第三章 晶體中的原子熱振動(dòng)課件

固體電子學(xué)導(dǎo)論第三章晶體中的原子熱振動(dòng)第3章晶體中的原子熱振動(dòng)3.1原子間的相互作用3.2一維單原子晶格的振動(dòng)3.3一維雙原子晶格的振動(dòng)3.4晶格振動(dòng)的量子化及聲子3.5晶體的熱學(xué)性質(zhì)第三章晶體中的原子熱振動(dòng)晶體宏觀性質(zhì)<——微觀理論固體：確定形狀，確定體積的物質(zhì)形態(tài)性質(zhì)：力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等研究對(duì)象晶體中電子狀態(tài)：假設(shè)原子或離子在格點(diǎn)附近固定不動(dòng)實(shí)際上，有限溫度下，晶體中原子或離子微擾格點(diǎn)（平衡位置）附近做熱振動(dòng)第三章晶體中的原子熱振動(dòng)復(fù)雜：面對(duì)具體的物理現(xiàn)象（比如同樣原子組成的結(jié)構(gòu)不同的材料）微觀：從原子、電子層次（每立方1029數(shù)量級(jí)的原子、電子?。┫嗷プ饔眉斑\(yùn)動(dòng)規(guī)律復(fù)雜金剛石結(jié)構(gòu)石墨第三章晶體中的原子熱振動(dòng)一.原子間的互作用3.1原子間的相互作用

互作用力吸引力：異性電荷間的庫(kù)侖引力排斥力：同性電荷間的庫(kù)侖斥力及泡利原理的排斥力第三章晶體中的原子熱振動(dòng)互作用勢(shì)求得兩個(gè)原子間相互作用力f，需先求得兩原子間的相互作用勢(shì)U第三章晶體中的原子熱振動(dòng)當(dāng)大量原子相互靠近時(shí),總的互作用勢(shì)U:晶體的結(jié)合能r

—最近鄰原子間距i,j=1,2,,N則U可表達(dá)為r的函數(shù)，U=U(r)第三章晶體中的原子熱振動(dòng)1.離子鍵特點(diǎn):晶體結(jié)合的穩(wěn)定性導(dǎo)致導(dǎo)電性能差、熔點(diǎn)高、硬度高和熱膨脹系數(shù)小。二.原子間的鍵離子鍵是由正負(fù)離子通過(guò)庫(kù)侖引力形成的。典型的如ⅠA族元素(堿金屬)與ⅦB族元素(過(guò)渡金屬錳族元素：錳、錸、锝)之間形成。ⅠA族元素易于失去電子而帶正電荷，ⅦB族元素傾向于得到一個(gè)電子而帶負(fù)電荷，并使兩者的電子組態(tài)都變?yōu)闈M殼層。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)2.共價(jià)鍵特點(diǎn):價(jià)電子定域在共價(jià)鍵上致使導(dǎo)電性很弱。熔點(diǎn)高、硬度高。共價(jià)鍵結(jié)合有兩個(gè)基本特征：飽和性和方向性。共價(jià)鍵常由ⅣA碳族元素原子形成，如C、Si、Ge、Sn等。每個(gè)原子有4個(gè)價(jià)電子，能與周?chē)钹徑?個(gè)原子形成4個(gè)共價(jià)鍵，每個(gè)鍵含有自旋相反的2個(gè)電子，它們來(lái)源于2個(gè)不同原子。這樣，每個(gè)原子周?chē)鷵碛?個(gè)電子，使各原子的電子組態(tài)都變?yōu)闈M殼層。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)3.金屬鍵第I族、第II族元素及過(guò)渡元素都是典型的金屬晶體。特點(diǎn):共有化電子可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)，因此導(dǎo)電性、導(dǎo)熱性良好、具有高延展性。金屬鍵常由ⅠA、ⅡA族及過(guò)渡元素原子形成。這些原子的負(fù)電性小，最外層一般有一兩個(gè)容易失去的價(jià)電子，失去價(jià)電子的原子稱(chēng)為離子實(shí)。由于波函數(shù)的交疊，價(jià)電子不再屬于個(gè)別原子而為所有離子實(shí)共有，成為在金屬中自由運(yùn)動(dòng)著的電子，也稱(chēng)作共有化運(yùn)動(dòng)。如果將共有化狀態(tài)的價(jià)電子比作電子云，可以用一個(gè)簡(jiǎn)化的物理模型來(lái)描述金屬晶體：將離子實(shí)看作浸沒(méi)在電子云中，金屬晶體的結(jié)合力主要是來(lái)源于離子實(shí)和電子云之間的靜電作用力。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)4.分子鍵元素周期表中第VIII族元素在低溫下結(jié)合成的晶體?！菢O性分子晶體依靠瞬時(shí)偶極矩的互作用——范德瓦耳斯（VanderWaals）力特點(diǎn):透明的絕緣體，熔點(diǎn)特低（幾十K）第三章晶體中的原子熱振動(dòng)氫鍵是一種氫原子參與成鍵的特殊鍵型。氫原子半徑小，電離能很大，一般情況下不易失去電子，而是與其他原子形成共價(jià)鍵。當(dāng)氫原子唯一的價(jià)電子與其他原子形成共價(jià)鍵后，電子云分布便靠近共價(jià)鍵一邊，而另一邊的原子核則暴露在外，容易通過(guò)庫(kù)侖作用與負(fù)電性大的原子相結(jié)合。5.氫鍵氫原子的這種結(jié)合可表示為

