誤差傳播定律

《誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)》Thetheoryoferrorsandadjustmentofobservationsfoundation學(xué)時(shí)：64學(xué)時(shí)主講：魏峰遠(yuǎn)

河南理工大學(xué)測(cè)量工程系2005年2月1/22/20241第一章觀測(cè)誤差及其傳播本課程的主要任務(wù)是講授測(cè)量平差的基本理論和基本方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究測(cè)量數(shù)據(jù)處理奠定基礎(chǔ)。授課周數(shù)：1-14周周學(xué)時(shí)：6學(xué)時(shí)總學(xué)時(shí)：84學(xué)時(shí)最后進(jìn)行閉卷考試。本課程的任務(wù)1/22/20242第一章觀測(cè)誤差及其傳播

本課程的主要內(nèi)容1.誤差及誤差傳播理論（第一章）2.平差模型的建立、最小二乘原理（第二章）3.測(cè)量平差基本方法（第三、四、五章）包括條件平差、間接平差、附有參數(shù)的條件平差、附有條件的間接平差、附有條件的條件平差。介紹平差計(jì)算的基本原理和相應(yīng)的精度評(píng)定方法。4、誤差橢圓（第六章）5、測(cè)量平差的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)方法（第七章）6、近代平差理論簡(jiǎn)介。1/22/20243第一章觀測(cè)誤差及其傳播

學(xué)習(xí)本課程必須具備的基本理論知識(shí)《高等數(shù)學(xué)》、《線(xiàn)性代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》、《現(xiàn)代測(cè)量學(xué)》等。1/22/20244第一章觀測(cè)誤差及其傳播

參考文獻(xiàn)1.測(cè)量平差，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，2005年2.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)，武漢大學(xué)出版社，2003年3.測(cè)量平差基礎(chǔ)，測(cè)繪出版社，1996年4.測(cè)量平差基礎(chǔ)，測(cè)繪出版社，1981年5.測(cè)量平差通用習(xí)題集，武漢測(cè)繪科技大學(xué)出版社，1999。6.觀測(cè)與最小二乘法，測(cè)繪出版社，1984。7.ObservationsandLeastSquares,E.M.MIKHAIL,NewYork,1976.8.近代平差理論及其應(yīng)用，解放軍出版社，1992年1/22/20245第一章觀測(cè)誤差及其傳播學(xué)習(xí)方法課程特點(diǎn)：公式多、計(jì)算量大，所需數(shù)學(xué)知識(shí)多，比較枯燥學(xué)習(xí)方法：復(fù)習(xí)測(cè)量學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)、高等數(shù)學(xué)、概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)等課程知識(shí)，對(duì)本課程的知識(shí)要通過(guò)預(yù)習(xí)-----聽(tīng)課----復(fù)習(xí)----完成作業(yè)---編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序等步驟來(lái)掌握所學(xué)知識(shí)。1/22/20246第一章觀測(cè)誤差及其傳播§1-1概述

測(cè)量平差的基本任務(wù)

1.處理一系列帶有偶然誤差的觀測(cè)值，求出未知量的最可靠值（也稱(chēng)為平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等）。2.評(píng)定測(cè)量成果的精度。本章主要介紹：偶然誤差的規(guī)律性、衡量精度的指標(biāo)、協(xié)方差傳播律、權(quán)的定義以及測(cè)量中常用的定權(quán)方法、協(xié)因數(shù)傳播律等內(nèi)容。1/22/20247第一章觀測(cè)誤差及其傳播§1-2觀測(cè)誤差及其分類(lèi)

在同一量的各觀測(cè)值之間，或在各觀測(cè)值與其理論上的應(yīng)有值之間存在差異的現(xiàn)象，在測(cè)量工作中是普遍存在的，這是由于觀測(cè)值中包含有觀測(cè)誤差的緣故。一、觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因1．測(cè)量?jī)x器2．觀測(cè)者3．外界條件：測(cè)量?jī)x器、觀測(cè)者、外界條件三方面的因素是引起誤差的主要來(lái)源。通常把這三方面的因素合起來(lái)稱(chēng)為觀測(cè)條件。觀測(cè)條件好---誤差小----觀測(cè)成果質(zhì)量高。反之亦然。如果觀測(cè)條件相同，觀測(cè)成果的質(zhì)量也就可以說(shuō)是相同的。不管觀測(cè)條件如何，測(cè)量中產(chǎn)生誤差是不可避免的。1/22/20248第一章觀測(cè)誤差及其傳播§1-2觀測(cè)誤差及其分類(lèi)

