高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（新人教A專(zhuān)用）第11講 分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（教師卷）

第11講分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【【考點(diǎn)目錄】【【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理①定義：完成一件事有兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.②拓展：完成一件事，如果有n類(lèi)方案，且：第1類(lèi)方案中有m1種不同的方法，第2類(lèi)方案中有m2種不同的方法，…，第n類(lèi)方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理①定義：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.②拓展：完成一件事，如果需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.知識(shí)點(diǎn)2解答計(jì)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的總體思路根據(jù)完成事件所需的過(guò)程，對(duì)事件進(jìn)行整體分類(lèi)，確定可分為幾大類(lèi)，整體分類(lèi)以后，再確定在每類(lèi)中完成事件要分幾個(gè)步驟，這些問(wèn)題都弄清楚了，就可以根據(jù)兩個(gè)基本原理解決問(wèn)題了.此外，還要掌握一些非常規(guī)計(jì)數(shù)方法，如：①枚舉法：將各種情況一一列舉出來(lái)，它適用于種數(shù)較少且計(jì)數(shù)對(duì)象不規(guī)律的情況；②轉(zhuǎn)換法：轉(zhuǎn)換問(wèn)題的角度或轉(zhuǎn)換成其他已知問(wèn)題；③間接法：若用直接法比較復(fù)雜，難以計(jì)數(shù)，則可考慮利用正難則反的策略，先計(jì)算其反面情形，再用總數(shù)減去即得.【【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理1．（2023春·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某校開(kāi)設(shè)A類(lèi)選修課4門(mén),B類(lèi)選修課3門(mén),一同學(xué)從中選1門(mén),則該同學(xué)的不同選法共有（

）A．7種 B．12種 C．4種 D．3種【答案】A【分析】根據(jù)題意求出所有的可能性即可選出結(jié)果.【詳解】解:由題知某校開(kāi)設(shè)A類(lèi)選修課4門(mén),B類(lèi)選修課3門(mén),共7門(mén),故該同學(xué)的不同選法共有7種.故選:A2．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某高中為高一學(xué)生提供四門(mén)課外選修課：數(shù)學(xué)史?物理模型化思維?英語(yǔ)經(jīng)典閱讀?《紅樓夢(mèng)》人物角色分析.要求每個(gè)學(xué)生選且只能選一門(mén)課程.若甲只選英語(yǔ)經(jīng)典閱讀，乙只選數(shù)學(xué)史或物理模型化思維，學(xué)生丙?丁任意選，這四名學(xué)生選擇后，恰好選了其中三門(mén)課程，則他們選課方式的可能情況有___________種.【答案】20【分析】分類(lèi)討論乙的選擇，在不同情況下，結(jié)合條件限制，考慮丙丁的選擇，即可求得結(jié)果.【詳解】若乙選數(shù)學(xué)史：丙若選數(shù)學(xué)史，則丁有2種選法；丙若選物理模型化思維，則丁有3種選法；丙若選英語(yǔ)經(jīng)典閱讀，則丁有2種選法；丙若選《紅樓夢(mèng)》人物角色分析，則丁有3種選法，共10種，若乙選物理模型化思維，同理有10種.故共有20種.故答案為：.3．（2023春·遼寧葫蘆島·高二校聯(lián)考期中）某學(xué)校開(kāi)設(shè)4門(mén)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)課程、5門(mén)田徑類(lèi)運(yùn)動(dòng)課程和2門(mén)水上運(yùn)動(dòng)課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門(mén)課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（

）A．40種 B．20種 C．15種 D．11種【答案】D【分析】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，即可得到答案.【詳解】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有種．故選：D4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱(chēng)為“六合數(shù)”（如2130是“六合數(shù)”），則其中首位為2的“六合數(shù)”共有（

