人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)平行四邊形單元測(cè)試卷A

平行四邊形單元測(cè)試卷（A）

一、單選題

1.如圖，矩形ABCD中，AB=8,BC=4.點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、

H在對(duì)角線AC上.若四邊形EGFH是菱形，則AE的長(zhǎng)是（）

A.275B.375C.5D.6

2.為增加綠化面積，某小區(qū)將原來(lái)正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，更

換后，圖中陰影部分為植草區(qū)域，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長(zhǎng)都為a,則陰影

部分的面積為（）

—OT

A.2a2B.3a2C.4a2D.5a2

3.關(guān)于。ABCD的敘述，正確的是（）

A.若ABLBC,則nABCD是菱形B.若ACJ_BD,則口ABCD是正方形

C.若AC=BD,則。ABCD是矩形D.若AB=AD,貝眄ABCD是正方形

4.如圖，在nABCD中，/平分NA8C,交AO于點(diǎn)F,CE平分NBCD,交40于點(diǎn)

E,若AB=6,EF=2,則8C的長(zhǎng)為（）

C.12D.14

5.正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線互相平分B.對(duì)角線相等

C.對(duì)角線平分一組對(duì)角D.對(duì)角線互相垂直

6.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是AABC的中位線，延長(zhǎng)

DE交△ABC的外角NACM的平分線于點(diǎn)E則線段DF的長(zhǎng)為（）

A.7B.8C.9D.10

7.如圖，在正方形ABC。外側(cè)，作等邊三角形AOE,AC,BE相交于點(diǎn)F,貝IJ/8FC

8.如圖，正方形ABCD中，E,F分別為AB,CD的中點(diǎn)，連接DE,BF,CE,AF,

正方形ABCD的面積為1,則陰影部分的面積為（）

9.如圖，菱形48CZ）的邊長(zhǎng)為6,ZABC=12Q°,M是8c邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，P是對(duì)

角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P8+PM的值最小時(shí)，PM的長(zhǎng)是（）

「后

AbR2幣3nV26

/\.,,1D.-------------V-?--------------LJ.----------

2354

10.如圖，在菱形ABC。中，AB=6,ZABD=30°,則菱形ABC。的面積是（)

D

yf3V3

A.18B.18vC.36D.36V

二、填空題

11.如圖，正方形ABCZ)邊長(zhǎng)為3,連接AC,AE平分NCAZ),交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

FALAE,交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，則EF的長(zhǎng)為.

12.如圖,E是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AE上，且DF=DC,若/ADF=25。,

則/BEC=

13.如圖，AABC三邊的中線AD,BE,CF的公共點(diǎn)G,若=12，則圖中陰影

部分面積是，

14.如圖，已知方格紙中是4個(gè)相同的正方形，則Nl+N2+N3=一度.

15.將一張矩形紙片折疊成如圖所示的圖形，若AB=6cm,則AC=cm.

16.如圖所示，已知nABCD中，下列條件：?AC=BD-?AB=AD；③N1=N2；@AB1.BC

中，能說(shuō)明口ABC。是矩形的有(填寫序號(hào))

17.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)A作AHLBC于點(diǎn)H,連

接OH.若0B=4,S硼ABCD=24,則0H的長(zhǎng)為.

18.如圖，在矩形A8C￡＞中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)A作AEJ_8O,垂足

為點(diǎn)、E,若NEAC=2NCA。，則/BAE=__________度.

三、解答題

19.已知：如圖，平行四邊形ABCD,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E,點(diǎn)G為AD的中

點(diǎn)，連接CG,CG的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接FD.

(1)求證：AB=AF；

(2)若AG=AB,ZBCD=120°,判斷四邊形ACDF的形狀，并證明你的結(jié)論.

20.如圖，在△ABC中，AC=9,AB=12,BC=15,P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PGLAC于點(diǎn)

G,PH_LAB于點(diǎn)H.

⑴求證：四邊形AGPH是矩形；

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，GH的長(zhǎng)度是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個(gè)菱形，余下一個(gè)四邊形，稱為第一次操作;

在余下的四邊形紙片中再剪去一個(gè)菱形，又余下一個(gè)四邊形，稱為第二次操作；……依

次類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準(zhǔn)菱形，如圖1,

平行四邊形中，若人8=1,8。=2,則平行四邊形48。）為1階準(zhǔn)菱形.

