湖南省張家界市2021年中考數(shù)學(xué)真題試題（含答案）

湖南省張家界市2021年普通初中學(xué)業(yè)水平考試試卷

數(shù)學(xué)

考生注意：本學(xué)科試卷共三道大題，23道小題，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘.

一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，滿分24分，在每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.-2021的絕對值等于（）

11

A.2021B.-2021C.-----D.---------

20212021

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的意義，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)即可求出答案.

【詳解】解:-2021的絕對值即為:I-20211=2021.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的意義，熟記絕對值的意義是解題的關(guān)鍵.

2.我國是世界上免費(fèi)為國民接種新冠疫苗最多的國家，截至2021年6月5日，免費(fèi)接種數(shù)量已超過

700000000劑次，將700000000用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為（）

A.0.7xlO9B.0.7xlO8C.7x108D.7xl09

【答案】C

【解析】

【分析】將700000000寫成axion（i<|a|<io,n為正整數(shù)）的形式即可.

【詳解】解：700000000=7xlO8.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，將原數(shù)寫成axion（l<|a|<10,n為正整

數(shù)）的形式，確定a、n的值成為解答本題的關(guān)鍵.

3.如圖所示的幾何體，其俯視圖是（）

△

□

/\

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)俯視圖是從物體上面看所得到的圖形判斷即可.

【詳解】從上面看是一個(gè)圓，中間有一個(gè)點(diǎn)，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖.看得見部分的輪廓線要畫成實(shí)

線，看不見部分的輪廓線要畫成虛線.

4.下列運(yùn)算正確的是()

A.x2+x3=x5B.(x-y)2=x2-y2

C.，)3=%6D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用合并同類項(xiàng)，完全平方差公式、累的乘方、同底數(shù)基的除法來計(jì)算即可.

【詳解】解：A,不能合并同類項(xiàng)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B,(x-y)2=x2-2xy+y2,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

232x36

C,(%)=x=x,故選項(xiàng)正確，符合題意；

D,_?+*3=左6-3=%3,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)，完全平方差公式、塞的乘方、同底數(shù)塞的除法，解題的關(guān)鍵是：熟練掌

握合并同類項(xiàng)，完全平方差公式、塞的乘方、同底數(shù)基的除法的基本運(yùn)算法則.

5.某校有4000名學(xué)生，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行體重調(diào)查，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.總體是該校4000名學(xué)生的體重B.個(gè)體是每一個(gè)學(xué)生

C.樣本是抽取的400名學(xué)生的體重D.樣本容量是400

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的知識解答.總體是指所要考察對象的全體；個(gè)體是指每一個(gè)

考查對象；樣本是指從總體中抽取的部分考察對象稱為樣本；樣本容量是指樣本所含個(gè)體的個(gè)數(shù)（不含單位）.

【詳解】解：A、總體是該校4000名學(xué)生的體重，此選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、個(gè)體是每一個(gè)學(xué)生的體重，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

C、樣本是抽取的400名學(xué)生的體重，此選項(xiàng)正確，不符合題意；

。、樣本容量是400,此選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的定義，解題要分清具體問題中的總體、個(gè)體與樣

本，關(guān)鍵是明確考查的對象.總體、個(gè)體和樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小.樣本容量

是樣本中包含的個(gè)體的數(shù)量，不能帶單位.

6.如圖，正方形ABC。內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方

形的中心成中心對稱，設(shè)正方形ABC。的面積為S,黑色部分面積為5,則S：S的比值為（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)正方形的邊長為2”，則圓的半徑為小分別表示出黑色部分面積和正方形ABCO的

面積，進(jìn)而即可求得:S的比值.

【詳解】設(shè)正方形的邊長為2”，則圓的半徑為

?*.S=4。2,圓的面積為萬/

???正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱

???黑色部分面積為圓面積的一半

?O12

??3]=7TCI

2

S,:S--兀a2:（4/）=—,

128

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了陰影部分面積的求解，準(zhǔn)確運(yùn)用字母表示正方形面積和圓形面積并結(jié)合多邊形內(nèi)

切圓性質(zhì)、中心對稱圖形性質(zhì)等相關(guān)知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

7.對于實(shí)數(shù)。/定義運(yùn)算“☆”如下：a^b=ab2-ah，例如3^2=3x2?—3x2=6，則方程

l*x=2根的情況為（）

A.沒有實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】D

【解析】

【分析】本題根據(jù)題目所給新定義將方程2變形為一元二次方程的一般形式，即o?+法+c=。的

形式，再根據(jù)根的判別式△=〃-4ac的值來判斷根的情況即可.