X—H…Y其中，X—H距離近，作用強(qiáng)；H…Y距離稍遠(yuǎn)，結(jié)合力相對(duì)較弱，通常稱(chēng)H…Y為氫鍵。特點(diǎn):弱鍵,具有飽和性和方向性。注意：對(duì)于多數(shù)固體材料，結(jié)合力是綜合性的，同時(shí)存在著兩類(lèi)或兩類(lèi)以上的結(jié)合力。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)3.2一維單原子的振動(dòng)近似與簡(jiǎn)化晶格動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)能量的量子化第三章晶體中的原子熱振動(dòng)一.近似與簡(jiǎn)化三個(gè)近似絕熱近似：解除電子運(yùn)動(dòng)與離子運(yùn)動(dòng)間的耦合簡(jiǎn)諧近似：將原子之間的互作用力看作彈性力最近鄰近似：僅考慮最近鄰原子之間的互作用第三章晶體中的原子熱振動(dòng)二.一維單原子晶格振動(dòng)的經(jīng)典理論晶格振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程1.振動(dòng)方程及行波解只考慮相鄰原子的作用，第n個(gè)原子僅受到第(n-1)個(gè)和第(n+1)個(gè)原子的作用，總的作用力是：根據(jù)牛頓定律，第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)試探解：分析：(1)觀察單個(gè)原子

—振動(dòng)頻率A—振幅qna—初相位各原子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)(2)觀察整個(gè)晶格﹡

各原子振動(dòng)間存在相互聯(lián)系，有固定的位相差。相鄰原子

的位相差為qa﹡﹡第三章晶體中的原子熱振動(dòng)整個(gè)晶格的振動(dòng)（原子振動(dòng)的集體行為），構(gòu)成了一個(gè)波矢為

q的前進(jìn)波———格波。(3)在不同時(shí)間觀察整個(gè)晶格第三章晶體中的原子熱振動(dòng)—色散關(guān)系為非線性關(guān)系將試探解代入運(yùn)動(dòng)方程，得：2.色散關(guān)系第三章晶體中的原子熱振動(dòng)討論：(1)相速度一維單原子晶格振動(dòng)的色散關(guān)系(長(zhǎng)波近似)結(jié)論：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)色散曲線(2)(q)具有對(duì)稱(chēng)性和周期性將q限制在區(qū)間(第一布里淵區(qū))即可,在這以外并不提供新的格波.第三章晶體中的原子熱振動(dòng)兩者相差倒格矢的整數(shù)倍狀態(tài)等價(jià)第三章晶體中的原子熱振動(dòng)(3)(q)的取值范圍第三章晶體中的原子熱振動(dòng)3.周期性邊界條件設(shè)晶格由N個(gè)原胞構(gòu)成,那么周期性邊界條件第三章晶體中的原子熱振動(dòng)q取N個(gè)分立的值，相應(yīng)地

也取N個(gè)分立的值。在單原子晶格中可以傳播的格波數(shù)為N，或者說(shuō)有N種振動(dòng)模式。+q與–q是不等效的，前者相應(yīng)與于向右傳播的波，而后者相應(yīng)與于向左傳播的波。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)1.振動(dòng)方程與解振動(dòng)方程3.3一維雙原子晶格的振動(dòng)第三章晶體中的原子熱振動(dòng)代入振動(dòng)方程，有試探解第三章晶體中的原子熱振動(dòng)上式齊次線性方程組，A、B有不為零的解，其系數(shù)行列式為零：最后得：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)雙原子晶格振動(dòng)存在兩種色散關(guān)系。討論：2.色散關(guān)系(1)

