積分變換課件

習(xí)題一1.試證:若f(t)滿足傅氏積分定理的條件,則有其中證由第8頁1.6式得即a(w)b(w)2.證:當(dāng)f(t)為奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)當(dāng)f(t)為偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)習(xí)題一3.函數(shù)的圖形為1-1otf(t)1可得普阿松積分公式Otf(t)如果a是任一實數(shù),則顯然也有積分路線如圖所示:ABCDb-RRO實軸虛軸此外,因傅氏變換1.傅氏變換的概念我們知道,若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理的條件,則在f(t)的連續(xù)點處,有(1.8)式叫做f(t)的傅氏變換式,(1.9)式為F(w)的傅式逆變換式,f(t)與F(w)可相互轉(zhuǎn)換,可記為

F(w)=F[f(t)]和f(t)=F-1[F(w)]還可以將f(t)放在左端,F(w)放在右端,中間用雙向箭頭連接:

f(t)

F(w)

(1.8)式右端的積分運算,叫做f(t)的傅氏變換,同樣,(1.9)式右端的積分運算,叫做F(w)的傅氏逆變換.

F(w)稱作f(t)的象函數(shù),

f(t)稱作F(w)的象原函數(shù).

可以說象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)構(gòu)成了一個傅氏變換對.tf(t)根據(jù)(1.8)式,有這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.根據(jù)(1.9)式,有因此有如果令b=1/2,就有可見鐘形函數(shù)的傅氏變換也是鐘形函數(shù)求鐘形脈衝函數(shù)的積分運算式,根據(jù)(1.9)式2.單位脈衝函數(shù)及其傅氏變換在物理和工程技術(shù)中,常常會碰到單位脈衝函數(shù).因為有許多物理現(xiàn)象具有脈衝性質(zhì),如在電學(xué)中,要研究線性電路受具有脈衝性質(zhì)的電勢作用後產(chǎn)生的電流;在力學(xué)中,要研究機械系統(tǒng)受衝擊力作用後的運動情況等.研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈衝函數(shù).在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設(shè)為t=0)進入一單位電量的脈衝,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則由於電流強度是電荷函數(shù)對時間的變化率,即所以,當(dāng)t0時,i(t)=0,由於q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點是不能求導(dǎo)數(shù)的.如果我們形式地計算這個導(dǎo)數(shù),則得這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強度.為了確定這樣的電流強度,引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù),簡單記成d-函數(shù).有了這種函數(shù),對於許多集中於一點或一瞬時的量,例如點電荷,點熱源,集中於一點的品質(zhì)及脈衝技術(shù)中的非常窄的脈衝等,就能夠象處理連續(xù)分佈的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.對於在(-,)上定義的所有可積函數(shù)的集合,也可以構(gòu)成一線性空間,進一步地在上面定義內(nèi)積,就可以構(gòu)成一歐氏空間,兩個函數(shù)f(t)和g(t)的內(nèi)積可以定義為:對於給定的f(t),我們希望找到一個函數(shù)和它的內(nèi)積能夠正好等於f(0).如果f(t)在0處連續(xù),我們可以用一非常小的正數(shù)e>0,計算f(t)在區(qū)間[0,e]上的平均值,則這個平均值近似等於f(0):而實際上這相當(dāng)於f(t)和一稱作de(t)的函數(shù)內(nèi)積:tde(t)1/eeO稱de(t)的弱極限為d-函數(shù),記為d(t)de(t)1/eeO如f(t)在0點連續(xù),則在0附近的非常小的一個領(lǐng)域可以看作是常數(shù)c=f(0).因此,任給一個在(-,)上積分值為1的函數(shù)g(t)圖例:OtOt工程上將d-函數(shù)稱為單位脈衝函數(shù),可將d-函數(shù)用一個長度等於1的有向線段表示,這個線段的長度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強度.tOd(t)1d-函數(shù)有性質(zhì)d-函數(shù)的傅氏變換為:tOd(t)1wOF(w)1