二、觀測(cè)誤差的分類(lèi)根據(jù)觀測(cè)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響性質(zhì)，可將觀測(cè)誤差分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩種。1.系統(tǒng)誤差：在相同的觀測(cè)條件下作一系列的觀測(cè)，如果誤差在大小、符號(hào)上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀測(cè)過(guò)程中按一定的規(guī)律變化，或者為某一常數(shù)，那么，這種誤差稱(chēng)為系統(tǒng)誤差。簡(jiǎn)言之，符合函數(shù)規(guī)律的誤差稱(chēng)為系統(tǒng)誤差。

2.偶然誤差：在相同的觀測(cè)條件下作一系列的觀測(cè)，如果誤差在大小和符號(hào)上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個(gè)誤差看，該列誤差的大小和符號(hào)沒(méi)有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種誤差稱(chēng)為偶然誤差。簡(jiǎn)言之，符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的誤差稱(chēng)為偶然誤差。除了系統(tǒng)誤差和偶然誤差外，還可能發(fā)生錯(cuò)誤，又叫粗差。一般來(lái)說(shuō)，錯(cuò)誤不算作觀測(cè)誤差。1/22/20249第一章觀測(cè)誤差及其傳播§1-2觀測(cè)誤差及其分類(lèi)

三、誤差處理措施錯(cuò)誤的存在不僅大大影響測(cè)量成果的可靠性，而且往往造成返工浪費(fèi)，給工作帶來(lái)難以估量的損失，必須采取適當(dāng)?shù)姆椒ê痛胧?，保證觀測(cè)結(jié)果中不存在錯(cuò)誤。系統(tǒng)誤差對(duì)于觀測(cè)結(jié)果的影響一般有累積的作用，它對(duì)觀測(cè)成果的質(zhì)量影響也特別顯著。在實(shí)際工作中，應(yīng)該采用各種方法來(lái)消除或減弱系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)成果的影響，達(dá)到實(shí)際上可以忽略不計(jì)的程度。當(dāng)觀測(cè)序列中已經(jīng)排除了系統(tǒng)誤差的影響，或者說(shuō)系統(tǒng)誤差與偶然誤差相比已處于次要地位，即該觀測(cè)序列中主要是存在著偶然誤差。對(duì)于這樣的觀測(cè)序列，就稱(chēng)為帶有偶然誤差的觀測(cè)序列。這樣的觀測(cè)結(jié)果和偶然誤差便都是一些隨機(jī)變量，如何處理這些隨機(jī)變量，是測(cè)量平差這一學(xué)科所要研究的內(nèi)容。

1/22/202410第一章觀測(cè)誤差及其傳播§1-2觀測(cè)誤差及其分類(lèi)

四、測(cè)量平差的任務(wù)由于觀測(cè)結(jié)果不可避免地存在著偶然誤差的影響，在實(shí)際工作中，為了提高成果的質(zhì)量防止錯(cuò)誤發(fā)生，通常要使觀測(cè)值的個(gè)數(shù)多于未知量的個(gè)數(shù)，也就是要進(jìn)行多余觀測(cè)。由于偶然誤差的存在，通過(guò)多余觀測(cè)必然會(huì)發(fā)現(xiàn)在觀測(cè)結(jié)果之間不相一致，或不符合應(yīng)有關(guān)系而產(chǎn)生的不符值。因此，必須對(duì)這些帶有偶然誤差的觀測(cè)值進(jìn)行處理，消除不符值，得到觀測(cè)量的最可靠的結(jié)果。由于這些帶有偶然誤差的觀測(cè)值是一些隨機(jī)變量，因此，可以根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)求出觀測(cè)量的最可靠結(jié)果，這就是測(cè)量平差的一個(gè)主要任務(wù)。測(cè)量平差的另一個(gè)主要任務(wù)是評(píng)定測(cè)量成果的精度。1/22/202411第一章觀測(cè)誤差及其傳播§1-3偶然誤差的規(guī)律性

一、真值與真誤差1.真值任何一個(gè)被觀測(cè)量，客觀上總是存在著一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)值。這一數(shù)值就稱(chēng)為該觀測(cè)量的真值。通常用表示真值。2.真誤差設(shè)進(jìn)行了n次觀測(cè)，各觀測(cè)值為L(zhǎng)1、

L2、…、Ln，真值為，每一個(gè)觀測(cè)值的真值與觀測(cè)值之間必存在一個(gè)差數(shù)，稱(chēng)為真誤差，即： (1-3-1），，

用向量表示：

（1-3-2）1/22/202412第一章觀測(cè)誤差及其傳播§1-3偶然誤差的規(guī)律性

二、偶然誤差的規(guī)律特性前面已經(jīng)指出，就單個(gè)偶然誤差而言，其大小或符號(hào)沒(méi)有規(guī)律性，即呈現(xiàn)出一種偶然性（或隨機(jī)性）。但就其總體而言，卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。并且指出它是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。人們從無(wú)數(shù)的測(cè)量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在相同的觀測(cè)條件下，大量偶然誤差的分布也確實(shí)表現(xiàn)出了一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。下面用一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明。在相同的條件下，獨(dú)立地觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，由于觀測(cè)值帶有偶然誤差，故三內(nèi)角觀測(cè)值之和不等于其真值180o。各個(gè)三角形內(nèi)角和的真誤差：