(q)具有對(duì)稱(chēng)性和周期性第三章晶體中的原子熱振動(dòng)(2)

(q)的取值范圍第三章晶體中的原子熱振動(dòng)光學(xué)波聲學(xué)波第三章晶體中的原子熱振動(dòng)長(zhǎng)波近似，類(lèi)似于連續(xù)介質(zhì)第三章晶體中的原子熱振動(dòng)3.聲學(xué)波與光學(xué)波從相鄰原子的振幅比來(lái)討論聲學(xué)波與光學(xué)波的特點(diǎn)：<0>0光學(xué)波：表明基元中原子反向振動(dòng)。聲學(xué)波：表明基元中原子同向振動(dòng)。從前面的方程組，得：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)滿足力的平衡條件，質(zhì)心基本不動(dòng)。以同一振幅剛性地振動(dòng)。質(zhì)量小的原子對(duì)短光學(xué)波貢獻(xiàn)大。質(zhì)量大的原子對(duì)短聲學(xué)波貢獻(xiàn)大。長(zhǎng)波近似短波近似第三章晶體中的原子熱振動(dòng)4.周期性邊界條件設(shè)晶體由N個(gè)原胞構(gòu)成，則周期性邊界條件為：對(duì)于雙原子晶格，在一個(gè)布里淵區(qū)內(nèi)，q取N個(gè)分立的值，而每一個(gè)q又對(duì)應(yīng)兩個(gè)

值。在一維雙原子晶格中可以傳播的格波數(shù)為2N，或者說(shuō)有2N種振動(dòng)模式。其中N個(gè)聲學(xué)波，N個(gè)光學(xué)波。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)5.三維晶格(1)運(yùn)動(dòng)方程及其解設(shè)晶體原胞的基矢為a1、a2、a3；沿基矢方向晶體各有N1、N2、N3個(gè)原胞，即晶體一共有N＝N1N2N3個(gè)原胞；每個(gè)原胞內(nèi)有n個(gè)原子，質(zhì)量為第l個(gè)原胞第p個(gè)原子的平衡點(diǎn)位置矢量為

p—原胞內(nèi)第p個(gè)原子的位置矢量。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)每個(gè)原胞中，n個(gè)不同原子平衡位置的相對(duì)坐標(biāo)為該原子相對(duì)于平衡點(diǎn)的位移為它沿坐標(biāo)軸的分量為第三章晶體中的原子熱振動(dòng)上式是3nN個(gè)相耦合的運(yùn)動(dòng)方程組。是原子(l,p)與原子(l’,p’)之間的準(zhǔn)彈性力系數(shù)第p個(gè)原子在

方向的運(yùn)動(dòng)方程為第三章晶體中的原子熱振動(dòng)把一維晶格動(dòng)力學(xué)方程的試解加以推廣，設(shè)三維晶格行波試解為：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)將試探解代入運(yùn)動(dòng)方程，可得到3n個(gè)線性齊次聯(lián)立方程(由于晶格的平移對(duì)稱(chēng)性，使得3nN個(gè)聯(lián)立方方程組減少到3n個(gè))：使Ap

有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零：由此可得到3n個(gè)色散關(guān)系每個(gè)色散關(guān)系代表一支格波，共有3n支格波。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)格波色散關(guān)系中，有3支當(dāng)這三支稱(chēng)為聲頻波。另外3n-3支描述原胞內(nèi)各個(gè)原子之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為光學(xué)支。它們是描述原胞與原胞之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其色散關(guān)系在長(zhǎng)波近似下與彈性波類(lèi)似，稱(chēng)為聲學(xué)支；第三章晶體中的原子熱振動(dòng)波矢空間以b1、b2、b3為倒基矢，則波矢q為(2)周期性邊界條件確定模式數(shù)目根據(jù)波恩－卡門(mén)邊界條件第三章晶體中的原子熱振動(dòng)或?qū)懗捎?6)式，得邊界條件表示，沿著ai方向，原胞的標(biāo)數(shù)增加Ni振動(dòng)情況相同。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)即也就是說(shuō)應(yīng)用到關(guān)系h1、h2、h3為整數(shù)。代回(4)式第三章晶體中的原子熱振動(dòng)代表q空間均勻分布的點(diǎn).若Kh是倒格矢，則不變。因此q的取值可限制在第一布里淵區(qū)之內(nèi)。第一布里淵區(qū)里共有N=N1N2N3個(gè)q值。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)倒空間原胞體積：原胞體積波矢q的點(diǎn)在布里淵區(qū)中的密度為第三章晶體中的原子熱振動(dòng)如果q改變一個(gè)倒格子矢量從三維晶格行波試解：可以看出，q的作用只在于確定不同原胞之間振動(dòng)位相的聯(lián)系，具體表現(xiàn)在位相因子：由于不影響位相因子，因而對(duì)格波的描述沒(méi)有任何區(qū)別。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)對(duì)每一個(gè)波矢q，有3n個(gè)

