人教版八年級上冊數(shù)學(xué)第13章 軸對稱 單元測試卷（含答案）

人教版八年級上冊數(shù)學(xué)第13章軸對稱單元測試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.如圖，有4B,C三個居民小區(qū)，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到

三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（

A

.0-.

B0"....................2

A.乙4,NB兩內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)處B.AC,4B兩邊高線的交點(diǎn)處

C.AC,兩邊中線的交點(diǎn)處D.AC,AB兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處

2.下列判斷正確的是（）

A.點(diǎn)（一3,4）與（3,4）關(guān)于x軸對稱B.點(diǎn)（3,-4）與點(diǎn)（-3,4）關(guān)于y軸對稱

C.點(diǎn)（3,4）與點(diǎn)（3,-4）關(guān)于x軸對稱D.點(diǎn)（4,一3）與點(diǎn)（4,3）關(guān)于y軸對稱

3.如圖，在Rt△力BC中，4BAC=90°,乙B=50°,AD1BC,

垂足為。，△4DB與△408'關(guān)于直線AD對稱，點(diǎn)B的對稱

點(diǎn)是點(diǎn)夕，則NC4B'的度數(shù)為（）

A.10°B.20°C.30°

4.如圖，在AABC中，AB=AC,ZC=70°,A/IFG與AABC關(guān)

于直線0E成軸對稱，Z.CAE=10°,連接BF,貝!）乙48尸的度數(shù)

是（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

如圖，在△ABC中，AB=AC,4c=65。，點(diǎn)。是BC邊上任

意一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。尸〃力8交4C于點(diǎn)E,則NFEC的度數(shù)是（）

A.120°B.130°C.145°D.150°

6.若等腰三角形的周長為19cm,一邊長為7cm,則腰長為（）

A.7cmB.5cmC.7cm^5cmD.7cm或6cm

7.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)。是BC上任意一點(diǎn)，OE,。尸分別于兩

邊垂直，且等邊三角形的高為2,則OE+OF的值為（）

A.5B.4C.3D.2

BO

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8.等腰三角形的底角是15。，腰長為10,則其腰上的高為（）

A.8B.7C.5D.4

9.如圖，在△ABC中，AB=AC.

A

（1）分別以8,C為圓心，BC長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D;

（2）作射線力D,連接BD,CD.

根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，判斷下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.^BAD=乙CADB.△BCD是等邊三角形

C.力。垂直平分BCD.S四邊形ABDC=AD-BC

10.如圖，在△4BC中，乙4BC和乙4cB的平分線相交于點(diǎn)。，?

過點(diǎn)。作EF//BC交4B于E,交AC于F,過點(diǎn)。作。。1AC/\

于D,下列選項(xiàng)中結(jié)論錯誤的是（）一，\F

A.EF=BE+CF

B-NB0C=9（T+）4

C.點(diǎn)。到△ABC各邊的距離相等

D.設(shè)。。=m,AE+AF=n,貝心占從“=mn

二、填空題（本大題共8小題，共24分）

11.如圖，直線ni是A4BC中BC邊的垂直平分，點(diǎn)P是直線m

上的動點(diǎn),若AB=6,AC=4,BC=7,則AAPC的周L^\

長的最小值是.\

12.如圖，在四邊形4BCD中，AB=BC=CD=AD,點(diǎn)。到

4B的距離為3,^BAD=60°,點(diǎn)F為4B的中點(diǎn)，點(diǎn)E為ZC

上的任意一點(diǎn)，則EF+EB的最小值為.

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13.如圖，在△ABC中，ZC=90°,48=15°,DE垂直平分48,交8c于點(diǎn)E,BE=4,則

AC=.

14.已知乙4OB=45°,點(diǎn)P在44OB內(nèi)部，點(diǎn)P1與點(diǎn)P關(guān)于OB對稱，點(diǎn)P?與點(diǎn)P關(guān)于對稱,

則Pi，0,P2三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是.

15.已知一個等腰三角形的兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4,則這個等腰三角形的底角的度數(shù)

為.