）．A．18個(gè) B．15個(gè) C．12個(gè) D．9個(gè)【答案】B【分析】首位數(shù)字是2，則后三位數(shù)字之和為4，然后分類(lèi)排列即可求解.【詳解】由題知后三位數(shù)字之和為4，當(dāng)一個(gè)位置為4時(shí)有004，040，400，共3個(gè)；當(dāng)兩個(gè)位置和為4時(shí)有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9個(gè)；當(dāng)三個(gè)位置和為4時(shí)112，121，211，共3個(gè)，所以一共有15個(gè).故選：B5．（2023春·上海嘉定·高二?？计谥校┮阎猘，b∈{0，1，2，…，9}，若滿(mǎn)足|a－b|≤1，則稱(chēng)a，b“心有靈犀”．則a，b“心有靈犀”的情形共有_______．【答案】28種【分析】根據(jù)新定義，分析取不同的值時(shí)，取值的個(gè)數(shù)，即可得解.【詳解】當(dāng)a為0時(shí)，b只能取0，1兩個(gè)數(shù)；當(dāng)a為9時(shí)，b只能取8，9兩個(gè)數(shù)；當(dāng)a為其它數(shù)時(shí)，b都可以取三個(gè)數(shù)，例如時(shí)，可取.綜上，一共有種情形.故答案為：28種6．（2023·高二單元測(cè)試）若一個(gè)、均為非負(fù)整數(shù)的有序數(shù)對(duì)，在做的加法時(shí)，各位均不進(jìn)位，則稱(chēng)為“簡(jiǎn)單的有序?qū)崝?shù)對(duì)”，稱(chēng)為有序?qū)崝?shù)對(duì)之值，則值為2004的“簡(jiǎn)單的有序?qū)崝?shù)對(duì)”的個(gè)數(shù)是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】B【分析】根據(jù)定義，列舉出所有的情況，即可求解.【詳解】因?yàn)樵谧龅募臃〞r(shí)，各位均不進(jìn)位則稱(chēng)為“簡(jiǎn)單的有序?qū)崝?shù)”，稱(chēng)為有序?qū)崝?shù)對(duì)之值，其中m、n均為非負(fù)整數(shù)，所以值為2004的“簡(jiǎn)單的有序?qū)崝?shù)對(duì)”可能為(0，2004)，(1，2003)，(2，2002)，(3，2001)，(4，2000)；(2004，0)，(2003，1)，(2002，2)，(2001，3)，(2000，4)；(1000，1004)，(1001，1003)，(1002，1002)；(1003，1001)，(1004，1000)共15種.故選：B.7．（2023秋·浙江杭州·高二杭州四中?？计谥校┤鐖D所示，玩具計(jì)數(shù)算盤(pán)的三檔上各有7個(gè)算珠，現(xiàn)將每檔算珠分為左右兩部分，左側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)2，右側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)1（允許一側(cè)無(wú)珠），記上、中、下三檔的數(shù)字和分別為.若成等差數(shù)列，則不同的分珠計(jì)數(shù)法有________種.【答案】32【分析】先確定的范圍，再按照公差分類(lèi)計(jì)算【詳解】解：根據(jù)題意，，，的取值范圍都是中的8個(gè)整數(shù)，故公差的范圍是到3的整數(shù)，①當(dāng)公差時(shí)，從8個(gè)整數(shù)中選擇一個(gè)共有種，②當(dāng)公差時(shí)，不取7和14，有種，③當(dāng)公差時(shí)，不取7，8，13，14，有種，④當(dāng)公差時(shí)，只能取10或11，有種，綜上共有種，故答案為：32考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理8．（2023秋·山東聊城·高二山東聊城一中?？计谥校┤珖?guó)中學(xué)生學(xué)科競(jìng)賽包含數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息5個(gè)學(xué)科，4名同學(xué)欲報(bào)名參賽，每人必選且只能選擇1個(gè)學(xué)科參加競(jìng)賽，則不同的報(bào)名方法種數(shù)是_______________．【答案】625【分析】利用分步乘法有理求不同的報(bào)名方法種數(shù)即可.【詳解】由已知第一位同學(xué)的報(bào)名方法有5種，第二名同學(xué)的報(bào)名方法有5種，第三名同學(xué)的報(bào)名方法有5種，第四名同學(xué)的報(bào)名方法有5種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得4名同學(xué)的不同的報(bào)名方法種數(shù)是種，即625種，故答案為：625.9．（2023秋·上海閔行·高二?？计谀┈F(xiàn)有5名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是（