j(q)與之對(duì)應(yīng)，每一組(

,q)表示晶格的一種振動(dòng)模式，可知三維晶體中振動(dòng)模式數(shù)目為3nN個(gè)。對(duì)于有N個(gè)原胞的三維晶體，每個(gè)原胞有n個(gè)原子，每個(gè)原子有3個(gè)自由度，所以晶體的總自由度數(shù)也是3nN。波矢q增加一個(gè)倒格矢，原子位移保持不變。－－第一布里淵區(qū)。晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)N；格波振動(dòng)模式數(shù)等于晶體中所有原子的自由度數(shù)之和3nN。概括起來(lái)，我們得到以下結(jié)論：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)

一維單原子的自由度數(shù)為N，振動(dòng)模式數(shù)(格波數(shù))與此相同為N。

一維雙原子的自由度數(shù)為2N，振動(dòng)模式數(shù)(格波數(shù))與此相同為2N。推廣結(jié)論：晶格振動(dòng)的波矢數(shù)=晶體的原胞數(shù)晶格振動(dòng)的模式數(shù)=晶體的自由度數(shù)一維單原子一維雙原子三維多原子每個(gè)原胞含有的原子數(shù)晶體含有的原胞數(shù)晶體的自由度數(shù)q數(shù)

數(shù)12lNNNN2N3lNNNNN2N3lN第三章晶體中的原子熱振動(dòng)例:設(shè)一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一價(jià)正負(fù)離子構(gòu)成的一維晶格，正負(fù)離子間距為a，正負(fù)離子的質(zhì)量分別為m+和m-，近鄰兩離子的互作用勢(shì)為式中e為電子電荷,b和n為參量常數(shù)，求(1)參數(shù)b

與e、n

、a的關(guān)系；(2)恢復(fù)力系數(shù)

；(3)q0時(shí)的光學(xué)波頻率

0；(4)長(zhǎng)聲學(xué)波的速度

A。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)§3.4晶格振動(dòng)的量子化及聲子理論考慮：前面根據(jù)牛頓定理用直接解運(yùn)動(dòng)方程的方法，求解一維鏈的振動(dòng)模，得出如下結(jié)論：晶體中原子集體振動(dòng)---格波，可展開(kāi)成平面波的線性迭加。對(duì)微弱振動(dòng)(簡(jiǎn)諧近似)，每個(gè)格波就是一個(gè)簡(jiǎn)諧波，格波之間的相互作用可忽略，形成獨(dú)立格波模式。玻恩-卡門(mén)邊界條件下，得到分立的獨(dú)立格波模式，可用獨(dú)立簡(jiǎn)諧振子來(lái)表述。下面根據(jù)分析力學(xué)原理，引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)，直接過(guò)渡到量子理論，并引入聲子概念－－晶格振動(dòng)中的簡(jiǎn)諧振子的能量量子。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)一、簡(jiǎn)諧近似和簡(jiǎn)正坐標(biāo)數(shù)學(xué)處理：通過(guò)引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)，將晶格振動(dòng)總能量(哈密頓量)=動(dòng)能+勢(shì)能=獨(dú)立簡(jiǎn)諧振子能量之和