16.如圖，直線匕〃，2,點(diǎn)4在直線21上,點(diǎn)B在直線，2上，AB=BC,

ZC=30°,41=80°,則42=.

17.如圖，在AABC中，CB=C4,點(diǎn)。在AB上,若BD=BC,AD=CD,

貝此4cB=.

18.如圖，在AHBC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B,C為圓心，

大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于M,N兩點(diǎn)；②作直線MN

交4B于點(diǎn)D,連接CD.若CO=AC,ZB=25°,貝此4cB的度數(shù)

為.

三、解答題（本大題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.已知，如圖△ABC中，AB=AC,。點(diǎn)在上，且BD=AD,DC=AC.將圖中的等腰三

角形全都寫出來.并求48的度數(shù).

20.如圖，在AABC中，AD1BC,BC的垂直平分線交4C于點(diǎn)E,BE交力。于點(diǎn)凡求證：點(diǎn)E

在4F的垂直平分線上.

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BD

21.如圖，△ABC是等邊三角形，延長BC到點(diǎn)E,使CE=：BC.點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，連接ED

并延長交48于點(diǎn)用求證：

⑴EF1AB.

(2)DE=2DF.

22.如圖，C4=CB,CD=CE,Z.ACB=/.DCE=a,AD.BE交于點(diǎn)H,連CH.

(1)求證：△力CD三△BCE；

(2)求證：HC平分乙4HE；

(3)求NCHE的度數(shù)(用含a的式子表示).

23.如圖，在△ABC中，AB=AC,40是△ABC的角平分線，點(diǎn)G在邊BC上，EG交4。于點(diǎn)

F,BE=BG=6cm,乙BEG=60°,EF=2cm.

⑴求NDR；的度數(shù).

(2)求BC的長度.

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24.如圖，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)B,C重合)，N是△ABC的外角乙4cH

的平分線上一點(diǎn)，且4M=MN.

(1)尺規(guī)作圖：在直線BC的下方過點(diǎn)B作"BE="84,作NC的延長線，與BE相交于

點(diǎn)E：

(2)求證：△BEC是等邊三角形，

(3)求證：A.AMN=60°.

25.如圖，已知點(diǎn)B,C,。在同一條直線上，ZkaBC和ACDE都是等邊三角形，BE交4c于

點(diǎn)凡AD交CE于點(diǎn)、H.

(1)求證：△BCE=△ACD;

(2)求證：CF-CH;

(3)判斷△的形狀并說明理由.

26.如圖，A/IBC是邊長為6的等邊三角形，P是4c邊上一動點(diǎn)，由點(diǎn)4向點(diǎn)C運(yùn)動(與點(diǎn)4

C不重合)，Q是CB延長線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時以相同的速度由點(diǎn)B向C8延長線方向運(yùn)動

(點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合)，過點(diǎn)P作PE14B于點(diǎn)E,連接PQ交4B于點(diǎn)D.

(1)若設(shè)4P=%,則PC=___,QC~.(用含x的式子表示)

(2)當(dāng)NBQD=30。時，求4P的長.

(3)在運(yùn)動過程中，線段DE的長是否發(fā)生變化?如果不變，求出線段DE的長;如果變化,

請說明理由.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】略

2.【答案】C

【解析】解：4、點(diǎn)(-3,4)與(3,4)關(guān)于y軸對稱;

8、點(diǎn)(3,-4)與點(diǎn)(-3,4)關(guān)于原點(diǎn)對稱；

C、點(diǎn)(3,4)與點(diǎn)(3,-4)關(guān)于x軸對稱；

。、點(diǎn)(4,一3)與點(diǎn)(4,3)關(guān)于x軸對稱.

故選：C.

根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中對稱點(diǎn)的規(guī)律就可以得到.

主要考查了平面直角坐標(biāo)系中對稱點(diǎn)的規(guī)律.解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律:

(1)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

(2)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；

(3)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

由余角的性質(zhì)可求NC=40°,由軸對稱的性質(zhì)可得=NB=50°,由外角性質(zhì)可求解.

