一元微積分A：單調(diào)性凹凸性

一、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值四、函數(shù)圖形的描繪

第四節(jié)單調(diào)性、凹凸性三、曲線的凹凸性與拐點一、函數(shù)的單調(diào)性(monotonicity)定理1．單調(diào)性的判別法證應用拉氏定理,得例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性．2．單調(diào)區(qū)間(monotonicalinterval)求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在一些部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點．方法:例2解單調(diào)區(qū)間為例3解單調(diào)區(qū)間為注意:區(qū)間內(nèi)某些點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,例4（等號僅在某些點成立?。┙饫?證3．利用單調(diào)性證明不等式連續(xù)，且在導，二、函數(shù)的極值(extremum)1．函數(shù)極值的定義1.定義

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.二、函數(shù)的極值(extremum)2．函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,定理2(第一充分條件)(不是極值點情形)(是極值點情形)例1解列表討論極大值極小值圖形如下定理3(第二充分條件)證同理可證(2).例2解圖形如下注意:例3解注意:函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極值點.求極值的步驟:三、曲線的凹凸性與拐點問題:如何研究曲線的彎曲方向?1．曲線的凹凸性(concaveorconvex)圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方定義1．凹凸性的判定定理1123132例1解注意到,2.曲線的拐點(apointofinflection)及其求法①

拐點的定義②拐點的求法注意:拐點是曲線上的點.拐點表示方法2.曲線的拐點(apointofinflection)及其求法①

拐點的定義注意:拐點是曲線上的點.②拐點的求法證方法1:方法1:例2解凹的凸的凹的拐點拐點方法2:例3解注意:例4解四、函數(shù)圖形的描繪如果函數(shù)f(x)

的定義域上的某個小區(qū)間中（1）單調(diào)性已知；（2）凹凸性已知；（3）區(qū)間端點的位置已知或變化趨勢已知；那么可以很容易地畫出函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)的圖形．1．漸近線(asymptotes)定義:(1)鉛直漸近線(verticalasymptotes)例如有鉛直漸近線兩條:(2)水平漸近線例如有水平漸近線兩條:(horizontalasymptotes)(3)斜漸近線(inclinedasymptotes)斜漸近線求法:注意:例6解2．函數(shù)圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第三步第四步

確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢;第五步3．函數(shù)作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極值點間斷點作圖例3解偶函數(shù),圖形關于y軸對稱.拐點極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點例7解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點極大值極小值五、小結思考題

1.

單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應用，定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結論仍然成立.

應用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式.

駐點和不可導點統(tǒng)稱為臨界點.

函數(shù)的極值必在臨界點取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)2.

極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.3.曲線的彎曲方向——凹凸性；凹凸性的判定.

改變彎曲方向的點——拐點;拐點的求法①②.

4.函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究,是導數(shù)應用的綜合考察.最大值最小值極大值極小值拐點凹的凸的單增單減思考題思考題解答不能斷定.例但當時，當時，注意可以任意大，故在點的任何鄰域內(nèi)，都不單調(diào)遞增．思考題下命題正確嗎？思考題解答不正確．例在–1和1之間振蕩故命題不成立．思考題

在地面上建有一座圓柱形水塔，水塔內(nèi)部的直徑為d,并且在地面處開了一個高為H的小門.現(xiàn)在要對水塔進行維修施工，施工方案要求把一根長度為l(l>d)的水管運到水塔內(nèi)部.請問水塔的門多高時，才有可能成功地把水管搬進水塔內(nèi)？水管運進水塔時,一端在地面上滑動,另一端在水塔壁上垂直滑動.設水管運動過程中,在入門處的高度為h,水管與地面的夾角為根據(jù)題意可知：xyhdlO現(xiàn)在計算h的極大值.解建立如右圖示坐標系.思考題

某雜技團刻意求新,在某海濱城市演出時,利用當?shù)乜亢５臈l件,設計了這樣一個節(jié)目：在離開海邊9米的沙灘上,建一10米高臺,高臺下5米處置一極富彈性的斜面(用彈簧編織而成),斜面與水平面成角.然后讓演員從高臺團身跳下,與斜面碰撞(假定為彈性碰撞)后將其彈到海里.不知這個方案是否可行，請鑒定.分析：如右圖示,演員的表演分三個階段完成：自由落體,碰撞,平拋.判斷該方案是否可行,就是看經(jīng)過這樣的運動之后能否平安地落入海中.這只需計算平拋階段的水平距離是否大于9米即可.

記高臺、高臺距斜面的高度分別為H和h,顯然,s是h的函數(shù),問題轉化為求s(h)的極大值.00h0Hs演員碰到斜面時的速度可計算得,由于假定是彈性碰撞，因而他水平飛出的速度,演員從(H-h)處自由下落需要的時間為故演員水平飛出的距離為即把斜面放在全高的一半處,就可得到最大的水平距離.即飛出的距離可達10米,而高臺離海邊僅