將計(jì)算的真誤差按大小和符號(hào)列于下表：1/22/202413第一章觀測(cè)誤差及其傳播§1-3偶然誤差的規(guī)律性

，，

誤差的區(qū)間″

Δ為

負(fù)

值

Δ為

正

值備注個(gè)數(shù)vi頻率vi/n個(gè)數(shù)頻率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.80-1.001.00-1.201.20-1.401.40-1.601.60以上4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.0110.0000.0630.5600.4600.3200.2350.1800.0850.0550.0004641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.0060.0000.0640.5750.4600.2950.2250.1800.0700.0300.000=0.02″

等于區(qū)間左端值的誤差算入該區(qū)間內(nèi)。和1810.505

1770.495

1.在一定的觀測(cè)條件下，誤差的絕對(duì)值有一定的限值，或者說(shuō)，超出一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零。2.絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大。3.絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。4.偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即：

1/22/202414第一章觀測(cè)誤差及其傳播§1-3偶然誤差的規(guī)律性

二、偶然誤差的表示方法表格法：見(jiàn)上頁(yè)直方圖：以橫坐標(biāo)表示誤差的大小，縱坐標(biāo)代表各區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率除以區(qū)間的間隔值，每一誤差區(qū)間上的長(zhǎng)方條面積就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的頻率。

誤差分布曲線(xiàn)：在n無(wú)限大時(shí)，如果把誤差區(qū)間間隔無(wú)限縮小，左圖中各長(zhǎng)方條頂邊所形成的折線(xiàn)將變成右圖所示的光滑曲線(xiàn)。這種曲線(xiàn)也就是誤差的概率分布曲線(xiàn)，或稱(chēng)為誤差分布曲線(xiàn)。

1/22/202415第一章觀測(cè)誤差及其傳播§1-3偶然誤差的規(guī)律性

三、偶然誤差的概率分布密度函數(shù)式中為中誤差。當(dāng)上式中的參數(shù)確定后，即可畫(huà)出它所對(duì)應(yīng)的誤差分布曲線(xiàn)。由于，所以該曲線(xiàn)是以橫坐標(biāo)為0處的縱軸為對(duì)稱(chēng)軸。當(dāng)不同時(shí)，曲線(xiàn)的位置不變，但分布曲線(xiàn)的形狀將發(fā)生變化。偶然誤差Δ是服從分布的隨機(jī)變量。1/22/202416第一章觀測(cè)誤差及其傳播小結(jié)觀測(cè)值都是含有誤差的，測(cè)量誤差分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差，除此之外還有粗差；測(cè)量平差所處理的觀測(cè)值是僅含有偶然誤差的觀測(cè)值；偶然誤差服從正態(tài)分布，且具有四個(gè)規(guī)律特性；測(cè)量平差的兩大任務(wù)：求出觀測(cè)量的最可靠結(jié)果，評(píng)定測(cè)量成果的精度。偶然誤差的數(shù)學(xué)期望（真值）為零。

1/22/202417第一章觀測(cè)誤差及其傳播預(yù)習(xí)§1-4精度和衡量精度的指標(biāo)

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202418第一章觀測(cè)誤差及其傳播作業(yè)無(wú)1/22/202419第一章觀測(cè)誤差及其傳播上節(jié)內(nèi)容回顧觀測(cè)值都是含有誤差的，測(cè)量誤差分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差，除此之外還有粗差；測(cè)量平差所處理的觀測(cè)值是僅含有偶然誤差的觀測(cè)值；偶然誤差服從正態(tài)分布，且具有四個(gè)規(guī)律特性；測(cè)量平差的兩大任務(wù)：求出觀測(cè)量的最可靠結(jié)果，評(píng)定測(cè)量成果的精度。偶然誤差的數(shù)學(xué)期望（真值）為零。

1/22/202420第一章觀測(cè)誤差及其傳播一、概述精度的定義：精度就是指誤差分布的密集或離散的程度。誤差分布相同，觀測(cè)成果的精度相同；反之，若誤差分布不同，則精度也就不同。從直方圖來(lái)看，精度高，則誤差分布較為密集，圖形在縱軸附近的頂峰則較高，且由長(zhǎng)方形所構(gòu)成的階梯比較陡峭；精度低，則誤差分布較為分散，在縱軸附近頂峰則較低，且其階梯較為平緩。這個(gè)性質(zhì)同樣反映在誤差分布曲線(xiàn)的形態(tài)上。為了衡量觀測(cè)值的精度高低，可以按上節(jié)的方法，把在一組相同條件下得到的誤差，用組成誤差分布表、繪制直方圖或畫(huà)出誤差分布曲線(xiàn)的方法來(lái)比較。在實(shí)用上，是用一些數(shù)字特征來(lái)說(shuō)明誤差分布的密集或離散的程度，稱(chēng)它們?yōu)楹饬烤鹊闹笜?biāo)。衡量精度的指標(biāo)有很多種，下面介紹幾種常用的精度指標(biāo)。