【詳解】解：根據(jù)題意由方程1☆x=2得：

x2-x-2

整理得：X2-X-2=0

根據(jù)根的判別式△=『-4xlx（-2）=9>0可知該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式，根據(jù)題目所給的定義對方程進(jìn)行變形后依據(jù)/的值來判斷根的情況,

注意A>0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；A=0時(shí)有一個(gè)實(shí)數(shù)根或兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；/<0時(shí)沒有實(shí)數(shù)根.

8.若二次函數(shù),=公2+笈+,（。工0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=+b與反比例函數(shù)）=一￡在同

X

一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為（）

【解析】

【分析】先根據(jù)拋物線的開口方向確定〃<0,對稱軸可確定6的正負(fù)，與y軸的交點(diǎn)可知c>0,然后逐項(xiàng)

排查即可.

【詳解】解：.??拋物線開口方向向下

."VO,

?..拋物線對稱軸-4b->0

2a

：.b>0

,/拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸

.".c>0

y=ax+6的圖像過二、一、四象限，y=一色的圖象在二、四象限

x

選項(xiàng)滿足題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的特征、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，牢記各種函數(shù)圖象的特點(diǎn)成為

解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分）

9.已知方程2x-4=0,則兀=____.

【答案】2

【解析】

【分析】直接移項(xiàng)求解一元一次方程的解.

【詳解】解：；2x—4=0,

2x-4,

解得：x=2,

故答案是：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是：掌握解一元一次方程的一般步驟.

10.如圖是張家界市某周每天最高氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖，則這7天的最高氣溫的中位數(shù)是.℃,

最高溫度rc

【答案】26

【解析】

【分析】將7天的最高氣溫按從小到大排列以后根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：根據(jù)7天的最高氣溫折線統(tǒng)計(jì)圖，

將這7天的最高氣溫按從小到大排列為：

20,22,24,26,28,28,30,

故中位數(shù)為26℃.

故答案為：26.

【點(diǎn)睛】本題主要考查中位數(shù)的定義，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻@組數(shù)據(jù)的

個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)

的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

11.如圖，己知AB//CD,是N45O的平分線，若N2=64。，則N3=

【解析】

【分析】先根據(jù)對頂角的性質(zhì)可得/BOC=N2=64°,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求得NA8C,最后根據(jù)角平分線

的定義求解即可.

【詳解】解：：/夕口。和N2是對頂角

NBDC=Z2=64°

,/ABI/CD

ZBDC+ZABD=180°,即ZABD=116°

V3c是NA8O的平分線

/.Z3=Z1=—ZABD=5S°.

2

故填：58°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、對頂角相等以及角平分線的相關(guān)知識，掌握平行線的性質(zhì)成為解

答本題的關(guān)鍵.

x>2

12.不等式〈°,的正整數(shù)解為

2x+l<7—

【答案】3

【解析】

【分析】直接解出各個(gè)不等式的解集，再取公共部分，再找正整數(shù)解即可.

【詳解】解：由2x+lW7,

解得：x<3,

由x>2,

，原不等式的解集是：2<xW3.

x>2

故不等式,r的正整數(shù)解為：3,

2x+l<7

故答案是：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組的解集和求不等式組的正整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是：掌握解不等式

組的基本運(yùn)算法則，求出解集后，找出滿足條件的正整數(shù)解即可.

13.如圖，A8C內(nèi)接于1。，NA=50°,點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，連接0。，OB,0C，則

NBOD=.

【解析】

【分析】圓上弧長對應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】解:根據(jù)圓上弦長對應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半，

ZA=-ZB0C,

2

;.ZBOC=100。,

OB=OC,

.?qBOC為等腰三角形，

又點(diǎn)。是3c的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一，

為NBOC的角平分線，

:.ZBOD=50°,

故答案是：50°.

【點(diǎn)睛】本題考查了弦長所對應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是:

根據(jù)性質(zhì)求出ZBOC,再利用角平分線或三角形全等都能求出解.