經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)，晶格振動(dòng)是一個(gè)典型的小振動(dòng)問(wèn)題，凡是力學(xué)體系自平衡位置發(fā)生微小偏移時(shí)，該力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)都是小振動(dòng)。前面關(guān)于晶格的運(yùn)動(dòng)方程之所以能夠化成線性齊次方程組，是簡(jiǎn)諧近似的結(jié)果，即忽略原子相互作用的非線性項(xiàng)得到的。處理小振動(dòng)問(wèn)題的理論方法和主要結(jié)果－－做為晶格振動(dòng)這部分內(nèi)容的理論基礎(chǔ)。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)與簡(jiǎn)正坐標(biāo)設(shè)晶體由N個(gè)原子組成，考慮原子振動(dòng)，每個(gè)原子的位矢：平衡位置位移矢量（原子偏離平衡位置）以位移矢量作為考察量：晶體的振動(dòng)動(dòng)能：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)前面已經(jīng)討論過(guò)，原子處于平衡位置時(shí)，原子間的相互作用勢(shì)能U取最小值。原子相互作用勢(shì)能是這些位移分量的函數(shù)，即相互作用勢(shì)能是原子偏離平衡位置位移的函數(shù)。N個(gè)原子的位移矢量共有3N個(gè)分量，寫(xiě)成一.簡(jiǎn)諧振動(dòng)與簡(jiǎn)正坐標(biāo)第三章晶體中的原子熱振動(dòng)在平衡位置展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)因在平衡位置勢(shì)能取極小值，所以上式右端第二項(xiàng)為零，若取U0=0，并略去二次以上的高次項(xiàng)，得到上式即為簡(jiǎn)諧近似下，勢(shì)能的表示式，包含了位移交叉項(xiàng)。將第三章晶體中的原子熱振動(dòng)處理小振動(dòng)問(wèn)題一般都取簡(jiǎn)諧近似。

對(duì)于一個(gè)具體的物理問(wèn)題是否可以采用簡(jiǎn)諧近似，要看在簡(jiǎn)諧近似條件下得到的理論結(jié)果是否與實(shí)驗(yàn)相一致。在有些物理問(wèn)題中就需要考慮高階項(xiàng)的作用，稱(chēng)為非諧作用。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)為了消去勢(shì)能中的交叉項(xiàng)，使問(wèn)題簡(jiǎn)化，引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)N個(gè)原子體系的動(dòng)能函數(shù)為簡(jiǎn)正坐標(biāo)與原子的位移坐標(biāo)之間的正交變換關(guān)系：在簡(jiǎn)正坐標(biāo)中，勢(shì)能和動(dòng)能化成第三章晶體中的原子熱振動(dòng)由上式可得出正則動(dòng)量振動(dòng)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：于是系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)化成將上式代入正則方程第三章晶體中的原子熱振動(dòng)得到這是3N個(gè)相互無(wú)關(guān)的諧振子的運(yùn)動(dòng)方程，表明各簡(jiǎn)正坐標(biāo)描述獨(dú)立的簡(jiǎn)正振動(dòng)。

借助簡(jiǎn)正坐標(biāo)，將N個(gè)相互耦合關(guān)聯(lián)的原子組成的晶格的振動(dòng)轉(zhuǎn)化為3N個(gè)獨(dú)立的諧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其中，任意簡(jiǎn)正坐標(biāo)的解為：振動(dòng)的圓頻率第三章晶體中的原子熱振動(dòng)原子的位移坐標(biāo)和簡(jiǎn)正坐標(biāo)間存在著正交變換關(guān)系：上式表明，每一個(gè)原子都以相同的頻率作振動(dòng)。當(dāng)只考慮某一個(gè)Qj的振動(dòng)時(shí)，位移坐標(biāo)可表示為

