)？若有,請(qǐng)構(gòu)造套利組合.10、 20XX5月25日,GE的股票報(bào)價(jià)19.25美元，其在CBOE交易的執(zhí)行價(jià)格16美元,20XX7月15日到期的該股票CallOption報(bào)價(jià)3.25美元;執(zhí)行價(jià)格21美元,同一到期日的CallOption報(bào)價(jià)0.12美元.假設(shè)CBOE交易的該股票期權(quán)為歐式期權(quán),請(qǐng)問(wèn)：〔1〕利用上述期權(quán)如何構(gòu)造出BullSpread?〔2〕列出該組合的profit狀況.11、 20XX6月2日,Coca-ColaCompany股票報(bào)價(jià)66.76美元，其在ISE交易的20XX11月18日到期〔距離到期日還有169天,1年按365天計(jì)〕，執(zhí)行價(jià)格為70美元的該股票CallOption售價(jià)為1.16美元,PutOption售價(jià)為5.15美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為0.25%〔連續(xù)復(fù)利〕?假設(shè)ISE交易的該股票期權(quán)為歐式期權(quán),期間無(wú)紅利支付,請(qǐng)問(wèn)：〔1〕對(duì)投資者而言,是否存在套利機(jī)會(huì)？〔2〕如果存在套利機(jī)會(huì),應(yīng)如何套利？1單位的套利凈利潤(rùn)是多少？12、 20XX6月1日,MICROSOFTCORP.股票報(bào)價(jià)25.01美元，其在CBOE交易的執(zhí)行價(jià)格22美元,20XX7月15日到期的該股票CallOption報(bào)價(jià)3.00美元；執(zhí)行價(jià)格27美元，同一到期日的CallOption報(bào)價(jià)0.09美元.假設(shè)CBOE交易的該股票期權(quán)為歐式期權(quán),請(qǐng)問(wèn)：〔1〕利用上述期權(quán)如何構(gòu)造出BearSpread？〔2〕利用表格列出該組合的profit狀況.〔3〕繪制profit圖.13、 A公司是AAA級(jí)的大型績(jī)優(yōu)公司，其長(zhǎng)期固定利率融資成本為年息7%,短期浮動(dòng)利率融資成本為L(zhǎng)IB0R+0.4%.B公司BBB級(jí)的中小型公司，其固定利率融資成本為&5%,浮動(dòng)利率融資成本為L(zhǎng)IB0R+0.7%.現(xiàn)假設(shè)A公司具有浮動(dòng)利率的收益,希望以浮動(dòng)利率支付其債務(wù)利息,而B(niǎo)公司則具有固定利率的收益，希望以固定利率支付其債務(wù)利息.由A、B如何應(yīng)用互換降低各自的籌資成本？14、 20XX6月3日,市場(chǎng)中美國(guó)和歐元區(qū)的利率和匯率數(shù)據(jù)如下表所示不考慮交易成本,請(qǐng)問(wèn)：〔1〕1年期歐元遠(yuǎn)期匯率的理論價(jià)格是多少？〔2〕觀察表中數(shù)據(jù),判斷是否存在套利機(jī)會(huì)？如果存在套利機(jī)會(huì)，請(qǐng)問(wèn)如何套利？1年后1單位貨幣的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利利潤(rùn)是多少？Currencies1年期市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率〔連續(xù)復(fù)利〕即期匯率1年期遠(yuǎn)期匯率EUR1.25%1.44881.4312USD0.25%15、 假設(shè)兩個(gè)零息票債券A和B,兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元〔到期時(shí)都獲得100元現(xiàn)金流〕.如果債券A的當(dāng)前價(jià)格為98元，并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況.問(wèn)題：〔1〕債券B的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)該為多少呢？〔2〕如果債券B的當(dāng)前價(jià)格只有97.5元，問(wèn)是否存在套利機(jī)會(huì)？如果有，如何套利？16、 某公司將在3月后購(gòu)買(mǎi)100萬(wàn)加侖的航空燃油,3月內(nèi)每加侖航空燃油的價(jià)格變化的標(biāo)準(zhǔn)方差為0.032.公司決定作多熱油期貨合約進(jìn)行套期保值,3月內(nèi)每加侖熱油期貨的價(jià)格變化的標(biāo)準(zhǔn)方差為0.04,且3月內(nèi)航空燃油的價(jià)格變化與3月內(nèi)熱油期貨的價(jià)格變化的相關(guān)系數(shù)為0.8.