14.如圖，在正方形A8C。外取一點(diǎn)E，連接OE，AE,CE,過點(diǎn)。作。E的垂線交AE于點(diǎn)P,若

DE=DP=1，PC=R.下列結(jié)論：@AAPD^AC￡D；?AE±CE；③點(diǎn)C到直線DE的距離為

百；④品汾形=5+2及，其中正確結(jié)論的序號為—

【答案】①②④

【解析】

【分析】利用同角的余角相等可得/E￡>C=/PD4,利用SAS可證明尸。也△CEO,可得①正確；②根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NAPD=/CED,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NOPE=NOEP=45。，即可得出

ZPEC=90°,可得②正確；過C作CF1DE,交OE的延長線于F,利用勾股定理可求出CE的長，根據(jù)△DEP

是等腰直角三角形，可證△CEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出C尸的長，可得③

錯(cuò)誤；④由③可知EF的長，即可得出DF的長，利用勾股定理可求出CZ）的長，即可求出正方形A8CZ）的

面積，可得④正確，綜上即可得答案.

【詳解】?.,四邊形ABCD為正方形，PDLDE,

：.ZPDA+ZPDC=90°,NEDC+NPDC=9。。,AD=CD,

.\ZEDC=ZPDA,

AD=CD

在^APD和4CED中<ZEDC=ZPDA,

DP=DE

：.AAPD@XCEO,故①正確，

NAPANDEC,

?；DP=DE,NPDE=90°,

：.NDPE=NDEP=45。,

：.NAPD=NDEC=135。,

：.NPEC=NDEC-NDEP=9Q°,

：.AE±CE,故②正確，

如圖，過C作CF_LOE,交OE的延長線于F,

VDE=DP=\,ZPDE=90°,

:.PE;近,

■:PC=戈,ZPEC=90°,

：.CE=y]pc2-PE2=2,

?：NDEP=45。,ZPEC=90°,

：.NFEC=45°,

'：NEFC=9Q°,

.?.△CEF是等腰直角三角形，

5

:.CF=EF=^CE=6，

點(diǎn)C到直線DE的距離為6,故③錯(cuò)誤，

DF=EF+DE=yfi+1,

???CD2=DF2+CF2=(V2+1)2+(V2)2=5+2V2，

S|F方形4gCD=5+2-72,故④正確,

綜上所述：正確的結(jié)論有①②④，

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正方形面積公式、

勾股定理的運(yùn)用等知識，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共9個(gè)小題，滿分58分.請考生用黑色碳素筆在答題卡相應(yīng)的題號后的

答題區(qū)域內(nèi)作答，必須寫出運(yùn)算步驟、推理過程或文字說明，超出答題區(qū)域的作答無效.）

15.計(jì)算：（-1>⑷+|2—及卜2cos60°+次

【答案】V2

【解析】

【分析】先運(yùn)用乘方、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值以及平方根的性質(zhì)化簡，然后計(jì)算即可.

詳解】解：（-1）2021+12-V21-2cos60°+

=-1+2-血-2x^+2&

2

=也■

【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、平方根的性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知

識成為解答本題的關(guān)鍵.

—4C1一2〃一?7

16.先化簡f'+--然后從0,1,2,3中選一個(gè)合適的。值代入求解.

+4。+4ci~+2。ci—1

【答案】2a,6

【解析】

【分析】將分子、分母因式分解除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分、合并同類項(xiàng)，選擇合適的值時(shí)，”的取值不能使原

算式的分母及除數(shù)為0.

(a—2)(a+2)a(a+2)a(a-l)

【詳解】解：原式=(入2r一:或+:r

=2a

因?yàn)閍=0,1,2時(shí)分式無意義，所以。=3

當(dāng)a=3時(shí)，原式=6

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，關(guān)鍵是先化簡，后代值，注意”的取值不能使原算式的分母及除數(shù)

為0.

17.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長征路”主題教育學(xué)習(xí)活動,

我市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀(jì)念館”成為重要的活動基地.據(jù)了解，今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬

人，5月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人.

(1)求這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長率；

(2)按照這個(gè)增長率，預(yù)計(jì)6月份的參觀人數(shù)是多少？

【答案】(1)10%；(2)13.31萬

【解析】

【分析】(1)設(shè)這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長率為％,根據(jù)題意列出等式解出為即可；

(2)直接利用(1)中求出的月平均增長率計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：設(shè)這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長率為x,

由題意得：10(1+x)2=12.1,

21

解得：玉=10%,々=一一(不合題意，舍去)，

-10

答：這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長率為10%.

(2)12.1x(l+10%)=13.31(萬人)，

答：六月份的參觀人數(shù)為13.31萬人.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和增長率問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題目條件列出等式，求出增長率，再利

用增長率來預(yù)測.

