2023年3月南京金陵匯文九年級(jí)一輪復(fù)習(xí)講義15講【學(xué)生版無答案】

準(zhǔn)九年級(jí)數(shù)學(xué)講義

姓名：學(xué)校：

【寫在前面】

我們面對(duì)的是怎樣的中考?

【九年級(jí)數(shù)學(xué)課本目錄】

第1章★一元二次方程4

第2章★對(duì)稱圖形---圓5

第3章數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度

第4章等可能條件下的概率

第5章★二次函數(shù)3

第6章★圖形的相似3

第7章銳角三角形函數(shù)

第8章統(tǒng)計(jì)和概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用

客

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號(hào)

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2

一、轉(zhuǎn)化思想的理解與領(lǐng)悟

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中最重要的思想，它把我們遇到的新問題轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀円呀?jīng)解決過的問題，從而獲

得問題的答案，其運(yùn)用的關(guān)鍵是尋找新問題和我們已經(jīng)解決過的問題的差異，并通過適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q

這些差異，其較難之處在于面對(duì)新問題時(shí)，應(yīng)該把它轉(zhuǎn)化為哪個(gè)我們已經(jīng)解決過的問題，即轉(zhuǎn)化對(duì)象

的尋找.

拋磚引玉

【問題提出】：學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS'、"ASA”、"A4S'、"SSS')和直角三角形

全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)

角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.

【初步思考】：我們不妨將問題用符號(hào)語言表示為：在△48。和4

OEF中，AC=DF,BC=EF,乙B=4E.然后，對(duì)

48進(jìn)行分類，可分為23是直角、鈍角、銳角”三

種情況進(jìn)行探究.

【深入探究】第一種情況：當(dāng)乙8是直角時(shí)，AABC三4DEF.

(1)如圖①，在△A8C和AOE尸中，AC=DF,

可以知道RtAABC=RtAD￡F.

第二種情況：當(dāng)乙8是鈍角時(shí)，△A8C三△OEE.

(2)如圖②，在aABC和△DE/中，AC=DF,

BC=EF,乙B=LE,且48、NE者B是鈍角.

求證：AABC三ADEF.

第三種情況：當(dāng)乙8是銳角時(shí)，△ABC和△QEF不一定全等.

(3)在△A8C和△OEF中，AC=DF,BC=EF,乙B=^E,

且NB、NE都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△OEF,

使△￡>￡/和△A3C不全等.(不寫作法，保留作圖痕跡)

(4)還要滿足什么條件，就可以使請(qǐng)直接填寫結(jié)論：

在△43C和△OEF中，AC^DF,BC=EF,乙B=2E,且乙8、2E都是銳角,

若則

3

'x+y+z=3,

思考：你會(huì)解三元一次方程組上一2y—z=-2,嗎？

、2x+y—z=2

海納百川

問題1只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求畫圖：

(1)在圖1中用下面的方法畫等腰三角形ABC的對(duì)稱軸；

①量出底邊8c的長(zhǎng)度，將線段8c二等分，即畫出8c的中點(diǎn)力；

②畫直線AO,即畫出等腰三角形43c的對(duì)稱軸.

(2)在圖2中畫乙408的對(duì)稱軸，并寫出畫圖的方法.

問題2

(1)如圖1,在RtZ\45C中，ZC=90°,AC=BC.直線/經(jīng)過點(diǎn)C,ADLl,BEL,垂足分別為￡>,

E,求證：DE=AD+BE；

(2)如圖2,在aABC中，ZC<90°,求作直線/,使得直線/經(jīng)過點(diǎn)C,當(dāng)A。，/,BELI,垂足分

別為。，E時(shí)，仍然有￡)E=AD+BE.

4

問題3概念理解

把一個(gè)或幾個(gè)圖形分割后，不重疊、無縫隙的重新拼成另一個(gè)圖形的過程叫做“剖分——重

拼”.如圖I,一個(gè)梯形可以剖分——重拼為一個(gè)三角形；如圖2,任意兩個(gè)正方形可以剖分—重拼

為一個(gè)正方形.

嘗試操作

如圖3,把三角形剖分——重拼為一個(gè)矩形.（只要畫出示意圖，不需說明操作步驟）

閱讀解釋

如何把一個(gè)矩形A6C。（如圖4）剖分——重拼為一個(gè)正方形呢？操作如下:

圖4中，在CO上取點(diǎn)F，使4尸=484。，作3￡14尸，垂足為E.

