高考理科數(shù)學(xué)二次函數(shù)復(fù)習(xí)資料

第講7二次函數(shù)（第一課時(shí)）第二章函數(shù)1考點(diǎn)搜索●二次函數(shù)的基本知識(shí)●實(shí)系數(shù)二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)根的符號(hào)與二次方程系數(shù)之間的關(guān)系●已知二次函數(shù)的解析式，求其單調(diào)區(qū)間；已知二次函數(shù)的某一單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的范圍●一元二次方程根的分布●二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值高2高考猜想高考中很多問(wèn)題最后都要化歸為二次函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，因而必須熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用這些性質(zhì)去解決實(shí)際問(wèn)題；高考中若出現(xiàn)二次函數(shù)與方程、不等式的綜合題，一般難度較大，平時(shí)應(yīng)注意這方面能力的培養(yǎng).3一、二次函數(shù)的圖象特征1.a＞0時(shí)，開(kāi)口

，Δ≥0時(shí)與x軸的

為方程ax2+bx+c=0的兩實(shí)根；Δ＜0時(shí)，拋物線與x軸

，

恒成立.向上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不相交ax2+bx+c＞042.

a＜0時(shí)，開(kāi)口

，Δ≥0時(shí)與x軸

為方程ax2+bx+c=0的兩實(shí)根；Δ＜0時(shí)，拋物線與x軸

，

恒成立.向下交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不相交ax2+bx+c＜05二、二次函數(shù)的解析式1.

一般式：f(x)=

(a≠0).2.

頂點(diǎn)式：f(x)=

(a≠0).3.

零點(diǎn)式：f(x)=

(a≠0，x1，x2為兩實(shí)根).ax2+bx+ca(x-h)2+k

a(x-x1)(x-x2)6三、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值設(shè)f(x)=a(x-k)2+h(a＞0)，在區(qū)間［m，n］上的最值問(wèn)題有：1.

若k∈［m，n］，則ymin=f(k)=

，ymax=max{f(m)，f(n)}.h72.

若k

［m，n］，則當(dāng)k＜m時(shí)，ymin=

，ymax=

;當(dāng)k＞n時(shí)，ymin=

，ymax=

.(當(dāng)a＜0)時(shí)，可仿此討論).f(n)f(m)f(m)f(n)81.若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,11)，則()A.a=1,b=-4,c=-11B.a=3,b=12,c=11C.a=3,b=-6,c=11D.a=3,b=-12,c=119二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)f(x)=a(x-2)2-1，又f(x)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,11),所以f(0)=a(0-2)2-1=11，解得a=3，所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.故選D.答案：D102.設(shè)a為常數(shù)，f(x)=x2-4x+3,若函數(shù)f(x+a)為偶函數(shù)，則a=

；f［f(a)］=

.由函數(shù)f(x+a)為偶函數(shù)，知f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)，而f(x)=x2-4x+3的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2,所以a=2，從而f［f(a)］=f［f(2)］=f(-1)=8.28113.已知函數(shù)f(x)=x2+4x(x≥0)4x-x2(x<0),若f(2-a2)>f(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)由題知f(x)在R上是增函數(shù)，故得2-a2>a，解得-2<a<1，故選C.C12

題型一：求二次函數(shù)的解析式1.已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，則此二次函數(shù)的解析式為