）A． B． C．20 D．9【答案】A【分析】將此事分為5步，每一步均為1名同學(xué)選擇講座，后由分步計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】將完成此事分為5步.第1步為第一名同學(xué)完成選擇，有4種方法；第2步為第二名同學(xué)完成選擇，有4種方法；；第5步為第五名同學(xué)完成選擇，有4種方法.則由分步計(jì)數(shù)原理可知，不同選法的種數(shù)位為：.故選：A10．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高二同澤高中?？茧A段練習(xí)）將4封信投入3個(gè)不同郵筒，且4封信全部投完，不同的投法有______種【答案】81【分析】由題可知每一封信有3種投法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即得.【詳解】根據(jù)題意，將4封信投入3個(gè)不同郵筒，每一封信有3種投法，所以將4封信投入3個(gè)不同郵筒，且4封信全部投完，不同的投法有種.故答案為：81.11．（2023秋·福建·高二福建師大附中校考期中）四名師范生從A，B，C三所學(xué)校中任選一所進(jìn)行教學(xué)實(shí)習(xí)，其中A學(xué)校必有師范生去，則不同的選法方案有（

）A．37種 B．65種 C．96種 D．108種【答案】B【分析】可從反面考慮，計(jì)算A學(xué)校沒(méi)有人去的種數(shù).【詳解】若不考慮限制條件，每人都有3種選擇，則共有種方法，若沒(méi)有人去A學(xué)校，每人都有2種選擇，則共有種方法，故不同的選法方案有種.故選:B.12．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高二同澤高中?？茧A段練習(xí)）為了豐富學(xué)生的課余生活，某學(xué)校開(kāi)設(shè)了籃球、書(shū)法、美術(shù)、吉他、舞蹈、擊劍共六門(mén)活動(dòng)課程，甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門(mén)活動(dòng)課程參加，則這3名學(xué)生所選活動(dòng)課程不全相同的選法有______種【答案】210【分析】根據(jù)題意先求出甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門(mén)活動(dòng)課程參加，共有多少種情況，減去所選活動(dòng)課程完全相同的選法種數(shù)，可得答案【詳解】甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門(mén)活動(dòng)課程參加各有6種選法，共有種選法，其中甲、乙、丙3名同學(xué)所選活動(dòng)課程完全相同的選法共6種，則這3名學(xué)生所選活動(dòng)課程不全相同的選法有種，故答案為：考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合實(shí)際問(wèn)題的計(jì)數(shù)問(wèn)題13．（2023秋·河北·高二河北省文安縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，要讓電路從A處到B處接通，不同的路徑條數(shù)為（

）A．5 B．7 C．8 D．12【答案】C【分析】根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】要讓電路從A處到B處接通，不同的路徑條數(shù)為．故選：C．14．（2023秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期中）如圖，從甲村到乙村有3條路可走，從乙村到丙村有2條路可走，從甲村不經(jīng)過(guò)乙村到丙村有2條路可走，則從甲村到丙村的走法種數(shù)為（

）A．3 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)已知條件及分步乘法計(jì)數(shù)原理，再結(jié)合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】由圖可知，從甲村直接到到丙村的走法有種，從甲村到乙村再到丙村的走法有種，所以從甲村到丙村的走法共有種.故選:D.15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）三個(gè)人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開(kāi)始踢，經(jīng)過(guò)4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有______種．【答案】6【分析】根據(jù)題設(shè)列舉出傳遞過(guò)程中中間三人的可能情況即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，若三人為甲、乙、丙，傳遞過(guò)程如下：其中①③一定不會(huì)為甲，中間三人的可能情況為：{乙，丙，乙}、{丙，乙，丙}、{乙，甲，乙}、{乙，甲，丙}、{丙，甲，丙}、{丙，甲，乙}，共6種情況.故答案為：616．【多選】（2023秋·河北石家莊·高二校考階段練習(xí)）如圖，線路從到之間有五個(gè)連接點(diǎn)，若連接點(diǎn)斷開(kāi)，可能導(dǎo)致線路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)之間線路不通，則下列判斷正確的是（