一個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)與位移坐標(biāo)不同，不再只和個(gè)別原子相聯(lián)系，而是表示整個(gè)晶體所有原子都參與的振動(dòng)，而且它們振動(dòng)頻率相同。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)二、一維簡(jiǎn)單晶格說(shuō)明二個(gè)問(wèn)題：（1）簡(jiǎn)正坐標(biāo)的引入前面根據(jù)牛頓定理得到的原子運(yùn)動(dòng)方程的試解為晶格振動(dòng)等價(jià)于N個(gè)諧振子的振動(dòng)，諧振子的振動(dòng)頻率就是晶格的振動(dòng)頻率；根據(jù)牛頓定理用直接解運(yùn)動(dòng)方程的方法，求鏈的振動(dòng)模，與根據(jù)分析力學(xué)原理，引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)是等效的。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)表示第q個(gè)格波引起第n個(gè)原子的位移，而第n個(gè)原子的總位移應(yīng)為所有格波引起的位移的疊加在簡(jiǎn)諧近似和最近鄰近似下，一維單原子晶格的振動(dòng)總能量為勢(shì)能項(xiàng)第三章晶體中的原子熱振動(dòng)中出現(xiàn)了交叉項(xiàng)，為了消去勢(shì)能中的交叉項(xiàng)，把原子總位移的表達(dá)式變換一下形式，寫(xiě)成：勢(shì)能項(xiàng)則第三章晶體中的原子熱振動(dòng)與簡(jiǎn)正坐標(biāo)和原子位移坐標(biāo)的定義關(guān)系式其中Q(q)就是簡(jiǎn)正坐標(biāo)，它表示了格波的振幅，而線性變換系數(shù)為Q(q)是否就是簡(jiǎn)正坐標(biāo)，需要證明經(jīng)過(guò)上面的變換后，動(dòng)能和勢(shì)能都具有平方和的形式。比較，得為了證明這一點(diǎn)，需要利用以下兩個(gè)關(guān)系式：第二個(gè)關(guān)系式，實(shí)際就是線性變換系數(shù)的正交條件第一個(gè)關(guān)系式可以從原子位移為實(shí)數(shù)的條件得到，因?yàn)橐部梢詫?xiě)成因?yàn)樵游灰苮n為實(shí)數(shù)，所以比較上面兩式，可得上式兩端取共軛第二個(gè)關(guān)系式，線性變換系數(shù)的正交條件當(dāng)q≠q’時(shí)，當(dāng)q=q’時(shí)，顯然成立。s為整數(shù)，故有第三章晶體中的原子熱振動(dòng)利用上述證明的兩個(gè)關(guān)系式，可化簡(jiǎn)系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能的表達(dá)式。利用等比級(jí)數(shù)前n項(xiàng)求和公式第三章晶體中的原子熱振動(dòng)晶格動(dòng)能：當(dāng)時(shí)第三章晶體中的原子熱振動(dòng)有同理可求出晶格勢(shì)能：其中是一維簡(jiǎn)單格子的色散關(guān)系。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)這樣可以寫(xiě)出晶格振動(dòng)總能量如下：至此，晶格的動(dòng)能和勢(shì)能都化成了平方和的形式，這說(shuō)明Q(q)確實(shí)是系統(tǒng)的簡(jiǎn)正坐標(biāo)。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)

引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)以后：晶格振動(dòng)總能量可以表示為N個(gè)獨(dú)立簡(jiǎn)諧振子能量之和。所引入的線性變換可與量子力學(xué)中的表象變換類(lèi)比考慮:實(shí)際坐標(biāo)空間的N個(gè)相互作用的原子體系的微振動(dòng)和簡(jiǎn)正坐標(biāo)所構(gòu)成的態(tài)空間中N個(gè)獨(dú)立諧振子等效第三章晶體中的原子熱振動(dòng)三、聲子根據(jù)量子力學(xué)對(duì)諧振子的處理，頻率為ωq的諧振子的能量本征值是所以晶格的總能量上述結(jié)論可直接推廣到三維情況，三維晶格的振動(dòng)總能量為第三章晶體中的原子熱振動(dòng)

引入聲子的概念：由于格波的能量是以為單位量子化的，通常把這個(gè)能量量子稱(chēng)為聲子。

聲子是玻色子：

聲子既具有能量又具有動(dòng)量，即具有粒子的屬性，所以可以把聲子看成是一種“準(zhǔn)粒子”。由于同種聲子(ω和q都相同的聲子)之間不可區(qū)分而且自旋為零，聲子是玻色子。

平均聲子數(shù)：

由于對(duì)每個(gè)聲子能級(jí)，聲子的占據(jù)數(shù)沒(méi)有限制，聲子遵從玻色統(tǒng)計(jì)，對(duì)能級(jí)的平均占據(jù)數(shù)由普朗克公式給出：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)

