遼寧省沈陽市大南第二高級(jí)中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

遼寧省沈陽市大南第二高級(jí)中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理下

學(xué)期期末試題含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.已知加6-8$0>1,則角6所在象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

參考答案：

B

2.設(shè)4是服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，又E")=15,

45

D(^)=—

4,則界與P的值為()

3I3I

A.60,4B.60,4C.50,4D.50,4

參考答案：

B

3.設(shè)切，〃是兩條不同的直線，。，口是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

(A)若且a-〃，則陽n(B)若m-a,"一"且mn,

則“一〃

(C)若“一夕,偷〃“且"一夕,則(D)若夕且加〃%則

allfl

參考答案：

【答案解析】B解析：A.直線格，力成角大小不確定；B.把洗，力分別看成平面°，產(chǎn)的

法向量所在直線，則易得B成立.所以選B.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)空間直線和平面位置關(guān)系的判斷定理與性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.

4.某學(xué)校10位同學(xué)組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，每次獻(xiàn)愛心活動(dòng)均需

該組織4位同學(xué)參加.假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立，隨機(jī)地發(fā)給4

位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到.則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知的信息的概率為

()

21216

A.5B.25C.不

4

D.5

參考答案：

C

—+(1-：)3

5.復(fù)數(shù)1+1的虛部是()

5.53

—I

A.2B.2C.21D

3

.~2

參考答案：

B

略

6,設(shè)平面向量0=(L2),E=(-2J),若a/欣則|2。-必等于

(A)4(B)5(C)3也(D)4出

參考答案:

D

略

7.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)X,有/（一勸=-/（*景-'）=?（?,且X＞0時(shí),

外方或力＞。,則x＜0時(shí)（）

A.外力＞?；?）＞。B.外力＞?；?＜0

C.八功＜?；蚰浚?D八目＜0,或目＜0

參考答案:

B

8.定義在R上的偶函數(shù)/（X）滿足：對(duì)丫電與4°，3）且2*馬,

都有（X1-*,）［/區(qū)）-/（芻））＜0,則（）

A./(3)</(-2)</(1)B./(1)</(-2)</(3)

c./(-2)</(1)</(3)D./(3)</(1)</(-2)

參考答案：

A

9.函數(shù)/（力2'+2T的圖象關(guān)于_________________對(duì)

稱.（）

A.坐標(biāo)原點(diǎn)B.直線C.X軸D.

y軸

D

略

io.若函數(shù)/Q）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間S*）上的圖像關(guān)于直線x~亍對(duì)稱，則函數(shù)尸=/（外

在區(qū)間S,W上的圖象可能是

參考答案:

D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.從1，2區(qū)4這4個(gè)整數(shù)中任意取3個(gè)不同的數(shù)作為二次函數(shù)J(x)=ax2+6x+c的系數(shù),

皿Z

則使得2“(Z為整數(shù)集)的概率為.

參考答案：

1

2

略

2兀

12.在aABC中，AC=7,ZB=3,Z\ABC的面積S=4，則邊AB的長為.

參考答案:

3或5

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形.

2-

【分析】由，ZB=~,以及已知三角形的面積，利用三角形的面積公式求出AB?BC=15,

再利用余弦定理即可求出AB2+BC2=34,聯(lián)立解出AB即可.

2-

【解答】解：:SA*4,ZB=3,

11立

Z.2AB?BC?sinB=4,即如?BC?"^'=4,

.,.AB?BC=15,①

AB?+BC2-AC?IAB?+BC2-49

由余弦定理知cosB=-2-AB-BC—,即_2=30,

/.AB2+BC2=34.②

聯(lián)立①②，解得：AB=3或AB=5.

故答案為：3或5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中邊長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的

合理運(yùn)用.

,16,八

y=x-4+----（X>-1）

13.已知函數(shù).x+1，當(dāng)x=a時(shí)，y取得

最小值b,貝1心+5=。

參考答案：

6

略

占

=Ma>>0)的左、右焦點(diǎn)分別為44，頂點(diǎn)WQb）到外的距離為

_3

4,直線*2”上存在點(diǎn)尸，使得韁，有為底角是30°的等腰三角形，則此橢圓方程

為.

參考答案：

-T-=1

167

15.連擲兩.次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和也若記向量*=0"3）與向量&=a-2）的夾角

為。，

則§為銳角的概率是.

參考答案：

1

6

試題分析：連擲兩.次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為?和同，共有6x6=36,其中滿足向量

M—2n>0

一一4Z4

a=0"㈤與向量占=a-2).的夾角為銳角，即［”彳一2m,即缶㈤可能為

P?--.6=_1

GAJdXyiMiMt2M夠)共6個(gè)基本事件，所以?為銳角的概率是一祈一￡故

1

填看.

考點(diǎn)：1.古典概型；2.平面向量的夾角.

JT

16.已知f(n)=10sin(nx)dx,若對(duì)于？GR,f(1)+f(2)+…+f(n)<|x+3!+1x

-1卜恒成立，則正整數(shù)n的最大值為一.

參考答案:

3

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題；定積分.