【解答】

解：???ABAC=90°,NB=50°,

???ZC=40°,

???△ADB^^4DB'關(guān)于直線4。對稱，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是點(diǎn)夕，

???Z.AB'B=ZB=50°,

/.CAB'=乙AB'B-ZC=10°,

故選：A.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

此題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，正確得出484c度數(shù)

第6頁共17頁

是解題關(guān)鍵.

利用軸對稱的性質(zhì)得出^BAC^LFAG,進(jìn)而結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與等腰三角形的性質(zhì)即

可得出答案.

【解答】

解：???△4FG與AABC關(guān)于直線。E對稱，

△BAC=AFAG9

vAB=AC,ZC=70°,

???/.ABC=Z.AGF=Z.AFG=70°,

???Z,BAC=乙FAG=40°,

???Z.CAE=10°,

???/.GAE=10°,

???^LBAF=40°+10°+10°+40°=100°,

:.Z-ABF=Z.AFB=40°.

故選C.

5.【答案】B

【解析】解：???48=4C,4c=65。，

???Z.B=Z-C=65°,

???DF//AB.

???乙CDE=cB=65°,

:.Z.FEC=Z.CDE4-zC=65°+65°=130°；

故選：B.

由等腰三角形的性質(zhì)得出48==65。，由平行線的性質(zhì)得出NODE=48=65。，再由三

角形的外角性質(zhì)即可得出答案.

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形

的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】。

【解析】

【分析】

本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是分類思想的運(yùn)

用.

分兩種情況討論：當(dāng)7cm為腰長時，當(dāng)7cm為底邊時，分別判斷是否符合三角形三邊關(guān)系即

可.

【解答】

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解：當(dāng)7c?n為腰長時，底邊為5cm,符合三角形三邊關(guān)系;

當(dāng)7cm為底邊時，腰長為6cm,符合三角形三邊關(guān)系；

故腰長為7ctn或6cm,

故選：D.

7.【答案】D

【解析】解：如圖，連接40,

???△4BC是等邊三角形，

???AB=AC—BC,

v0E1AB,OF1AC,

S4ABe=SAAOB+S4Aoe'

：.-BCX2=-AB-OE+-AC-OF,即工x2=-(0E+0F),

222‘22、}

OE+OF=2；

故選：D.

三角形ABC的面積等于三角形40B的面積+三角形AOC的面積，根據(jù)△ABC是等邊三角形，

所以三角形是等底的三角形，且高。F+高0E等于三角形4BC的高.

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三條邊都相等.本題利用面積法解決問題，這

也是幾何題中常用的方法.

8.【答案】C

【解析】略

9.【答案】D

【解析】略

10.【答案】D

【解析】解：???在△力BC中，乙4BC和乙4cB的平分線相交于點(diǎn)。，

???AOBC=-AABC,AOCB=-AACB,

22

Z-OBC+乙OCB=-AABC+-AACB=-(180°-乙4)=90°-二乙4,

AZ-BOC=180°-(乙OBC+4OCB)=90°+[4/，故8選項(xiàng)結(jié)論正確；

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???在△ABC中，乙4BC和乙4cB的平分線相交于點(diǎn)。，

???Z.OBC=Z.OBE,Z.OCB=乙OCF,

???EF//BC,

??Z-OBC=Z.EOB,Z.OCB=Z-FOC,

:.Z.EOB=乙OBE,Z.FOC=4OCF,

???BE=0E,CF=OF,

???EF=OE+OF=BE+CF,

故A選項(xiàng)結(jié)論正確；

過點(diǎn)。作OM于M,ONtBC于N,連接04,如圖,

???在△ABC中，乙48c和乙4C8的平分線相交于點(diǎn)0,

???ON=0D=0M=m,

11

SMEF=S〉A(chǔ)OE+S△工OF=-AE-OM+-AF-OD

=\0D-(AE+AF)=1mn,故。選項(xiàng)結(jié)論錯誤；

???在△4BC中，41BC和乙4cB的平分線相交于點(diǎn)0,

.?.點(diǎn)。到△ABC各邊的距離相等，故C選項(xiàng)結(jié)論正確.

