計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的描述與分析

動(dòng)力工程計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

能源與動(dòng)力工程學(xué)院

本科專業(yè)學(xué)優(yōu)課程

48學(xué)時(shí)，3學(xué)分

7

第四章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的

描述與分析

主講人:黃勇理

7

第四章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的描述與分析

?4.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的描述與分析

?4.1.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)變換

?4.1.2線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

?4.1.3微分方程向差分方程的近似轉(zhuǎn)換

?4.1.4差分方程的解法

?4.2Z變換的基本理論

?4.2.1采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述與采樣定理

?4.2.2變換的定義、定理和性質(zhì)

?4.2.3求Z變換與Z反變換

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)_HYL

第四章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的描述與分析

?4.3脈沖傳諦函數(shù)及其捽制系統(tǒng)描述

?4.3.1用z變換法解差分方程

?4.3.2建立z傳遞函數(shù)

?4.3.3離散控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析

?4.4線性離散系統(tǒng)性能分析

?4.4.1線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

?4.4.2線件離散系統(tǒng)過渡過程分析

?4.4.3線件離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能分析

?4.4.4線性離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)件能與極點(diǎn)分布

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)_HYL

4.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的描述與分析

7

4.1.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)變換

?計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)變換和傳遞流程

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4.1.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)變換

?信號(hào)的四種類型

1.連續(xù)信號(hào)：時(shí)間連續(xù)、幅值連續(xù)；

2.離散模擬信號(hào)：在一系列離散的時(shí)刻上，

信號(hào)幅值連續(xù)；

3.數(shù)字信號(hào)：離散時(shí)刻上，幅值不連續(xù)，且

數(shù)值經(jīng)過了整量化處理；

4,整量化連續(xù)信號(hào)：也稱階梯信號(hào)，時(shí)間上

連續(xù)，幅值是階梯狀的。

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4.1.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)變換

?信號(hào)的四獨(dú)類型____________________

tt

數(shù)字信號(hào)整量化連續(xù)信號(hào)

4.1.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)變換

(1)采樣開關(guān)

?利用采樣開關(guān)周期性的瞬時(shí)開啟，把連續(xù)信號(hào)y(t)轉(zhuǎn)

變成離散的信號(hào)序列y*(t),這個(gè)過程稱為采樣。

?通常采樣開關(guān)以等時(shí)間間隔T開啟，稱T為采樣時(shí)間。

?若系統(tǒng)中的多個(gè)采樣開關(guān)以等周期同時(shí)開閉，則稱為

同步采樣；

?若以等周期，但不同時(shí)采樣，稱為非同步采樣；

?若多個(gè)開關(guān)以不同周期采樣，則稱為多速采樣。

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4.1.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)變換

?實(shí)際采樣過程需要持續(xù)一段時(shí)間。

若：T?T,可以認(rèn)為：

y(kT)=y(kT+AZ)0<M<T

若在采樣周期內(nèi)有N個(gè)巡回監(jiān)測(cè)點(diǎn)，應(yīng)保證：

T>Nx

計(jì)算機(jī)控金YLIIII""、1

0T2T3T4T5T6Tt

4.1.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)變換

⑵模數(shù)轉(zhuǎn)換(A/D)

?數(shù)字計(jì)算機(jī)只能處理二進(jìn)制的數(shù)值。故采樣得到

的離散模擬信號(hào)幅值需要變成二進(jìn)制數(shù)的最小單

位q的整數(shù)倍，這個(gè)過程就稱為整量化或稱量化。

?若信號(hào)y*(t)的幅值并非q的整數(shù)倍，則量化過

程存在誤差。從信號(hào)傳遞的角度看，量化誤差是

一種噪聲也是信號(hào)的損耗。

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4.1.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)變換

(3)數(shù)模轉(zhuǎn)換(D/A)與保持器

?控制對(duì)象的測(cè)量信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)y(kT)后，與給

定數(shù)字信號(hào)r(kT)比較，得到偏差數(shù)字信號(hào)e(kT),輸

入控制器D(z),經(jīng)運(yùn)算處理得到輸出數(shù)字信號(hào)u(kT)。

?對(duì)于時(shí)間離散的數(shù)字信號(hào)，模擬執(zhí)行器(機(jī)構(gòu))通常

是接受不了也執(zhí)行不了的,所以必須將時(shí)間離散的數(shù)

