積分變換課件

習題一1.試證:若f(t)滿足傅氏積分定理的條件,則有其中證由第8頁1.6式得即a(w)b(w)2.證:當f(t)為奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)當f(t)為偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)習題一3.函數(shù)的圖形為1-1otf(t)1可得普阿松積分公式Otf(t)如果a是任一實數(shù),則顯然也有積分路線如圖所示:ABCDb-RRO實軸虛軸此外,因傅氏變換1.傅氏變換的概念我們知道,若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理的條件,則在f(t)的連續(xù)點處,有(1.8)式叫做f(t)的傅氏變換式,(1.9)式為F(w)的傅式逆變換式,f(t)與F(w)可相互轉換,可記為

F(w)=F[f(t)]和f(t)=F-1[F(w)]還可以將f(t)放在左端,F(w)放在右端,中間用雙向箭頭連接:

f(t)

F(w)

(1.8)式右端的積分運算,叫做f(t)的傅氏變換,同樣,(1.9)式右端的積分運算,叫做F(w)的傅氏逆變換.

F(w)稱作f(t)的象函數(shù),

f(t)稱作F(w)的象原函數(shù).

可以說象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)構成了一個傅氏變換對.tf(t)根據(jù)(1.8)式,有這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.根據(jù)(1.9)式,有因此有如果令b=1/2,就有可見鐘形函數(shù)的傅氏變換也是鐘形函數(shù)求鐘形脈衝函數(shù)的積分運算式,根據(jù)(1.9)式2.單位脈衝函數(shù)及其傅氏變換在物理和工程技術中,常常會碰到單位脈衝函數(shù).因為有許多物理現(xiàn)象具有脈衝性質,如在電學中,要研究線性電路受具有脈衝性質的電勢作用後產生的電流;在力學中,要研究機械系統(tǒng)受衝擊力作用後的運動情況等.研究此類問題就會產生我們要介紹的單位脈衝函數(shù).在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設為t=0)進入一單位電量的脈衝,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則由於電流強度是電荷函數(shù)對時間的變化率,即所以,當t0時,i(t)=0,由於q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導數(shù)意義下,q(t)在這一點是不能求導數(shù)的.如果我們形式地計算這個導數(shù),則得這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強度.為了確定這樣的電流強度,引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù),簡單記成d-函數(shù).有了這種函數(shù),對於許多集中於一點或一瞬時的量,例如點電荷,點熱源,集中於一點的品質及脈衝技術中的非常窄的脈衝等,就能夠象處理連續(xù)分佈的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.對於在(-,)上定義的所有可積函數(shù)的集合,也可以構成一線性空間,進一步地在上面定義內積,就可以構成一歐氏空間,兩個函數(shù)f(t)和g(t)的內積可以定義為:對於給定的f(t),我們希望找到一個函數(shù)和它的內積能夠正好等於f(0).如果f(t)在0處連續(xù),我們可以用一非常小的正數(shù)e>0,計算f(t)在區(qū)間[0,e]上的平均值,則這個平均值近似等於f(0):而實際上這相當於f(t)和一稱作de(t)的函數(shù)內積:tde(t)1/eeO稱de(t)的弱極限為d-函數(shù),記為d(t)de(t)1/eeO如f(t)在0點連續(xù),則在0附近的非常小的一個領域可以看作是常數(shù)c=f(0).因此,任給一個在(-,)上積分值為1的函數(shù)g(t)圖例:OtOt工程上將d-函數(shù)稱為單位脈衝函數(shù),可將d-函數(shù)用一個長度等於1的有向線段表示,這個線段的長度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強度.tOd(t)1d-函數(shù)有性質d-函數(shù)的傅氏變換為:tOd(t)1wOF(w)1