）A．至多三個(gè)斷點(diǎn)的有種 B．至多三個(gè)斷點(diǎn)的有種C．共有種 D．共有種【答案】AC【分析】分五種情況分別討論求解可得出.【詳解】若有1個(gè)斷點(diǎn)，則1,5中斷開(kāi)1個(gè)，有2種情況；若有2個(gè)斷點(diǎn)，則1,5都斷開(kāi)有1種；1,5斷開(kāi)1個(gè)，2,3,4斷開(kāi)1個(gè)有種，共種情況；若有3個(gè)斷點(diǎn)，則2,3,4斷開(kāi)有1種；1,5都斷開(kāi)，2,3,4斷開(kāi)1個(gè)有3種；1,5斷開(kāi)1個(gè)，2,3,4斷開(kāi)2個(gè)有種，共種；若有4個(gè)斷點(diǎn)，則1,5都斷開(kāi)，2,3,4斷開(kāi)2個(gè)有3種；1,5斷開(kāi)1個(gè)，2,3,4都斷開(kāi)有2種，共有種；若有5個(gè)斷點(diǎn)，有1種情況.綜上，至多三個(gè)斷點(diǎn)的有種，故A正確，B錯(cuò)誤；所有情況共有種，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題17．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，其中一個(gè)作為底數(shù)，另一個(gè)作為真數(shù)，則可以得到不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（

）A．64 B．56 C．53 D．51【答案】C【分析】按所取的兩個(gè)數(shù)字中有數(shù)字1和沒(méi)有數(shù)字1分別計(jì)算對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)，再去掉對(duì)數(shù)值相等的個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】由于1只能作為真數(shù)，則以1為真數(shù)，從其余各數(shù)中任取一數(shù)為底數(shù)，對(duì)數(shù)值均為0，從除1外的其余各數(shù)中任取兩數(shù)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，共能組成個(gè)對(duì)數(shù)式，其中，，，，，重復(fù)了4次，所以得到不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為.故選：C18．【多選】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知集合M={1，-2，3}，N={-4，5，6，-7}，從M，N這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別記作a，b．則下列說(shuō)法正確的有（

）A．表示不同的正數(shù)的個(gè)數(shù)是6B．表示不同的比1小的數(shù)的個(gè)數(shù)是6C．（a，b）表示x軸上方不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6D．（a，b）表示y軸右側(cè)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6【答案】BC【分析】對(duì)于四個(gè)選項(xiàng)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題，分別用分類(lèi)、分步計(jì)數(shù)法表示，并排除重復(fù)情況即得解【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若a，b均為正，共有2×2=4個(gè)，若a，b均為負(fù)，共有1×2=2個(gè)，但，所以共有5個(gè)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，若為正，顯然均比1大，所以只需為負(fù)即可，共有2×2+1×2=6個(gè)，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，要使（a，b）表示x軸上方的點(diǎn)，只需b為正即可，共有2×3=6個(gè)，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，要使（a，b）表示y軸右側(cè)的點(diǎn)，只需a為正即可，共有2×4=8個(gè)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于自然數(shù)作豎式運(yùn)算時(shí)不進(jìn)位，那么稱(chēng)是“良數(shù)”，如32是“良數(shù)”，由于計(jì)算時(shí)不進(jìn)位，23是“良數(shù)”，由于計(jì)算時(shí)要進(jìn)位，那么小于1000的“良數(shù)”有A．36個(gè) B．39個(gè) C．48個(gè) D．64個(gè)【答案】C【詳解】如果是良數(shù)，則的個(gè)位數(shù)字只能是，非個(gè)位數(shù)字只能是（首位不為），而小于的數(shù)至多三位，一位的良數(shù)有，共個(gè)，二位良數(shù)個(gè)位可取，十位可取，共有個(gè)，三位良數(shù)個(gè)位可取，十位可取，百位可取，共有，綜上，小于“良數(shù)”的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選C.幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題20．（2023秋·全國(guó)·高二期末）從正十五邊形的頂點(diǎn)中選出3個(gè)構(gòu)成鈍角三角形，則不同的選法有（