把△ADF沿射線0c平移到△8CH的位置，把△AE8沿射線AF平移

到△尸GH的位置，得四邊形仍”G.

請(qǐng)說明按照上述操作方法得到的四邊形是正方形.

拓展延伸

任意一個(gè)多邊形是否可以通過若干次的剖分—重拼成一個(gè)正方形？如果可以，請(qǐng)簡(jiǎn)述操作步

驟；如果不可以，請(qǐng)說明理由.

5

博采眾長(zhǎng)

1.正方形通過剪切可以拼成三角形.方法如下:

仿上用圖示的方法，解答下列問題:

（1）如圖2,對(duì)直角三角形，設(shè)計(jì)方案，將它分成若干塊，再拼成一個(gè)與原三角形等面積的矩形；

（2）如圖3,對(duì)任意三角形，設(shè)計(jì)方案，將它分成若干塊，再拼成一個(gè)與原三角形等面積的矩形.

（3）如圖4,對(duì)任意四邊形，設(shè)計(jì)方案，將它分成若干塊，再拼成一個(gè)與原四邊形等面積的矩形.

2.（1）野營(yíng)活動(dòng)中，小明用一張等腰三角形的鐵皮代替鍋，烙一塊與鐵皮形狀、大小相同的餅.烙

好一面后把餅翻身，這塊餅仍能正好落在“鍋'’中.這是為什么？

①②③

（2）小麗用如圖①的直角三角形鐵皮，烙一塊與鐵皮形狀、大小相同的餅.如果烙好一面后就把餅

翻身，那么這塊餅不能正好落在“鍋”中.如圖②小麗將餅切了一刀，然后將兩小塊都翻身，結(jié)

果餅就能正好落在“鍋”中.這又是為什么？

（3）如果用來烙餅的鐵皮既不是等腰三角形也不是直角三角形（如圖③），那么烙好一面后，將烙餅

怎樣翻身，烙餅仍能正好落在“鍋”中？

（4）如果用來烙餅的鐵皮是一個(gè)多邊形，你能讓烙餅翻身后正好落在“鍋”中嗎？說說你的想法.

3.如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABC。。乙43c=60。，將沿射

線80的方向平移得到△Ab。'，分別連接AC,A'D,B'C,貝

AC+8C的最小值為.

6

4.如圖，點(diǎn)/為△ABC的內(nèi)心，A3=4,AC=3,BC=2,將乙4c3平移使其

I

頂點(diǎn)與/重合，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（）

A.4.5B.4C.3D.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，函數(shù)y=（（x>0）的圖象與直線y=x-2交于點(diǎn)A（3,W.

（1）求公m的值；

（2）已知點(diǎn)P（〃，〃）（〃>0）,過點(diǎn)P作平行于工軸的直線,

作平行于y軸的直線，交函數(shù)），=[（x>0）的圖象于點(diǎn)M

①當(dāng)〃=1時(shí)，判斷線段PM與/W的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若PMPM,結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出〃的取值范圍.

7

二、類比思想的理解與領(lǐng)悟

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，中考數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀與良好的區(qū)別就在于數(shù)學(xué)思想理解的深度.本節(jié)我們

研究類比的思想.考查類比思想試題的主要情形有兩種，一種是“幾個(gè)題目的條件一樣，但圖形中某些點(diǎn)

或線的位置發(fā)生了改變”，還有一種是“從特殊到一般”（在中考中通常是“從全等到相似“，我們?cè)诩?/p>

期的后續(xù)學(xué)習(xí)中會(huì)深入研究），其運(yùn)用方法是在解決第一個(gè)問題的情況下，遵循原有的解題思路繼續(xù)解決

剩下的問題.

拋傳引玉

已知45〃CZ）,在下面的第一個(gè)圖中，我們可以過E點(diǎn)做MN〃43,證得/A+NC=NA￡C.

你能在第二個(gè)圖和第三個(gè)圖中做相同的輔助線，找到/A、/C和NAEC之間的關(guān)系嗎？

海納百川

問題I已知：如圖，NAOB外有一點(diǎn)P,試畫出點(diǎn)P關(guān)于直線0A的對(duì)稱點(diǎn)外，再畫出點(diǎn)外關(guān)于直

線0B的對(duì)稱點(diǎn)P2.

