幾何證明教學（課件）

初中幾何證明教學吳忠四中

楊珅一、初中幾何證明的現(xiàn)狀

從多年的教學中我體會到：初中幾何證明不但是學習的重點，而且是學習的難點．很多同學對幾何證明，不知從何著手，一部分學生雖然知道答案，但敘述不清楚，說不出理由，對邏輯推理的證明過程幾乎不會寫．這樣，導致大部分的學生失去了幾何證明學習的信心．

新課程中對幾何證明的內容進行了調整、難度要求降低、證明技巧淡化，但對幾何證明教學的最基本能力要求其實并沒有降低，課標中已明確指出：在“圖形與幾何”的教學中，應幫助學生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學生的幾何直觀與推理能力．雖然新的課程理念要求，推理過程不能過繁，一切從簡．但證明的過程要求做到事實準確、道理嚴密，證明過程方能完整．二、幾何證明學習困難的原因分析

初中學生的幾何證明學習在內容上正在經(jīng)歷從“直觀”到“論證”的轉軌．在思維方式上需要解決從“形象思維”到“演繹思維”的過渡．學生學習幾何證明從直觀到論證之間存在著一個思維要求上的跳躍．學生來不及適應這種高一級的思維方式．這是幾何證明學習的認知障礙．因此，筆者覺得初中幾何證明難，主要還難在“轉軌”與“過渡”上．在事物發(fā)展的過程中，經(jīng)歷一種“轉變”的時節(jié)，正是良好的機遇所在．有必要提醒學生把握機遇，適應轉變．學生開始學習幾何證明，沒有適應論證數(shù)理的答題模式，語言表達方面的特別要求，作業(yè)練習常被判為錯誤，幾次碰壁后就覺得“幾何證明確實難學”．面對著這種學習的失敗，幾何證明學習困難的學生在討論發(fā)言、回答問題和動手練習等方面與普通同學存在著差異．他們幾乎一直處在旁聽陪讀的地位，作業(yè)又無法獨立完成，只得抄襲，更失去了參與學習的機會．初中學生幾何學習中的認知障礙分析:

數(shù)學符號大致可分為兩類：一類是語言符號，它是可以用來讀寫的；另一類是視覺符號，主要由幾何圖形組成，它具有直觀性、整體性的特點。如圖2一l，符號“三角形”就直觀整體地反映了這個概念的本質。三條線段首尾順次相接組成的圖形，“看得見"是學習幾何的一大優(yōu)勢，但事物都是一分為二的，圖形這種視覺符號在反映概念的本質屬性的同時，也易暴露其非本質屬性，這就給抽象思維尚處于發(fā)展初期的初中學生造成感知上的困難，結合教學和對學生學習數(shù)學過程的觀察，對初中學生學習幾何所遇到的認知障礙作幾點分析，就教于同行。圖2-1ABC一、圖形定勢引起的認知障礙在形成幾何概念之初，通常是用一個具有特殊位置的圖形來引入概念，例如，用圖2—2引入垂線的概念，用圖2—3引入等腰三角形的概念，用圖2—4引入三角形的外角的概念等。

二、復雜圖形引起的認知障礙

簡單的圖形不易引起對幾何對象感知上的干擾，但由基本圖形經(jīng)過組合(平移、旋轉、軸對稱等)形成的復雜圖形就容易干擾對幾何對象的感知，如學生掌握“同位角”概念，若只畫出圖四的圖形，學生是容易找出其中的同位角的，但是若讓學生在圖五中找同位角，就會造成一些學生看不出是同位角，這是受直線的干擾所致。又如下面的證明題：已知：如圖2—5，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，求證：BC=DE．

由于△ABC與△ADE沒有發(fā)生線的交錯現(xiàn)象，學生容易發(fā)現(xiàn)證明△ABC≌△ADE達到目的。但是，若分別把BD、CE連接結起來，如圖2—6，學生就易受BD、CE的干擾，這是因為學生對圖形的感知具有整體性的特點，不會對BD、CE視而不見，因而受其干擾。解決由復雜圖形引起的認知障礙的方法，是在教學中讓學生多熟悉基本圖形，在復雜圖形中恰當?shù)貙⒅黧w部分標示成不同顏色，或合理地利用填充，或借助多媒體技術，演示圖形的分解、平移、旋轉、翻折、迭復，使學生正確地感知幾何對象。三、推理論證引起的認知障礙