字信號(hào)重構(gòu)成時(shí)間連續(xù)的信號(hào)。

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4.1.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)變換

⑶數(shù)模轉(zhuǎn)換(D/A)與保持器

?控制量的數(shù)字信號(hào)u(kT)先經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換，變成離散模

擬信號(hào)U*(t),再通過零階保持器將kT時(shí)刻的信號(hào)值

保持到時(shí)刻(k+1)T,得到能被執(zhí)行機(jī)構(gòu)接受的控制量

u(t)o即：

u(kT)=u(kT+X)0<^t<T

?控制量u(t)是時(shí)間連續(xù)的幅值整量化連續(xù)信號(hào)。通常

D/A具有零階保持器的功能。

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4.1.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)變換

零階保持器：

時(shí)域特性：

h0(t)=u(t)-u(t-T)

傳遞函數(shù)：

11_Ts

-Ts11—e

(S)=—e-二-------------------

0

頻率特性：HSss

幅頻特性:

相頻特性:/Ho(jco)=-coT12

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計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

422線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

?計(jì)算機(jī)處理的是離散數(shù)字信號(hào)，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)是線性

離散系統(tǒng)或近似為線性離散系統(tǒng)。

?線性連續(xù)系統(tǒng)常微分方程：

心0立⑺

"o+…Q+Q(/)

dtnId嚴(yán)a〃八,

心?智包攻)

0dtm1dtmA"1dtm

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng),

4.1.2線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

?數(shù)字調(diào)節(jié)器可表示成線性離散系統(tǒng)，與線性連續(xù)系統(tǒng)

類似，輸入與輸出之間的關(guān)系可用常系數(shù)微分方程描

述，即：

y(kT)+a}y(kT-T)+a2y(kT-2。H----卜any(kT-nT)

=bd(kT)+bHkT-T)+b2r(kT-20+…+bmr{kT-mT)

,線性離散系統(tǒng)的分析方法也有古典法、變換法和離散

狀態(tài)空間法。線性之義就是符合疊加原理，因此對(duì)線

性離散系統(tǒng)來說，表征其特性的差分方程應(yīng)滿足疊加

原理。

16

4.1.3微分方程向差分方程的近似轉(zhuǎn)換

下面以大家所熟知的慣性環(huán)節(jié)為例說明：

K

G(S)=

TS+1

我們可以由差分概念,K微分方程推導(dǎo)出近似的

差分方程。上式作如下變化:

G⑸=^~;=瞿(T.s+l)Y(s)=KR(s)

TQS+1R(S)

作拉普拉斯反變換，得慣性環(huán)節(jié)的微分方程:

T.y(t)+y(t)=Kr(t)

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計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.1.3微分方程向差分方程的近似轉(zhuǎn)換

?用y(kT)、=(取)分別代表丫仕)、r(t)的采樣值。用差

分代替微分

=叱J（kT）-y（kT-T）

dt

?將y(kT)、r(kT)及上式代入微分方程得：

yly(kT)-y(kT-T)]+y(kT)^Kr(kT)

+)y(kT)-y(kT-T)^Kjr(kT)

?此即所描述的連續(xù)系統(tǒng)離散化后的差分方程

18

4.1.4差分方程的解法

?單輸入/單輸出(SISO)線性定常系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的差分方

程常用的求解方法有：迭代(遞推)法、古典法和z變

換法二種。

?(1)迭代法：如果已知差分方程和輸入序列，并且給出了輸出

序列的初始值，則可直接利用迭代關(guān)系逐步算出所需要的輸出

序列。詳見教材P45頁

?(2)古典法：與微分方程類似，求解差分方程也有古典法，差

分方程的全解也包括兩部分，即對(duì)應(yīng)齊次方程的通解(瞬態(tài)解)

和非齊次方程的一個(gè)特解(穩(wěn)態(tài)解)。具體解法見教材P46頁。

?(3)Z變換法：對(duì)線性連續(xù)系統(tǒng)，拉氏變換使求解微分方程的微

積分運(yùn)算簡(jiǎn)化成代數(shù)運(yùn)算。同樣，對(duì)線性離散系統(tǒng)，下面將要

介紹的Z變換法也可大大簡(jiǎn)化差分方程的求解。***

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)_HYL

4.2Z變換的基本理論

7

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.2.1采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述與采樣定理