）.A．105種 B．225種 C．315種 D．420種【答案】C【分析】首先選取一個(gè)點(diǎn)作為鈍角頂點(diǎn)，并該點(diǎn)與圓心連線將其余14個(gè)頂點(diǎn)分成左右各7個(gè)：在左側(cè)選取一個(gè)點(diǎn)作為第二頂點(diǎn)，依次選取右側(cè)7個(gè)點(diǎn)作為第三頂點(diǎn)判斷三角形形狀，依此步驟即可得當(dāng)前鈍角頂點(diǎn)下的鈍角三角形個(gè)數(shù)，最后乘以15即可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，以A為鈍角頂點(diǎn)，在直徑的左邊取點(diǎn)，右邊依次取，得到6個(gè)鈍角三角形，當(dāng)取時(shí)，△為銳角三角形；同理，直徑的左邊取點(diǎn)，右邊依次取，得到5個(gè)鈍角三角形，當(dāng)取，時(shí)，△、△為銳角三角形；……在直徑的左邊取點(diǎn)時(shí)，得到一個(gè)鈍角△，在直徑的左邊取點(diǎn)時(shí)，沒(méi)有鈍角三角形.故以A為鈍角頂點(diǎn)的三角形共有（個(gè)）.以其余14個(gè)點(diǎn)為鈍角頂點(diǎn)的三角形也各有21個(gè)，所以總共有（個(gè)）鈍角三角形.故選：C21．（2023秋·全國(guó)·高二期末）過(guò)三棱柱中任意兩個(gè)頂點(diǎn)連線作直線，在所有這些直線連線中構(gòu)成異面直線的對(duì)數(shù)為（

）A．18 B．30 C．36 D．54【答案】C【解析】根據(jù)題意，分棱柱側(cè)棱與底面邊、棱柱側(cè)棱與側(cè)面對(duì)角線、底面邊與側(cè)面對(duì)角線、底面邊與底面邊、側(cè)面對(duì)角線與側(cè)面對(duì)角線五類(lèi)依次計(jì)數(shù)即可得答案.【詳解】解：如圖，分以下幾類(lèi)：棱柱側(cè)棱與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有：對(duì)；棱柱側(cè)棱與側(cè)面對(duì)角線之間所構(gòu)成的異面直線有：對(duì)；底面邊與側(cè)面對(duì)角線之間所構(gòu)成的異面直線有：對(duì)；底面邊與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有：對(duì)；側(cè)面對(duì)角線與側(cè)面對(duì)角線之間所構(gòu)成的異面直線有：對(duì)；所以共有對(duì).故選：C.22．（2023秋·全國(guó)·高二期末）從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（

）.A．20種 B．16種 C．12種 D．8種【答案】C【分析】正方體共有條棱，每條棱對(duì)應(yīng)兩個(gè)相鄰面，與這兩個(gè)面不都相鄰的面有個(gè)共有組，再考慮重復(fù)情況得到答案.【詳解】正方體共有條棱，每條棱對(duì)應(yīng)兩個(gè)相鄰面，與這兩個(gè)面不都相鄰的面有個(gè)共有組，每組中包含兩條棱，故有故選：23．（2023秋·山東聊城·高二?？计谥校恼襟w六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中相互平行或相互垂直的有（

）A．24對(duì) B．16對(duì) C．18對(duì) D．48對(duì)【答案】C【分析】考慮相對(duì)面的相互平行或相互垂直的情況即可，相對(duì)面中，相互平行的有2對(duì)，相互垂直的4對(duì).【詳解】從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，相互平行或相互垂直，則考慮相對(duì)面的相互平行或相互垂直的情況即可.相對(duì)面中，相互平行的有2對(duì)，相互垂直的4對(duì)，共6對(duì)，正方體有三組相對(duì)面，故3×6=18，故選C24．（2023春·上海寶山·高二上海交大附中校考期中）正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，選取4個(gè)共面的頂點(diǎn)，有______種不同選法【答案】12【分析】正方體的側(cè)棱出發(fā)找到與之共面的2個(gè)頂點(diǎn)，確定共面的情況數(shù)，注意重復(fù)計(jì)數(shù)的情況.【詳解】從任意一個(gè)側(cè)棱出發(fā)，其它6個(gè)頂點(diǎn)中任選2個(gè)點(diǎn)都有3種共面的情況，所以，所有共面的情況有種，而每條棱均重復(fù)計(jì)數(shù)一次，綜上，正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，選取4個(gè)共面的頂點(diǎn)，有種.故答案為：12數(shù)字排列問(wèn)題25．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知集合，，從A中取一個(gè)數(shù)作為十位數(shù)字，從B中取一個(gè)數(shù)作為個(gè)位數(shù)字，能組成______個(gè)不同的兩位數(shù)，能組成______個(gè)十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)．【答案】