故選。.

11.【答案】10

【解析】???直線m垂直平分BC,

；.B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線m對稱，

如圖，設(shè)直線m交4B于。，連接CD,則BD=CD.

當(dāng)P和。重合時，AP+CP的值最小，最小值等于4B的長,

??.△APC的周長的最小值是6+4=10.

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12.【答案】解：如圖，連接BD.

?:AB=BC=CD=AD,

4C垂直平分BD.

.,?點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D.

連接DF，則DF的長即為EF+EB的最小值.

在△ABD中，由4BAD=60。，AD=AB,可得△4BD為等邊三角形.

???點(diǎn)F為4B的中點(diǎn)，

???DFLAB.

DF=3.

EF+EB的最小值為3.

【解析】見答案

13.【答案】2

【解析】略

14.【答案】等腰直角三角形

【解析】略

15.【答案】30°或80°

【解析】略

16.【答案】40。

【解析】略

17.【答案】108°

第10頁共17頁

【解析】略

18.【答案】105°

【解析】略

19.【答案】解：圖中等腰三角形有△48C,〉A(chǔ)DB,^ADC

???AB=AC

.,.△ABC是等腰三角形；

vBD=ADfDC=AC

：.△ADB^WLADC是等腰三角形；

???AB=AC

???LB—Z-C

vBD=AD,DC=AC

:.Z.B=Z-BAD,Z-ADC=Z.DAC=2z_B,

在^ACD中，

vZ-ADC-Z.DAC=2(B,zC=乙B,

???5乙B=180°

AZ-B=36°.

【解析】因?yàn)?AC,BD=AD,DC=AC,由等腰三角形的概念得△/BC,△4D8,△4DC

是等腰三角形，再根據(jù)角之間的關(guān)系求得NB的度數(shù).

此題考查了等腰三角形判定；解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用等腰三角形的判定方法，注意

數(shù)形結(jié)合的解題思想，在圖形上找到等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵.

20.【答案】證明：，,BC的垂直平分線交4c于點(diǎn)E,

???BE=CE.

:.Z.EBC=Z-C.

AD工BC,

??.ZC+Z-CAD=90°,乙EBC+乙BFD=90°.

:.Z-CAD=乙BFD.

vZ.BFD=Z-AFE,

:.Z-AFE=Z.CAD.

???AE=EF.

：?E在/尸的垂直平分線上.

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【解析】見答案

21.【答案】證明：（1）是等邊三角形,

???AC=BC,乙4cB=乙ABC=60°.

vD為力C的中點(diǎn)，

1

AD=CD=-AC.

2

???CE=-BC.??CD=CE.

29

4E=Z.CDE=-^ACB=30°.

2

v/LABC=60°,

???Z.EFB=180°-60°-30°=90°.

???EF1AB.

（2）連接BD,

是等邊三角形，

■■.AB=BC,/.ABC=60°.

???。為4c的中點(diǎn)，

LDBC=/.ABD=-^ABC=30".

2

???乙E=30°,

,Z.DBC=zE.

.?.DE=BD.

vZ.BFE=90°,^ABD=30°,

???BD=2DF.即DE=2DF.

【解析】見答案

22.【答案】（1）證明：???LACB=乙DCE=a,

:.Z-ACD=乙BCE,

在△ACD和ABCE中，

第12頁共17頁

CA=CB

Z-ACD=乙BCE,

CD=CE

???△4CD三△BCE(S/S)；

(2)證明：過點(diǎn)C作CM于M,CN1.BE于N,如下圖所示,

??,△ACD=LBCE,

?*,S>ACD=S^BCE,力。=BE,

2AD-CM=-2-BE-CN,

ACM=CN,

???HC平分乙4”E；

(3).??△ACD=^BCE,

???乙CAD=乙CBE,

?:乙AOC=^BOH,

:.Z-AHB=Z.ACB=Q,

???Z.AHE=180°-a,

11

???乙CHE=-^AHE=90°--a.

22

【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì).此題難度適中，注意掌

握輔助線的作法.

