經(jīng)濟數(shù)學微分基本公式外語學習

1/1經(jīng)濟數(shù)學-微分基本公式-外語學習

第三節(jié)微積分基本公式一、問題的提出二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)三、牛頓-萊布尼茨公式四、小結思索題

一、問題的提出變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系

設某物體作直線運動，已知速度vv(t)是時間間隔[T1,T2]上t的一個連續(xù)函數(shù)，且v(t)0,求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.變速直線運動中路程為

T2

T1

v(t)dt

另一方面這段路程可表示為s(T2)s(T1)

v(t)dts(T2)s(T1).其中s(t)v(t).T1

T2

二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)[a,b]上連續(xù)，設函數(shù)f(x)在區(qū)間并且設考察定積分x為[a,b]上的一點，

x

a

f(x)dxf(t)dta

x

假如上限x在區(qū)間[a,b]上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個對應值，所以它在[a,b]上定義了一個函數(shù)，記為

(x)f(t)dt,稱為積分上限函數(shù)。a

x

積分上限函數(shù)的性質(zhì)定理1假如f(x)在[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)(x)

dx是(x)f(t)dtf(x)adx證(xx)

x

a

f(t)dt在[a,b]上具有導數(shù)，且它的導數(shù)(axb)

xx

a

yf(t)dt

(xx)(x)

(x)

xx

a

f(t)dtf(t)dtoa

x

a

x

xxb

x

f(t)dta

x

xxx

f(t)dtf(t)dta

x

xxx

f(t)dt,

y

由積分中值定理得

(x)

xxxbxoaf()x介于x與xx之間

f(),x

limlimf()x0xx0(x)f(x).

x0,x

補充

b(x)可導，假如f(t)連續(xù)，a(x)、

則

db(x)f(t)dtfb(x)b(x);dxdf(t)dtfa(x)a(x);dxaxdb(x)f(t)dtfb(x)b(x)fa(x)a(x).dxax

證

F(x)

b(x)

0

a(x)

f(t)dt0

a(x)

b(x)

0

f(t)dta(x)0

b(x)

f(t)dt

f(t)dt,

F(x)fb(x)b(x)fa(x)a(x)

例1

求

limx0

1

cosx

edt2

t2

x

.

0分析：這是型不定式，應用洛必達法則.0d1t2dcosxt2解edtedt,dxcosxdx1ecos2x1

(cosx)sinxe

cos2x

,

limx0

cosx

edt2

t2

x

sinxelimx02x

cos2x

1.2e

例2

設f(x)在(,)內(nèi)連續(xù)，且f(x)0.x0x0

證明函數(shù)F(x)加函數(shù).

tf(t)dtf(t)dt

在(0,)內(nèi)為單調(diào)增

證

dxdxtf(t)dtxf(x),f(t)dtf(x),dx0dx0F(x)xf(x)

f(t)dtf(x)tf(t)dt0xx

x

0

f(t)dt

0

2

F(x)

f(x)(xt)f(t)dt

x

0

x

0

f(t)dt

2

,

f(x)0,(x0)x0

f(t)dt0,0

x

(xt)f(t)0,(xt)f(t)dt0,

F(x)0(x0).故F(x)在(0,)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).

例3

設f(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(x)1.證明

2xf(t)dt1在[0,1]上只有一個解.0

x

證令F(x)2x

x

0

f(t)dt1,

f(x)1,F(x)2f(x)0,

F(x)在[0,1]上為單調(diào)增加函數(shù).F(0)10,F(1)1f(t)dt0[1f(t)]dt0,101

所以F(x)0即原方程在[0,1]上只有一個解.

定理2(原函數(shù)存在定理)假如f(x)在[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)(x)原函數(shù).

x

a

f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一個

定理的重要意義：(1)確定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.

(2)初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.

三、牛頓—萊布尼茲公式(Newton-LeibnitzFormula)

定理3(微積分基本公式)

假如F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則證x

b

a

f(x)dxF(b)F(a).

已知F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，

又(x)

a

f(t)dt也是f(x)的一個原函數(shù),

F(x)(x)C

x[a,b]

令xaaa

F(a)(a)C,

(a)f(t)dt0F(a)C,

F(x)f(t)dtC,a

x

x

a

f(t)dtF(x)F(a),

令xb

b

a

f(x)dxF(b)F(a).

牛頓—萊布尼茨公式

b

a

f(x)dxF(b)F(a)F(x)

ba

微積分基本公式表明：一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于[a,b]上的增量.它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間

求定積分問題轉化為求原函數(shù)的問題.

留意當ab時，

b

a

f(x)dxF(b)F(a)仍成立.

例4

求

2

0

(2cosxsinx1)dx.2

解

原式2sinxcosxx0

22x0x1例5設f(x),求f(x)dx.01x2y5

3.2

解

2

0

f(x)dxf(x)dxf(x)dx0112

1

2

在[1,2]上規(guī)定當x1時，f(x)5,

原式2xdx5dx6.01

o

1

2

x

例6

求

2

2

max{x,x2}dx.y

解

由圖形可知

f(x)max{x,x2}

yx2

yx2

x2x0x0x1,x21x22

o

1

2

x

原式xdxxdx220

0

1

2

1

11xdx.22

例7

求

1

2

1解當x0時，的一個原函數(shù)是ln

|x|,x111dx2xln|x|2ln1ln2ln2.x軸所圍例8計算曲線ysinx在[0,]上與成的平面圖形的面積.

1dx.x

解

面積A

y

0

sinxdx0o

cosx2.

x

四、小結1.積分上限函數(shù)(x)

x

a

f(t)dt

2.積分上限函數(shù)的導數(shù)(x)f(x)3.微積分基本公式

b

a

f(x)dxF(b)F(a)

牛頓-萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學之間的關系.

思索題設f(x)在[a,b]上連續(xù)，x[a,