可見,單位脈衝函數(shù)d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對.同理,d(t-t0)和亦構(gòu)成了一個傅氏變換對.在物理學(xué)和工程技術(shù)中,有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件,即不滿足條件例如常數(shù),符號函數(shù),單位階躍函數(shù)以及正,余弦函數(shù)等,然而它們的廣義傅氏變換也是存在的,利用單位脈衝函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.所謂廣義是相對於古典意義而言的,在廣義意義下,同樣可以說,象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)亦構(gòu)成一個傅氏變換對.pwO|F(w)|Otu(t)若F(w)=2pd(w)時,由傅氏逆變換可得所以1和2pd(w)也構(gòu)成傅氏變換對.同理,如F(w)=2pd(w-w0)由上面兩個函數(shù)的變換可得例4求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的傅氏變換如圖所示:tsintpp-w0w0Ow|F(w)|

在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).由於w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對一個時間函數(shù)作傅氏變換,就是求這個時間函數(shù)的頻譜.例5作如圖所示的單個矩形脈衝的頻譜圖f(t)單個矩形脈衝的頻譜函數(shù)為:tE-t/2t/2矩形脈衝的頻譜圖為wEt|F(w)|O振幅函數(shù)|F(w)|是角頻率w的偶函數(shù),即我們定義為f(t)的相角頻譜.顯然,相角頻譜j(w)是w的奇函數(shù),即j(w)=-j(-w).48傅氏變換的性質(zhì)49這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質(zhì),為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時,不再重述這些條件.50線性性質(zhì)設(shè)F1(w)=F[f1(t)],

F2(w)=F[f2(t)],a,b是常數(shù),則

F[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w)(1.13)

這個性質(zhì)的作用是很顯然的,它表明了函數(shù)線性組合的傅氏變換等於各函數(shù)傅氏變換的線性組合.它的證明只需根據(jù)定義就可推出.

同樣,傅氏逆變換亦具有類似的線性性質(zhì),即

F

-1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t)(1.14)512.位移性質(zhì)證由傅氏變換的定義,可知52微分性質(zhì)如果f(t)在(-,+)上連續(xù)或只有有限個可去間斷點,且當(dāng)|t|+時,f(t)0,則

F[f'(t)]=jwF[f(t)]. (1.17)

證由傅氏變換的定義,並利用分部積分可得推論

F[f(n)(t)]=(jw)nF[f(t)]. (1.18)53同樣,我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,設(shè)

F[f(t)]=F(w),則54本書中的積分的記號有不嚴格的寫法,即554.積分性質(zhì)56例2求微分積分方程的解,其中

<t<+,a,b,c均為常數(shù).根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì),且記F[x(t)]=X(w),F[h(t)]=H(w).在方程兩邊取傅氏變換,可得

57運用傅氏變換的線性性質(zhì),微分性質(zhì)以及積分性質(zhì),可以把線性常係數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,通過解代數(shù)方程與求傅氏逆變換,就可以得到此微分方程的解.另外,傅氏變換還是求解數(shù)學(xué)物理方程的方法之一.58此外還有59性質(zhì)小結(jié):若F[f(t)]=F(w),F[g(t)]=G(w)60乘積定理若F(w)=F[f(t)],G(w)=F[g(t)],則61能量積分若F(w)=F[f(t)],則有這一等式又稱為帕塞瓦爾(Parserval)等式證在(1.20)式中,令f(t)=g(t),則6263實際上,只要記住下麵四個傅裏葉變換,則所有的傅裏葉變換都無須從公式直接推導(dǎo)而從傅裏葉變換的性質(zhì)就可導(dǎo)出.64注意第一類間斷點處的求導(dǎo)數(shù),首先有d(t)u(t)ttOO65a假設(shè)函數(shù)f(t)在t0處有一個上升了a的第一類間斷點,則f(t)可以分為在此處連續(xù)的一個函數(shù)f1(t)加上au(t-t0)a=+tt0t0t0ttf(t)f1(t)au(t-t0)66例求方波的傅氏變換t/2-t/2Etf(t)t/2-t/2Etf'(t)-E67推導(dǎo)過程為68習(xí)題二14題求如圖所示的頻譜函數(shù)t/2-t/2AOtf(t)t/2-t/2aOtf'(t)t/2-t/2aOtf''(t)a-2a-a69因此有70習(xí)題二,2.(1)tOf(t)1-1tOf'(t)1-12-271f(t)的二階導(dǎo)和三階導(dǎo)如下圖:tOf''(t)1-12-2tOf'''(t)1-12-272因此有73習(xí)題二2.(2)747576習(xí)題二2.(3)-1-111f(t)tO-121f'(t)tO-1-177因此78習(xí)題二3.(1)f(t)=e-b|t|(b>0)