(1)由CA=CB,CD=CE,Z.ACB=/.DCE=a,利用SAS,即可判定：△ACC三△BCE；

(2)首先作CM1AD^M,CN1BE于N,由4ACD^LBCE,可得Sgc。=S^CE，AD=BE,

根據(jù)三角形的面積公式可得CM=CN,即可證得CH平分乙4HE；

(3)由4ACD^^BCE,可得=乙CBE,繼而求得NAHB=Z.ACB=a,則可求得NCHE的

度數(shù).

23.【答案】解：(1)???EB=BG=6cm,乙BEG=60°,

??.△EBG是等邊三角形，

???EG=BE—6cm,Z.FGD-60°.

vEF=2cm,

第13頁共17頁

???FG=4cm,

?:AB=AC.AD^^Z.BAC,

:.AD±BC,BD=CD,

vzDFG=90°-60°=30°,

(2)在RtADFG中，vFG=4cm,Z.DFG=30°,

??

?DG=2-Z-GF=2cm,

:.BD=BG-DG=4cm,

???BC=2BD=8cm.

【解析】(1)證明△BEG是等邊三角形，推出NDGF=60。，再利用等腰三角形的性質(zhì)解決問

題即可.

(2)想辦法求出8D,再利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可.

本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形等知識，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

24.【答案】解：(1)作圖如圖所示.

v

E

(2)證明：???△48C是等邊三角形，

???^ABC=乙ACB=60°,

:ACH=120°,

???CN平分乙ACH,

:.乙HCN=乙BCE=60°,

???乙CBE=Z.CBA=60°,

:.Z.EBC=乙BCE=60°,

8EC是等邊三角形.

(3)證明：連接ME,

,*'△48c和^BCE都是等邊三角形,

第14頁共17頁

，AB—BC—BE.

在△4BM和△EBM中，

AB=EB

[/.ABM=乙EBM

BM=BM

三△EBM(SAS),

?.AM=EM,^BAM=Z.BEM.

???AM=MN,

???MN=EM,

???乙N=匕CEM,

v乙HCN=4N+乙CMN=60°,

乙BEC=乙BEM+乙CEM=60°,

???乙CMN=4BEM=Z.BAM,

???Z.AMC=Z-ABC+/-BAM=乙AMN+乙CMN,

???Z,AMN=60°.

【解析】(1)以B為圓心，以任意長為半徑畫弧，交45、BC兩邊為。和凡以尸為圓心，以DF

為半徑畫弧，交前弧于G,作射線8G,交NC的延長線于E,則ZC8E=4C8/;

(2)證明三個角都是60。，可得結(jié)論；

(3)作輔助線，構(gòu)建三角形全等,證明△ABM=△EBM(SAS),得4M=EM,乙BAM=4BEM,

證明"MN=乙BEM=NB/M,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論.

25.【答案】(1)證明：???△48C和△CDE都是等邊三角形，

:.BC=AC,CE=CD,

乙ACB=乙ECD=60°.

/.(BCE=60°+Z,ACE=乙ACD.

/.△BCE三△4CD(SAS).

(2)證明：???△BCE三△4CD,

???乙FBC=LHAC.

vZ-ACB=60°,Z.FCH=180°-4ACB-乙ECD=60°,

/.(BCF=Z.ACH.

又「BC=AC,

??.△BCF=^ACH{ASA).

ACF=CH.

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(3)解：是等邊三角形.

理由：「CFuCH,ZFCH=60",

.?.△CFH是等邊三角形.

【解析】見答案

26.【答案】

(1)6—x；6+%；

(2)解：?:在QCP中,vA.BQD=30°,ZC=60°

:.Z-QPC=90°

PC=|QC,

即6—x=1(6+x)>

解得x=2,

.-.AP=2；

(3)解：當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時，線段DE的長度不會改變.理由如下:

作QF14B,交直線4B的延長線于點(diǎn)F,連接QE,PF,

又,：PE14B于E,

Z.DFQ=Z.AEP=90°,

???點(diǎn)P、Q速度相同，

???AP=BQ,

,->△48c是等邊三