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

分析：先根據(jù)定積分計(jì)算出f(n),再根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義求出|x+3|+|x-的最小

值為4,繼而得到n的最大值.

rrJT

1712

解答：解：f(n)=1fsin(nx)dx="ncosnx'0=-n(cosit-cosO)=n,

根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，得到鼠+3|+|x-1]14,

?..對(duì)于？WR,f(1)+f(2)+…+f(n)V|x+3|+|x-1恒成立,

22222222

1+2+3+4+―+n=3+3+4++--+r)<4,

...正整數(shù)n的最大值為3,

故答案為：3.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分的計(jì)算以及絕對(duì)值的幾何意義，以及函數(shù)恒成立的問題，屬于

中檔題.

17.在直角三角形480中，ZC=90°,47=4,則力54C=

參考答案：

16

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(1)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+a,若關(guān)于x的不等式f(x)23在R上恒成立，求

實(shí)數(shù)a的取值范圍；

空J(rèn)

(2)已知正數(shù)x,y,z滿足x+2y+3z=l,求xyz的最小值.

參考答案：

【考點(diǎn)】絕對(duì)值三角不等式；基本不等式.

【分析】(1)關(guān)于X的不等式f(x)23在R上恒成立，等價(jià)于f(x)即可求實(shí)

數(shù)a的取值范圍；

~+^~+~~=(x+2y+3z)

(2)已知正數(shù)x,y,z滿足x+2y+3z=l,xyzxyz,利用柯西不

1

等式，即可求xyz的最小值.

【解答】解：(1)f(x)=|x-2|+|x+a|>|x-2-x-a|=|a+2

,原命題等價(jià)于f(x)苗23,|a+2］》3,-5^a>l.

(2)由于x,y,z>0,所以

-(x+2y+3z)(—+-+-)

xyz

+V3zJ|-)2=(V3+2-h/3)2=16+873

2y_3z

J.2工

當(dāng)且僅當(dāng)與77,即x：y：z=3：V5：1時(shí)，等號(hào)成立.

xyz的最小值為16+8泥.

1

19.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-yax2-bx.

(1)當(dāng)a=b=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=0,b=-l時(shí)，方程f(x)=mx在區(qū)間［e,+°°)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)

數(shù)m的取值范圍.

參考答案：

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

1nx1nx

(2)問題轉(zhuǎn)化為只需m=l+x有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，令g(x)=1+x,(x>0),求出g

(x)的最值，從而求出m的范圍即可.

11_1

【解答】解：(1)當(dāng)a=b=2時(shí)，f(x)=lnx-Wx?-2x(x>0),

工工工(x+2)(x-1)

f'(x)=x-2x-2=2x,

易知f(x)在(0,1］上遞增，在［1,+8)上遞減，

_3

故f(x)的最大值為f(1)=-4.

(2)當(dāng)a=0,b=-l時(shí)，f(x)=lnx+x,

由f(x)=mx,得lnx+x=mx,

1nx

又x>0,于是m=l+x,

要使方程f(x)=mx在區(qū)間［W,+8)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

Inx1

只需m=l+x區(qū)間［e,+8)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

-------2

令g(x)=1+x,(x>0),于是g'(x)=x,

由g'(x)>0,得0<x<e,由g'(x)<0,得x>e,

于是g(x)在區(qū)間［W,e］上是增函數(shù)，在區(qū)間［e,+8)上是減函數(shù),

11

g(e)=1-e,g(e)=l+e,

1

故1-eWmVl+e.

__1___

20.已知向量3F(cosx,-1),b=(V3sinx,-2),函數(shù)f(x)=(a+b)?a-2.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在aABC中，三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知函數(shù).??的圖象經(jīng)過點(diǎn)

b、a、c成等差數(shù)列，且AB?AC=9,求a的值.

參考答案:

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；余弦定理.

【分析】(1)利用向量的數(shù)量積化簡函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的周期以及正弦函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間求解即可.

(2)求出A,利用等差數(shù)列以及向量的數(shù)量積求出be,通過三角形的面積以及余弦定理

求解a即可.

【解答】解：f(x)=(a+b)'a-2

?1…我

I12.1介7_cos2x+-^-

=lal+a?b-2=22

--兀

(kEZ)得:

(1)最小正周期：2-由

k兀兀+^~(k€Z)

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：&兀〒，及冗+7］缶€2)；

⑵由f(A)=sin(2A吟)總可得：2A吟干2k冗或哈+2k冗(k€Z)所以

又因?yàn)閎,a,c成等差數(shù)列，所以2a=b+c,

———be

而，AB?AC=bccosA=2=9,bc=18,

2/222

1(b+c)2-a4a-a

cosA-1-1

22bc1-3612

21.已知等差數(shù)列｛a.｝的公差不為零，且as=5,a2.a5成等比數(shù)列

(I)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式：

(II)若數(shù)列圓｝滿足E+2b?+4b：,+…+2”飛產(chǎn)a“求數(shù)列｛bj的通項(xiàng)公式.

參考答案:

(I)設(shè)等差數(shù)列的公差為d

(_2

3135-a2

由題意可得，a3=5

(aj+4d)=(a1+d)2

.a,+2d=5

??k1

a=i

解可得，[d=2

_n(n-1)d

...Snnal+2=n+n(n-1)=n2--------------6分

(II)?；bi+2bz+4b3+…+2n，'bn=an,

,nl

..bl+2b2+4b3+-+2-b?=a?,

n

b]+2b2+4b：s+?,'+2bn+i=aU4i,

兩式相減可得，2'h=2

1-n

.-.bn+1=2

n=l時(shí)，bi=ai=l

'1,n=l

V'A,n>2

12n

6分

22.已知R4，期是拋物線C尸=