令g(t)=u(t)e-bt,則f(t)=g(t)+g(-t)tg(t)tg(-t)tf(t)OOO79因此有80習(xí)題二3.(2)f(t)=e-|t|cost8182習(xí)題二3.(3)8384習(xí)題二4題85習(xí)題二5.F(w)=p[d(w+w0)+d(w-w0)]86習(xí)題二6f(t)=sgnt1-1tf(t)2tf'(t)OO87習(xí)題二7.88習(xí)題二8.f(t)=costsint89習(xí)題二9.f(t)=sin3t90習(xí)題二13.週期為T的函數(shù)f(t)可表示為91卷積定理與相關(guān)函數(shù)92卷積的概念

若已知函數(shù)f1(t),f2(t),則積分稱為函數(shù)f1(t)與f2(t)的卷積,記為f1(t)*f2(t)93卷積的圖示f1(t)f2(t)tOf2(-t)OttOtf2(t-t)94一個函數(shù)卷積自己的圖示95在積分中,令u=t-t,則t=t-u,du=-dt,則即卷積滿足交換律.96下證卷積滿足結(jié)合律,即

[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]

為此,令則97交換二重積分的次序,得令v=t-u,則u=t-v,98例1證明

f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)

證根據(jù)卷積的定義99任給函數(shù)f(t),都有f(t)*d(t)=f(t),這是因為因此,單位脈衝函數(shù)d(t)在卷積運算中起著類似數(shù)的運算中的1的作用.100在近世代數(shù)中,代數(shù)(algebra)一詞表示兩個元素到一個元素的映射規(guī)則.比如數(shù)的加減乘除,向量的加,內(nèi)積,矩陣的加和乘,向量或者矩陣乘數(shù),等等,都是代數(shù)運算.

如果一個代數(shù)運算滿足類似加法的性質(zhì),如有0元素,有負元素,滿足交換律和結(jié)合律,則相應(yīng)的集合叫做加法群,簡稱群.

如果在加法群上再定義一個被稱作乘法的運算,滿足交換律和結(jié)合律,有1元素,且同相應(yīng)的加法運算滿足分配律,此集合就叫做乘法環(huán),簡稱環(huán).

如果乘法除0元素外都有逆,則被稱作域了.101例2若求f1(t)*f2(t)f1(t)1OttOf2(t-t)1t102由卷積的定義有tO1-e-t1103卷積定理假定f1(t),f2(t)都滿足傅氏積分定理中的條件,如

f1(t)

F1(w)

f2(t)

F2(w)

則

f1(t)

*

f2(t)

F1(w)F2(w)

以及104證按傅氏變換的定義,有105相關(guān)函數(shù)

對兩個不同的函數(shù)f1(t)和f2(t),則積分稱為兩個函數(shù)的互相關(guān)函數(shù),記為R12(t),即106當(dāng)f1(t)=f2(t)=f(t)時,積分稱為f(t)的自相關(guān)函數(shù)(簡稱相關(guān)函數(shù)).用記號R(t)表示,即107根據(jù)R(t)的定義,自相關(guān)函數(shù)是一個偶函數(shù),

R(-t)=R(t)

事實上,令t=u+t,可得關(guān)於互相關(guān)函數(shù),有如下的性質(zhì):

R21(t)=R12(-t)108前面已經(jīng)證明過令f1(t)=f(t),f2(t)=f(t+t),設(shè)f(t)

F(w),則109假設(shè)f1(t)

F1(w),f2(t)F2(w),稱

S12(w)=F1(w)F2(w)為互能量譜密度.則即R12(t)