（1）試探索NPOP2與/A0B的數(shù)量關(guān)系，為什么？

（2）若點(diǎn)P在NAO8的內(nèi)部，上述結(jié)論還能成立嗎？為什么？

8

問題2如圖，P是正方形ABC。的對(duì)角線上一點(diǎn)，連接PA、PC.E是射線CB上一點(diǎn)，且滿足

PE=PC,連接AE.

(1)如圖1,若E點(diǎn)在線段CB的延長(zhǎng)線上，判斷的形狀，并說明理由；

(2)如圖2,若E點(diǎn)在線段CB上，(1)中的結(jié)論還成立嗎？說出你的理由.

圖1圖2

圖1圖2

問題3

(1)如圖1,在四邊形AC8O中，A8與CO相交于點(diǎn)O,AB=CD,E、產(chǎn)分別是8C、49的中點(diǎn),

連結(jié)ER分別交OC、A8于點(diǎn)M、N,判斷△0MN的形狀并證明.

(2)如圖2,在四邊形A8CO中，AB=CD,E、尸分別是8C、AO的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，分別與

BA.CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N,求證：/BNE=/CME.

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博采眾長(zhǎng)

1.ZVIBC是等邊三角形，點(diǎn)。是射線8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)8、C重合），是以

A。為邊的等邊三角形，過點(diǎn)E作8C的平行線，分別交射線AB、AC于點(diǎn)RG,連接8E.

（1）如圖（a）所示，當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí).

①求證：AAEB當(dāng)AADC；

②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；

（2）如圖（6）所示，當(dāng)點(diǎn)。在8c的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？

（3）在（2）的情況下，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形BCGE是菱形？并說明理由.

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3.已知：正方形A8CO中，ZMAN=45°,/MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交C8,DC

（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)用、N.

當(dāng)NM4N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到8M=￡W時(shí)（如圖①），易證

（1）當(dāng)NM4V繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到現(xiàn)存DN時(shí)（如圖②），線段BM,￡W和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？寫出猜想，并加以證明.

（2）當(dāng)NM4N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖③的位置時(shí)，線段8M,￡>N和A/N之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請(qǐng)直接寫出你的猜想.

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三、分類思想的理解與領(lǐng)悟

縱觀全國各地中考試卷的壓軸題，90%考查的主要思想就是分類思想，可見分類思想的重要

性.分類的關(guān)鍵是分類標(biāo)準(zhǔn)的確定，因此，在解決本節(jié)的所有問題時(shí)，要求先確定標(biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確分類,

再對(duì)每種類型求解！

拋磚引玉

在等腰△ABC中，乙4=40。，求的度數(shù).

海納百川

問題1如圖，點(diǎn)A、B、C都在方格紙的格點(diǎn)上.請(qǐng)你再找一個(gè)格點(diǎn)。，使點(diǎn)A、B、C、。組成一個(gè)

軸對(duì)稱圖形.

cdd

AAAA

問題2如圖，由4個(gè)全等的正方形組成L形圖案.在圖案中改變1個(gè)正方形的位置（不

與其他正方形重合），使新的圖案變成中心對(duì)稱圖案，則不同的中心對(duì)稱圖案

（注：“不同，，指經(jīng)過翻折、平移或旋轉(zhuǎn)后不能重合）共有（）

A.7種B.8種C.9種D.10種

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思考：如圖，將一條長(zhǎng)為60cm的卷尺鋪平后折疊，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分

（陰影處）沿與卷尺邊垂直的方向剪一刀，此時(shí)卷尺分為了三段，若這三段長(zhǎng)度由口到饞的比

為1：2：3,則折痕對(duì)應(yīng)的刻度有種可能，分別是多少？

折展剪斷處

問題3

（1）已知△48C中，乙4=90。，28=67.5。，請(qǐng)畫一條直線，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角

形.（請(qǐng)你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來.只需畫圖，不必說明理

由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù)）

（2）已知aABC中，NC是其最小的內(nèi)角，過頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角

形，請(qǐng)?zhí)角蟆?c與/C之間的關(guān)系.

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問題5已知一個(gè)三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是1cm和2cm,一個(gè)內(nèi)角為40度.

（1）請(qǐng)你借助圖I畫出一個(gè)滿足題設(shè)條件的三角形；

（2）你是否還能畫出既滿足題設(shè)條件，又與（1）中所畫的三角形不全等的三角形？若能，請(qǐng)你

在圖1的右邊用“尺規(guī)作圖”作出所有這樣的三角形；若不能，請(qǐng)說明理由；

（3）如果將題設(shè)條件改為“三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3cm和4cm,一個(gè)內(nèi)角為40?！?，那么滿足這

一條件，且彼此不全等的三角形共有幾個(gè).