學習幾何對學生邏輯思維能力的形成和發(fā)展有很大的促進作用，推理論證要求說，要求寫，這要借助于語言符號，而對象之間的位置關系則要借助視覺符號，所以，要順利地進行推理論證，除了要掌握推理論證的一般要求外，還要在語言符號與視覺符號的感知上達到較高的協(xié)調，如果協(xié)調較差，就會產(chǎn)生認知障礙。初中學生學習幾何，推理論證相對較難，主要原因有：(1)思維發(fā)展水平上處于抽象邏輯思維替代具體形象思維的階段，不能正確運用形式邏輯的一般規(guī)律和方法，這就決定了初中學生在以抽象思維為基礎的推理論證方面有一定的局限性：(2)對邏輯推理的要求了解較少，掌握的幾何概念也不多我們在教學中常見到學生反映出來的這樣一些典型錯誤：循環(huán)論證；缺少條件，推理無根據(jù)，或間接條件不求出，就用直接條件作判斷：強加屬性，如“連接AB，使AB⊥CD”：增加條件，以內涵較多的特殊圖形代替一般圖形進行推理論證。問題一∶有不少學生到初三臨上中考考場了，還不知道證明題書寫過程須用幾何語言。有不少人證明過程中，還照搬定理的文字語言作為理由來推得新結論。例如：問題二∶有不少學生不知做證明題是干什么。不知證明的實質就是有根有據(jù)的推理。由已知條件出發(fā)，依據(jù)某些公理、定理、定義推得需要的條件，湊齊最終結論所需定理的全部題設條件后，只需依此定理推得最終結論，完成此題的證明。問題三∶有不少學生不知證明過程中，每步推理的依據(jù)就是學過的公理、定理、定義；而在證明過程書寫中，出現(xiàn)條件和結論合起來，配不成任何定理的錯誤推理。例如∶問題四∶有不少學生在證明過程中，常常想當然的冒出很多未證新條件，使這些條件的出現(xiàn)沒有任何依據(jù)，從而失去了推理證明題最顯著的特征：“推理過程必須有根有據(jù)?！眴栴}五∶很多學生在證明中，寫的沒有條理；經(jīng)常有些條件不知該寫在何處。不少條件對推下步結論沒有任何作用卻早早冒出，使該條件和前后沒任何關系，沒有使這些條件在該用時恰到好處出現(xiàn)，讓別人看時不知何意。例如∶問題六∶有很多學生作輔助線時，一條線常常讓其滿足兩個或兩個以上的條件。例如∶連結AD,作AD∥BC問題七∶有不少學生在證明中出現(xiàn)，兩三步并作一步的跳步問題，而沒有一層一層的推理。

再如∶

例如∶問題八∶有不少學生證明以∴開頭，或經(jīng)常出現(xiàn)“∵XXX又∵XXX∴XXX”

