西南財(cái)經(jīng)大學(xué)期權(quán)期貨及其他衍生品第5章

第5章利率利率的種類國債利率(Treasuryrates)bill,Note,bond銀行間同業(yè)拆借利率(LIBORrates)回購利率(Reporates)

利率的測量方式（1）按時(shí)間頻率復(fù)利(compoundingfrequency)：比如按季度復(fù)利或按年份復(fù)利（2）連續(xù)復(fù)利(continuouscompounding)連續(xù)復(fù)利隨著利率復(fù)利頻率的增加，達(dá)到極限的時(shí)候就形成了連續(xù)復(fù)利的利率一個(gè)$100的投資，按連續(xù)復(fù)利形式的收益率R計(jì)算，在T時(shí)增加到$一個(gè)$100的T時(shí)收益，按連續(xù)復(fù)利形式的貼現(xiàn)率R計(jì)算，在0時(shí)將折現(xiàn)為$轉(zhuǎn)換公式假定：Rc是連續(xù)復(fù)利計(jì)算的利率Rm是每年復(fù)利m次的年利率如何進(jìn)行兩種復(fù)利頻率不一樣的利率之間轉(zhuǎn)換呢？零息票債券收益率(ZeroRates\Spotrate，即期利率)零息票債券(Zerocouponbond)：債券存續(xù)過程中無利息收益，只有在最終時(shí)間點(diǎn)T時(shí)才獲得現(xiàn)金流的債券。零息債券收益率：各到期期限的零息債券所隱含的利率。附息債券的定價(jià)為了對債券的現(xiàn)金流進(jìn)行定價(jià)，需要對每個(gè)現(xiàn)金流按相應(yīng)的零息票利率進(jìn)行貼現(xiàn)。以上面的表格為例，一種兩年期限的債券每半年計(jì)算的年利率是6%，支付的利息是3，本金100在最后一期支付，則其理論價(jià)格是？附息債券收益率(BondYield)債券收益率：債券現(xiàn)金流貼現(xiàn)成現(xiàn)值，并使現(xiàn)值等于債券市場價(jià)格的貼現(xiàn)率。假定上面的債券市場理論價(jià)格等于98.39按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的債券收益率是通過解下式獲得的

通過試錯(cuò)法或者牛頓法得y=0.0676或6.76%.平價(jià)收益利率(ParYield)對于一定到期期限的債券，平價(jià)收益利率就是促使債券價(jià)格等于其面值(parvalueorprincipalvalue)的利息率以上面的例子，它就是零息票債券收益率曲線的確定現(xiàn)實(shí)中，有一些零息債券由經(jīng)紀(jì)公司發(fā)行(strip)，這些債券的收益率就是零息票債券收益率。如：02進(jìn)出04，01進(jìn)出02，12貼現(xiàn)國債02由于實(shí)際當(dāng)中能夠觀察到的通常是附息票債券的價(jià)格，所以，一個(gè)重要的問題是如何根據(jù)附息債券的價(jià)格來計(jì)算得出零息票債券收益率曲線通常用所謂“捆鞋帶法”(bootstrap)來解決這一問題。這種方法把每一個(gè)息票支付看作一個(gè)獨(dú)立的“微小”的零息票債券，這樣,附息債券就變成許多零息票債券的組合?？紤]下表中6種債券價(jià)格的數(shù)據(jù)(假設(shè)所有附息債券都是半年付息)。貼現(xiàn)債券？債券面值($)到期日(年)息票利率(%)債券價(jià)格($)1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.61002.751099.8對于前面3種債券，分別有由此得

y0.25=10.12%y0.5=10.47%y1.0=10.54%對于第4種債券，將其看作由3張零息票債券組成：1張6個(gè)月期面值4元、1張1年期面值4元、1張1.5年期面值104元。所以有

由此得y1.5=10.68%類似地，對于第5種債券，有由此得

y2.0=10.81%為了求出y2.75

，必須先求出y0.75、y1.25、y1.75和y2.25

。利用線性插值法，求出這三個(gè)零息票收益率分別為10.505%、10.61%和10.745%。同樣，利用線性插值法，有將第6種債券看作由6張零息票債券組成，有這是一個(gè)關(guān)于y2.75的方程。利用試錯(cuò)法或諸如牛頓法的數(shù)值方法可以解得y2.75=10.87%。至此，根據(jù)y0.25，y0.5，y1.0，y1.5，y2.0和y2.75的數(shù)據(jù)，可以構(gòu)造出一條零息票收益率曲線。捆鞋帶法計(jì)算的零息票債券收益率曲線

ZeroRate(%)Maturity(yrs)10.12710.46910.53610.68110.808即期利率和遠(yuǎn)期利率

即期利率(spotrate)定義為從今天開始計(jì)算并持續(xù)n年期限的投資的到期收益率。這里所考慮的投資是中間沒有支付的，所以n年即期利率實(shí)際上就是指n年期零息票收益率(zero-rate)。遠(yuǎn)期利率(forwardrate)是由當(dāng)前即期利率隱含的將來某一時(shí)期的短期利率。

