線性代數(shù)課件：第六章實(shí)二次型

線性代數(shù)課件第六章實(shí)二次型Contents目錄實(shí)二次型的定義與性質(zhì)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)二次型的正定性實(shí)二次型與矩陣的關(guān)系實(shí)二次型的幾何意義實(shí)二次型的定義與性質(zhì)01實(shí)二次型對(duì)于一個(gè)實(shí)數(shù)域上的線性空間V，如果存在一個(gè)由V上的線性函數(shù)f組成的雙線性函數(shù)Q，使得對(duì)于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，則稱Q為V上的一個(gè)實(shí)二次型。二次型的矩陣表示對(duì)于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果將f(x)表示為矩陣A與向量x的乘積形式f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示為Q(x,y)=x^TAy。定義實(shí)二次型總是實(shí)對(duì)稱的，即對(duì)于任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)。實(shí)對(duì)稱性如果對(duì)于所有的非零向量x，都有Q(x,x)>0，則稱實(shí)二次型為正定的。正定性如果對(duì)于所有的非零向量x，都有Q(x,x)<0，則稱實(shí)二次型為負(fù)定的。負(fù)定性性質(zhì)實(shí)二次型可以用于描述線性變換的性質(zhì)和效果，例如旋轉(zhuǎn)、縮放等。線性變換實(shí)二次型可以用于描述曲線和曲面的形狀和性質(zhì)，例如橢圓的形狀和大小等。曲線和曲面實(shí)二次型的應(yīng)用實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型02

定義與性質(zhì)實(shí)二次型定義為一個(gè)多項(xiàng)式，其變量和項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且項(xiàng)的次數(shù)最高為2。實(shí)二次型的性質(zhì)實(shí)二次型具有對(duì)稱性，即對(duì)于任意兩個(gè)變量x和y，x和y的系數(shù)相等。實(shí)二次型的矩陣表示實(shí)二次型可以表示為一個(gè)矩陣和向量的乘積，其中矩陣是二次型中各項(xiàng)系數(shù)的矩陣，向量是變量構(gòu)成的向量。特征值與特征向量線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣的特征值和特征向量可以用來確定標(biāo)準(zhǔn)型。特征值是線性變換的不變因子，特征向量是線性變換的基向量。線性變換通過線性變換可以將實(shí)二次型轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)型。線性變換是通過一個(gè)可逆矩陣左乘原二次型矩陣得到的。唯一性通過不同的線性變換得到的實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的，只是標(biāo)準(zhǔn)型的形式可能不同。實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)換簡(jiǎn)化計(jì)算01通過將實(shí)二次型轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)型，可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程，提高計(jì)算效率。比較大小02通過比較兩個(gè)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，可以比較兩個(gè)二次型的大小，從而比較它們的值。判斷正定性03通過實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，可以判斷該二次型是否為正定、負(fù)定或不定。正定的實(shí)二次型具有正的系數(shù)矩陣，負(fù)定的具有負(fù)的系數(shù)矩陣，不定的系數(shù)矩陣的正負(fù)情況不定。實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用實(shí)二次型的正定性03一個(gè)形式為$f(x_1,x_2,...,x_n)=sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$的二次齊次多項(xiàng)式，其中$a_{ij}$是實(shí)數(shù)。實(shí)二次型對(duì)于任意非零實(shí)向量$x$，如果$f(x)>0$，則稱實(shí)二次型$f$是正定的。正定性定義與性質(zhì)如果實(shí)二次型的主成分都是正的，則該二次型是正定的。主成分分析特征值判定順序主子式判定如果實(shí)二次型的特征值都是正的，則該二次型是正定的。如果實(shí)二次型的順序主子式都大于0，則該二次型是正定的。030201實(shí)二次型的正定性的判定判斷向量組的線性無關(guān)性如果一個(gè)向量組在正定二次型下線性無關(guān)，則該向量組一定是線性無關(guān)的。優(yōu)化問題在優(yōu)化問題中，正定二次型常常被用作目標(biāo)函數(shù)的約束條件，以保證優(yōu)化問題的解是唯一的。判斷矩陣的正定性通過判斷矩陣對(duì)應(yīng)的二次型是否正定，可以確定矩陣的正定性。實(shí)二次型的正定性的應(yīng)用實(shí)二次型與矩陣的關(guān)系040102實(shí)二次型與對(duì)稱矩陣的關(guān)系對(duì)稱矩陣具有一些特殊的性質(zhì)，如特征值和特征向量的性質(zhì)，這些性質(zhì)在研究實(shí)二次型的性質(zhì)時(shí)非常有用。實(shí)二次型可以表示為對(duì)稱矩陣的形式，即$f(x_1,x_2,ldots,x_n)=X^TAX$，其中$A$是對(duì)稱矩陣。實(shí)二次型與矩陣的變換通過矩陣的變換，可以將一個(gè)實(shí)二次型轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式。標(biāo)準(zhǔn)形式的實(shí)二次型更容易分析其性質(zhì)和特征。矩陣的變換包括線性變換和正交變換，這些變換可以用來簡(jiǎn)化二次型的表達(dá)式，并揭示其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。如果兩個(gè)實(shí)二次型可以通過線性變換相互轉(zhuǎn)換，則它們被認(rèn)為是相似的。相似性是二次型之間的一種等價(jià)關(guān)系。判斷兩個(gè)實(shí)二次型是否相似，可以通過判斷它們對(duì)應(yīng)的矩陣是否相似來實(shí)現(xiàn)。如果兩個(gè)矩陣相似，它們的特征值和特征向量也相同，從而它們的二次型也相似。實(shí)二次型與矩陣的相似性實(shí)二次型的幾何意義05實(shí)二次型可以表示為歐幾里得空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的函數(shù)，其實(shí)二次型值等于該點(diǎn)與其中心點(diǎn)的距離的平方。實(shí)二次型的變化與點(diǎn)的位置變化有關(guān)，當(dāng)實(shí)二次型的值發(fā)生變化時(shí)，表示點(diǎn)在空間中的位置發(fā)生了改變。實(shí)二次型與歐幾里得空間中的點(diǎn)積實(shí)二次型可以表示為向量之間的關(guān)系，其實(shí)二次型值等于兩個(gè)向量的點(diǎn)積的平方。實(shí)二次型的變化與向量的方向和長(zhǎng)度有關(guān)，當(dāng)實(shí)二次型的值發(fā)生變化時(shí)，表示向量的方向或長(zhǎng)度發(fā)生了改變。實(shí)二次型與歐幾里得空間中的向量關(guān)系實(shí)二次型與歐