博采眾長(zhǎng)

1.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6cm、5cm,則該等腰三角形的周長(zhǎng)是.

2.已知等腰三角形一條腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)是.

3.如圖的方格紙上畫有2條線段.你能再畫1條線段，使圖中的3條線段組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形嗎？

（要求畫出滿足條件的所有線段.）

4.已知△ABC中，AC=BC,ZACB=9O0,直線/經(jīng)過直角頂點(diǎn)C,ADU,BEU,垂足分別為Q、E.

當(dāng)直線/繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若BE=b,試畫出示意的圖形并用含外匕的代數(shù)式直談表示出

DE的長(zhǎng)度.

d

/---------------/

D

14

5.長(zhǎng)為1,寬為。的矩形紙片，如圖1那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一

次操作），再把剩下的矩形如圖2那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為

第二次操作）......如此反復(fù)操作下去.若在第〃次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終

止.當(dāng)”=3時(shí)，求。的值.

圖2

6.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形N5CD中，請(qǐng)畫出以力為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形的

邊上，且含邊長(zhǎng)為3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角

形長(zhǎng)為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3）

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7.在正方形ABC。中，48=6,連接AC,BD,P是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn)，若PD=2AP,則AP的長(zhǎng)

為.(體會(huì)阿波羅尼斯圓的價(jià)值)

8.在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)卜=區(qū)(x>0)的圖象G經(jīng)過點(diǎn)A(4,1),直線/：y=^x+8與

x4

圖象G交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求女的值；

(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記圖象G在點(diǎn)A,B之間的部分與線段。4,OC,BC圍

成的區(qū)域(不含邊界)為W.

①當(dāng)b=-l時(shí)，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求b的取值范圍.

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四、再探一元二次方程

本講中，我們將解決有關(guān)一元二次方程的根的情況的題目，同時(shí)，在南京的中考中，往往把上一

講實(shí)際問題中的一元二次方程模型再做一些變化，我們將對(duì)這些變化做一些深入的探究，另外，我們

還將從“彩”的角度探討一元二次方程的解法，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

拋得引玉

已知一元二次方程x(x+2)=24,你能賦予它一個(gè)實(shí)際意義嗎？

(1)用配方法解一元二次方程(+2x-24=0(x>0)時(shí)，把方程(+2x-24=0變形為/+入=24,即

x(x+2)=24.配方的過程，可以看成將一個(gè)長(zhǎng)為x+2、寬為x、面積為24的矩形經(jīng)過割、拼、補(bǔ)變

化成一個(gè)正方形的過程.請(qǐng)?jiān)趫D①中“？”處補(bǔ)全“拼成一個(gè)正方形”過程的圖形，并做必要的標(biāo)

注；

(2)現(xiàn)有長(zhǎng)為x+b、寬為x、面積為c的矩形(x>0,6、c是常數(shù)且均為正)，如圖，你能利用四個(gè)這樣相

同的矩形構(gòu)造1個(gè)圖形，并利用你的拼圖直觀描述方程(+6x=c?的配方過程嗎？請(qǐng)?jiān)趫D向的位置畫

圖并說明.

x(x+2)=24

x2+2x=24

方

X2+2X+12=24+12

(X+1)2=25

圖2

17

思考：古代數(shù)學(xué)中構(gòu)造圖形解一元二次方程:

古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(公元250年前后)在《算術(shù)》中就提到了一元二次方程的問題，不過當(dāng)時(shí)古希

臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解.

在歐幾里得的《幾何原本》中，形如x2+or=〃(心0,匕>0)的方程的圖解法是：如圖，以m和

AC=b為兩直角邊做RraABC,再在斜邊上截取BD=BC,則AD的長(zhǎng)就是所求方程的解.

(1)請(qǐng)用含字母“、％的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；

(2)請(qǐng)利用你已學(xué)的知識(shí)說明該圖解法的正確性，并說說這種解法的遺憾之處.

海納百川

1.我們研究過的解一元二次方程的常見方法有4種.

(1)在探索一元二次方程解法的過程中體現(xiàn)最清晰地?cái)?shù)學(xué)思想是()；

A.轉(zhuǎn)化8.類比C.數(shù)形結(jié)合D.逐步逼近

(2)用三種不同的方法解一元二次方程(x+3)=x(x+3).