令y1、y2、y3和y4分別為1年期、2年期、3年期和4年期即期利率，由當(dāng)前的相應(yīng)期限的即期利率隱含決定了與這些點(diǎn)利率相對應(yīng)的遠(yuǎn)期利率f1、f2、f3和f4

(假設(shè)以上的利率都是連續(xù)復(fù)利)：

……顯然，遠(yuǎn)期利率的計(jì)算

n-yearForwardRate

zeroratefornthYearYear(n)(%perannum)(%perannum)13.024.05.034.65.845.06.255.36.5遠(yuǎn)期利率的計(jì)算公式在未來時(shí)間區(qū)間T1

和T2

的遠(yuǎn)期利率是則T時(shí)刻的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率等于其中，?如何鎖定遠(yuǎn)期利率呢？假定借貸的零息票率是一樣的。一個(gè)投資者以3%的年利率借入$100一年,并同時(shí)把這些錢以4%的利率投資二年。問：遠(yuǎn)期利率是多少？如果，一個(gè)投資者認(rèn)為未來第一年結(jié)束時(shí)市場的利率將不同于今天計(jì)算的遠(yuǎn)期利率，他會怎么辦？

遠(yuǎn)期利率協(xié)議

遠(yuǎn)期利率協(xié)議(forwardrateagreement,FRA)是一個(gè)遠(yuǎn)期合約，參與者約定在未來某個(gè)時(shí)期將某個(gè)確定的利率應(yīng)用于某個(gè)確定的本金。多頭方承諾向空頭方提供貸款，空頭方承諾向多頭方借款，借貸的對象是一筆以特定幣種表示的特定金額的本金，借貸的利率在協(xié)議中約定，貸款有特定的期限并且在未來某一雙方約定的日期開始執(zhí)行。但實(shí)際上FRA通常是在約定的未來某個(gè)時(shí)期的開始時(shí)刻用現(xiàn)金來結(jié)算的。

T0T1T2交割X:Y:X:貸款者Y:借款者T2時(shí)的現(xiàn)金流走向協(xié)議的價(jià)值公式假定：第一個(gè)FRA可以保證收到以LIBOR遠(yuǎn)期利率RK

和本金L計(jì)算的

T1和T2時(shí)間區(qū)間內(nèi)的利息收益。第二個(gè)FRA保證收到以LIBOR遠(yuǎn)期利率Rf

和本金L計(jì)算的

T1和T2時(shí)間區(qū)間內(nèi)的利息收益。從而，對于貸款者的協(xié)議價(jià)值就是其中，R2

是T2期的連續(xù)時(shí)間復(fù)利。例給定以上表中的倫敦銀行間同業(yè)拆借利率(LIBOR)和遠(yuǎn)期利率。一份遠(yuǎn)期利率協(xié)議規(guī)定持有方將以1億的本金按6%的年頻率復(fù)利在第一年底和第二年底之間計(jì)算所獲得的利息。遠(yuǎn)期利率是5%的連續(xù)復(fù)利或者5.127%的年復(fù)利。這份遠(yuǎn)期利率協(xié)議的現(xiàn)值是多少？久期是債券持有者獲得第一次現(xiàn)金流的平均等待時(shí)間。假定一種債券在時(shí)間點(diǎn)ti支付現(xiàn)金流ci

，則久期等于

其中

B是債券價(jià)格，而y

是債券收益率(兩者都是連續(xù)復(fù)利)從而可得 久期(Duration)Time(years)CashflowPresentvalueWeightTime*Weight0.554.7090.0500.0251.054.4350.0470.0471.554.1760.0440.0662.053.9330.0420.0832.553.7040.0390.0983.010573.2560.7782.333Total:13094.2131.0002.653如何計(jì)算久期？修正后的久期當(dāng)債券收益率y

每年復(fù)利m

次，則從而久期變?yōu)?/p>

YX兩個(gè)具有相同久期的投資組合債券價(jià)格的凸性

為什么零息債券收益率曲線是上升的呢？期限結(jié)構(gòu)(Termstructure)理論

(1)預(yù)期理論(expectationtheory)該理論認(rèn)為，遠(yuǎn)期利率等于市場整體對未來相應(yīng)期間的短期利率的預(yù)期。也就是說，它認(rèn)為，T1和T2期間的遠(yuǎn)期利率等于市場整體所預(yù)期的T1和T2期間的利率。(2)市場分割理論(marketsegregation)(3)流動(dòng)性偏好理論(liquiditypreference)該理論認(rèn)為，遠(yuǎn)期利率等于市場整體對未來點(diǎn)利率的預(yù)期加上一個(gè)流動(dòng)性溢價(jià)(liquiditypremium)。之所以如此，是因?yàn)槭袌鐾ǔＳ啥唐谕顿Y者控制，對于這類投資者而言，除非遠(yuǎn)期利率相對于他們所預(yù)期的未來點(diǎn)利率有一個(gè)溢價(jià)，否則他們不愿意持有長期債券。流動(dòng)性偏好理論

LiquidityPreferenceTheory假定債券收益率曲線是平的如果你是存款者，你會選擇哪個(gè)存期?如果你是借款者