?(1)、采樣信號(hào)的表達(dá)式

?把連續(xù)信號(hào)變換為脈沖序列的過程稱為采樣。對(duì)一個(gè)

連續(xù)信號(hào)采樣，就是用一系列離散值代替連續(xù)信號(hào)，

這一系列的離散值等于采樣時(shí)刻連續(xù)信號(hào)的幅值，稱

為采樣值，

?亦即：fy(kT)

?如果給采樣器輸入一個(gè)連續(xù)函數(shù)歹仞，得到的輸出將

是一脈沖序列y^(t)，它可以表示為：

*

y⑴=y(O)^(t)+—+…

+y(5)3(，一初)+…

21

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.2.1采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述與采樣定理

?上式中，5（0）或8（以7）為DiracDelta函數(shù)，也稱為單位

脈沖函數(shù)。單位脈沖函數(shù)定義為：

「oot=kT

[0t^kT

J二3（，-左T）力=1

?根據(jù)單位脈沖的襦選特性，脈沖序列可表示為：

0000

*

y⑺=打)3(t——)=義譜”kT)

k=0k=0

(k<0,y(kT)=0)

22

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.1采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述與采樣定理

?（2）、采樣定理

?可以證明，對(duì)一個(gè)具有有限頻譜（。＜3也辦）的連續(xù)信

號(hào)y⑺采樣，當(dāng)且僅當(dāng)采樣頻率3s（或采樣周期T）

滿足關(guān)系：

CDs—2comaxorTW兀/?max

?此時(shí)，采樣信號(hào)y*⑺就能無失真地恢復(fù)為原來的連

續(xù)信號(hào)?、?，這就是著名的“香農(nóng)（Shanon）采樣定

理”。

23

4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?一、z變換的定義

?z變換可由采樣信號(hào)的拉氏變換推導(dǎo)出來。

?對(duì)于采樣信號(hào)：

00

*

y(0=Ev(kT)3(t—kT)

k=a

?其拉斯變換為：

00

*_*Q00________sOt7

L[y(0]=y(s)=J()Zy(kT)5。—kT)e-dt

k=0

00

=Z>(左(t-kT)e-stdt

k=0

00

=Zy(kT)e-kTS

k=0

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計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?上式中，含有超越函數(shù)05，為了運(yùn)算和書寫方便，

我們引入一個(gè)新的變量Z：

Ts、1

s

z-e或s二一Inz

T

?將y*⑸記為Hz）,則有：

00

必（祝=丫*（5）=＞（口）產(chǎn)

k=0

00

丫⑶=y*=￡y(kT)z.k

k=0

4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?由此得出以Z為自變量的函數(shù)y（z）,我們稱它為y*⑺

的Z變換，記作：

y（z）=

?Z變換的定義為：

00

y（z）=Ey（kT）z』=X0）+y3+y（2T）z-2++…

k=0

?由上式可以看出，采樣函數(shù)V⑺的z變換y（z）與采樣

點(diǎn)的采樣值M股）有關(guān)，或者說，級(jí)數(shù)中4的系數(shù)就

是時(shí)間序列M股）的值。

?一個(gè)函數(shù)的Z變換只有在采樣時(shí)刻才有意義。

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4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?二、典型函數(shù)(或序列)的z變換

?(1)數(shù)字脈沖系列6左

?若將"定義為：]

n1k-n

§,=<

0k^n

n

?則有：Z[8k.n]=z

在求Z變換時(shí)，我們作如下規(guī)定：

函數(shù)八。在t=kT時(shí)刻的采樣值人左7),就是在該時(shí)

刻的脈沖強(qiáng)度。而5⑺的脈沖強(qiáng)度是1,于是有：

Z[5(/)]=Z[5d=l

Z[d(kT-nT)]=Z[dk_n]=z-n>0

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4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?（2）單位階躍函數(shù)

?對(duì)于單位階躍函數(shù)，有：蛇尸1,「三o

*

u（，）=u{kT）=1k>0

00

k1—1—2

U(z)=Z\u{kT)]=Vz=1+z+z+-??