(3)請(qǐng)運(yùn)用解一元二次方程的思想方法解方程x3—x=0.

2.閱讀下面的例題：

解方程/一|xI—2=0

i解：(1)當(dāng)x20時(shí)，原方程化為/-x-2=0,解得：x,=2,及=-1(不合題意，舍去)；

(2)當(dāng)x<0時(shí)，原方程化為/+x-2=0,解得：制=1(不合題意，舍去)，X2=-2.

二原方程的根是XI=2,電=-2.

請(qǐng)參照例題解方程爐一Ix-1I-1-0.

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3.學(xué)習(xí)完《一元二次方程的解法后》后，我們可以借助探索研究過程中所獲得的經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)探索另一類

方程的解法.小明用下面的方法求出方程2也一3=0的解，請(qǐng)你仿照他的方法求出下面另外兩個(gè)方程

的解，并把你的解答過程填寫在下面的表格中.

方程換元法得新方程解新方程檢驗(yàn)求原方程的解

",

令4=3332

2?-3=0t=-r=->0

則229

2/-3=0所以冗=：

4

令6=t,

x+2>/x-3=0

則產(chǎn)+2/-3=0

X+yjX—2-4=0

4.選取二次三項(xiàng)式以2+法+。(〃邦)中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫配方.例如

①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：x2-4x+2=(x-2)2-2：

②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：

x1-4x+2=(x—巾)2+(2^2-4)x,或/-4*+2=(x+,)2-(4+2?x

③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：4x+2=C-\[2x—\[2)2—x2.

根據(jù)上述材料，解決下面問題：

(1)寫出x2—8x+4的兩種不同形式的配方；(2)已知/+尸+孫一3y+3=0,求/的值.

19

博采眾長(zhǎng)

1.下列一元二次方程中，有實(shí)數(shù)根的是（）.

4./-x+l=OB.^+%-1=0C./-2r+3=0D./+4=0

2.關(guān)于x的一元二次方程a（x+2）2+3=0的解的情況是（）.

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法確定

3.若關(guān)于x的方程/+2（Z—l）x+R=O有實(shí)數(shù)根，則4的取值范圍是.

4.已知關(guān)于x的方程近2—2/+l）x+k—1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

5.寫出一個(gè)解為1、3的一元二次方程：.

6.已知用是方程JC2—*—1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式加2—機(jī)+2的值為.

7.已知x=-l是關(guān)于x的方程加一以一層=0的一個(gè)根，則

8.已知：關(guān)于x的方程依2—（4Z+l）x+3&+3=0.

（1）請(qǐng)說明：此方程必有實(shí)數(shù)根；

（2）若/為整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，直接寫出k的值.

20

五、一元二次方程解決實(shí)際問題

本講中，我們將解決有關(guān)一元二次方程的實(shí)際問題，在南京中考中，一元二次方程的屬于?？碱?/p>

型，在學(xué)習(xí)中，弄清楚文字表達(dá)的含義，分清楚問題的類型尤為重要，一元二次方程的應(yīng)用問題還常

常和將來學(xué)習(xí)的二次函數(shù)進(jìn)行混搭，值得注意！

拋磚引玉

I.若一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是即△ABC的兩條直角邊長(zhǎng)，且SAABC=3,請(qǐng)寫出丁個(gè)符合題意的

一元二次方程.

2.某商店經(jīng)銷一批小家電，每個(gè)小家電進(jìn)價(jià)40元.經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，售價(jià)為50元時(shí)，可銷售200個(gè)，在一定范

圍內(nèi)，售價(jià)每增加1元，銷售量將減少10個(gè).如果商店進(jìn)貨后按同一售價(jià)剛好全部銷售完，賺了2000

元，問每個(gè)小家電售價(jià)為多少元？問該商店進(jìn)了多少個(gè)小家電？

分析：(1)如果定價(jià)增加2元，銷售量將減少__________個(gè)，銷售量為__________個(gè)；

如果定價(jià)增加3元，銷售量將減少—_____個(gè),銷售量為一_____個(gè);

如果定價(jià)增加X元，銷售量將減少__________個(gè)，銷售量為__________個(gè);

(2)商品利潤(rùn)=單利X件數(shù)=(售價(jià)一進(jìn)價(jià))X件數(shù)

(3)設(shè)每個(gè)小家電售價(jià)在50元基礎(chǔ)上增加了x元:

定價(jià)進(jìn)價(jià)每天的銷售量

漲價(jià)前5040200

漲價(jià)后

海納百川

1.某超市一月份的營(yíng)業(yè)額為200萬元，三月份的營(yíng)業(yè)額是288萬元，如果每月比上月增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同,

則平均每月的增長(zhǎng)率是多少？

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2.某農(nóng)戶種植花生，原來種植的花生畝產(chǎn)量為200口，出油率為50%（即每100必花生可加工成花生油

50依）.現(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132僅，其中花生出油率的增長(zhǎng)率是

畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率的去求新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率.