這樣的情況，或經(jīng)常在證明中通篇沒有“∵，∴”出現(xiàn)，讓人分不清哪句是條件，哪句是結論。問題九∶有些學生不能恰當?shù)谋磉_某些特定模式的證明書寫。例如∶∵EF=EF∵BE=EC∴BE+EF=EC+EF（錯誤寫法）∴BE+EF=EC+EF(正確寫法)∴BF=CF∴BF=CF問題十∶有些學生推理到最后，忘了最終目的。比如∶有些人證兩角相等時，想通過“全等三角形對應角相等”這個定理推得，而他證完兩三角形全等后，卻沒有再推一步得兩角相等。問題十一∶還有些同學在圖中，不先給角標數(shù)字，在證明過程中卻以∠1、∠2……大量出現(xiàn)，讓別人根本無法明白是具體的哪些量，更無法看明白推理過程。這些問題的出現(xiàn)，不能簡單地說是我們的學生努力不夠，沒有認真學習造成的，它的形成原因很多：一、學生個人的原因。如個人基礎不扎實，沒認真聽、認真練，沒有對錯誤分析原因，沒有及時糾錯等。二、教材的原因。在教材中，八年級下冊最后一章《證明一》才進入公理體系，才學習嚴格的推理證明。而《證明二》、《證明三》及《圓》在九年級才學習，所以學生有將近三分之二的時間，沒有學習嚴格推理證明。而初三又接近中考，要面臨早結束新課，復習備戰(zhàn)中考的狀況，使學生在嚴格推理證明這一初中數(shù)學教學難點上，學習的很匆忙、很短暫。也難怪有很多學生在這方面，問題堆積如山、談證明色變。三、教師自身的原因。比如有些教師教了大半輩子的書，卻不知證明教學的基礎就是“要教好學生命題三種語言互譯關”，甚至有些教師自己都不清楚命題的三種語言為何，更不知強調證明書寫過程主要是使用幾何語言；還有些教師就像茶壺煮餃子一樣，一見到題自己很清楚怎么做，卻道不出該怎樣分析、怎樣想，只能給學生一個答案，卻教不會學生自己如何去想、去分析、去書寫過程；有些教師只教某個年級，卻沒有從初一到初三連續(xù)教學的經(jīng)驗，出現(xiàn)對本年級內容很清楚，對另外兩個年級卻不夠清楚，根本做不到了解教材，了解學生，更把握不準在這一領域怎樣恰當?shù)慕虒W生；還有一些教師對學生不夠負責，想著初三我不帶，學生成績好壞和我沒關系，自己所帶階段沒有讓學生學扎實，沒打好基礎，而把困難扔給下一位接棒教師等等。在平面幾何的教學中，對學生進行全方位的邏輯思維能力的培養(yǎng)可從以下幾方面入手：一、教會學生學會“數(shù)形結合，建立智力圖象”例如：在初二剛學簡單的全等三角形的證明時，教師在講課時就要強化教會學生邊讀題邊把已知條件和間接已知條件標在幾何圖形上的良好的學習方法，照此方法，一讀完題，此題的證明也就水到渠成了，從而讓學生掌握解題技巧，學到論證的邏輯思維方法，親身感受到此方法對邏輯思維能力培養(yǎng)的優(yōu)越性，自覺的加強邏輯思維能力的訓練。二、教會學生從概念之間的內在聯(lián)系去理解、掌握概念，培養(yǎng)學生邏輯思維能力、減輕學生負擔例如：平面幾何中平行線的性質和判定定理共有六個，但是我們可以引導學生應用邏輯思維，去發(fā)現(xiàn)它們之間是互逆的真命題的關系，故就可以將其記為：在同一平面內，兩直線平行，同位角(內錯角)相等、同旁內角互補，反之亦然。同時鼓勵學生舉一反三，去發(fā)現(xiàn)更多的概念之間的內在聯(lián)系，通過概念的性質和它同相關的聯(lián)系去認識一個概念的實質，從而真正的去掌握一個概念的本質。三、教給學生推理論證中的一些規(guī)律和法則平面幾何教學中要求學生在演繹推理的論證的過程中要言之有理、步步有據(jù)、嚴謹規(guī)范，這就要求教師要教給學生推理論證中的一些規(guī)律和法則。如在幾何中證明兩個角相等時，就要充分調動學生的邏輯思維能力，引導他們去發(fā)現(xiàn)、去歸納：要證明兩個角相等一般的證題思維規(guī)律，往往要考慮到可以采用證全等三角形的對應角相等、在同一三角形中等邊對等角、相似三角形對應角相等、平行四邊形對角相等、同弧所對的圓周角(圓心角)相等等多種渠道去給予證明。至于用哪種方法，這就要根據(jù)題上所給的已知條件確定，盡量把所要證明的問題與題上所給的已知條件放在同一個或相關的圖形中。四、把幾何邏輯體系告之學生，對培養(yǎng)學生邏輯思維能力是十分有利的

在學習四邊形一章時，明確告訴學生要學好此章首先要掌握好平行四邊形的定義、性質及其判定，在以后將要學習的矩形、菱形、正方形都是在此基礎上進行研究的。其次，告訴學生其邏輯體系是先考察邊，再考察內角，最后考察對角線的性質。讓學生能從思想中明確將要學習什么，按怎樣的邏輯體系去記憶，感悟幾何學習中內容的內在聯(lián)系和邏輯性，提高學習的效益。五、在幾何課中教給學生一些基本的幾何判斷語句，提高數(shù)學語言、符號運用的準確性