20

10【分析】根據(jù)分步乘法和分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】①?gòu)腁中取一個(gè)數(shù)作為十位數(shù)字，有4種不同的取法，從B中取一個(gè)數(shù)作為個(gè)位數(shù)字，有5種不同的取法．由乘法原理可知，能組成4×5＝20個(gè)不同的兩位數(shù)．②要組成十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)，可分如下情況：當(dāng)個(gè)位數(shù)字為9時(shí)，十位上的數(shù)字有4種取法，能組成4個(gè)十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為7時(shí)，十位上的數(shù)字有3種取法，能組成3個(gè)十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為5時(shí)，十位上的數(shù)字有2種取法，能組成2個(gè)十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為3時(shí)，十位上的數(shù)字有1種取法，能組成1個(gè)十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)．所以組成的十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)有1＋2＋3＋4＝10個(gè)．故答案為：20，10．26．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）由2、3、5、7組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求：(1)這些數(shù)的數(shù)字和；(2)這些數(shù)的和．【答案】(1)408(2)113322【分析】（1）根據(jù)分步乘法原理計(jì)算所有的四位數(shù)，進(jìn)而可得這24個(gè)數(shù)的數(shù)字之和，（2）確定24個(gè)數(shù)中，每個(gè)數(shù)位上2，3，5，7出現(xiàn)的次數(shù)，進(jìn)而可求這些數(shù)的和,（1）共可組成4×3×2×1＝24個(gè)四位數(shù)，這24個(gè)四位數(shù)的數(shù)字和為．（2）這24個(gè)四位數(shù)中，數(shù)字2在千位的有3×2×1＝6個(gè)，同樣，3、5、7在千位的各有6個(gè)．同理，2、3、5、7在百位、十位、個(gè)位各出現(xiàn)6次．所以所有數(shù)之和為27．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）由0、1、2、3、4、5這6個(gè)數(shù)字可以組成______個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).【答案】52【分析】由特殊位置法與特殊元素法分類(lèi)討論，利用分類(lèi)與分步計(jì)數(shù)原理即可解決.【詳解】根據(jù)題意，對(duì)該沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，第一類(lèi)：0在個(gè)位數(shù)時(shí)，先填百位，有5種方法，再填十位，有4種方法，故能組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)；第二類(lèi)，0不在個(gè)位數(shù)時(shí)，先填個(gè)位，只有2、4兩種方法，再填百位，0不能在此位，故有4種方法，最后填十位，有4種方法，故能組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)；綜上，一共可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).故答案為：52.涂色問(wèn)題28．（2023春·遼寧葫蘆島·高二校聯(lián)考期中）如圖，提供4種不同的顏色給圖中，，，四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有___________種．【答案】48【分析】先對(duì)區(qū)域涂色，再對(duì)區(qū)域涂色，再對(duì)區(qū)域涂色，最后對(duì)區(qū)域涂色，再根據(jù)分步乘法原理可得答案．【詳解】先對(duì)區(qū)域涂色，共有4種不同的涂法，再對(duì)區(qū)域涂色，共有3種不同的涂法，再對(duì)區(qū)域涂色，共有2種不同的涂法，最后對(duì)區(qū)域涂色，共有2種不同的涂法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，則不同的涂法共有種，故答案為：48.29．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二中校考期中）如圖所示的五個(gè)區(qū)城中，現(xiàn)要求在五個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)城所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為_(kāi)_______（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】利用分步乘法及分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】設(shè)這四個(gè)顏色分別為，先給區(qū)域涂色，有種涂法；假設(shè)區(qū)域涂的是顏色1，再給區(qū)域涂色，可以是顏色,有種涂法;假設(shè)區(qū)域涂的是顏色，再給區(qū)域涂色，可以是顏色，有種涂法;假設(shè)區(qū)域涂的是顏色，如果區(qū)域涂的是顏色，則區(qū)域可以涂顏色或顏色，有種涂法;如果區(qū)域涂的是顏色4,那么區(qū)域可以涂顏色，有1種涂法.所以不同的涂色方法種數(shù)為(種)故答案為：.30．（2023春·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.【詳解】對(duì)于①②③，兩兩相鄰，依次用不同顏色涂，共有種涂色方法，對(duì)于④，與②③相鄰，但與①相隔，此時(shí)可用剩下的一種顏色或者與①同色，共2種涂色方法，則由分步乘法計(jì)數(shù)原理得種不同的涂色方法.故選:C31．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分，如圖所示．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（