可見,單位脈衝函數(shù)d(t)與常數(shù)1構成了一傅氏變換對.同理,d(t-t0)和亦構成了一個傅氏變換對.在物理學和工程技術中,有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件,即不滿足條件例如常數(shù),符號函數(shù),單位階躍函數(shù)以及正,余弦函數(shù)等,然而它們的廣義傅氏變換也是存在的,利用單位脈衝函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.所謂廣義是相對於古典意義而言的,在廣義意義下,同樣可以說,象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)亦構成一個傅氏變換對.pwO|F(w)|Otu(t)若F(w)=2pd(w)時,由傅氏逆變換可得所以1和2pd(w)也構成傅氏變換對.同理,如F(w)=2pd(w-w0)由上面兩個函數(shù)的變換可得例4求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的傅氏變換如圖所示:tsintpp-w0w0Ow|F(w)|

在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).由於w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對一個時間函數(shù)作傅氏變換,就是求這個時間函數(shù)的頻譜.例5作如圖所示的單個矩形脈衝的頻譜圖f(t)單個矩形脈衝的頻譜函數(shù)為:tE-t/2t/2矩形脈衝的頻譜圖為wEt|F(w)|O振幅函數(shù)|F(w)|是角頻率w的偶函數(shù),即我們定義為f(t)的相角頻譜.顯然,相角頻譜j(w)是w的奇函數(shù),即j(w)=-j(-w).48傅氏變換的性質49這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質,為了敘述方便起見,假定在這些性質中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質時,不再重述這些條件.50線性性質設F1(w)=F[f1(t)],

F2(w)=F[f2(t)],a,b是常數(shù),則

F[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w)(1.13)

這個性質的作用是很顯然的,它表明了函數(shù)線性組合的傅氏變換等於各函數(shù)傅氏變換的線性組合.它的證明只需根據(jù)定義就可推出.

同樣,傅氏逆變換亦具有類似的線性性質,即

F

-1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t)(1.14)512.位移性質證由傅氏變換的定義,可知52微分性質如果f(t)在(-,+)上連續(xù)或只有有限個可去間斷點,且當|t|+時,f(t)0,則

F[f'(t)]=jwF[f(t)]. (1.17)

證由傅氏變換的定義,並利用分部積分可得推論

F[f(n)(t)]=(jw)nF[f(t)]. (1.18)53同樣,我們還能得到象函數(shù)的導數(shù)公式,設

F[f(t)]=F(w),則54本書中的積分的記號有不嚴格的寫法,即554.積分性質56例2求微分積分方程的解,其中

<t<+,a,b,c均為常數(shù).根據(jù)傅氏變換的微分性質和積分性質,且記F[x(t)]=X(w),F[h(t)]=H(w).在方程兩邊取傅氏變換,可得

57運用傅氏變換的線性性質,微分性質以及積分性質,可以把線性常係數(shù)微分方程轉化為代數(shù)方程,通過解代數(shù)方程與求傅氏逆變換,就可以得到此微分方程的解.另外,傅氏變換還是求解數(shù)學物理方程的方法之一.58此外還有59性質小結:若F[f(t)]=F(w),F[g(t)]=G(w)60乘積定理若F(w)=F[f(t)],G(w)=F[g(t)],則61能量積分若F(w)=F[f(t)],則有這一等式又稱為帕塞瓦爾(Parserval)等式證在(1.20)式中,令f(t)=g(t),則6263實際上,只要記住下麵四個傅裏葉變換,則所有的傅裏葉變換都無須從公式直接推導而從傅裏葉變換的性質就可導出.64注意第一類間斷點處的求導數(shù),首先有d(t)u(t)ttOO65a假設函數(shù)f(t)在t0處有一個上升了a的第一類間斷點,則f(t)可以分為在此處連續(xù)的一個函數(shù)f1(t)加上au(t-t0)a=+tt0t0t0ttf(t)f1(t)au(t-t0)66例求方波的傅氏變換t/2-t/2Etf(t)t/2-t/2Etf'(t)-E67推導過程為68習題二14題求如圖所示的頻譜函數(shù)t/2-t/2AOtf(t)t/2-t/2aOtf'(t)t/2-t/2aOtf''(t)a-2a-a69因此有70習題二,2.(1)tOf(t)1-1tOf'(t)1-12-271f(t)的二階導和三階導如下圖:tOf''(t)1-12-2tOf'''(t)1-12-272因此有73習題二2.(2)747576習題二2.(3)-1-111f(t)tO-121f'(t)tO-1-177因此78習題二3.(1)f(t)=e-b|t|(b>0)