可以看出，上式為無窮遞減等比數(shù)列求和。由無窮

等比數(shù)列求和公式，得：

t/（z）=l+z-1+z~2H-———

1-zz-1

?思考，單位脈沖序列的Z變換是什么?

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計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

422Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?（2）單位階躍函數(shù)

對(duì)于單位數(shù)字階躍序列:

1k>0

〃k=q

0左<0

其Z變換結(jié)果與U⑴的Z變換結(jié)果是一樣的

U(z)=1+z-1+z-2d—=—二-=z

1-zz-1

29

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?(3)單位速度函數(shù)

f3=t^>0

或：f(kT)=kT左二0,1,2,???

由階躍函數(shù)的Z變換

001

U(z)=1+z-1+z-2H——-\^z~k

k=6~l-z

兩邊對(duì)Z求導(dǎo)后，再乘以T,整理后可得:

Tz-11

F(z)=Z[kT]=-~~

(1—z)

30

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?(4)指數(shù)函數(shù)

f(t)=e~att>0

或：f左=0,1,2,???

?離散化后指數(shù)函數(shù)的Z變換為:

F(z)=Z[e~akT]

0000

、、—cikT—k、、/—ctkT\—k

=>ezz)

邑k=b

1z

1-ezz-e—ctT

31

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?(5)正余弦函數(shù)

/(0=sinco^和f(0=cosco^t>0

f(kT)=sinskT和f(kT)=cosskTk二0,1,2,…

?根據(jù)歐拉公式：

f(kT)=eJMkT=cosskT+7sinco左T

001

F(Z)=Zl*kT]=￡U=匚擊廣

_1-(coscoT)z-1(sincoT)z-1

1-(2coscoT)z-1+z-211-(2coscoT)z-1+z-2

?比較上面兩式可得：

z1(sincoT)z-111-(coscoT)z-1

Z[sinco/]=------------------；-----y和Z[cosco/]=------------------；-----5

l-(2coscoT)z-1+z-2l-(2cosmn^^^

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?三、Z變換的性質(zhì)和定理

?Z變換的性質(zhì)和定理與拉氏換的性質(zhì)和定理非常

相似。下面介紹幾種常用的Z變換性質(zhì)和定理。

?(1)線性性質(zhì)

?設(shè)Z[y/D]=y(z),Z[雙U)]=X(z),且Q、6為常數(shù)，則有：

Z[ay(kT)]=aY(z)

Z\bx(kT)]=bX(z)

Z[ay(kT)+Z?x(kT)]=aY(z)+bX(z)

?這個(gè)性質(zhì)說明，z變換是一種線性變換。

33

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

422Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?(2)平移定理：

?包括滯后平移和超前平移

?滯后定理

?設(shè)Z[y/T)]=y(z),且.TV0時(shí),y(kT)=0,則:

Z[y(kT-nT)]=z~nY(z)

?滯后定理說明：時(shí)域中滯后某采樣信號(hào)丁(左「有〃個(gè)采樣周

期的采樣信號(hào)y/T—⑺的Z變換，等于原采樣信號(hào)的雇

換Y(z)乘以7〃。實(shí)際上，7〃代表滯后環(huán)節(jié)，它使采樣信號(hào)

延遲了〃個(gè)采樣周期，或者說，推遲了時(shí)刻才開始采

樣,如后圖所示：

34

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?實(shí)際上，”代表滯后環(huán)節(jié)，它使采樣信號(hào)延遲了〃個(gè)采樣

周期，或者說，推遲了〃丁時(shí)刻才開始采樣，如圖：

（0+1）T

ZF的滯后特性

35

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?超前定理

?實(shí)際的超前環(huán)節(jié)是不存在的，但在運(yùn)算中可能出現(xiàn)。

?設(shè)Z[y%T)]=y(z),則:

Z[y(kT+〃)]=znY(z)-zn￡"〃尸

J=°

?z〃代表超前環(huán)節(jié)，表示輸出信號(hào)超前輸入信號(hào)〃個(gè)采樣周

期。特別:

當(dāng)n=l時(shí)，有：Z[y(kT+T)]=zy(z)-z^(O)