§1-4精度和衡量精度的指標(biāo)

1/22/202421第一章觀測(cè)誤差及其傳播二、衡量精度的指標(biāo)1.方差和中誤差

誤差Δ的概率密度函數(shù)為：方差定義：就是中誤差：正態(tài)分布曲線(xiàn)具有兩個(gè)拐點(diǎn)，它們?cè)跈M軸上的坐標(biāo)為，，對(duì)于偶然誤差，拐點(diǎn)在橫軸上，其大小可以反映精度的高低，所以常用中誤差作為衡量精度的指標(biāo)。對(duì)于離散型：方差和中誤差的估值：§1-4精度和衡量精度的指標(biāo)

1/22/202422第一章觀測(cè)誤差及其傳播二、衡量精度的指標(biāo)2.平均誤差在一定的觀測(cè)條件下，一組獨(dú)立偶然誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望稱(chēng)為平均誤差。以表示。

平均誤差與中誤差的關(guān)系：所以也可以作為衡量精度的指標(biāo)?！?-4精度和衡量精度的指標(biāo)

1/22/202423第一章觀測(cè)誤差及其傳播二、衡量精度的指標(biāo)或然誤差隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間（a,b)內(nèi)的概率為：對(duì)于偶然誤差，誤差Δ落入?yún)^(qū)間(a,b)的概率為：或然誤差的定義是：誤差出現(xiàn)在之間的概率等于，即

稱(chēng)為或然誤差與中誤差的關(guān)系：

實(shí)用上只能得到的估值：將相同觀測(cè)條件下得到的一組誤差，按絕對(duì)值的大小排列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，取位于中間的一個(gè)誤差值作為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則取中間兩個(gè)誤差值的平均值作為。在實(shí)用上，通常都是先求出中誤差的估值，然后關(guān)系式求出或然誤差。§1-4精度和衡量精度的指標(biāo)

1/22/202424第一章觀測(cè)誤差及其傳播二、衡量精度的指標(biāo)4.極限誤差誤差落在、和的概率分別為：

一般以三倍中誤差作為偶然誤差的極限值，并稱(chēng)為極限誤差。

§1-4精度和衡量精度的指標(biāo)

1/22/202425第一章觀測(cè)誤差及其傳播二、衡量精度的指標(biāo)5.相對(duì)誤差對(duì)于某些長(zhǎng)度元素的觀測(cè)結(jié)果，有時(shí)單靠中誤差還不能完全表達(dá)觀測(cè)結(jié)果的好壞。相對(duì)中誤差，它是中誤差與觀測(cè)值之比。在測(cè)量中一般將分子化為1，用表示。

例[1-1]觀測(cè)了兩段距離，分別為1000m±2cm和500m±2cm。問(wèn)：這兩段距離的真誤差是否相等？中誤差是否相等？它們的相對(duì)精度是否相同？解：這兩段距離的真誤差不相等。這兩段距離中誤差是相等，均為±2cm。它們的相對(duì)精度不相同，前一段距離的相對(duì)中誤差為2/100000=1/50000，后一段距離的相對(duì)中誤差為2/50000=1/25000。第一條邊精度高。角度元素沒(méi)有相對(duì)精度?！?-4精度和衡量精度的指標(biāo)

1/22/202426第一章觀測(cè)誤差及其傳播協(xié)方差傳播律是研究函數(shù)與自變量之間的協(xié)方差運(yùn)算規(guī)律。描述觀測(cè)值方差與觀測(cè)值函數(shù)方差之間的關(guān)系式。例如，圖中A和B為已知點(diǎn)，為了確定P的平面坐標(biāo)，觀測(cè)了邊長(zhǎng)s和角度β。P點(diǎn)坐標(biāo)為：式中：

現(xiàn)在的問(wèn)題是在已知觀測(cè)邊長(zhǎng)s和角度β的方差和協(xié)方差條件下，如何計(jì)算P點(diǎn)坐標(biāo)的方差和協(xié)方差。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202427第一章觀測(cè)誤差及其傳播一、協(xié)方差與相關(guān)