在幾何教學中，加強對諸如：“兩對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”的直言判斷語句、“如果是對頂角，那么它們相等"的假言判斷句、“AB平行且等于CD”、“一個角有且只有一條對稱軸”基本判斷語句和“過某點做某直線與某直線平行”、“延長某邊與另一邊的延長線交于某點”等常用語句使用的訓練，理解語句或用語的幾何含義，正確應用于幾何的證明之中。六、訓練學生邏輯論證能力每一道幾何證明題，真正有活力的因素就是如何去溝通、激活“已知’’和“求證"，即尋找出證題的方法。所以，在分析證題思路時，要站在學生的角度去思考，如何發(fā)現(xiàn)“已知”和“求證”的內在聯(lián)系如何正確的給予論證。在訓練學生邏輯論證能力時不僅在于演繹，還必須善于進行探索性的思維、邏輯思維能力的培養(yǎng)。例如：證明三角形中位線定理，就可以啟迪學生采用多種方法證之。同時指出：最接近日常思維的是“要證一線段為另一線段之半，可以短加長，也可以長縮短’’，再證明它們相等。同時要注意的是我們在培養(yǎng)學生邏輯思維能力學生一題多解時，教師要給予賞識教育。七、幾何教學的推理、證明必須遵循形式邏輯的基本規(guī)律教學中應培養(yǎng)學生嚴格遵守同一律、矛盾律、排中律、充分理由律這些規(guī)律來進行思考問題，進而發(fā)展學生的思維能力。八、幾何教學過程中有意識的訓練學生邏輯思維方法，是落實培養(yǎng)學生邏輯思維能力的有效措施教學中適當?shù)亟榻B一些必要的邏輯思維方法，自覺運用這些方法，不斷提高真正理解掌握幾何基本知識和基本方法，要培養(yǎng)善于分析各種具體問題，恰當?shù)膽弥R、方法和解題經(jīng)驗等方面的素養(yǎng)。心理學認為：思維品質包括深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性和敏捷性。良好思維習慣和品質的培養(yǎng)，能讓學生養(yǎng)成深思熟慮、透過現(xiàn)象看本質、勇于提問、思維深刻的良好思維習慣。九、邏輯思維能力的培養(yǎng)應與直覺思維能力的培養(yǎng)相結合美國著名心理學家J．S．布魯納指出：“直覺思維，預感的訓練，是正式的學術學科和日常生活中創(chuàng)造性思維的很被忽略而又重要的特征”，他科學的揭示了邏輯思維與直覺思維的互補作用。鼓勵學生直覺猜想并驗證猜想時(這也是當今教改所提倡的)，教師要對學生直覺思維產(chǎn)物迅速評價其正誤與否，并和學生們共同驗證，與邏輯思維能力的培養(yǎng)緊密的結合起來。在解簡單的幾何證明題中，教師要引導學生從命題的題設與結論之間的差異與聯(lián)系中去尋找論證的途徑和方法?，F(xiàn)在結合平時的教學，我淺談一些教學建議∶第一、注意幾何語言的教學

幾何教學有三種不同形式的語言即圖形語言、文字語言及符號語言．教學中不僅要讓學生建立三種幾何語言，還要培養(yǎng)學生對三種語言相互轉化的能力．由于三種語言的特點不同，在幾何教學中各自發(fā)揮的作用也不同．圖形語言形象、直觀，能幫助學生認識問題和理解問題；文字語言抽象、概括，對圖形本身及圖形中所蘊含的結論能精確地予以的描述、解釋，對幾何的定義、公理、定理、命題等內容能精確地予以表達，而符號語言則是對文字語言的簡化和再次抽象，具有更強的抽象性，在三種語言中符號語言是幾何初學者最難掌握的一種，也是邏輯推理必備的能力基礎．因此教師在教學過程中應不失時機地訓練、培養(yǎng)學生對這三種語言相互轉化的意識和能力．

比如：等腰三角形的性質1----等腰三角形的兩個底角相等，教師應及時引導學生畫出圖形，結合圖形，將文字語言符號化（如圖1-1）：在△ABC中∵AB=AC

∴∠C=∠B

等腰三角形的性質2----等腰三角形“三線合一”

到底是哪三線重合呢，學生非常容易出錯，而且學生在將其進行符號化的時候，往往會把等腰三角形“三線”中的已知身份忽視．因此，教師應強調學生畫出圖形，結合圖形對其進行符號化，其表達形式為（如圖1-2）：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴BD=CD，AD⊥BC