當(dāng)口=1時(shí)，有：Z[y(kT+27)]=Z2Y(Z)-z2y(0)-zy(T)

若火。)=y(r)=??C=。

貝lj：Z[y(kT+nT)]=znY(z)

36

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?(3)初值定理：

?設(shè)Z[y/T)]=y(z),則:

y(O)=limy(kt)=lim7(z)

k=0Zf8

?例：求單位階躍序列〃(左T)的初值。

?［解］：已知單位階躍序列的Z變換為：

?故由初值定理得:

1

〃(0)=lim〃(左力=lim------；=1

k=az—>00

37

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?(4)終值定理：

?設(shè)Z[y/T)]=y(z),則:

y(oo)=limy(kt)=lim(z-l)y(z)

左=00Zf1

?例：求單位階躍序列〃(左T)的終值。

?[解]：已知單位階躍序列的Z變換為：

Z[〃(W]=J^r

l-z

?故由終值定理得：

u(co)=hmu(kt)=hm(z-l)-^=l

38

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.2Z變換的定義、定理和性質(zhì)

?（5）迭值定理：（省略）

?（6）卷積定理：（省略）

39

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.2.3Z變換與Z反變換方法

?一、z變換方法

?z變換方法有三種：

?無窮級(jí)數(shù)求和法

?部分分式法

?留數(shù)計(jì)算法

?（1）無窮級(jí)數(shù)求和法

?是按照定義式直接計(jì)算的方法。將z變換定義式:

*00

y（z）=y（S）=fy(kT)z-k

s=—\nz

Tk=0

?展開成無窮級(jí)數(shù)求和式即可得。前述典型函數(shù)的Z變換

都是按定義展成無窮級(jí)數(shù)，再整理成閉合解析式的。

40

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.3Z變換與Z反變換方法

?（2）部分分式法

?部分分式法是由函數(shù)的拉氏變換求Z變換的方法。

?當(dāng)已知一個(gè)函數(shù)y（s）時(shí)，首先將y（s）展成部分分式：

?w（z=l,2,n）

ait

口匕⑸的拉氏反變換都是指數(shù)函數(shù):匕4）=Ate-

?然后利用指數(shù)函數(shù)的Z變換式可求得y⑺的夜換。

?將函數(shù)的拉氏變換Y（s）展開成部分分式：

n

y（s）=z4

i=lS-p

式中：口.式）為y（s）的一階極點(diǎn)（p尸一4?）；4為各分式的

待定系數(shù)。部分分式中的系數(shù)4可用初等數(shù)學(xué)中的待定系數(shù)法求

出，或用留數(shù)定理求出。

41

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.3Z變換與Z反變換方法

?由留數(shù)定理可知：

4=(s-“)y(s)|…

?對(duì)應(yīng)分式的拉氏反變換為：’

廠[-^]=4/"

?利用指數(shù)函數(shù)的Z變換公立，有：

z[A-ait]=a——

iez-e'

?由此得到Y(jié)(s)對(duì)應(yīng)的y(t)的Z變換：

〃7〃1

y(z)=Z4一廳=Z4]"T

i=iz-ei=i1-ez一

42

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.3Z變換與Z反變換方法

?例:已知連續(xù)函數(shù)了⑴的拉氏變換如下，求丫(Z)。

y(s)=---------------

(S+1)(5+2)

?解：部分分式展開有：

111

Y(s)=---------二――----

6+1J6+2)5+1s+2

?則可得：J1

^(Z)~i~~~——\^2T~~

1-ez1-ez

(1-e)ez

/1-T—1\zi—2T—1\

(1-ez)(\-ez)

43

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.3Z變換與Z反變換方法

崢例：已知連續(xù)函數(shù)/⑴的拉氏變換如下，求Y（z）。

1

y（s）=-.......