1．協(xié)方差協(xié)方差是用數(shù)學(xué)期望來(lái)定義的。設(shè)有觀測(cè)值向量X和Y，它們的協(xié)方差定義是：

2.相關(guān)如果協(xié)方差為零，表示這兩個(gè)（或兩組）觀測(cè)值的誤差之間是不相關(guān)的，并稱(chēng)這些觀測(cè)值為不相關(guān)觀測(cè)值；如果協(xié)方差不為零，則表示它們的誤差之間是相關(guān)的，稱(chēng)這些觀測(cè)值是相關(guān)觀測(cè)值。由于在測(cè)量上所涉及的觀測(cè)值和觀測(cè)誤差都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，“不相關(guān)”與“獨(dú)立”是等價(jià)的，所以把不相關(guān)觀測(cè)值也稱(chēng)為獨(dú)立觀測(cè)值，同樣把相關(guān)觀測(cè)值也稱(chēng)為不獨(dú)立觀測(cè)值。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202428第一章觀測(cè)誤差及其傳播一、協(xié)方差與相關(guān)3.方差-協(xié)方差陣假定有個(gè)不同精度的相關(guān)觀測(cè)值，數(shù)學(xué)期望和方差分別為和，它們兩兩之間的協(xié)方差為,用矩陣表示為:為觀測(cè)值向量的方差-協(xié)方差陣，簡(jiǎn)稱(chēng)為協(xié)方差陣。§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

，1/22/202429第一章觀測(cè)誤差及其傳播一、協(xié)方差與相關(guān)3.方差-協(xié)方差陣設(shè)有觀測(cè)值向量和，它們的數(shù)學(xué)期望分別為和。令：；則的方差陣為：

是X關(guān)于Y的互協(xié)方差陣。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

和

1/22/202430第一章觀測(cè)誤差及其傳播二、觀測(cè)值線(xiàn)性函數(shù)的方差

設(shè)有觀測(cè)值向量，其數(shù)學(xué)期望為，協(xié)方差陣為,即

又設(shè)有的線(xiàn)性函數(shù)為：如何求Z的方差？§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202431第一章觀測(cè)誤差及其傳播二、觀測(cè)值線(xiàn)性函數(shù)的方差令：則對(duì)上式兩邊取數(shù)學(xué)期望：Z的方差為

協(xié)方差傳播律§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202432第一章觀測(cè)誤差及其傳播二、觀測(cè)值線(xiàn)性函數(shù)的方差的純量形式：

當(dāng)向量中的各分量?jī)蓛瑟?dú)立時(shí)

（中誤差傳播律）線(xiàn)性函數(shù)的協(xié)方差傳播律敘述為：設(shè)有函數(shù)：則：

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202433第一章觀測(cè)誤差及其傳播二、觀測(cè)值線(xiàn)性函數(shù)的方差例[1-2]在1：500的圖上，量得某兩點(diǎn)間的距離=23.4mm,d的量測(cè)中的誤差=±0.2mm，求該兩點(diǎn)實(shí)地距離及中誤差。解：

最后寫(xiě)成:

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202434第一章觀測(cè)誤差及其傳播三、多個(gè)觀測(cè)值線(xiàn)性函數(shù)的協(xié)方差陣設(shè)有觀測(cè)值向量和

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202435第一章觀測(cè)誤差及其傳播三、多個(gè)觀測(cè)值線(xiàn)性函數(shù)的協(xié)方差陣若有的X個(gè)線(xiàn)性t函數(shù)：

令：§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

則現(xiàn)求Z的協(xié)方差陣？1/22/202436第一章觀測(cè)誤差及其傳播三、多個(gè)觀測(cè)值線(xiàn)性函數(shù)的協(xié)方差陣推導(dǎo)過(guò)程：

Z的協(xié)方差陣：

協(xié)方差傳播律§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

函數(shù)：函數(shù)的協(xié)方差陣：1/22/202437第一章觀測(cè)誤差及其傳播三、多個(gè)觀測(cè)值線(xiàn)性函數(shù)的協(xié)方差陣設(shè)另有Y的S個(gè)線(xiàn)性函數(shù)：如果W也是X的函數(shù)，同學(xué)們考慮公式該是什么樣？協(xié)方差傳播律§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202438第一章觀測(cè)誤差及其傳播三、多個(gè)觀測(cè)值線(xiàn)性函數(shù)的協(xié)方差陣

例[1-3]設(shè)有函數(shù)：的方差陣，的方差陣，關(guān)于的互協(xié)方差陣為，其中為常系數(shù)陣。且求：、、、、、、（1）．計(jì)算、、

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202439第一章觀測(cè)誤差及其傳播三、多個(gè)觀測(cè)值線(xiàn)性函數(shù)的協(xié)方差陣（2）．計(jì)算（3）．計(jì)算（4）．計(jì)算，（表示單位陣）

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202440第一章觀測(cè)誤差及其傳播三、多個(gè)觀測(cè)值線(xiàn)性函數(shù)的協(xié)方差陣（5）．計(jì)算或:

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202441第一章觀測(cè)誤差及其傳播小結(jié)精度的概念衡量精度的指標(biāo)：方差和中誤差、平均誤差、或然誤差、極限誤差、相對(duì)中誤差。協(xié)方差傳播律：1/22/202442第一章觀測(cè)誤差及其傳播預(yù)習(xí)§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用(非線(xiàn)性函數(shù)情況)看有關(guān)例題1/22/202443第一章觀測(cè)誤差及其傳播作業(yè)1.31/22/202444第一章觀測(cè)誤差及其傳播小結(jié)協(xié)方差傳播律：1/22/202445第一章觀測(cè)誤差及其傳播五、非線(xiàn)性函數(shù)的情況1．單個(gè)非線(xiàn)性函數(shù)

設(shè)有觀測(cè)值的非線(xiàn)性函數(shù)已知的協(xié)方差陣，求的方差。

為了求非線(xiàn)性函數(shù)的方差，只要對(duì)它求全微分就可以了。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202446第一章觀測(cè)誤差及其傳播五、非線(xiàn)性函數(shù)的情況2．多個(gè)非線(xiàn)性函數(shù)

設(shè)有觀測(cè)值的多個(gè)非線(xiàn)性函數(shù)將函數(shù)求全微分得

兩組非線(xiàn)性函數(shù)時(shí)怎么做？§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202447第一章觀測(cè)誤差及其傳播例[1-4]量得某矩形的長(zhǎng)和寬為和，且，計(jì)算該矩形面積的方差。解：面積：線(xiàn)性化:用協(xié)方差傳播律得：先取對(duì)數(shù)然后再全微分能簡(jiǎn)化計(jì)算。對(duì)函數(shù)式取自然對(duì)數(shù)：再微分：§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202448第一章觀測(cè)誤差及其傳播例[1-5]設(shè)：，

和的方差為零，

的方差為，的方差為，且計(jì)算？解：為什么要除?§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202449第一章觀測(cè)誤差及其傳播

是用于角度與弧度的換算。如果以弧度為單位，則該項(xiàng)不需要。通常以秒為單位，則。

在測(cè)量工作中，常用點(diǎn)位方差來(lái)衡量點(diǎn)的精度，點(diǎn)位方差等于該點(diǎn)在兩個(gè)互相垂直方向上的方差之和，即：通常稱(chēng)為縱向方差，它是由邊長(zhǎng)BP方差引起的。在BP邊的垂直方向的方差稱(chēng)為橫向方差，它是由邊的坐標(biāo)方位角的方差引起的。點(diǎn)位方差也可由和來(lái)計(jì)算。即：

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202450第一章觀測(cè)誤差及其傳播應(yīng)用協(xié)方差傳播律的具體步驟為：1.按要求寫(xiě)出函數(shù)式，如：或：2.如果為非線(xiàn)性函數(shù)，則對(duì)函數(shù)式求全微分，得：

3.寫(xiě)成矩陣形式：4.應(yīng)用協(xié)方差傳播律求方差或協(xié)方差陣。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202451第一章觀測(cè)誤差及其傳播例[1-6]經(jīng)個(gè)N測(cè)站測(cè)定兩水準(zhǔn)點(diǎn)A、B間的高差，其中第i(i=1,2…N)站的觀測(cè)高差為解：A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差為：設(shè)：各測(cè)站觀測(cè)高差是精度相同的獨(dú)立觀測(cè)值，其中誤差均為，。應(yīng)用協(xié)方差傳播律，得設(shè)：若水準(zhǔn)路線(xiàn)敷設(shè)在平坦的地區(qū)，前后量測(cè)站間的距離s大致相等，設(shè)A、B間的距離為S，則測(cè)站數(shù)N=S/s，代入上式得：如果S=1km，s以km為單位，則一公里的測(cè)站數(shù)為：而一公里觀測(cè)高差的中誤差即為：所以，距離為S公里的A、B兩點(diǎn)的觀測(cè)高差的中誤差為：可見(jiàn)，當(dāng)各測(cè)站高差的觀測(cè)精度相同時(shí)，水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差與測(cè)站數(shù)的平方根成正比；當(dāng)各測(cè)站的距離大致相等時(shí)，水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差與距離的平方根成正比。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202452第一章觀測(cè)誤差及其傳播例[1-7]設(shè)對(duì)某量以同精度獨(dú)立觀測(cè)了N次，得觀測(cè)值，它們的中誤差均等于。求N個(gè)觀測(cè)值的算術(shù)平均值的中誤差。 解：應(yīng)用協(xié)方差傳播律得：