如果一X熱油期貨合約為42000加侖，求＜1＞最佳套期比率；＜2＞為套期保值，公司須購(gòu)買(mǎi)多少期貨合約？17、 20XX6月3日,市場(chǎng)中美國(guó)和歐元區(qū)的利率和匯率數(shù)據(jù)如下表所示不考慮交易成本,請(qǐng)問(wèn)：〔1〕1年期歐元遠(yuǎn)期匯率的理論價(jià)格是多少？〔2〕觀察表中數(shù)據(jù),判斷是否存在套利機(jī)會(huì)？如果存在套利機(jī)會(huì)，請(qǐng)問(wèn)如何套利？1年后1單位貨幣的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利利潤(rùn)是多少？Currencies1年期市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率〔連續(xù)復(fù)利〕即期匯率1年期遠(yuǎn)期匯率EUR1.25%1.44881.4312USD0.25%18、20XX5月20日,美元6個(gè)月期與1年期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率〔連續(xù)復(fù)利〕分別為4%與6%.市場(chǎng)上一種10年期國(guó)債現(xiàn)金價(jià)格為1000美元,該證券一年期遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格為900美元,該債券在6個(gè)月和12個(gè)月后都將收到50美元的利息,且第二次付息日在遠(yuǎn)期合約交割日之前,求該合約多頭與空頭的價(jià)值各為多少？參考答案

1、解答〔1〕2個(gè)月和5個(gè)月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值：I=e-6%x2/12+e-6%x5/12=1.9654元〔1分〕遠(yuǎn)期價(jià)格：F=(30—1.97)e6%炮12=28.88元〔1.5分〕因?yàn)榻桓顑r(jià)等于遠(yuǎn)期價(jià),所以合約價(jià)值為0.〔1.5分〕〔2〕3個(gè)月后的時(shí)點(diǎn),2個(gè)月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值：I=e-6%x2/12=0.99元〔1分〕遠(yuǎn)期價(jià)格：F二(35一0.99)e6%?/12二34.52元〔1.5分〕合約價(jià)值：f二100x(28.88—34.52)e-6%x3/12二—555.64元2、解答〔1〕1年期歐元遠(yuǎn)期匯率的理論價(jià)格為：F二Se(r-rf)(T一)二1.2683xe(1%-1.25%x二1.2651<1.2751〔3分〕〔2〕因?yàn)閷?shí)際報(bào)價(jià)高于理論價(jià)格,所以存在套利機(jī)會(huì).投資者可以通過(guò)借入$1.2683exp<-1.25%>,在即期外匯市場(chǎng)換成€。乂卩<-1.25%>,并在遠(yuǎn)期市場(chǎng)以€1=$1.2751將到期獲得的€1換成$1.2751，歸還債務(wù)本息和$1.2651〔=1.2683exp<-1.25%+1%>〕，可獲套利$0.0100.〔5分〕3、解答：設(shè)互換本金為A，固定利率為r角〔半年付息一次〕?因?yàn)榛Q之初浮動(dòng)利率等于貼現(xiàn)利率，所以浮動(dòng)利率債券的價(jià)值B 為；floatB=A〔2分〕float固定利率債券的價(jià)值Bfix為：B=A[r/2B=A[r/2x(e—10%x1/2+e—11%x1+e—12%x3/2)+1xe—12%x3/2]〔3分〕fixfix合理的固定利率應(yīng)使得互換價(jià)值為0,即解得：r=12.28fix4、解答：評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：比較優(yōu)勢(shì)選擇正確,2分；現(xiàn)金流方向正確,3分；利率數(shù)據(jù)正確,3分.LIBOR+O.6%5、 解答〔1〕c+Xe-r(t-t)=3+30e-10%x3/12=32.26c+Xe-r(T-)>p+S，存在套利機(jī)會(huì).〔3分〕〔2〕套利操作：賣(mài)出1份CallOption，借入期限為3個(gè)月,利率為10%的資金29美元〔=31+1-3〕，買(mǎi)入PutOption和股票各1份.到期CallOption空頭、PutOption多頭加股票多頭的組合將獲得30美元.償還債務(wù)本息和29.73美元,可獲利潤(rùn)0.27美元.