S（S+1）

?解：部分分式展開有：

“、1abc

Y(s)=-......=—+-7+-------

s(s+1)sss+1

?求系數(shù)a”,c:

d2d11

a=-[sy(s)]=—[----]=-------2二—1

dss=odss+1I(s+1)

5=0

1

1s2y⑸]=oc=[(s+i)y(s)ki=?=1

S+1s=0

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.3Z變換與Z反變換方法

?因此得：1111

Y(s)=1--------+

5(5+1)75+1

?三部分分別有：

11

￡、T=1⑺Z[1(O]

s1-z-1

1x

[Tz~

L-[-]=tZ[〃=-1x2

s(1-Z)

1-t7「T1_1

]=eZ[e]—"ry__zy

5+11-ez

?三部分相加得：7z-1

y（z）=—1-1+-l\2+i~~T-1

1-Z(1-Z)1=0臺(tái)

45

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.3Z變換與Z反變換方法

?（3）留數(shù)計(jì)算法

?若已知連續(xù)函數(shù)y⑺的拉氏變換y（s）及其全部極點(diǎn):

“《=12…，辦則可用下列留數(shù)計(jì)算式求得丫⑶：

m7

r（z）=Z[/（/）]=ZResy（s）一浮

ILz-e人

mf14見T「

=￡\------lim——r（s-pj'Y（s）----7-

總[（%-1）!$*"Iz-eTs]

?式中：/為y（s）的極點(diǎn)口的階數(shù)；加為y（s）的彼此不同極點(diǎn)

個(gè)數(shù)。

46

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.3Z變換與Z反變換方法

二、z反變換法

?如果已知丫⑵，求對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列或數(shù)值序

歹1上因，則稱此運(yùn)算為Z反變換，記作：

y(kT)=Z-l[Y(z)]或X^)=Z-1[y(z)]

?常用的Z反變換法也有三種：

?長(zhǎng)除法

?部分分式法

留數(shù)計(jì)算法

47

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.2.3Z變換與Z反變換方法

?(1)長(zhǎng)除法

設(shè)丫(Z)為多項(xiàng)式分式:

如加+給小+…+圖

丫⑶二nn-\(H>m)

a^z+axzH-------ban

長(zhǎng)除法就是用Y(z)的分子直接除以分母，長(zhǎng)除的結(jié)果是

z的降幕級(jí)數(shù):

00

2』

丫(2)=%+M2T+J/2z_+???+”24+???=EykZ

k=0

48

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)_HYC、

4.2.3Z變換與Z反變換方法

?(1)長(zhǎng)除法

此外，根據(jù)Z變換的定義：

00

*__小

y(z)=z)=

k=0

=y(Q)+y(T)z-x+y(2T)z~2+???+y(kT)z-k+…

?對(duì)比長(zhǎng)除法的結(jié)果和定義式可知：

一(。)=%，y(T)=->(2T)=%,…，y(左T)=力，…

?若多項(xiàng)式分式中的分子關(guān)于Z的最高階為一,而分母關(guān)于z的

最高階為z3,則長(zhǎng)除的結(jié)果關(guān)于Z的最高階顯然只能為2—2,

因止匕作Z反變換后，肯定有興0)=0,興7>0,延時(shí)兩拍。

49

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.3Z變換與Z反變換方法

?（2）部分分式法

?設(shè)丫⑵為:

7m7"2-11

bQz+給+…

y（Z）=--------------------------（H>加）

n（z-A）

?將等式兩邊除以zj：再展成部分分式：

y（z）az*2j./4

一n—乙

zn（z-口）aPt

z=l

其中：」（zeW：+L+，

[n（-A）

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.3Z變換與Z反變換方法

(2)部分分式法

則丫(Z)的z反變換為:

nA7n

y/T)=Z")］二z」E——=EA(PN

i=\Z-Pi\1

觀察并理解下式除以Z的目的……

y(z)boz"—+Az"”?H—(4-

zn—pjiz-Pi

Z=1

其中：4=(zg空二小

n(z_Pi)

_，=1」z="K￡J

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.2.3Z變換與Z反變換方法

?(2)部分分式法

求y（z）==的z反變換。

例:

?'解I：y(-z?+2z?+z+l_z?+2z?+z+l

z-Z3-Z2-8Z+12-(Z-2)2(Z+3)

,AzAz24z

=4x+—二~~7+^—

z-2(z-2)2z+3

2

B^z+B}z+B2Z+B3

(Z-2)2(Z+3)