3.某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內(nèi)，每部汽車的進(jìn)價(jià)與銷售量有如下關(guān)系：若

當(dāng)月僅售出1部汽車，則該部汽車的進(jìn)價(jià)為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低

0.1萬元/部，月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在10部以內(nèi)（含10部），每部返

利0.5萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元.

（1）若該公司當(dāng)月售出3部汽車，則每部汽車的進(jìn)價(jià)為萬元；

（2）如果汽車的售價(jià)為28萬元/部，該公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬元，那么需要售出多少部汽車？

（盈利=銷售利潤(rùn)+返利）

22

5.如圖，客輪沿折線A—B—C從A出發(fā)經(jīng)8再到C勻速航行，貨輪從AC的中點(diǎn)。出發(fā)沿直線勻速航

行，將一批物品送達(dá)客輪.兩船同時(shí)起航，并同時(shí)到達(dá)折線A-B—C上的某點(diǎn)E處.已知A8=8C=

200海里，ZA8C=90。，客輪速度是貨輪速度的2倍.

(1)兩船相遇之處E點(diǎn)在()

A.線段48上B.線段8c上

(2)求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里？

博采眾長(zhǎng)

1.某廠一月份生產(chǎn)機(jī)器100臺(tái)，計(jì)劃第二季摩共生產(chǎn)380臺(tái).設(shè)二、三月份每月的平均增長(zhǎng)率為x,則根

據(jù)題意列出的方程是().

A.100+100(1+x)+100(1+x)2=380B.100(1+x)+100(1+x)2=380

C.100+100(1+x)2=380D.100(1+x)2=380

2.在一幅長(zhǎng)為8(kro,寬為50c〃?的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條相同寬度的金色紙邊，制成二

一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是540(W,設(shè)金色紙邊的寬為x

cm,那么x滿足的方程是.(第2題)

3.(2008南京)某村計(jì)劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長(zhǎng)與寬的比為2:1.在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)

墻保留3膽寬的空地，其它三側(cè)內(nèi)墻各保留所寬的通道.當(dāng)矩形溫室的長(zhǎng)與寬各為多少時(shí)，蔬菜種植

區(qū)域的面積是288m2?____________________________

前

側(cè)蔬菜種植區(qū)域

空

(第3題)

23

4.某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購進(jìn)800件T恤.第一個(gè)月以單價(jià)80元銷售，售出了200件；第二個(gè)月如

果單價(jià)不變，預(yù)計(jì)仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價(jià)銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降

低1元，可多售出10件，但最低單價(jià)應(yīng)高于購進(jìn)的價(jià)格；第二個(gè)月結(jié)束后，批發(fā)商將對(duì)剩余的7恤一

次性清倉銷售，清倉時(shí)單價(jià)為40元.設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低工元.

（1）填表（不需化簡(jiǎn)）：

時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉時(shí)

單價(jià)（元）8040

銷售量（件）200

（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)該是多少錢?

5.如圖，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,E、尸分別在BC、CD邊上,若△AEF為正三角形，求廠的

邊長(zhǎng).

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六、從二次方程到二次函數(shù)

我們學(xué)習(xí)過一元一次方程和一次函數(shù)，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面研究過二者之間的聯(lián)系，類似的，

在一元二次方程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，我們也可以研究二次函數(shù)和一元二次方程之間的聯(lián)系，本講主要從

“數(shù)''的角度揭示這種聯(lián)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問題.

形如yuG+bx+c(a、b、c是常數(shù)，4知)的函數(shù)叫做二次函數(shù).

拋磚引玉

1.一元一次方程、一元一次不等式、一次函數(shù)之間有什么聯(lián)系？舉例說明.