）．A．80種 B．120種 C．160種 D．240種【答案】B【分析】由題意，按照一定順序，由1,2,3,5的順序，在5號(hào)區(qū)域的選擇上進(jìn)行分情況，根據(jù)分類(lèi)加法原理和分步乘法原理，可得答案.【詳解】第一步，對(duì)1號(hào)區(qū)域，栽種有4種選擇；第二步，對(duì)2號(hào)區(qū)域，栽種有3種選擇；第三步，對(duì)3號(hào)區(qū)域，栽種有2種選擇；第四步，對(duì)5號(hào)區(qū)域，栽種分為三種情況，①5號(hào)與2號(hào)栽種相同，則4號(hào)栽種僅有1種選擇，6號(hào)栽種有2中選擇，②5號(hào)與3號(hào)栽種相同，情況同上，③5號(hào)與2、3號(hào)栽種都不同，則4、6號(hào)只有1種；綜上所述，種.故選：B.【【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·廣西百色·高二統(tǒng)考期末）某學(xué)校推出了《植物栽培》《手工編織》《實(shí)用木工》《實(shí)用電工》4門(mén)校本勞動(dòng)選修課程，要求每個(gè)學(xué)生從中任選2門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí)，則甲?乙兩名同學(xué)的選課中恰有一門(mén)課程相同的選法為（

）A．16 B．24 C．12 D．36【答案】B【分析】甲先從4門(mén)課程選擇1門(mén)，乙再?gòu)氖Ｏ碌?門(mén)中選擇1門(mén)，甲乙再?gòu)氖Ｏ碌?門(mén)中共同選擇1門(mén)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得.【詳解】甲先從4門(mén)課程選擇1門(mén)，有4種選法，乙再?gòu)氖Ｏ碌?門(mén)中選擇1門(mén)，有3種選法，甲乙再?gòu)氖Ｏ碌?門(mén)中共同選擇1門(mén)，有2種選法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得甲?乙兩名同學(xué)的選課中恰有一門(mén)課程相同的選法為種.故選：B.2．（2023秋·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）7月3日，甲、乙兩人從邢臺(tái)各自乘坐火車(chē)到石家莊，當(dāng)天從刑臺(tái)到石家莊有11個(gè)車(chē)次，其中有5個(gè)車(chē)次的發(fā)車(chē)時(shí)間為凌晨1點(diǎn)到凌晨5點(diǎn)，有6個(gè)車(chē)次的發(fā)車(chē)時(shí)間為早上7點(diǎn)到晚上6點(diǎn).已知甲選擇凌晨6點(diǎn)以后出發(fā)的車(chē)次，乙選擇凌晨1點(diǎn)到晚上6點(diǎn)出發(fā)的車(chē)次，則兩人車(chē)次的不同選擇共有（

）A．11種 B．36種 C．66種 D．121種【答案】C【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】解：依題意可得甲有6種選擇，乙有11種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得兩人車(chē)次的不同選擇共有種.故選：C3．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)統(tǒng)考期末）從數(shù)字1，2，3，4中取出3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．9 C．10 D．13【答案】C【分析】根據(jù)各位數(shù)字之和等于6的所有可能情況，①1，1，4，②1，2，3，③2，2，2三種情況分別討論求和即可【詳解】其中各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)可分為以下情形：①由1，1，4三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)：114，141，411共3個(gè)；②由1，2，3三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)：123，132，213，231，312，321共6個(gè)；③由2，2，2三個(gè)數(shù)字可以組成1個(gè)三位數(shù)，即222．共有個(gè)，故選：C．4．（2023秋·陜西咸陽(yáng)·高二?？计谀?封信投入4個(gè)郵筒，且6封信全部投完，不同的投法有（