令g(t)=u(t)e-bt,則f(t)=g(t)+g(-t)tg(t)tg(-t)tf(t)OOO79因此有80習題二3.(2)f(t)=e-|t|cost8182習題二3.(3)8384習題二4題85習題二5.F(w)=p[d(w+w0)+d(w-w0)]86習題二6f(t)=sgnt1-1tf(t)2tf'(t)OO87習題二7.88習題二8.f(t)=costsint89習題二9.f(t)=sin3t90習題二13.週期為T的函數(shù)f(t)可表示為91卷積定理與相關函數(shù)92卷積的概念

若已知函數(shù)f1(t),f2(t),則積分稱為函數(shù)f1(t)與f2(t)的卷積,記為f1(t)*f2(t)93卷積的圖示f1(t)f2(t)tOf2(-t)OttOtf2(t-t)94一個函數(shù)卷積自己的圖示95在積分中,令u=t-t,則t=t-u,du=-dt,則即卷積滿足交換律.96下證卷積滿足結合律,即

[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]

為此,令則97交換二重積分的次序,得令v=t-u,則u=t-v,98例1證明

f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)

證根據(jù)卷積的定義99任給函數(shù)f(t),都有f(t)*d(t)=f(t),這是因為因此,單位脈衝函數(shù)d(t)在卷積運算中起著類似數(shù)的運算中的1的作用.100在近世代數(shù)中,代數(shù)(algebra)一詞表示兩個元素到一個元素的映射規(guī)則.比如數(shù)的加減乘除,向量的加,內積,矩陣的加和乘,向量或者矩陣乘數(shù),等等,都是代數(shù)運算.

如果一個代數(shù)運算滿足類似加法的性質,如有0元素,有負元素,滿足交換律和結合律,則相應的集合叫做加法群,簡稱群.

如果在加法群上再定義一個被稱作乘法的運算,滿足交換律和結合律,有1元素,且同相應的加法運算滿足分配律,此集合就叫做乘法環(huán),簡稱環(huán).

如果乘法除0元素外都有逆,則被稱作域了.101例2若求f1(t)*f2(t)f1(t)1OttOf2(t-t)1t102由卷積的定義有tO1-e-t1103卷積定理假定f1(t),f2(t)都滿足傅氏積分定理中的條件,如

f1(t)

F1(w)

f2(t)

F2(w)

則

f1(t)

*

f2(t)

F1(w)F2(w)

以及104證按傅氏變換的定義,有105相關函數(shù)

對兩個不同的函數(shù)f1(t)和f2(t),則積分稱為兩個函數(shù)的互相關函數(shù),記為R12(t),即106當f1(t)=f2(t)=f(t)時,積分稱為f(t)的自相關函數(shù)(簡稱相關函數(shù)).用記號R(t)表示,即107根據(jù)R(t)的定義,自相關函數(shù)是一個偶函數(shù),

R(-t)=R(t)

事實上,令t=u+t,可得關於互相關函數(shù),有如下的性質:

R21(t)=R12(-t)108前面已經證明過令f1(t)=f(t),f2(t)=f(t+t),設f(t)

F(w),則109假設f1(t)

F1(w),f2(t)F2(w),稱

S12(w)=F1(w)F2(w)為互能量譜密度.則即R12(t)