52

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.3Z變換與Z反變換方法

?(2)部分分式法

?比較丫⑵分子部分各項(xiàng)系數(shù)。

—4。+4+42+43=1

4=+4+34—44—2

<

B2——8Z()—6Al+44-1

B3=12Ao=1

可聯(lián)立求解得：A=—,4=—,A

o125022075

所以：y(z)」一2二+”—+〃工

1250z-220(z-2)75z+3

y(kT)=—5(Z:T)--2A+—(/;+l)2k+—(-3/

53

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4.2.3Z變換與Z反變換方法

■(3)留數(shù)計(jì)算法

?留數(shù)計(jì)算法又稱反演積分法。函數(shù)Y(z)可以看作是復(fù)數(shù)

Z平面上的勞倫級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)可利用積分關(guān)系

求出：

1

Z-1[y(z)]=y(左T)=「恒⑵―力

2引*

?積分路徑C應(yīng)包圍被積式所有極點(diǎn)，據(jù)留數(shù)定理知

n

歹(左T)=ZRes[y(z)z"，》

i=\

m(11Qi-1

=V\-------lim——p[(z-p^1Y1>

臺(tái)[(%-1)"f

54

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.2.3Z變換與Z反變換方法

所以可利用留數(shù)計(jì)算法求得Z反變換的數(shù)學(xué)解析式:

zTy（z）]=y%T）

n

="Res[y（z）z"L,

其中：加為y（z）彼此不相等極點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

Pi為y（z）z'T中不相等的極點(diǎn)；

%為極點(diǎn)”相重的個(gè)數(shù)。

55

4.3脈沖傳遞畫數(shù)

及其控制系統(tǒng)描述

7

4.3脈沖傳遞函數(shù)及其控制系統(tǒng)描述

?本節(jié)系統(tǒng)地介紹采用z變換求解線性微分方程

的方法。

?同時(shí)，類似于線性連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述，

引入脈沖傳遞函數(shù)（Z傳遞函數(shù)）的概念，用它

來描述離散線性系統(tǒng)。

?因此，線性離散系統(tǒng)既可以用差分方程來描

述，也可以用脈沖傳遞函數(shù)描述。

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)_HYL

4.3脈沖傳遞函數(shù)及其控制系統(tǒng)描述

?z變換作為一個(gè)數(shù)學(xué)工具，可直接用來求解線性

差分方程，在給定的初始條件下，可以求得差

分方程的解析解。

?與線性連續(xù)系統(tǒng)相似，脈沖傳遞函數(shù)也是用來

分析線性離散系統(tǒng)的有效方法

?首先要了解建立脈沖傳遞函數(shù)的方法，與系統(tǒng)

結(jié)構(gòu)相關(guān)的關(guān)聯(lián)形式。

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)_HYL

431用Z變換法求解差分方程

?拉普拉斯變換將微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算的

形式來方便微分方程的求解。

?同樣，z變換也可將差分方程轉(zhuǎn)變成代數(shù)運(yùn)

算的形式，大大地簡(jiǎn)化差分方程的求解過

程，方便了離散系統(tǒng)的分析和綜合。

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)_HYL

431用Z變換法求解差分方程

?用z變換求解差分方程的步驟如下：

?(1)、首先對(duì)差分方程作z變換，主要涉及到z變換

的滯后定理和超前定理；

?(2)、然后利用初始條件或求出的伏0)/(與,一，

并將它們帶入Z變換式；

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)_HYL

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.3.1用Z變換法求解差分方程

?(3)、整理所得差分方程的Z變換一般式，即可求出丫(z)：

1m1m-17

b°z+.ZH------卜靡

y(z)一~

aQz+axzHv-an

?(4)、由上式觀察得出y(z)的最高階數(shù)zr(q=n—m),從

而可判斷出：

xo)=o,xn=。，…，-q—i)7i=o

?(5)利用長(zhǎng)除法、部分分式法或留數(shù)法作Z反變換，求出

差分方程的解貝依)。

61

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

431用Z變換法求解差分方程

?例：求解差分方程(后向差分)

y(kT)-4y(kT—T)+3y(kT-27)=S(kT-2T)

其中B為數(shù)字脈沖，BE)[1“二°)

[0(kw0)