（2）∵AB=AC，BD=CD∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC

（3）∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=CD，∠BAD=∠CAD

將文字語言圖形化，符號化的意識應貫穿幾何教學的始終，只有這樣才能為學生幾何證明的學習建立良好的基礎．將文字語言圖形化，符號化的意識應貫穿幾何教學的始終，只有這樣才能為學生幾何證明的學習建立良好的基礎．建議：每一位數(shù)學教師必須重視定理的三種語言教學∶文字語言、圖形語言、幾何語言。例如∶①文字語言∶（定理∶）有三個直角的四邊形是矩形②圖形語言∶如圖

③幾何語言∶∵在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°∴四邊形ABCD是矩形第二、教師一定要讓學生深刻意識到“證明題書寫中的每句內容都必須有根有據(jù)”。

“∵”中內容的依據(jù)要么是題中已知條件，要么是推理當中前面已證出的條件，決不能出現(xiàn)前面“問題四”中想當然未推就用的條件。“∴”中的內容主要是由一個或幾個“∵”中的條件，作為某定理的全部題設條件，依據(jù)該定理推得的定理結論，這樣就保證了不管是“∵”中的內容，還是“∴”中的內容都是有根有據(jù)的，千萬要杜絕哪一句內容沒有任何依據(jù)就憑空出現(xiàn)。第三、我在證明題教學中是這樣教學生分析的。拿到證明題，首先看需證明的結論是什么；然后判斷要推得這一結論準備依據(jù)哪個定理去推；再分析這個定理的題設條件有幾個，已知中有沒有告訴一些，告訴的話又有幾個，還差哪幾個條件（如果已知中沒有告訴此定理題設條件中的任何一個，那么再看圖中能否挖掘出一些隱含條件。如果還沒有的話，再想該定理的各個題設條件，如何由此題已知的條件，依據(jù)別的定理怎樣推出）。等到殘缺的條件一一被推出，最后再把隱含條件，或已知條件擺出，只要最終定理的各個題設條件齊全了，就可依該定理推得它的結論，也就是此題求證的結論，從而達到此題證明的最終目的。第四、必須讓學生知道所有定理的題設條件個數(shù)和結論個數(shù)有以下四種對應關系∶

①一對一例如∶∵△ABC中，AB=AC

∴

△ABC是等腰三角形。②一對多例如∶∵△ABC≌△DEF∴AB=DE,BC=EF,AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,③多對一