聲子的準(zhǔn)動(dòng)量

聲子不僅是一個(gè)能量子，它還具有“動(dòng)量”。波矢q的方向代表格波的傳播方向，引入聲子概念后它就是聲子的波矢，其方向代表聲子的運(yùn)動(dòng)方向，類(lèi)似光子，稱(chēng)為聲子的準(zhǔn)動(dòng)量。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)引入聲子概念后，給處理有關(guān)晶格振動(dòng)問(wèn)題帶來(lái)極大方便：(1)簡(jiǎn)諧近似下晶格振動(dòng)的熱力學(xué)問(wèn)題可看做由3nN種不同聲子組成的理想氣體系統(tǒng)，如果考慮非諧效應(yīng)，可看成有相互作用的聲子氣體。(2)光子、電子、中子等與晶格振動(dòng)相互作用，可看成是光子、電子、中子等與聲子的碰撞作用，使得問(wèn)題的處理大大簡(jiǎn)化。(3)元激發(fā)：聲子反映的是晶格原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元，固體中微觀粒子在特定相互作用下產(chǎn)生的集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的的激發(fā)單元常稱(chēng)為元激發(fā)。相互作用性質(zhì)不同，對(duì)應(yīng)不同的元激發(fā)，但處理這些元激發(fā)的理論方法是相類(lèi)似的。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)§3.4晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)測(cè)定方法除了少數(shù)幾個(gè)極簡(jiǎn)單模型，其晶格振動(dòng)譜可以從理論上導(dǎo)出外，絕大部分實(shí)際晶體的晶格振動(dòng)譜需要實(shí)驗(yàn)測(cè)定。一、定義：晶格振動(dòng)譜就是格波的色散關(guān)系ω（q），也稱(chēng)聲子譜。

實(shí)驗(yàn)測(cè)定ω（q）:粒子與晶格振動(dòng)的非彈性散射

中子、光子等與聲子的碰撞。當(dāng)中子、光子入射到晶體，可以和晶格振動(dòng)交換能量，總是以為單元交換能量。使諧振子從一個(gè)激發(fā)態(tài)躍遷到另一個(gè)激發(fā)態(tài)。用聲子概念說(shuō)，就是產(chǎn)生或者消滅了一個(gè)聲子，發(fā)射或吸收一個(gè)聲子。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)

晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)測(cè)定方法，主要有兩類(lèi)：光子散射方法，中子散射方法。

二、光子散射設(shè)入射光子的頻率為Ω，波矢為k，與頻率為ω、波矢為q的聲子碰撞后，光子的頻率和波矢分別變成碰撞過(guò)程中，能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒。兩種過(guò)程：吸收聲子過(guò)程：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)以上四式可化成以下兩式產(chǎn)生（又稱(chēng)發(fā)射）聲子過(guò)程：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)當(dāng)入射光的頻率Ω及波矢k一定，在不同方向(k’的方向)測(cè)出散射光的頻率Ω’，由Ω與Ω’的差值求出聲子頻率ω，由k與k’的方向及大小求出聲子波矢q的大小及方向，即可求出晶格振動(dòng)頻譜。

實(shí)驗(yàn)方法：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)

測(cè)定長(zhǎng)聲學(xué)格波的部分頻譜，實(shí)驗(yàn)還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化:光被長(zhǎng)聲學(xué)波的散射稱(chēng)為布里淵散射。由于長(zhǎng)聲學(xué)波的能量非常小，q→0（不會(huì)超出第一布里淵區(qū)），因此，散射光的頻率和波矢的改變非常小，可以近似認(rèn)為即右圖中三角形近似為等腰三角形，聲子波矢的?？捎上率角蟮胟q波矢q的方向由光子入射方向與散射方向決定，即由方向決定。由此即可確定出傳播方向上長(zhǎng)聲學(xué)波的頻譜第三章晶體中的原子熱振動(dòng)其中是晶體中的聲速。喇曼散射：

光子和長(zhǎng)光學(xué)波聲子相互作用，稱(chēng)這類(lèi)光子的散射為光子的喇曼散射。

由于長(zhǎng)光學(xué)波聲子能量較大，其頻率基本與波矢無(wú)關(guān)，（可由光學(xué)波的色散關(guān)系曲線非常平緩看出），所以喇曼頻移相當(dāng)大。三、中子散射方法中子與聲子相互作用滿足能量守恒及動(dòng)量守恒定律。設(shè)中子的質(zhì)量：m，入射中子的動(dòng)量：P，散射后中子的動(dòng)量：由散射過(guò)程中能量守恒，得由動(dòng)量守恒，得第三章晶體中的原子熱振動(dòng)＋號(hào)對(duì)應(yīng)吸收一個(gè)聲子的過(guò)程，的兩聲子是等價(jià)的條件。動(dòng)量守恒中利用了波矢q與波矢倒逆散射過(guò)程或U過(guò)程。正常散射過(guò)程。－號(hào)對(duì)應(yīng)發(fā)射一個(gè)聲子的過(guò)程。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)由（10）式求出波矢的模由（9）式求出頻率，即可確定出某方向上的振動(dòng)譜對(duì)于正常散射過(guò)程，由（7）和（8）兩式分別得與的夾角求出波矢的方向由第三章晶體中的原子熱振動(dòng)3.4晶格振動(dòng)的量子化及聲子量子理論晶格振動(dòng)能量量子化1.晶格振動(dòng)的哈密頓函數(shù)H——一維單原子晶格振動(dòng)H=T+U第三章晶體中的原子熱振動(dòng)xn