）A．種 B．種 C．4種 D．24科【答案】A【分析】根據(jù)乘法原理求解即可【詳解】將6封信投入4個(gè)郵筒，且6封信全部投完，根據(jù)乘法原理共有種故選：A5．（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）在如圖所示的5個(gè)區(qū)域內(nèi)種植花卉，每個(gè)區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是（

）A．1440 B．720 C．1920 D．960【答案】C【分析】按照地圖涂色問(wèn)題的方法，先分步再分類(lèi)去種植花卉即可求得不同的種植方法種數(shù).【詳解】如圖，設(shè)5個(gè)區(qū)域分別是A，B，C，D，E.第一步，選擇1種花卉種植在A區(qū)域，有6種方法可以選擇；第二步：從剩下的5種不同的花卉中選擇1種種植在B區(qū)域，有5種方法可以選擇；第三步：從剩下的4種花卉中選擇1種種植在C區(qū)域，有4種方法可以選擇；第四步；若區(qū)域D與區(qū)域A種植同1種花卉，則區(qū)域E可選擇的花卉有4種；若區(qū)域D與區(qū)域A種植不同種花卉，則有3種方法可以選擇；則區(qū)域E可選擇的花卉有種，故不同的種植方法種數(shù)是.故選：C二、多選題6．（2023秋·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）高二年級(jí)安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種B．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種C．如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D．如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種【答案】ABC【分析】求得社區(qū)A必須有同學(xué)選擇的方法數(shù)判斷選項(xiàng)A；求得同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A的方法數(shù)判斷選項(xiàng)B；求得三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同的安排方法數(shù)判斷選項(xiàng)C；求得甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)的安排方法數(shù)判斷選項(xiàng)D.【詳解】安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，選項(xiàng)A：如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有（種）.判斷正確；選項(xiàng)B：如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有（種）.判斷正確；選項(xiàng)C：如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有（種）.判斷正確；選項(xiàng)D：如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，再分為丙與甲、乙兩名同學(xué)在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種）.判斷錯(cuò)誤.故選：ABC7．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高二周南中學(xué)?？计谀┈F(xiàn)有不同的紅球4個(gè)，黃球5個(gè)，綠球6個(gè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．從中選出2個(gè)球，正好一紅一黃，有9種不同的選法B．若每種顏色選出1個(gè)球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個(gè)球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個(gè)球，有210種不同的選法【答案】BD【分析】根據(jù)分步與分類(lèi)計(jì)數(shù)原理逐個(gè)求解即可【詳解】對(duì)A，從中選出2個(gè)球，正好一紅一黃，有種不同的選法，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤：對(duì)B，若每種顏色選出1個(gè)球，有種不同的選法，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)C，若要選出不同顏色的2個(gè)球，有種不同的選法，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D，若要不放回地依次選出2個(gè)球，有種不同的選法，所以該選項(xiàng)正確.故選：BD三、填空題8．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高二統(tǒng)考期末）學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍(lán)色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給小房子中的四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有______種不同的涂色方法.【答案】66【分析】運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)算原理，結(jié)合組合定義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)選擇兩種顏色時(shí)，因?yàn)闄炀G與薄荷綠不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，所以共有種選法，因此不同的涂色方法有種，當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠都被選中，則有種方法選法，因此不同的涂色方法有種，當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠只有一個(gè)被選中，則有種方法選法，因此不同的涂色方法有種，當(dāng)選擇四種顏色時(shí)，不同的涂色方法有種，所以共有種不不同的涂色方法，故答案為：669．（2023秋·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）數(shù)字2022具有這樣的性質(zhì)：它是6的倍數(shù)并且各位數(shù)字之和為6，稱(chēng)這種正整數(shù)為“吉祥數(shù)”.在所有的三位正整數(shù)中，“吉祥數(shù)”的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.【答案】12【分析】討論百位數(shù)為6、5、4、3、2、1分別列舉出符合要求的“吉祥數(shù)”，即可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)百位為6，符合要求的“吉祥數(shù)”有600；當(dāng)百位為5，符合要求的“吉祥數(shù)”有510；當(dāng)百位為4，符合要求的“吉祥數(shù)”有4