例如∶∵AB=DE,BC=EF,AC=DF

∴△ABC≌

△DEF(sss)④多對多例如∶第五、初教證明時，教師一定要認真負責，舍得花大功夫在批改作業(yè)中；對學生作業(yè)中出現(xiàn)的各種各樣問題，一定要及時集體糾正強調指出。如“∵XXX又∵XXX”這種就告訴學生，可以用一個“∵XXX、XXX”開頭，幾個條件一起放在“∵”之后；對于“∴”開頭這種就告訴學生，直接證明題的首句幾乎都是“∵”開頭，不可能以“∴”開頭；像“問題三”這種“∵”內容和“∴”內容根本不能配成任何定理就屬于錯誤推理了，這種錯誤一出現(xiàn)就明確指出錯因，并在班上強調，另外，更應重視公理化體系中學過的每條定理，學生都須掌握好它們的幾何語言，這樣也能盡量避免錯誤推理；像前面“問題五”的情況，應讓學生知道：必須先把最終定理題設缺的條件證出，最后再擺出此定理在已知中告訴的條件。很多條件用時再擺，不可過早或過晚擺在別處；對于前面“問題八”是很多學生易犯得錯誤，把幾步推理合并一步。這種問題，建議教學時讓學生分階梯訓練。先訓練直接定理的一步推理，再訓練需兩個定理的兩步推理，再訓練三步推理，依此類推就可讓學生養(yǎng)成一層一層推理的好習慣，而避免省略過程的“跨大步”推理；對于其他指出的問題，同樣建議教師勤發(fā)現(xiàn)、勤糾正、勤強調。作業(yè)批改一定要細，盡量擠時間對學生一一面對面糾錯。這樣前面功夫下到位，后面學生整體一上路，立馬會良性循環(huán)。以往的書寫混亂、沒有條理、不知其意等問題就會大大降低，才能最終達到初中學生幾何證明題的教學要求。第六、注意分析過程綜合化的教學分析過程綜合化就是指分析問題時從已知出發(fā)、從結論入手、結合圖形進行問題解決．在幾何證明問題的分析過程中通常使用兩種邏輯思維方法即綜合法和分析法．所謂分析綜合法是指從命題的兩頭（題設和結論）向中間靠攏，使思維更集中，目標更明確，容易發(fā)現(xiàn)問題的突破口，利于找到問題的簡捷證．.一方面從結論出發(fā)，一步步往上推；另一方面，從已知條件出發(fā)一步步往下推，最后在中途匯合．比如：已知：如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為直角邊向△ABC外部作等腰直角三角形△ABD和△ACE，點P、M、N分別為BC、BD、EC的中點．求證：PM=PN．分析：如果從已知條件“△ABD和△ACE是等腰直角三角形”出發(fā)就可以直接得到結論AB=AD，AC=AE及∠BAD=∠CAE=90°，再根據(jù)已有的解題經(jīng)驗，由AB=AD，AC=AE及∠BAD=∠CAE=90°，又顯而易見地能得到△ADC≌△ABE，從而可以得到△ADC和△ABE的對應邊相等、對應角相等．這道題從結論PM=PN入手，已知PM和PN分別是只要△BDC和△CBE的中位線，只須證CD=BE即可．從已知條件出發(fā)我們可以得到CD=BE，從結論入手我們需要CD=BE，這樣我們就找到了問題的接洽點，使這個問題得到順利解決．在分析問題時，采用分析過程綜合化的策略，不僅可以使學生掌握數(shù)學基本的思維方法，同時培養(yǎng)了學生的思維能力，提高了學生解決問題的水平．第七、注意圖形變換在證明中的應用新課程標準下的初中數(shù)學課程增加了圖形變換的內容，特別是平移、旋轉和軸對稱三種全等變換為學生解決幾何證明問題打開了一扇找到解題思路和方法的窗戶．平移、旋轉和軸對稱三種變換的共同特點是改變圖形的位置的同時，保證圖形變換前與變換后的對應元素的大小不發(fā)生變化．這三種變換有利于培養(yǎng)學生的空間感、豐富學生的解題方法，因而教師在教學中應加以注意．比如：已知，如圖3所示，M是正方形ABCD的BC邊上的一點，K是∠DAM的平分線與CD的交點，求證：AM=DK+BM分析：延長CB到點H，使BH=DK，則MH=DK+BM．這樣問題即轉化為證明AM=HM，即證△AHM為等腰三角形．因而需要添加輔助線．如何添加輔助線是幾何教學的難點，如果恰當?shù)剡\用旋轉變換，將△ADK繞著點A順時針旋轉90°，使AD與AB重合，使原來分散的DK和MB集中成一條線段MH，并與AM構成三角形，把問題轉化為證等腰三角形．第八、注意設計開放性的題目改變常規(guī)封閉問題的呈現(xiàn)形式，不直接給出問題的結論或使問題的條件不完備，問題的結論由學生設計或問題的條件由學生探究完成．開放性的題目體現(xiàn)了新課程理念，體現(xiàn)了教師以學生為中心的教學觀．教師要注意開放度，既要大膽地放，把時間留給學生，讓學生有機會去嘗試問題設計，又要善于把握全局．設計開放性的題目有效地激發(fā)學生敢于思考問題、主動參與知識的建構過程，有利于激發(fā)學生的好奇心和求知欲；改變了原有的封閉思維模式，促進學生思維的發(fā)展．比如：已知：如圖4，C為AB上一點，△ACD、△BCE都是正三角形．求證：？．學生經(jīng)過思考后，可創(chuàng)造出多種結論結論一：AE=DB結論二：由AD∥CE，可得△APD∽△ECP、△ABD∽△CBQ、△AMD∽△ECP；而三角形相似又可得到對應邊成比例；同理還有DC∥BE得對應邊成比例；結論三：由比例式又可判定PQ∥AB；結論四：可證等邊△PQC