18.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與相交于點(diǎn)O，ZAOB=60°,對角線AC所在的直線繞點(diǎn)

。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a（0°<a<120°）,所得的直線/分別交A。，BC于點(diǎn)已尸.

（1）求證：；

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a為多少度時(shí)，四邊形AFCE為菱形？試說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）90。，理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線相交，對頂角相等，且AO=CO,可以證明兩三角形

全等；

（2）根據(jù)平行四邊形對角線垂直即可說明.

【詳解】（1）證明：???四邊形A3CD是矩形，

AD//BC,AO=CO,

：.ZAEO=ZCFO,

又：ZAOE=ZCOF,

：.^.AOE^COFiAAS）.

（2）當(dāng)。=90°時(shí)四邊形AFCE為菱形，

理由：VAAOE^ACOF,

OE=OF,

又：49=CO，

四邊形AFCE為平行四邊形，

又?:ZAOE=90°,

，四邊形AFC￡為菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判斷定理，菱形的判定定理，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)得

出角之間的關(guān)系，利用A4S來證明；證明四邊形是菱形，只要求證明平行四邊形對角線垂直即可.

19.為了積極響應(yīng)中共中央文明辦關(guān)于“文明用餐”的倡議，某校開展了“你的家庭使用公筷了嗎？”的調(diào)

查活動，并隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對他們家庭用餐使用公筷情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)分類為以下四種：A（完全

使用）、B（多數(shù)時(shí)間使用）、C（偶爾使用）、D（完全不使用），將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，繪制了兩幅不完整的

統(tǒng)計(jì)圖.

公筷使用情況條形統(tǒng)計(jì)圖使用公筷情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）本次抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)共有.

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中A對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是.

（4）為了了解少數(shù)學(xué)生完全不使用公筷的原因，學(xué)校決定從。組的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩位進(jìn)行回訪，若。組

中有3名男生，其余均為女生，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求抽取的兩位學(xué)生恰好是一男一女的概率.

【答案】（1）50人；（2）作圖見解析；（3）72°；（4）g

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得。類學(xué)生數(shù)量，再根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖性質(zhì)作圖，即可得到答案；

（3）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；

（4）根據(jù)列表法求概率，即可得到答案.

20

【詳解】（1）本次抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)共有：——=50人

40%

故答案為：50人；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得。類學(xué)生數(shù)量為：50—10-20-16=4人

條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)全如下：

(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中A對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是：—X360°=72°

50

故答案為：72°；

(4)列表如下：

男1男2男3女

男1男1，男2男1，男3男1，女

男2男2,男1男2,男3男2,女

男3男3,男1男3,男2男3,女

女女，男1女，男2女，男3

總共有12種情況，其中抽取兩位學(xué)生恰好是一男一女的情況總共有6種

抽取的兩位學(xué)生恰好是一男一女的概率=9='.

122

【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)調(diào)查和簡單概率的知識：解題的關(guān)鍵是熟練掌握條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、列表

法或者樹狀圖法求概率的性質(zhì)，從而完成求解.

20.如圖，在R.AOB中，ZABO=90°,ZOAB=30°,以點(diǎn)。為圓心，OB為半徑的圓交80的延長

線于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作OA的平行線，交。。于點(diǎn)。，連接AD.

(1)求證：AO為0。的切線；

(2)若03=2,求弧CO的長.

2

【答案】(1)見解析；(2)-71

3

【解析】

【分析】(1)連接08,先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到N4O8=60。，再運(yùn)用平行線的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得

ZAOD=60。，再證明AAOB會A4OD可得ZADO=ZABO=900即可；

(2)先求出/COD,然后再運(yùn)用弧長公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)證明：連接。。

VZOAB=30°,ZB=90°

，ZA03=60°

又：CDIIAO

ZC=ZAOB=60°

，NBOD=2NC=120。

???ZAOD=6Q°

又,:OB=OD,AO=AO

：...AOB^AOD(SAS)

/.ZADO=ZABO=90°

又?.?點(diǎn)。在0。上

，4。是＜。的切線；

(2)VZBOD=120°

NCOD=60°

l=-x2^x2=-^.

3603

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的證明、弧長公式等知識點(diǎn)，掌握圓的切線的證明方法成為解答本題的

關(guān)鍵.