〔5分〕6、 解答〔1〕根據(jù)已知條件,算出該債券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值為：I=50e-4%x1/2+50e-6%x1=96.10〔3分〕因此,該遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值為：F=S-I-Ke-r(T-t)=1000-96.10e-6%x1=56.31〔3分〕2分〕相應(yīng)地,該合約空頭的遠(yuǎn)期價(jià)值為-56.31美元2分〕7、解答〔1〕1年期英鎊遠(yuǎn)期匯率的理論價(jià)格為：F二Se（r-f）（T-t）二1.60xe（3.92%-6力％）燈二1.56<1.58〔3分〕〔2〕因?yàn)閷?shí)際報(bào)價(jià)高于理論價(jià)格，所以存在套利機(jī)會(huì)?投資者可以通過(guò)借入$1.60exp<-6.77%>,在即期外匯市場(chǎng)換成￡。乂卩<-6.77%>,并在遠(yuǎn)期市場(chǎng)以￡1=$1.58將到期獲得的￡1換成$1.58，歸還債務(wù)本息和$1.56〔=1.60exp<-6.77%+3.92%>〕，可獲套利$0.02.〔5分〕8、 解答X公司在固定利率投資上的年利差為0.8%,在浮動(dòng)利率投資上的年利差為0.因此互換帶來(lái)的總收益是0.8%.其中有0.2%要支付給銀行，剩下的X和Y每人各得0.3%.換句話說(shuō),X公司可以獲得8.3%的回報(bào),Y公司可以獲得LIBOR+0.3%的回報(bào).互換流程如圖所示. 8.3% 8.5%LIBOR |*~十金融中介Y』 8.8%從* —?LIBOR LIBOR評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：比較優(yōu)勢(shì)選擇正確,2分；現(xiàn)金流方向正確,3分；利率數(shù)據(jù)正確,3分.9、 解答：c+Xe-r（t-t）=2+25e-10%x6/12二25.78c+Xe-r（T-t）>P+S-D,違背了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系，所以存在套利機(jī)會(huì). 〔3分〕套利操作：賣(mài)出1份看漲期權(quán),借入金額24〔債務(wù)期限結(jié)構(gòu)為：2個(gè)月期0.5exp<-10%*2/12>,5個(gè)月期0.5exp<-10%*5/12>，其余為6個(gè)月期〕，買(mǎi)入看跌期權(quán)和股票個(gè)1份.到期可獲利潤(rùn)0.79〔=25-[24-0.5exp<-10%*2/12>-0.5exp<-10%*5/12>]exp<10%*6/12> 〔5分〕10、解答：牛市差價(jià)組合可以通過(guò)購(gòu)買(mǎi)執(zhí)行價(jià)格為16美元的call,并賣(mài)出執(zhí)行價(jià)格為21美元的call來(lái)構(gòu)造.該組合期初產(chǎn)生3.13美元的現(xiàn)金流出.該組合的盈虧和回報(bào)如下表所示：Stockprice看漲期權(quán)多頭的盈虧X=16,c=3.25看漲期權(quán)空頭的盈虧X=21,c=0.12總盈虧S戶(hù)16-3.250.12—3.1316VStW21ST-16-3.250.12ST-19.13St>21ST—16-3.2521—St+0.121.8711、解答：根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系,可以得到：〔1〕c+Xe-r（T-t）=1.16+70e-0.25%xi69/365=71.08;p+S=5.15+66.76=71.91〔4分〕〔2〕套利方法為：買(mǎi)入Call,賣(mài)空PutOption和股票.將凈現(xiàn)金收入70.75<=66.76+5.15-1.16>元進(jìn)行169天的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資倒期時(shí)將獲得70.83<=70.75e0.25%X169/365>美元.如果到期時(shí)股票價(jià)格高于70美元,將執(zhí)行CallOption；如果低于70美元,PutOption將被執(zhí)行,因此無(wú)論如何,投資者均將按照70美元購(gòu)買(mǎi)股票,正好用于平倉(cāng)賣(mài)空的股票,因此將獲得凈收益0.83美元.〔4分〕12、解答：熊市差價(jià)組合可以通過(guò)購(gòu)買(mǎi)執(zhí)行價(jià)格為27美元的call，并賣(mài)出執(zhí)行協(xié)議價(jià)格為22美元的call來(lái)構(gòu)造.該組合期初產(chǎn)生2.91美元的現(xiàn)金流入.