2023高考數學逆襲系列之微專題11-數列中的最值、范圍及奇偶項問題

上篇板塊二數列微專題11數列中的最值、范圍及奇偶項問題題型聚焦

分類突破高分訓練

對接高考1.數列中的最值、范圍問題的常見類型有：(1)求數列和式的最值、范圍；(2)滿足數列的特定條件的n的最值與范圍；(3)求數列不等式中參數的取值范圍.2.數列中的奇、偶項問題的常見題型 (1)數列中連續(xù)兩項和或積的問題(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的類型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的類型； (4)已知條件明確奇偶項問題.1題型聚焦

分類突破核心歸納類型一求數列和式的最值、范圍(2)利用和式的單調性；(3)把數列的和式看作函數求其最值、值域.

例1

已知等差數列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，且a1＋a6＝a4，S6＝9，數列{bn}滿足b1＝2，bn－bn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*). (1)求數列{an}和{bn}的通項公式；解

由S6＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)＝3a4＝9，得a4＝3，a3＝0，故數列{an}的公差d＝3，an＝a3＋(n－3)d＝3n－9，即數列{an}的通項公式為an＝3n－9(n∈N*).當n≥2時，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋2＝2n，而b1＝2，故bn＝2n，即數列{bn}的通項公式為bn＝2n(n∈N*).(2)求數列{anbn}的前n項和Tn，并求Tn的最小值.解

Tn＝－6×2－3×22＋…＋(3n－12)×2n－1＋(3n－9)×2n，2Tn＝－6×22－3×23＋…＋(3n－12)×2n＋(3n－9)×2n＋1.上述兩式相減得－Tn＝－12＋3×22＋…＋3×2n－(3n－9)×2n＋1＝－24－(3n－12)×2n＋1，故Tn＝(3n－12)×2n＋1＋24(n∈N*).設cn＝(3n－12)×2n＋1，顯然當n≥4時，cn≥0，Tn≥24且單調遞增.而c1＝－36，c2＝－48，c3＝－48，故Tn的最小值為T2＝T3＝－24.例2

設Sn是數列{an}的前n項和，且an是Sn和2的等差中項.(1)求數列{an}的通項公式；解∵an是Sn和2的等差中項，∴Sn＋2＝2an.①當n＝1時，S1＋2＝2a1，解得a1＝2；當n≥2時，Sn－1＋2＝2an－1(n≥2，n∈N*).②①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，∴an＝2an－2an－1，∴數列{an}是首項為2，公比為2的等比數列，∴an＝2n(n∈N*).∵2n＋1－1≥3，得2Sn＋n2＝2ann＋n，①所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，②②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，化簡得an＋1－an＝1，所以數列{an}是公差為1的等差數列.(2)若a4，a7，a9成等比數列，求Sn的最小值.解由(1)知數列{an}的公差為1.(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12.所以當n＝12或13時，Sn取得最小值，最小值為－78.類型二求n的最值或范圍求n的值或最值一般化歸為解關于n的不等式問題.

核心歸納解

設數列{an}的公差為d，{bn}的公比為q(q>0)，因為{bn}是公比大于0的等比數列，且b1＝1，b3＝b2＋2，所以q2＝q＋2，解得q＝2，所以bn＝2n－1.若存在k，使得對任意的n∈N*，都有ck≤cn，則cn存在最小值.若選①，解答過程如下.因為n∈N*，所以n2＋n≥2，所以cn不存在最小值，即不存在滿足題意的k.若選②，解答過程如下.因為當n≤20時，cn>0，當n≥21時，cn<0，即存在k＝21，使得對任意的n∈N*，都有ck≤cn.若選③，解答過程如下.由b5＝a4＋2a6，a2＋a3＝b4，因為2n2＋26n≥28，所以cn不存在最小值，即不存在滿足題意的k.訓練2

記Sn是公差不為0的等差數列{an}的前n項和，若a3＝S5，a2a4＝S6.(1)求數列{an}的通項公式an；解由等差數列的性質可得S5＝5a3，則a3＝5a3，所以a3＝0.設等差數列{an}的公差為d，則a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，S6＝S5＋a6＝5a3＋a3＋3d＝3d，從而－d2＝3d，由于公差不為零，故d＝－3，故數列{an}的通項公式為an＝a3＋(n－3)d＝－3n＋9(n∈N*).(2)求使Sn≥an成立的n的最大值.解由數列{an}的通項公式可得a1＝6，則不等式Sn≥an即n2－7n＋6≤0，整理可得(n－1)(n－6)≤0，解得1≤n≤6，又n為正整數，故n的最大值為6.類型三求數列不等式中參數的取值范圍核心歸納此類問題以數列為載體，一般涉及數列的求和，考查不等式的恒成立問題，可轉化為函數的最值問題.

解因為4Sn＋1＝3Sn－9，所以當n≥2時，4Sn＝3Sn－1－9，(2)設數列{bn}滿足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，記{bn}的前n項和為Tn.若Tn≤λbn對任意n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍.解因為3bn＋(n－4)an＝0，因為Tn≤λbn對任意n∈N*恒成立，所以(λ＋3)n－4λ≥0.記f(n)＝(λ＋3)n－4λ(n∈N*)，所以λ的取值范圍是[－3，1].可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).∴數列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0.(2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍.已知對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，即a的取值范圍是(－10，－8).類型四數列中的奇、偶項問題核心歸納對于通項公式分奇、偶項有不同表達式的數列{an}求Sn時，我們可以分別求出奇數項的和與偶數項的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一項，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.

例5

已知數列{an}滿足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*).(1)若數列{an}是等差數列，求a1的值；解

若數列{an}是等差數列，則an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.由an＋1＋an＝4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，即2d＝4，2a1－d＝－3，(2)當a1＝2時，求數列{an}的前n項和Sn.解

法一由an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)，得an＋2＋an＋1＝4n＋1(n∈N*).兩式相減，得an＋2－an＝4，由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1，所以數列{a2n－1}是首項為a1＝2，公差為4的等差數列，數列{a2n}是首項為a2＝－1，公差為4的等差數列，當n為奇數時，an＝2n，an－1＝2n－7.當n為偶數時，an＝2n－5，an－1＝2n－2，法二由于an＋1＋an＝4n－3，(2)求數列{an}的前n項和Sn.2高分訓練

對接高考一、基本技能練1.已知等差數列{an}與數列{bn}滿足a2＝1，b1＝a3≠0，且數列{an·bn}的前n項和Sn＝(n－2)·2n＋1＋4，n∈N*. (1)求數列{an}，{bn}的通項公式；解

a1·b1＝S1＝0，且b1≠0，所以a1＝0，又a2＝1，所以{an}的公差為1，所以an＝n－1(n∈N*).n≥2時，an·bn＝Sn－Sn－1＝(n－1)×2n，此時bn＝2n(n≥2)，又b1＝a3＝2，滿足bn＝2n，所以bn＝2n(n∈N*).得2n＋1－1>2023，所以n的最小值為10.2.已知等差數列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數列. (1)求數列{an}的通項公式；解

∵等差數列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數列，∴Sn＝na1＋n(n－1)，(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，∴an＝2n－1(n∈N*).解