S12(w),且易證S21(w)=S12(w)110例3求指數(shù)衰減函數(shù)的自相關函數(shù)和能量譜密度tOf(t)1tOf(t+t)1tOf(t+t)1-t-t111當t>0時,積分區(qū)間為[0,+)當t<0時,積分區(qū)間為[-t,+)112因此,當

<t<時,自相關函數(shù)可合寫為並求得能量譜密度為113例4利用傅氏變換的性質,求d(t-t0),114例5若f(t)=cosw0t

u(t),求F[f(t)]115例6若F(w)=F[f(t)],證明116奈奎斯特採樣率117假設時間函數(shù)f(t)在區(qū)間[-a,a]之外全為零,並假設f(t)

F(w)tOf(t)a-aOwF(w)118現(xiàn)將f(t)進行週期化,產生fT(t),T=2a,然後用傅氏級數(shù)表示.tOfT(t)a-a119tOfT(t)a-aOwFT(w)w1w2...120根據(jù)對稱原理有FT(t)2pfT(-w)OtFT(t)i1t2...wOfT(-w)a-a121假設時間函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)F(w)在

[-2pB,2pB]之外為0.B稱為f(t)的帶寬.wOF(w)2pB-2pBOtf(t)122現(xiàn)對f(t)進行間隔為Dt的採樣得g(t)123如圖所示:Oti1t2...wOG(w)Dw/2g(t)-Dw/2124125拉普拉斯變換126對於一個函數(shù)j(t),有可能因為不滿足傅氏變換的條件,因而不存在傅氏變換.

因此,首先將j(t)乘上u(t),這樣t小於零的部分的函數(shù)值就都等於0了.

而大家知道在各種函數(shù)中,指數(shù)函數(shù)ebt(b>0)的上升速度是最快的了,因而e-bt下降的速度也是最快的.

因此,幾乎所有的實用函數(shù)j(t)乘上u(t)再乘上e-bt後得到的j(t)u(t)e-bt傅氏變換都存在127tf(t)Otf(t)u(t)e-btO128對函數(shù)j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏變換,可得129定義設函數(shù)f(t)當t0時有定義,而且積分在s的某一域內收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為稱此式為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換式(簡稱拉氏變換式),記為

F(s)=L[f(t)]F(s)稱為f(t)的拉氏變換(或稱為象函數(shù)).而f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換(或象原函數(shù))記為

f(t)=L

-1[F(s)]也可記為f(t)

F(s).130例1求單位階躍函數(shù)根據(jù)拉氏變換的定義,有這個積分在Re(s)>0時收斂,而且有131例2求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt的拉氏變換(k為實數(shù)).

根據(jù)(2.1)式,有這個積分在Re(s)>k時收斂,而且有其實k為複數(shù)時上式也成立,只是收斂區(qū)間為Re(s)>Re(k)132拉氏變換的存在定理若函數(shù)f(t)滿足:

1,在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)

2,當t

時,f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<

則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的積分在Re(s)

c1>c上絕對收斂而且一致收斂,並且在Re(s)>c的半平面內,F(s)為解析函數(shù).133MMectf(t)tO134證由條件2可知,對於任何t值(0

t<),有

|f(t)e-st|=|f(t)|e-bt

Me-(b-c)t,Re(s)=b,

若令b-c

e>0(即b

c+e=c1>c),則

|f(t)e-st|Me-et.

所以根據(jù)含參量廣義積分的性質可知,在Re(s)

c1>c上拉氏變換的積分不僅絕對收斂而且一致收斂.135在(2.1)式的積分號內對s求導,則由此可見,上式右端的積分在半平面Re(s)

c1>c內也是絕對收斂且一致收斂,從而微分與積分可以交換136因此得這就表明,F(s)在Re(s)>c內是可微的.根據(jù)複變函數(shù)的解析函數(shù)理論可知,F(s)在Re(s)>c內是解析的.137例3求f(t)=sinkt(k為實數(shù))的拉氏變換138同理可得139