北師大版 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)1.1 等腰三角形課件（共42張）

第一章三角形的證明1等腰三角形第一章三角形的證明1等腰三角形考場(chǎng)對(duì)接題型一運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行證明例題1[吉安中考]已知：如圖1-1-12,在四邊形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E．求證：(1)△BFC≌△DFC；(2)AD=DE.考場(chǎng)對(duì)接證明

(1)∵CF平分∠BCD,∴∠BCF=∠DCF．在△BFC和△DFC中,∵BC=DC,∠BCF=∠DCF,FC=FC,∴△BFC≌△DFC．(2)如圖1-1-12,連接BD．∵△BFC≌△DFC,∴BF=DF,∴∠FBD=∠FDB．∵DF∥AB,∴∠ABD=∠FDB,∴∠ABD=∠FBD．∵AD∥BC,∴∠BDA=∠DBC．∵BC=DC,∴∠DBC=∠BDC,∴∠BDA=∠BDC．又∵BD=BD,∴△BAD≌△BED．∴AD=DE.錦囊妙計(jì)證明兩邊相等的方法一是證明兩邊所在的兩個(gè)三角形全等；二是證明一個(gè)三角形中的兩角相等.題型二運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)證明線段相等例題2如圖1-1-13,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,將一塊等腰直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處,三角尺的兩直角邊分別交AC,BC于D,E兩點(diǎn).線段PD與PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.解

PD=PE．理由如下：連接CP.∵△ABC是等腰直角三角形,P是AB的中點(diǎn),∴CP=BP,CP⊥AB,∠ACP=∠ACB=45°．又∵∠A=∠B=45°,∴∠ACP=∠B.∵PD⊥PE,CP⊥AB,∴∠DPC+∠CPE=∠EPB+∠CPE=90°,∴∠DPC=∠EPB,∴△PCD≌△PBE,∴PD=PE．錦囊妙計(jì)證明線段相等的方法(1)證明其所在的兩個(gè)三角形全等；(2)若要證明的兩條線段在同一個(gè)三角形中,則可證明所在三角形中所對(duì)的兩個(gè)角相等；(3)借助等腰三角形三線合一的性質(zhì).有關(guān)等腰三角形問(wèn)題常用的添加輔助線的方法：作底邊上的高或底邊上的中線或頂角的平分線.題型三運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行角度計(jì)算例題3在如圖1-1-14,AB∥CD,△EFG的頂點(diǎn)F,G分別落在直線AB,CD上,GE交AB于點(diǎn)H,HE=HF.若∠E=25°,∠FGC=62°,求∠FGH的度數(shù).解

∵HE=HF,∠E=25°,∴∠EFH=∠E=25°,∴∠FHG=∠E+∠EFH=50°.∵AB∥CD,∴∠HFG=∠FGC=62°,∴∠FGH=180°-∠FHG-∠HFG=180°-50°-62°=68°.錦囊妙計(jì)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)求角度的關(guān)鍵運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行角度計(jì)算時(shí),常應(yīng)用三角形的內(nèi)角和定理和外角、內(nèi)角的關(guān)系,通過(guò)等腰三角形的兩底角相等聯(lián)系在一起,再列方程求解.題型四與等邊三角形有關(guān)的計(jì)算、證明例題4如圖1-1-15,△ABC是等邊三角形,D,E,F分別是線段AB,BC,AC上的點(diǎn).(1)若AD=BE=CF,則△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論；(2)若△DEF是等邊三角形,則AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結(jié)論．解

(1)△DEF是等邊三角形.證明如下：∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C,AB=BC=AC.又∵AD=BE=CF,∴DB=EC=FA,∴△ADF≌△BED≌△CFE,∴DF=ED=FE,∴△DEF是等邊三角形.(2)AD=BE=CF成立.證明如下：如圖1-1-15,∵△DEF是等邊三角形,∴DF=ED=FE,∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°,∴∠1+∠2=120°.∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∴∠2+∠3=120°,∴∠1=∠3,同理∠3=∠4,∴△ADF≌△BED≌△CFE,∴AD=BE=CF．錦囊妙計(jì)等邊三角形的判定方法(1)定義法；(2)先證三角形是等腰三角形,再證有一個(gè)角為60°；(3)證三個(gè)角相等.題型五含30°角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用例題5綜合實(shí)踐課上,小華所在小組要測(cè)量護(hù)城河的寬度.圖1-1-16是護(hù)城河的一段,兩岸AB∥CD,EF⊥CD于點(diǎn)F.他們先用測(cè)角儀在河岸CD的M處測(cè)得∠α=30°,然后沿河岸走30m到達(dá)點(diǎn)N,測(cè)得∠β=60°.你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)幫小華他們算出河寬EF嗎？(結(jié)果保留根號(hào))解∵∠MEN=∠β－∠α=60°－30°=30°,∴∠α=∠MEN,∴EN=MN=30m.在Rt△ENF中,∵∠EFN=90°,∠β=60°,∴∠NEF=30°,∴NF=EN=×30=15(m),錦囊妙計(jì)利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解題利用“在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”解題的關(guān)鍵是設(shè)法尋找含有30°角的直角三角形.方法一般有兩種：一是通過(guò)作垂線段構(gòu)造；二是證明角的度數(shù)是90°.題型六反證法的運(yùn)用例題6求證：在一個(gè)三角形中,至少有兩個(gè)內(nèi)角是銳角.證明