該組合的盈虧和回報(bào)如下表所示：看漲期權(quán)多頭的盈虧 看漲期權(quán)空頭的盈虧 鼻廠一Stockprice 總盈虧X=27,c=0.09 X=22,c=3.00S吞22 —0.09 3.00 2.9122VStW27 —0.09 22—ST+3.00 24.91—ST St>27 ST—27—0.09 22—ST+3.00 —2.09評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：〔1〕構(gòu)造組合1分；〔2〕profit表格5分,其中每2個(gè)單元格填寫(xiě)正確得1分；〔3〕圖形繪制正確2分.13、 解答〔1〕A公司的比較優(yōu)勢(shì)是固定利率貸款B公司的比較優(yōu)勢(shì)是浮動(dòng)利率貸款〔2分〕〔2〕畫(huà)出互換的現(xiàn)金流圖〔3分〕〔3〕準(zhǔn)確計(jì)算出互換的現(xiàn)金流〔3分〕14、 解答〔1〕1年期歐元遠(yuǎn)期匯率的理論價(jià)格為：F二Se(r-rf)(T-t)二1.4488xe(0.25%-i.25%)xi二1.4344>1.4312〔4分〕〔2〕因?yàn)閷?shí)際報(bào)價(jià)V理論價(jià)格，所以存在套利機(jī)會(huì)?投資者可以通過(guò)借歐元，買(mǎi)入美元,再買(mǎi)入歐元遠(yuǎn)期來(lái)套利.〔2分〕借入€1,1年后需歸還€1.0125；€1立即兌換成$1.4488存款1年，則1年后可得到$1.452422；同時(shí)在遠(yuǎn)期市場(chǎng)上用$1.452422買(mǎi)入€1.014828，獲得的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)歐元利潤(rùn)為€0.002328 〔2分〕15、 解〔1〕按無(wú)套利定價(jià)原理，債券B與債券A有相同的損益或現(xiàn)金流，所以債券B的價(jià)格也應(yīng)為98元.〔2分〕〔2〕若債券B的價(jià)格為97.5元，說(shuō)明債券B的價(jià)值被市場(chǎng)低估?那么債券B與債券A之間存在套利機(jī)會(huì)?實(shí)現(xiàn)套利的方法很簡(jiǎn)單,買(mǎi)進(jìn)價(jià)值低估的資產(chǎn)一一債券B,賣(mài)出價(jià)值高估的資產(chǎn) 債券A.〔3分〕所以,套利的策略就是：賣(mài)空債券A,獲得98元，用其中的97.5元買(mǎi)進(jìn)債券B,這樣套利的盈利為0.5元.〔3分〕16、 解答〔1〕最佳套期保值率〔2〕購(gòu)買(mǎi)期貨合約的數(shù)量：17、 解答〔1〕1年期歐元遠(yuǎn)期匯率的理論價(jià)格為：F二Se(r-rf)(T-t)二1.4488xe(0.25%-1.25%)x1二1.4344>1.4312〔4分〕〔2〕因?yàn)閷?shí)際報(bào)價(jià)V理論價(jià)格，所以存在套利機(jī)會(huì)?投資者可以通過(guò)借歐元，買(mǎi)入美元,再買(mǎi)入歐元遠(yuǎn)期來(lái)套利.〔2分〕借入€1,1年后需歸還€1.0125；€1立即兌換成$1.4488存款1年,則1年后可得到$1.452422；同時(shí)在遠(yuǎn)期市場(chǎng)上用$1.452422買(mǎi)入€1.014828,獲得的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)歐元利潤(rùn)為€0.002328 〔2分〕18、 解答〔1〕根據(jù)已知條件,算出該債券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值為：I二50e-4%x1/2+50e-6%x1二96.10因此,該遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值為：F二S-1-Ke-r(t-t)二1000-96.10e-6%x1二56.31相應(yīng)地,該合約空頭的遠(yuǎn)期價(jià)值為-56.31美元. 〔2分〕期中測(cè)試題目與答案〔2013.5.13〕1、20##5月22日,市場(chǎng)中美國(guó)和歐元的利率和即期匯率數(shù)據(jù)如下表所示,若歐元遠(yuǎn)期匯率為1EUR=1.2751USD，判斷是否存在套利機(jī)會(huì)？如果存在套利機(jī)會(huì)，該如何進(jìn)行套利操作?1年后1單位貨幣所獲套利利潤(rùn)是多少？〔不考慮交易成本〕Currencies1年期市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率〔連續(xù)復(fù)利〕即期匯率EUR1.25%1.2683USD/EURUSD1.00%解答〔1〕1年期歐元遠(yuǎn)期匯率的理論價(jià)格為：〔2〕因?yàn)閷?shí)際報(bào)價(jià)高于理論價(jià)格，所以存在套利機(jī)會(huì).投資者可以通過(guò)借入$1.2683exp<-1.25%X1>,在即期外匯市場(chǎng)換成€exp<-1.25%X1>,并在遠(yuǎn)期市場(chǎng)以€1=$1.2751將到期獲得的€1換成$1.2751，歸還債務(wù)本息和$1.2651〔=1.2683exp<-1.25%+1