.13解法1：利用二次函數(shù)的一般式.設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由題意得4a+2b+c=-1a-b+c=-1解得所以所求二次函數(shù)為f(x)=-4x2+4x+7.a=-4b=4c=714解法2：利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式.設(shè)f(x)=a(x-m)2+n，因?yàn)閒(2)=f(-1)，所以拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為所以又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，所以n=8，所以又因?yàn)閒(2)=-1，所以解得a=-4.所以15解法3：利用二次函數(shù)的零點(diǎn)式.由已知，f(x)+1=0的兩根為x1=2，x2=-1，故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1)，即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函數(shù)有最大值［f(x)］max=8，即解得a=-4或a=0(舍去)，所以所求函數(shù)解析式為16點(diǎn)評(píng)：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是根據(jù)題中條件得到待求系數(shù)的方程組，而正確選用二次函數(shù)的形式，可簡(jiǎn)化求解過(guò)程.17已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：對(duì)任意x∈R，都有f(x)≤f(1)=3成立，且f(0)=2，則f(x)的解析式是()A.-x2-2x+2B.-x2+2x+2C.x2-2x+2D.x2+2x+218由已知，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取最大值3，從而可設(shè)f(x)=a(x-1)2+3(a＜0).因?yàn)閒(0)=2，所以a+3=2，即a=-1.所以f(x)=-(x-1)2+3=-x2+2x+2，故選B.答案：B19題型二：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題2.已知函數(shù)的最大值為2，求a的值.分析：令t=sinx，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題.20令t=sinx，t∈［-1,1］，所以對(duì)稱(chēng)軸為(1)當(dāng)即-2≤a≤2時(shí)，ymax=(a2-a+2)=2，得a=-2或a=3(舍去).(2)當(dāng)a2>1，即a>2時(shí)，函數(shù)在［-1,1］上單調(diào)遞增，由得21(3)當(dāng)即a<-2時(shí)，函數(shù)在［-1,1］上單調(diào)遞減，由得a=-2(舍去).綜上可得：a=-2或22點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值，一般與區(qū)間的端點(diǎn)及頂點(diǎn)值有關(guān)；而含參二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，一般根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系來(lái)分類(lèi)討論，如：軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間上，軸在區(qū)間右邊，最后再綜合歸納得出結(jié)論.232425262728

題型三：三個(gè)二次的關(guān)系3.已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f(x)＞-2x的解集為(1，3).(1)若方程f(x)+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍.29(1)因?yàn)閒(x)+2x＞0的解集為(1，3)，所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a＜0.因此f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①由方程f(x)+6a=0，得ax2-(2+4a)x+9a=0.②30因?yàn)榉匠挞谟袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ=［-(2+4a)］2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0，解得a=1或由于a＜0，舍去a=1.將代入①，得f(x)的解析式為31(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a及a＜0，可得f(x)的最大值為由a＜0，可得故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是32點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)是聯(lián)系二次方程、二次不等式的樞紐，解題中常以二次方程為基礎(chǔ)，以二次函數(shù)圖象為工具，解決有關(guān)方程、不等式、函數(shù)等綜合問(wèn)題.33第講7二次函數(shù)（第二課時(shí)）第二章函數(shù)34題型四：二次方程實(shí)根的分布1.方程x2-2ax+4=0的兩根均大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.35設(shè)f(x)=x2-2ax+4，由于方程x2-2ax+4=0的兩根均大于1，因此，據(jù)二次函數(shù)圖象應(yīng)滿(mǎn)足:Δ≥0f(1)＞0，解得故實(shí)數(shù)a的取值范圍是4a2-16≥0a＞1a＜，即36點(diǎn)評(píng)：一元二次方程根的分布中的參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，一般先構(gòu)造對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的圖象，對(duì)三要素(即判別式、二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、根分布區(qū)間的端點(diǎn)值)的符號(hào)進(jìn)行分析判斷，得到相應(yīng)的不等式組，通過(guò)解不等式組便可求得參數(shù)的取值(范圍).37若關(guān)于x的方程2ax2-x-1=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0，1)B.(-1，1)C.(1，+∞)D.(-∞，-1)38設(shè)f(x)=2ax2-x-1，則f(0)=-1.因?yàn)榉匠蘤(x)=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)恰有一解，所以f(1)＞0，即2a-2＞0，所以a＞1，故選C.答案：C39題型五：二次函數(shù)中的證明問(wèn)題2.已知a∈R,f(x)=ax2+x-a,-1≤x≤1.(1)若f(x)的最大值為求實(shí)數(shù)a的值;(2)若|a|≤1,求證:40(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x,則［f(x)］max=xmax=1≠當(dāng)a≠0時(shí)，二次函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［-1,1］上的最大值只能在端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得.41因?yàn)閒(-1)=-1,f(1)=1，所以f(x)的最大值為只能在頂點(diǎn)取得,故a<0-1<-12a<1解得a=-2.42(2)證明：|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a||x2-1|+|x|≤|x2-1|+|x|=-|x|2+|x|+143點(diǎn)評(píng)：解決與二次函數(shù)有關(guān)的代數(shù)證明，可以從兩個(gè)方面入手：一是三個(gè)二次的關(guān)系式的相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)思想解決有關(guān)不等關(guān)系或相等關(guān)系；二是利用二次函數(shù)的圖象特征，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化.44設(shè)函數(shù)