21.張家界大峽谷玻璃橋是我市又一聞名中外的五星景點(diǎn).某校初三年級在一次研學(xué)活動中，數(shù)學(xué)研學(xué)小組

設(shè)計(jì)以下方案測量橋的高度.如圖，在橋面正下方的谷底選一觀測點(diǎn)A,觀測到橋面8，C的仰角分別為

30°,60°,測得BC長為320米，求觀測點(diǎn)A到橋面的距離.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：73?1.73）

B

【答案】277米

【解析】

【分析】過點(diǎn)A作A。，3c交BC的延長線于點(diǎn)。，根據(jù)已知條件可得C4=CB=320m,在RrAAC。

中，求出AO即可

【詳解】解：過點(diǎn)A作AO_LBC交8C的延長線于點(diǎn)。

A

由圖可知：N8=30°,AM//CD

：.ZB=ZBAM=30°,ZDCA=ZCAM=60°

ZCAB=ZCAM-ZBAM=60°-30°=30°

AB=ABAC

：.C4=C8=320m

在用A4CD中，Z￡>C4=60°

AnAn

AsinZDC4=——，即sin/60°=——

AC320

AAD=—x320?—x320?277(米)

22

答.觀測點(diǎn)A到橋面8c的距離是277米.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、根據(jù)三角函數(shù)正確列方程是解題

的關(guān)鍵.

22.閱讀下面的材料：

如果函數(shù)y=/(x)滿足：對于自變量x取值范圍內(nèi)任意王，*2，

(1)若大<%,都有/(凡)</。2)，則稱/(x)是增函數(shù);

(2)若不<々，都有/(西)>/(%)，則稱/(X)是減函數(shù).

例題：證明函數(shù)f(x)=x\x>0)是增函數(shù).

證明：任取占<々，且不>0，々>0

則/(%1)-/(尤2)=X；-尤；=($+*2)(七一%2)

：不<為且百>0，々>0

xt+x2>0,x,-x2<0

A(x,+x2)(x,-x2)<0,即/(X|)—/(々)<0,/(X,)</(x2)

???函數(shù)f(x)=x2(x>0)是增函數(shù).

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)函數(shù)/(x)=L(x>0),/(1)=!=1，/(2)=(，八3)=,/(4)=

x12

(2)猜想/(x)='(x>0)是函數(shù)(填“增”或“減”)，并證明你的猜想.

X

【答案】(1)--(2)減，證明見解析

34

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題目中函數(shù)解析式可以解答本題；

(2)根據(jù)題目中例子的證明方法可以證明(1)中的猜想成立.

【詳解】解：(1)/(3)=1,/(4)=；

(2)猜想：/(x)=‘(x>0)是減函數(shù)；

X

證明：任取不<々，力>0，工2>°，則

/U,)-/(x2)=-!—-=

Xjx2xtx2

,王<“2且N>0，工2>0

/.x2-x{>0,x{x2>0

.??號子>0,即/(3)_/(馬)>0

函數(shù)/(幻=’(1>0)是減函數(shù).

X

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出

所求問題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

23.如圖，已知二次函數(shù)y=ox2+歷:+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(2,-3)且與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)8(8,0).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；

(3)判斷的形狀，試說明理由；

(4)若點(diǎn)尸為」。上的動點(diǎn)，且的半徑為2及，一動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度

沿線段AP勻速運(yùn)動到點(diǎn)P,再以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段P3勻速運(yùn)動到點(diǎn)3后停止運(yùn)動，求點(diǎn)E

的運(yùn)動時(shí)間，的最小值.

【答案】(1)y=^x2-2x；(2)A(4,-4),y=x—8；(3)等腰直角三角形，理由見解析；(4)572

【解析】

【分析】(1)根據(jù)己知條件，運(yùn)用待定系數(shù)法直接列方程組求解即可；

(2)根據(jù)(1)中二次函數(shù)解析式，直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可，再根據(jù)點(diǎn)A、8坐標(biāo)求出AB解析式

即可；

(3)根據(jù)二次函數(shù)對稱性可知，為等腰三角形，再根據(jù)。、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，求出三條線段的長，利

用勾股定理驗(yàn)證即可；

⑷根據(jù)題意可知動點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為f=g|AP|+|PB|,在OA上取點(diǎn)￡>,使00=血，可證明

△APOsAPDO,根據(jù)相似三角形比例關(guān)系得|PQ|=；|4P|,即f=；|4P|+|PB|=|Pq+|PB|,當(dāng)5、

P、。三點(diǎn)共線時(shí)，|尸。|+|尸耳取得最小值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)