即：N個(gè)同精度獨(dú)立觀測(cè)值的算術(shù)平均值的中誤差，等于各觀測(cè)值的中誤差除以。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202453第一章觀測(cè)誤差及其傳播例[1-8]一個(gè)觀測(cè)結(jié)果同時(shí)受到許多獨(dú)立誤差的聯(lián)合影響。在這種情況下，觀測(cè)結(jié)果的真誤差是各個(gè)獨(dú)立誤差的代數(shù)和，即由于這里的真誤差是相互獨(dú)立的，各種誤差的出現(xiàn)都是隨機(jī)的，因而也可由（1-5-12）并顧及得出它們之間的方差關(guān)系式

即觀測(cè)結(jié)果的方差，等于各獨(dú)立誤差所對(duì)應(yīng)的方差之和?！?-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202454第一章觀測(cè)誤差及其傳播協(xié)方差傳播律小結(jié)線(xiàn)性函數(shù)：2.非線(xiàn)性函數(shù)只需對(duì)函數(shù)全微分，然后按協(xié)方差傳播律計(jì)算即可。1/22/202455第一章觀測(cè)誤差及其傳播預(yù)習(xí)§1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法1/22/202456第一章觀測(cè)誤差及其傳播作業(yè)1.21.31.41.51.61/22/202457第一章觀測(cè)誤差及其傳播一、權(quán)的定義

1.權(quán)的定義式表示各觀測(cè)值方差之間比例關(guān)系的數(shù)字特征稱(chēng)之為權(quán)。設(shè)有觀測(cè)值，它們的方差為，選定任一常數(shù)，定義觀測(cè)值的權(quán)為：由權(quán)的定義知，觀測(cè)值的權(quán)與其方差成反比。即方差愈小，其權(quán)愈大，或者說(shuō)，精度愈高，其權(quán)愈大。因此，權(quán)同樣可以作為比較觀測(cè)值之間的精度高低的一種指標(biāo)?！?-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202458第一章觀測(cè)誤差及其傳播一、權(quán)的定義

2.權(quán)的性質(zhì)

1．選定了一個(gè)值，即有一組對(duì)應(yīng)的權(quán)。或者說(shuō)，有一組權(quán)，必有一個(gè)對(duì)應(yīng)的值。2．一組觀測(cè)值的權(quán)，其大小是隨的不同而異，但不論選用何值，權(quán)之間的比例關(guān)系始終不變。3．為了使權(quán)能起到比較精度高低的作用，在同一問(wèn)題中只能選定一個(gè)值，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。4．事先給出一定的條件，就可以確定出觀測(cè)值的權(quán)的數(shù)值。5．權(quán)是用來(lái)比較各觀測(cè)值相互之間精度高低的，權(quán)的意義不在于它們本身數(shù)值的大小，重要的是它們之間所存在的比例關(guān)系。下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)了解這些性質(zhì)：§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202459第一章觀測(cè)誤差及其傳播觀測(cè)高差：水準(zhǔn)路線(xiàn)長(zhǎng)度：設(shè)每公里觀測(cè)值高差的方差為

各水準(zhǔn)路線(xiàn)的方差為：

?。簷?quán)：?。簷?quán)：權(quán)之間的比例關(guān)系：§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

平差計(jì)算之前，精度的絕對(duì)數(shù)字特征（方差）往往是不知道的，而精度的相對(duì)的數(shù)字特征（權(quán)）卻可以根據(jù)事先給定的條件予以確定，然后根據(jù)平差的結(jié)果估算出表示精度的絕對(duì)的數(shù)字特征（方差）。

1/22/202460第一章觀測(cè)誤差及其傳播二、單位權(quán)中誤差

1.定義

權(quán)等于1的觀測(cè)值稱(chēng)為單位權(quán)觀測(cè)值。權(quán)等于1的觀測(cè)值的方差稱(chēng)為單位權(quán)方差。即：是單位權(quán)方差，也稱(chēng)為方差因子。權(quán)等于1的觀測(cè)值的中誤差稱(chēng)為單位權(quán)中誤差。即：是單位權(quán)中誤差。2.權(quán)的單位同類(lèi)觀測(cè)值：權(quán)是無(wú)量綱，無(wú)單位；不同類(lèi)觀測(cè)值：權(quán)是有單位的。例如：邊角網(wǎng)中：設(shè)測(cè)角中誤差單位為“秒”；測(cè)邊中誤差單位為“mm”若單位取秒，則角度的權(quán)無(wú)單位，邊長(zhǎng)的權(quán)的單位為：若單位取mm，則邊長(zhǎng)的權(quán)無(wú)單位，角度的權(quán)的單位：§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202461第一章觀測(cè)誤差及其傳播三、常用定權(quán)的方法