S12(w),且易證S21(w)=S12(w)110例3求指數(shù)衰減函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)和能量譜密度tOf(t)1tOf(t+t)1tOf(t+t)1-t-t111當(dāng)t>0時,積分區(qū)間為[0,+)當(dāng)t<0時,積分區(qū)間為[-t,+)112因此,當(dāng)

<t<時,自相關(guān)函數(shù)可合寫為並求得能量譜密度為113例4利用傅氏變換的性質(zhì),求d(t-t0),114例5若f(t)=cosw0t

u(t),求F[f(t)]115例6若F(w)=F[f(t)],證明116奈奎斯特採樣率117假設(shè)時間函數(shù)f(t)在區(qū)間[-a,a]之外全為零,並假設(shè)f(t)

F(w)tOf(t)a-aOwF(w)118現(xiàn)將f(t)進行週期化,產(chǎn)生fT(t),T=2a,然後用傅氏級數(shù)表示.tOfT(t)a-a119tOfT(t)a-aOwFT(w)w1w2...120根據(jù)對稱原理有FT(t)2pfT(-w)OtFT(t)i1t2...wOfT(-w)a-a121假設(shè)時間函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)F(w)在

[-2pB,2pB]之外為0.B稱為f(t)的帶寬.wOF(w)2pB-2pBOtf(t)122現(xiàn)對f(t)進行間隔為Dt的採樣得g(t)123如圖所示:Oti1t2...wOG(w)Dw/2g(t)-Dw/2124125拉普拉斯變換126對於一個函數(shù)j(t),有可能因為不滿足傅氏變換的條件,因而不存在傅氏變換.

因此,首先將j(t)乘上u(t),這樣t小於零的部分的函數(shù)值就都等於0了.

而大家知道在各種函數(shù)中,指數(shù)函數(shù)ebt(b>0)的上升速度是最快的了,因而e-bt下降的速度也是最快的.

因此,幾乎所有的實用函數(shù)j(t)乘上u(t)再乘上e-bt後得到的j(t)u(t)e-bt傅氏變換都存在127tf(t)Otf(t)u(t)e-btO128對函數(shù)j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏變換,可得129定義設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t0時有定義,而且積分在s的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為稱此式為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換式(簡稱拉氏變換式),記為

F(s)=L[f(t)]F(s)稱為f(t)的拉氏變換(或稱為象函數(shù)).而f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換(或象原函數(shù))記為

f(t)=L

-1[F(s)]也可記為f(t)

F(s).130例1求單位階躍函數(shù)根據(jù)拉氏變換的定義,有這個積分在Re(s)>0時收斂,而且有131例2求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt的拉氏變換(k為實數(shù)).

根據(jù)(2.1)式,有這個積分在Re(s)>k時收斂,而且有其實k為複數(shù)時上式也成立,只是收斂區(qū)間為Re(s)>Re(k)132拉氏變換的存在定理若函數(shù)f(t)滿足:

1,在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)

2,當(dāng)t

時,f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<

則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的積分在Re(s)

c1>c上絕對收斂而且一致收斂,並且在Re(s)>c的半平面內(nèi),F(s)為解析函數(shù).133MMectf(t)tO134證由條件2可知,對於任何t值(0

t<),有

|f(t)e-st|=|f(t)|e-bt

Me-(b-c)t,Re(s)=b,

若令b-c

e>0(即b

c+e=c1>c),則

|f(t)e-st|Me-et.

所以根據(jù)含參量廣義積分的性質(zhì)可知,在Re(s)

c1>c上拉氏變換的積分不僅絕對收斂而且一致收斂.135在(2.1)式的積分號內(nèi)對s求導(dǎo),則由此可見,上式右端的積分在半平面Re(s)

c1>c內(nèi)也是絕對收斂且一致收斂,從而微分與積分可以交換136因此得這就表明,F(s)在Re(s)>c內(nèi)是可微的.根據(jù)複變函數(shù)的解析函數(shù)理論可知,F(s)在Re(s)>c內(nèi)是解析的.137例3求f(t)=sinkt(k為實數(shù))的拉氏變換138同理可得139