2.回顧我們學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)，我們常常研究函數(shù)的哪些方面？

思考：

1.隨便寫出幾個(gè)二次函數(shù)，并嘗試寫出二次函數(shù)的一般形式.

2.試寫出以上二次函數(shù)的自變量x取值范圍、函數(shù)值y的取值范圍.

3.哪些二次函數(shù)的函數(shù)值y有最大值？哪些二次函數(shù)的函數(shù)值y有最小值？由什么確定？怎樣求出y的最

大值或最小值？

海納百川

1.下列二次函數(shù)有最大值或最小值嗎？此時(shí)x的值為多少？

(1)y=3/+4的最值是,此時(shí)，x的值是；

(2)y=-2(x—-2的最值是,此時(shí)，x的值是；

(3)y=：(x+3)2-2的最值是,此時(shí)，x的值是；

(4)y="(X—1)2+2016的最_____值是,此時(shí),x的值是

2.通過配方，求出下列二次函數(shù)最大或最小值，并指出此時(shí)x的值.

(1)y=2x2+4x—4：(2))>=那2—4^+5.

25

3.通過配方，求出二次函數(shù)（。、6、c是常數(shù)，?#））的最大或最小值，求出此時(shí)x的值.

4.通過配方或者公式，求下列函數(shù)的最大值或最小值.

(1)y=x2~3x+4；(2)y=1—2x—JC2；(3)y=100-5x2.

5.用6,w長(zhǎng)的鋁合金型材做一個(gè)形狀如圖所示的矩形窗框.應(yīng)做成長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，才能使做成的窗框

的透光面積最大？最大透光面積是多少？（不計(jì)框?qū)挘?/p>

6.某商店把進(jìn)價(jià)為每件4元的文化衫按每件10元售出，每天能賣200件，在換季時(shí)期，預(yù)計(jì)單價(jià)每降低

1元，每天可多賣80件，如果銷售單價(jià)定為每件x元（xW10）.

（1）寫出商店每天銷售這種文化衫的利潤(rùn)y（元）與每件的銷售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式:

（2）商店要想每天獲得最大利潤(rùn)，每件的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?最大利潤(rùn)是多少？

26

教學(xué)樓

6.【問題情境】

已知矩形的面積為。(。為常數(shù)，?>0),當(dāng)該矩形的長(zhǎng)為多少時(shí)，它的周長(zhǎng)最??？最小值是多少?

【數(shù)學(xué)模型】設(shè)該矩形的長(zhǎng)為x,周長(zhǎng)為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2(x+》(x>0).

【探索研究】

(1)我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，先探索函數(shù)(x>0)的圖像和性質(zhì).

②觀察圖像，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì);

③在求二次函數(shù)卜二十+云+0(〃W0)的最大(小)值時(shí),除了通過觀察圖像，還可以通過配方得到.

請(qǐng)你通過配方求函數(shù)(x>0)的最小值.

【解決問題】

(2)用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案.，

28

七、二次方程到二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)的圖像叫拋物線，它的發(fā)現(xiàn)來源于偉大的物理學(xué)家伽利略，伽利略發(fā)現(xiàn)任何物體拋出去

之后都會(huì)得到一條每秒的曲線，而數(shù)學(xué)家們則給出了它的代數(shù)形式，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容！

拋磚引玉

1.畫函數(shù)圖像的一般步驟是、、,函數(shù)圖像也可以通過變換得到；

2.若函數(shù)圖像的形狀未知，為了使畫出的圖像更準(zhǔn)確，我們常常,同時(shí)，由于我們無

法準(zhǔn)確描出圖像上所有的點(diǎn)，因此我們畫出的圖像總是的.

3.不畫圖像，通過分析的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，我們可以大致確定函數(shù)圖像的位置、主要性質(zhì).

4.我們常常研究函數(shù)圖像的哪些性質(zhì)？

要研究二次函數(shù)丫=謁+云+。（0片0）的圖像，我們可以從到、從到,

基于以上策略，我們可以依次研究哪些類型的二次函數(shù)圖像？

我們先研究“表達(dá)式最骨感”的二次函數(shù)＞=r的圖像和性質(zhì).

1.由數(shù)想形：根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式你能分析出它的圖像有什么特征嗎？

2.在坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=N的圖像，并寫出該圖像的主要性質(zhì).（在演算紙上列表，下同）

3.不畫圖像，你只能直接說出二次函數(shù)y=-/、'=2^2、y=*的大致位置嗎？

29

海納百川

4.在同一坐標(biāo)系中，畫出二次函數(shù)y=$2、y=/、丫=3/、y=—$2、),=—/、y=—3爐的圖像.