(1)假設(shè)△ABC中只有一個(gè)內(nèi)角是銳角,不妨設(shè)∠A＜90°,∠B≥90°,∠C≥90°,于是,∠A+∠B+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾；(2)假設(shè)△ABC中沒(méi)有內(nèi)角是銳角,即∠A≥90°,∠B≥90°,∠C≥90°,于是,∠A+∠B+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾．所以假設(shè)不成立,則原結(jié)論是正確的．錦囊妙計(jì)用反證法證明命題的策略(1)用反證法證明命題時(shí),原結(jié)論的反面一定要找準(zhǔn)確、全面；(2)用反證法證明命題時(shí),一定要注意步驟：先進(jìn)行合理的假設(shè),再推出矛盾,最后得出結(jié)論；(3)用反證法證明與平面幾何有關(guān)的命題時(shí),一般先根據(jù)命題寫(xiě)出已知、求證,并畫(huà)出相應(yīng)的圖形,再證明.題型七與等腰三角形有關(guān)的分類(lèi)討論題例題7如果一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4cm,另一邊長(zhǎng)為5cm,那么它的周長(zhǎng)為().A．14cm B．13cmC．14cm或13cm D．無(wú)法計(jì)算分析分為兩種情況：①底邊長(zhǎng)為4cm,腰長(zhǎng)為5cm；②底邊長(zhǎng)為5cm,腰長(zhǎng)為4cm.具體的解答過(guò)程如下：∵等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm和5cm,∴應(yīng)分為兩種情況：①當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為4cm,腰長(zhǎng)為5cm時(shí)，三角形的周長(zhǎng)4+5+5=14(cm)；②當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為5cm，腰長(zhǎng)為4cm時(shí),三角形的周長(zhǎng)5+4+4=13(cm),∴它的周長(zhǎng)是14cm或13cm.故選C．答案

C例題8已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°,則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為().A．40° B．100°C．40°或100° D．50°或70°答案

C分析如圖1-1-17,在△ABC中,AB=AC.有兩種情況：①頂角∠A=40°(如圖①)；②底角是40°(如圖②),∵AB=AC,∴∠B=∠C=40°.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=180°-40°-40°=100°.綜上可知,這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為40°或100°.故選C.錦囊妙計(jì)等腰三角形中常見(jiàn)的分類(lèi)討論問(wèn)題(1)當(dāng)腰和底邊不能確定時(shí),必須進(jìn)行分類(lèi)討論.(2)當(dāng)頂角和底角不能確定時(shí),必須進(jìn)行分類(lèi)討論.(3)當(dāng)高的位置不能確定時(shí),必須進(jìn)行分類(lèi)討論.(4)由腰上的中線引起的分類(lèi)討論.題型八等腰三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例題9如圖1-1-18,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B,C重合),連接AD,作∠ADE=40°,DE交線段AC于點(diǎn)E．(1)當(dāng)∠BDA=115°時(shí),∠BAD=_______°,點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠BDA逐漸變______(填“大”或“小”)；(2)當(dāng)DC等于多少時(shí),△ABD≌△DCE？請(qǐng)說(shuō)明△ABD≌△DCE的理由；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△ADE的形狀也在改變.當(dāng)∠BDA等于多少度時(shí),△ADE是等腰三角形？解

(1)25小(2)當(dāng)△ABD≌△DCE時(shí),DC=AB.∵AB=2,∴DC=2,∴當(dāng)DC等于2時(shí),△ABD≌△DCE.理由如下：∵∠ABD=40°,∠ADE=40°,∴∠BAD+∠BDA=140°,∠CDE+∠BDA=140°,∴∠BAD=∠CDE.∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△ABD和△DCE中,∵∠B=∠C,AB=DC,∠BAD=∠CDE,∴△ABD≌△DCE.(3)∵AB=AC,∴∠C=∠B=40°.①當(dāng)AD=AE時(shí),∠AED=∠ADE=40°.∵∠AED是△DCE的一個(gè)外角,∴∠AED>∠C=40°,∴此時(shí)不符合題意；②當(dāng)DA=DE時(shí),∠DAE=∠DEA=×(180°-40°)=70°,∴∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°；③當(dāng)EA=ED時(shí),