《大學(xué)高數(shù)函數(shù)》課件

大學(xué)高數(shù)函數(shù)目錄contents函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的極限導(dǎo)數(shù)與微分積分學(xué)微分方程多元函數(shù)微積分函數(shù)的概念與性質(zhì)01函數(shù)的定義函數(shù)是數(shù)學(xué)上的一個概念，它是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，將定義域內(nèi)的每一個元素與值域內(nèi)的唯一元素對應(yīng)起來。函數(shù)的定義可以表示為：對于每一個$x$（屬于定義域），存在唯一的$y$（屬于值域），使得$y=f(x)$。奇偶性函數(shù)在其定義域內(nèi)具有奇偶性，即對于定義域內(nèi)的每一個$x$，都有$f(-x)=f(x)$（偶函數(shù)）或$f(-x)=-f(x)$（奇函數(shù)）。有界性函數(shù)在其定義域內(nèi)有上界和下界。單調(diào)性函數(shù)在其定義域內(nèi)的自變量增加時，函數(shù)值也隨著增加。周期性函數(shù)在其定義域內(nèi)具有周期性，即存在一個非零常數(shù)$T$，使得對于定義域內(nèi)的每一個$x$，都有$f(x+T)=f(x)$。函數(shù)的性質(zhì)01連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)的連續(xù)性進行分類。02一元函數(shù)與多元函數(shù)根據(jù)函數(shù)的自變量個數(shù)進行分類。03有界函數(shù)與無界函數(shù)根據(jù)函數(shù)的值域是否有限進行分類。04單調(diào)函數(shù)與非單調(diào)函數(shù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行分類。05周期函數(shù)與非周期函數(shù)根據(jù)函數(shù)的周期性進行分類。06奇函數(shù)與偶函數(shù)根據(jù)函數(shù)的奇偶性進行分類。函數(shù)的分類函數(shù)的極限02當自變量趨近某一值時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)，稱該常數(shù)為函數(shù)的極限。對于任意小的正數(shù)$varepsilon$，存在相應(yīng)的正數(shù)$delta$，當$0<|x-x_0|<delta$時，有$|f(x)-L|<varepsilon$，其中$L$為常數(shù)。極限的定義極限的精確定義極限的描述性定義唯一性若函數(shù)在某點的極限存在，則該極限值是唯一的。局部保號性若函數(shù)在某點的極限大于0，則該點的函數(shù)值也大于0；反之亦然。有界性若函數(shù)在某點的極限存在，則該點的函數(shù)值是有界的。局部四則運算性質(zhì)若兩個函數(shù)的極限都存在，則它們的和、差、積、商的極限也存在，且分別等于它們各自極限的和、差、積、商。極限的性質(zhì)123在自變量趨近某一值時，函數(shù)值趨近于0的量。無窮小量在自變量趨近某一值時，函數(shù)值趨近于無窮大的量。無窮大量在自變量趨近某一值時，無窮大量與無窮小量之比的極限為1（即無窮小量是無窮大量的倒數(shù)）。無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量與無窮大量導(dǎo)數(shù)與微分03010203導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點的斜率。導(dǎo)數(shù)可以用來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和拐點等性質(zhì)。導(dǎo)數(shù)是微積分的基礎(chǔ)，是研究函數(shù)的重要工具。導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的計算公式對于基本初等函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，都有對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式。導(dǎo)數(shù)的四則運算法則導(dǎo)數(shù)具有加法、減法、乘法和除法的運算法則，可以用來計算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。鏈式法則對于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以使用鏈式法則進行計算。導(dǎo)數(shù)的計算微分的計算公式對于基本初等函數(shù)，都有對應(yīng)的微分公式。微分的應(yīng)用微分在近似計算、誤差估計等方面有廣泛的應(yīng)用。微分的運算法則微分具有加法、減法、乘法和除法的運算法則，可以用來計算復(fù)合函數(shù)的微分。微分的概念與計算積分學(xué)04定積分的概念與性質(zhì)定積分是積分學(xué)中的基本概念，表示一個函數(shù)在某個區(qū)間上的積分和。它可以通過極限的思想和分割、近似、求和、取極限四個步驟來定義。定積分的性質(zhì)定積分具有線性性質(zhì)、可加性、積分中值定理等性質(zhì)，這些性質(zhì)可以幫助我們簡化計算和推導(dǎo)。定積分的幾何意義定積分的值在幾何上表示為函數(shù)圖像與x軸所夾的面積，其正負號取決于函數(shù)圖像位于x軸上方的部分還是下方。定積分的定義微積分基本定理微積分基本定理是計算定積分的核心方法，它將定積分表示為被積函數(shù)的一個原函數(shù)（或不定積分）在積分限之間的差值。分部積分法分部積分法是一種通過將兩個函數(shù)的乘積進行求導(dǎo)來計算定積分的方法，它可以用于處理一些難以直接應(yīng)用微積分基本定理的積分。換元法換元法是通過改變積分變量來簡化定積分的計算，其核心思想是將一個復(fù)雜的積分區(qū)間變換為一個簡單的區(qū)間，從而簡化計算。定積分的計算反常積分可以用于處理函數(shù)在無窮區(qū)間上的積分，其結(jié)果可能為無窮大或不存在。根據(jù)函數(shù)在無窮遠處的行為，可以分為無窮區(qū)間上的反常積分和瑕點處的反常積分。無窮區(qū)間上的反常積分瑕點處的反常積分是指被積函數(shù)在某個點處不連續(xù)，導(dǎo)致在該點附近的積分難以處理?？梢酝ㄟ^將瑕點看作一個新的小區(qū)間來處理這類積分。瑕點處的反常積分反常積分微分方程05微分方程定義微分方程是包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的等式。微分方程解法求解微分方程的方法包括分離變量法、常數(shù)變易法、參數(shù)變易法等。微分方程分類根據(jù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，微分方程可以分為一階、二階和高階微分方程。微分方程的基本概念一階微分方程是只包含一個導(dǎo)數(shù)的微分方程。一階微分方程定義求解一階微分方程的方法包括積分因子法、常數(shù)變易法等。一階微分方程解法一階線性微分方程是形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程，其解法為分離變量法。一階線性微分方程一階微分方程二階微分方程是包含兩個導(dǎo)數(shù)的微分方程。二階微分方程定義求解二階微分方程的方法包括降階法、常數(shù)變易法等。二階微分方程解法二階線性微分方程是形如y''+P(x)y'+Q(x)y=0的微分方程，其解法為分離變量法。二階線性微分方程二階微分方程多元函數(shù)微積分06連續(xù)性的定義如果一個多元函數(shù)在某點處的極限值等于該點的函數(shù)值，則稱該函數(shù)在該點連續(xù)。極限的性質(zhì)與一元函數(shù)的極限性質(zhì)類似，多元函數(shù)的極限也具有一些重要的性質(zhì)，如局部有界性、局部保號性等。極限的定義對于多元函數(shù)，其極限是指當各個自變量趨于某點時，函數(shù)值趨于某個確定的數(shù)值。多元函數(shù)的極限與連續(xù)性01對于多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)是指在某個自變量變化時，函數(shù)值關(guān)于其他自變量的變化率。偏導(dǎo)數(shù)的定義02全微分是指多元函數(shù)在某點處所有自變量變化量的線性組合，它反映了函數(shù)在該點附近的小變化。全微分的定義03全微分可以看作是偏導(dǎo)數(shù)的線性組合，其系數(shù)即為偏導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)與全微分二重積分的定義二重積分是計算二維平面