1.距離觀測(cè)值的權(quán)（1）設(shè)單位長(zhǎng)度（例如一公里）的距離觀測(cè)值的方差為，則全長(zhǎng)為S公里的距離觀測(cè)值的方差為取長(zhǎng)度為C公里的距離觀測(cè)值方差為單位權(quán)方差，即：則距離觀測(cè)值的權(quán)為：（2）設(shè)長(zhǎng)度為S公里的距離觀測(cè)值的方差為，和分別為測(cè)距固定誤差和比例誤差。取單位權(quán)方差則距離觀測(cè)值的權(quán)為：§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202462第一章觀測(cè)誤差及其傳播三、常用定權(quán)的方法2.水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)（1）設(shè)每公里的觀測(cè)高差的方差均相等，均為；第i條水準(zhǔn)線(xiàn)路的觀測(cè)高差為，長(zhǎng)度為公里則第i條水準(zhǔn)線(xiàn)路（觀測(cè)高差）的方差為：取線(xiàn)路長(zhǎng)度為C公里的觀測(cè)高差的方差為單位權(quán)方差：則線(xiàn)路長(zhǎng)度為公里的觀測(cè)高差的權(quán)為：（2）設(shè)每一測(cè)站觀測(cè)高差的精度相同，其方差均為；第i條水準(zhǔn)線(xiàn)路的觀測(cè)高差為，測(cè)站數(shù)為,則第i條水準(zhǔn)線(xiàn)路（觀測(cè)高差）的方差為：取測(cè)站數(shù)為C的高差觀測(cè)值為單位權(quán)方差：則第i條水準(zhǔn)線(xiàn)路（觀測(cè)高差）的權(quán)為：§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202463第一章觀測(cè)誤差及其傳播三、常用定權(quán)的方法3.同精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值的權(quán)設(shè)有它們分別是次同精度觀測(cè)值的平均值，若每次觀測(cè)的方差均為，則的方差為：?。簞t算術(shù)平均值的權(quán)為：§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202464第一章觀測(cè)誤差及其傳播三、常用定權(quán)的方法4．邊角網(wǎng)中方向觀測(cè)值和邊長(zhǎng)觀測(cè)值的權(quán)邊角網(wǎng)中有兩類(lèi)不同量綱的觀測(cè)值：方向（或角度）和邊長(zhǎng)。設(shè)方向觀測(cè)值的方差為（），邊長(zhǎng)觀測(cè)值的方差為（、或）?。簞t方向觀測(cè)值的權(quán)：（無(wú)單位）。邊長(zhǎng)觀測(cè)值的權(quán)§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202465第一章觀測(cè)誤差及其傳播特別強(qiáng)調(diào)：在測(cè)量工作中，一般是先根據(jù)事先給定的條件，按上述方法確定觀測(cè)值權(quán)，然后進(jìn)行平差，再根據(jù)權(quán)的定義式的變形公式，來(lái)求觀測(cè)值或其他函數(shù)的中誤差。權(quán)的變形公式：該公式不僅適合于觀測(cè)值，同時(shí)也適合于觀測(cè)值的函數(shù)。§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202466第一章觀測(cè)誤差及其傳播一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣

1.協(xié)因數(shù)設(shè)有觀測(cè)值和，稱(chēng)為的協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)，它們的權(quán)分別為和，為的協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)，它們的方差分別為和，為關(guān)于的協(xié)因數(shù)或相關(guān)權(quán)倒數(shù)它們之間的協(xié)方差為，單位權(quán)方差為。令：

§1-7協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律

協(xié)因數(shù)與權(quán)成反比，因此，也可作為衡量精度的相對(duì)指標(biāo)。當(dāng)=0，說(shuō)明兩觀測(cè)值獨(dú)立（不相關(guān)）。1/22/202467第一章觀測(cè)誤差及其傳播一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣

2.協(xié)因數(shù)陣設(shè)有觀測(cè)值向量X和Y，它們的方差陣分別為和，關(guān)于的互協(xié)方差陣為單位權(quán)方差為令：稱(chēng)為X的協(xié)因數(shù)陣，為Y的協(xié)因數(shù)陣，為X關(guān)于Y的互協(xié)因數(shù)陣?！?-7協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律

協(xié)因數(shù)陣中的主對(duì)角線(xiàn)元素就是各個(gè)的權(quán)倒數(shù)，它的非主對(duì)角線(xiàn)元素是關(guān)于的相關(guān)權(quán)倒數(shù)；中的元素就是關(guān)于Yj的相關(guān)權(quán)倒數(shù)。也稱(chēng)為X的權(quán)逆陣，為的Y權(quán)逆陣，為X關(guān)于Y的相關(guān)權(quán)逆陣。當(dāng)說(shuō)明X與Y相互獨(dú)立（不相關(guān)）1/22/202468第一章觀測(cè)誤差及其傳播一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣

3.權(quán)陣設(shè)有獨(dú)立觀測(cè)值，其方差為，權(quán)為，單位權(quán)方差為。X的協(xié)因數(shù)陣為：=則有：

§1-7協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律