（圖2）

（1）判斷與推理:

①鄰邊長(zhǎng)分別為2和3的平行四邊形是階準(zhǔn)菱形;

②小明為了剪去一個(gè)菱形，進(jìn)行如下操作：如圖2,把平行四邊形A3CO沿著5E折

疊（點(diǎn)E在AO上）使點(diǎn)A落在6c邊上的點(diǎn)尸，得到四邊形A6EE，請(qǐng)證明四邊形

ABFE是菱形.

（2）操作、探究與計(jì)算：

①已知平行四邊形ABCD的鄰動(dòng)分別為1,。3>1）裁剪線的示意圖，并在圖形下方

寫出。的值；

②已知平行四邊形A8CD的鄰邊長(zhǎng)分別為。,伙。>與，滿足a=6b+r,b=5r,請(qǐng)寫

出平行四邊形ABCQ是幾階準(zhǔn)菱形.

22.如圖，將矩形ABCO沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，F(xiàn)C交AD于E.

（1）求證：4AFE注LCDF；

（2）若AB=4,BC=8,求圖中陰影部分的面積.

E

交/BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F,交NACB內(nèi)角平分線CE于E

(1)求證：EO=FO；

(2)當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論；

(3)若AC邊上存在點(diǎn)O,使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的

結(jié)論.

24.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0.過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線，過(guò)

點(diǎn)D作AC的平行線，兩直線相交于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形OCED是矩形；

(2)若CE=1,DE=2,ABCD的面積是.

25.已知，如圖：在矩形ABCD中，點(diǎn)M、N在邊AD上，且AM=DN,求證：BN=CM.

26.我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.

(1)如圖1,四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求

證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB,PC=PD,ZAPB=ZCPD,

點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀,

并證明你的猜想；

(3)若改變(2)中的條件，使/APB=/CPD=90。，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四

邊形EFGH的形狀.(不必證明)

參考答案

1.c【解析】連接EF交AC于點(diǎn)M,由四邊形EGFH為菱形可得FM=EM,EF±AC;利用“AAS或

ASA”易證△FMC絲ZSEMA,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AM=MC；在RsABC中，由勾股定理求

得AC=4后，-B.tanZBAC=-^-=—；在RlZkAME中，AM=—AC=2\/5>tan/BAC=盧"=，可

AB22AM2

得EM=J^；在RSAME中，由勾股定理求得AE=5.故答案選C.

【解析】a2+-x-a2x4=2a2.故選A.

22

3.C【解析】選項(xiàng)C中，滿足矩形的判定定理：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以選C.

4.B【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知AB=CD,AD〃BC,AD=BC,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和角

平分線的性質(zhì)可知AB=AF,DE=CD,因止匕可知AF+DE=AD+EF=2AB=12,解得AD=BC=12-2=10.

故選B.

5.B【解析】根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)：平分、相等、垂直；菱形對(duì)角線的性質(zhì)：平分、垂直，

故選B.

6.B【解析】在RTAABC中，VZABC=90°,AB=8,BC=6,

二AC=^AB2+BC2=782+62=10，

：DE是△ABC的中位線，，DF〃BM,DE=-BC=3,

2

/.ZEFC=ZFCM,VZFCE=ZFCM,

I

.".ZEFC=ZECF,；.EC=EF=—AC=5,DF=DE+EF=3+5=8.

2

故選B.

7.B【解析】；四邊形ABCD是正方形,

/.ZBAD=90°,AB=AD,ZBAF=45°,

?.'△ADE是等邊三角形，

.".ZDAE=60°,AD=AE,

AZBAE=900+60°=150°,AB=AE,

/.ZABE=ZAEB=-(180°-150°)=15°,

2

/.ZBFC=ZBAF+ZABE=45o+15°=60°；故選：B.

8.C

【解析】

DE//BF,AF//EC,

.?.EG/77是平行四邊形，

E,尸是中點(diǎn)，易得，四邊形對(duì)角線垂直,

..EGFH是菱形.EF=1,GH=L

2

面積=1X—X———.

224

9.A【解析】如圖，連接。P,BD,作。于H.