本題將問題設計的機會留給學生，讓學生展開合理的聯(lián)想和想象，并根據(jù)自己的認知起點和學習經(jīng)驗，從多角度、多方位、多層次進行思考，既體現(xiàn)了學生個性化學習，又體現(xiàn)了學生之間的合作學習，有利于學生良好思維品質的形成．如何才能讓學生的思路清晰，經(jīng)過我多年的教學經(jīng)驗總結與分析研究，應努力引導和培養(yǎng)學生的以下五種解題思路和方法，精講多練，多讓學生自已歸納和總結解題思路，積累證明題目的經(jīng)驗，教師點拔強調讓其成為學生的做證明題的思維習慣。一、分析逆推法所謂分析逆推法應該就是“由果索因”地對所要證明的結論的周密分析，逆向逐步找出結論成立需要具備的充分條件。在平面幾何證明題中，這一解題思路是用得最多也是最常用的思路的。例如：如圖在ΔABC中，BD和CE分別是ΔABC的兩條高。求證：∠ABC=∠ADE.解題思路分析：從逆向思維的角度出發(fā)，從結論出發(fā)，欲證明∠ABC=∠ADE，若能證明ΔADE∽ΔABC就可以得出∠ABC=∠ADE，這樣就把證明∠ABC=∠ADE的問題轉化為證ΔADE∽ΔABC的問題。如何去證明ΔADE∽ΔABC呢？結合題設，這里已有∠A=∠A這個條件，要找到其余一組角對應相等是不可能的，若有條件AD/AB=AE/AC就可以得出ΔADE∽ΔABC，這樣把證明ΔADE∽ΔABC的問題轉化為證明AD/AB=AE/AC的問題，那么有如何去證明AD/AB=AE/AC呢？只要證明出ΔADB與ΔAEC相似即可得出AD/AB=AE/AC這個結論。這樣又把證明AD/AB=AE/AC的問題轉化為ΔADB∽ΔAEC的問題，而根據(jù)條件完全可以證明出ΔADB∽ΔAEC，這樣把剛才思維過程按照思維順序的反向順序進行書寫即可得出推理證明全過程。二、綜合順推法綜合順推法是指從已知條件出發(fā)，借助其性質和有關定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題，其特點和思路是“由因導果”，即從“已知”看“可知”，逐步推向“要證明的結果”。這一方法適用于比較簡單的證明題目，例如：如圖，在△ABC中，AB=AC，點P是上任意一點，PE//AB，PF//AC。問：PE，PF，AB之間有什么關系？并說明理由；解題思路分析：當學生得到這個題，認真分析后會要求找出PE，PF，AB之間有什么關系，首先學生應該有一種較合理的感覺，線段與線段的關系主要有位置關系和長度關系，很明顯不會是位置關系而是長度關系。由AB=AC推出∠B=∠C(等邊對等角)由PE//AB，PF//AC推出四邊形AEPF是平形四邊形∠BPF=∠C由∠BPF=∠C推出BF=PF由四邊形AEPF是平形四邊形推出AF=PE因為AB=AF+BF通過等量代換可得AB=PF+PE到此學生可以分析結果先可作出判斷AB=PF+PE，再根據(jù)思路寫出證明過程就完成了。三、分綜結合法對于從結論很難分析出思路的題目，同學們可以結合結論和已知條件認真的分析，初中數(shù)學中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，例如給我們三角形某邊中點，我們就要想到中線、中位線。要求證三角形角相等，我們就要想到邊相等、三角形全、三角形相似等。用正逆結合的思路去思考解題的方法。例如：已知：如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點。求證：△ABE≌△ADF解題思路分析：（1）由條件入手“由因導果”的推理由E、F分別是BC、CD的中點推出BE=EC，CF=FD由在菱形ABCD可得AB=BC=CD=AD∠B=∠D（2）由結果入手“由果索因”的推理要證明△ABE≌△ADF得先熟練掌握全等的判定定理（AAS，ASA，SSS，HL），是用哪一個判定定理得先作簡單思考。通過（1）的分析已得出AB=BC=CD=AD∠B=∠D，證明三角形全等已得到了一條邊和一個角，再找一條鄰邊即可以判定全等了。于是再綜合分析“由E、F分別是BC、CD的中點推出BE=EC，CF=FD”和“由在菱形ABCD可得AB=BC=CD=AD”這兩個結論可推出：BE=EC=CF=FD到此學生可以分析結果先可作出判斷用“SAS”來證明全等，再根據(jù)思路寫出證明過程就完成了。四、添加輔助元素在幾何學中用來幫助解答疑難幾何圖形問題在原圖基礎之上另外所作的具有極大價值的直線或者線段。我們作輔助線的目的你要明確，就是見我們不常見的圖型轉化成我們學過的知識來解答和證明。這種方法需要一定的解題經(jīng)驗和掌握牢固的基礎知識作支撐，例如給我們三角形某邊中點，我們就要想到是否要連出中位線。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