5.總結(jié)：二次函數(shù)y二以2(a/0)的圖像是一條,其頂點(diǎn)在—、對(duì)稱軸是—.

“的決定了拋物線的:當(dāng)______時(shí),當(dāng)______時(shí);

“的決定了拋物線的：a的越大，拋物線的越小.

增減性和最值：

6.函數(shù)圖像可以由平移等變換得到，如：將y=/的圖像向_平移一個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)y=f+l的圖

像，據(jù)此，我們可以直接得到一類二次函數(shù)丫=加+k的圖像及性質(zhì).試填寫下表：

函數(shù)表達(dá)式形狀頂點(diǎn)坐標(biāo)最值對(duì)稱軸增減性

y=x1+\

y=-x2+2

y=ax2+k

30

7.在坐標(biāo)系中畫出y=(x+3)2、y=(x-4)2的圖像，并觀察它的圖像與拋物線之間的關(guān)系.

(1)發(fā)現(xiàn)：拋物線y=(x+3)2可由拋物線丫=(向平移個(gè)單位得到：］

-左右平移的規(guī)律:

拋物線y=(x—4尸可由拋物線y=T向平移個(gè)單位得到；J

(2)對(duì)比：

函數(shù)表達(dá)式形狀頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性

y=(x+3)2

y=(x—4)2

y=a(x—m^

y=(x+3)2+l

y=a(x—m)2+k

(3)聯(lián)系：將函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=(x+3＞化為一般式，結(jié)果是y=

根據(jù)以上探索，你能直接說出二次函數(shù))=辦2+法+。(a=0)的圖像的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎?

8.由此，二次函數(shù)yuo?+fev+c(a/0)的圖像：

(1)形狀：(2)頂點(diǎn)坐標(biāo)：(3)對(duì)稱軸：

(4)開口方向：(5)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)：(6)增減性:

31

9.用簡(jiǎn)練的話總結(jié)一下a、仄c三個(gè)常數(shù)對(duì)二次函數(shù)圖像的作用.

博采眾長(zhǎng)

1.畫出二次函數(shù)y=-/—4x+3的圖像，并指出它的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最大值或最小值.

3.若將二次函數(shù)y=2(x+3)2—1的圖像分別沿x軸、)，軸翻折，會(huì)得到哪個(gè)二次函數(shù)的圖像?

32

4.從圖像中獲取信息

（1）二次函數(shù)yna^+fov+cS#））的圖像如圖所示，給出下列結(jié)論:

①〃2—4ac>0；②2。+/?<0：③4a—2/?+c=0：

④a"：c=-1：2：3.其中正確的是（）

A.?@B.②③C.③④D.①④

（2）已知6<0,二次函數(shù)了=改2+公+〃_1的圖像為下列四個(gè)圖像之一.試根據(jù)圖像分析，。的值應(yīng)

等于（）A.-2B.-1C.2D.1

（3）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y=ax+。與二次函數(shù)y=ar2+8x+》的圖像可能是（）

（4）已知二次函數(shù)y=af+6x+c（其中a>0,b<0,c<0）,關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的圖像有以下說法：

①圖像的開口一定向上；

②圖像的頂點(diǎn)一定在第三象限；

③圖像與x軸的公共點(diǎn)至少有一個(gè)在y軸左側(cè).中正確的說法是（填上正確的序號(hào)）.

（5）對(duì)于題目“一段拋物線L：y=-x（%-3）+c（0姿3）與直線/：y=x+2有唯一公共點(diǎn)，若c為

整數(shù)，確定所有c的值，”甲的結(jié)果是c=l,乙的結(jié)果是c=3或4,則（）

A.甲的結(jié)果正確B.乙的結(jié)果正確

C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確

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八、二次函數(shù)與一元二次方程

在上一講的基礎(chǔ)上，本講重在運(yùn)用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問題，在解決問題的過程中，既要進(jìn)

一步熟悉配方法，又要感受二次函數(shù)和一元二次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系.更要進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)的

2.一般地:

二次函數(shù)y—a^+bx+c的圖像與一元二次方程a^+bx+c—O的--------對(duì)應(yīng).

二次函數(shù)y=c*+bx+c的圖像一元二次方程ax2+bx+c=0

與X軸有兩個(gè)公共點(diǎn)

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根