?[解]：運(yùn)用滯后定理對(duì)差分方程進(jìn)行Z變換

r(z)-4z-1r(z)+3Z-2Y(Z)=Z-2-1

Y(z)=——=-----------

l-4z-1+3z-27(z-3)(z-l)

?觀察上式，分子為零階，分母為二階，y(z)的最高階數(shù)Z—2,故可推知

系統(tǒng)應(yīng)有：y(0)=0,(7)=0,用留數(shù)法作Z反變換得:

k-\k—1

Z

y(kT)=lim(z-3)-----------+lim(z-1)

—3(z-3)(z-l)z—>l(Z—3)(z—1)

=0.5⑶i-0.5⑴-=-3k-0.562

_____________________6_______

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)_HY

431用Z變換法求解差分方程

?可以觀察到，上面的例題中，由y(AT)的解析式：

1

y(kT)=-3k-0.5

6

?當(dāng)&=0,1,…時(shí)，可以計(jì)算得y(0)=—1/3,了⑴=0,八2)=1,…

?顯然，其中的9(0)二一1/3與前面分析所得的y(0)=0相矛盾，這表明

的解析式只確定出22時(shí)的義助值，前面若干周期的實(shí)際結(jié)果，由丫⑵

的分析結(jié)果決定。

?令采樣周期丁=1,k=2,代入原差分方程：

y(kT)-4y(kT-T)+3y(kT-2T)=3(kT-2T)

差分方程變?yōu)椋?/p>

六2)—4底1)+3>(0)=8(0)

?將/(。)=0,y(l)=。,y(2)=1代入上式，可驗(yàn)證方程是成立的一

63

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

431用Z變換法求解差分方程

?例：求解差分方程(前向差分)

y(kT+2T)-4.(-7+T)+3y(kT)=d(kT)(y(kT)=0,kWO)

其中b為數(shù)字脈沖，b(5)=P"二°)

[0(kw0)

?[解]：利用超前定理對(duì)差分方程進(jìn)行Z變換

Z俗(左T)]=1Z2Y(Z)-z2y(0)-zy(T)-4[zY(z)-zy(0)]+3y(z)=1

由于已知：y(kT)=0,k<0將：.(0)=0,左=-1代入差分方程

可求得:y(T)=0

]1

代入Z變換式有：Y(z)=

z2-4z+3(z—3)(z—1)

z"lZ'T

y(kT)=lim(z-3)-----------------1-lim(z-1)---------------

z-3(z—3)(z—1)z-i(z_3)(z_i)

1

=0.5(3)J-0.5⑴J_3左_05

6

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.3.2Z傳遞函數(shù)

一、z傳遞函數(shù)的定義

?Z傳遞函數(shù)是分析線性離散系統(tǒng)的重要工具。

?線性連續(xù)系統(tǒng)分析中，我們已經(jīng)定義了傳遞函數(shù)：零初始

條件下系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，即：

L[y(t)]丫⑹

G(s)=------=----

加⑺]RG)

?零初始條件：時(shí)系統(tǒng)的輸入量外⑺和輸出量j⑺以及它

們的各階導(dǎo)數(shù)均為零。

65

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)—

4.3.2Z傳遞函數(shù)

、Z傳遞函數(shù)的定義

?類似地可以給出，線性離散系統(tǒng)z傳遞函數(shù)的定義：

?零初始條件下系統(tǒng)輸出脈沖序列的Z變換y(z)與輸入脈

沖序列的Z變換R(z)之比，即

Z[y(kT)]r(z)

Cr(Z)=--------二-----

Z[r(kT)]R(z)

?零初始條件：輸入量序列外(一7),外(一27),...和輸出量序

列V(—7)/(—27),…均為零：

66

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)_HYC、

4.3.2Z傳遞函數(shù)

'Z傳遞函數(shù)的定義

?Z傳遞函數(shù)也稱為脈沖傳遞函數(shù)(pulsetransferfunction)。Z

傳遞函數(shù)G(z)反映了系統(tǒng)的固有特性，它僅取決于描述離

散系統(tǒng)的差分方程。

y(kT)

>(z)

r(kT)

G(s)

R(s)'A(z)Hs)y(kT)=Z-l[Y(z)]

=ZTG(Z>R(Z)]

系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的"專遞函數(shù)67