按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)利用xn式的變換關(guān)系,經(jīng)過(guò)一定的運(yùn)算,有上式中的

q

即為格波可能具有的頻率,若令則晶格振動(dòng)的總能量,即系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)可寫(xiě)成:其中,每一單項(xiàng)就代表一個(gè)諧振子的能量.第三章晶體中的原子熱振動(dòng)根據(jù)量子力學(xué),頻率為

q的諧振子的能量是量子化的一維單原子系統(tǒng)的總能量則為：三維多原子系統(tǒng)的總能量則為：2.能量量子化第三章晶體中的原子熱振動(dòng)3.聲子的概念從系統(tǒng)的總能量表達(dá)式看出：為振子的能量量子，對(duì)晶格的格波而言，即為格波的能量量子---聲子

引入聲子概念后，對(duì)于晶格振動(dòng)的每一個(gè)格波，可以看作是由數(shù)目為、能量為的聲子組成的，而整個(gè)系統(tǒng)則是由眾多聲子組成的聲子氣體。引入聲子的意義：(1)生動(dòng)的反映了晶格振動(dòng)能量量子化的特點(diǎn)。(2)處理晶格振動(dòng)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可以更加方便和形象。(例:晶格振動(dòng)對(duì)電子波、光波的散射等。)第三章晶體中的原子熱振動(dòng)(1)聲子是準(zhǔn)粒子動(dòng)量不確定。(2)聲子是玻色子q與q+Gh

代表同一振動(dòng)狀態(tài)（當(dāng)q增加一個(gè)倒格矢Gh時(shí)，不會(huì)引起

q和原子位移的變化。）特點(diǎn)：

聲子氣體屬玻色子系統(tǒng)，不受泡利原理的限制。系統(tǒng)處于熱平衡時(shí)，頻率為

j的格波的平均聲子數(shù)由玻色統(tǒng)計(jì)給出.

第三章晶體中的原子熱振動(dòng)(3)粒子數(shù)目不守恒隨著溫度的變化，系統(tǒng)中的聲子數(shù)將發(fā)生變化。第三章晶體中的原子熱振動(dòng)4.聲子譜的測(cè)定方法中子的非彈性散射聲子對(duì)中子的非彈性散射可以用來(lái)測(cè)量聲子能譜。散射過(guò)程遵守能量守恒和波矢守恒：第三章晶體中的原子熱振動(dòng)

只要測(cè)出各個(gè)方位上散射前后的中子能量差，并根據(jù)散射前后中子束的幾何關(guān)系求出，就可決定聲子的振動(dòng)譜。三軸中子譜儀第三章晶體中的原子熱振動(dòng)以N個(gè)原子構(gòu)成的三維單原子晶格為例1.經(jīng)典理論的困難每個(gè)自由度平均能量k0T，系統(tǒng)總能量=3Nk0T結(jié)論：經(jīng)典理論的結(jié)果在低溫段與實(shí)際不符。定容熱容:一.晶格振動(dòng)的熱容量3.5晶體的熱學(xué)性質(zhì)杜隆——鉑蒂定律第三章晶體中的原子熱振動(dòng)量子理論:頻率為

j的格波的平均聲子數(shù)為:平均能量:系統(tǒng)總能量:2.晶格熱容的一般表示式第三章晶體中的原子熱振動(dòng)

j密集,近似為連續(xù)系統(tǒng)定容熱容:第三章晶體中的原子熱振動(dòng)假設(shè):由得：3.愛(ài)因斯坦模型第三章晶體中的原子熱振動(dòng)高溫:低溫:T—>0時(shí)，CV以指數(shù)方式—>0.局限性:溫度很低時(shí),實(shí)