???四邊形A8C。是菱形，

J.ACA.BD,B、。關(guān)于AC對(duì)稱，

：.PB+PM=PD+PM,

當(dāng)。、P、M共線時(shí)，P8+PM=OM的值最小,

"：CM=-BC=2,

3

；ZABC=120°,

：./O8C=/ABO=60°,

?e?/\DBC是等邊二角形,

■:BC=6,

ACM=2,HM=\fDH=35

2222

在RsDMH中，y/DH+HM=7（373）+1=2s，

9

：CM//ADf

.P'M_CM_2_I

??————,

DP'ADe3

?Fi

：.P'M=-故選A.

42

10.B【解析】過(guò)點(diǎn)A作AE_LBC于E,如圖，；在菱形ABCD中，AB=6,NABD=30。，NBAE=30。,

VAE±BC,.-.AE=3V3，，菱形ABCD的面積是6x3仔】氏），故選B.

11.6石【解析】?.?四邊形ABCD為正方形，且邊長(zhǎng)為3,

?**AC=35/2，

VAE平分NCAD,I.ZCAE=ZDAE,

「AD〃CE,???ZDAE=ZE,ZCAE=ZE,JCE=CA=3垃,

VFA1AE,

AZFAC+ZCAE=90°,ZF+ZE=90°,

:.ZFAC=ZF,ACF=AC=372，

???EF=CF+CE=372+372=672

12.115°

【解析】:四邊形A3CQ是矩形，

AZADC=ZBCD=90°,BE=CE.

VZADF=25°,

???ZCDF=ZADC-NA。尸=90。-25°=65°.

*：DF=DC,

115°

AZDFC=ZDCA=(180°-ZC￡>F)4-2=(180°-65°)-?2=-

2

iicoAS。

ZBCE=ZBCD-ZDCA=90°-.

22

；BE=CE,

：.NBEC=180。-2ZBCE-180°-65。=115。.故答案為115。.

13.4【解析】由中線性質(zhì)，可得AG=2GD,則

11?1211

S"GF=S,cGE=-S.8G=_X-S^=一X-X—S：=-X12=2,二陰影部分的面積為4;其

223ABD232o

實(shí)圖中各個(gè)單獨(dú)小三角形面積都相等本題雖然超綱，但學(xué)生容易蒙對(duì)的.

14.135【解析】如圖，由已知條件易證△ABCgABED及ABDF是等腰直角三角形，

；.N1=NEBD,N2=45°,

VZ3+ZEBD=90°,

.,.Zl+Z2+Z3=135°.

AF

15.6.【解析】如圖，^.^矩形的對(duì)邊平行，.^.N1=NACB,,.^N1=NABC,.,.NABC=NACB,.'.AC=AB,

VAB=6cm,

AC=6cm.

16.①④【解析】矩形的判定方法由：①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)

角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，由此可得能使平行四邊

形ABCD是矩形的條件是①和④.

17.3【解析】:四邊形ABCD是菱形,OB=4,

AOA=OC,BD=2OB=8；

***S菱形ABCD=24,

.*?AC=6；

VAH±BC,OA=OC,

???OH」AC=3.故答案為：3.

2

18.22.5°

【解析】

,??四邊形ABCD是矩形，

/.AC=BD,OA=OC,OB=OD,

??.OA=OB=OC,

???ZOAD=ZODA,ZOAB=ZOBA,

??.ZAOE=ZOAD+ZODA=2ZOAD,

???ZEAC=2ZCAD,

??.ZEAO=ZAOE,

?/AE±BD,

???ZAEO=90°,

???ZAOE=45°,

???ZOAB=ZOBA=67.5°,

B|JZBAE=ZOAB-ZOAE=22.5°.

19.(1)證明見解析；(2)結(jié)論：四邊形ACDF是矩形.理由見解析.

【解析】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

???BE〃CD,AB=CD,

AZAFC=ZDCG,

VGA=GD,ZAGF=ZCGD,

AAAGF^ADGC,

AAF=CD,JAB=CF.

(2)解：結(jié)論：四邊形ACDF是矩形.

理由：VAF=CD,AF〃CD,

/.四邊形ACDF是平行四邊形，

.??四邊形ABCD是平行四邊形，

.".ZBAD=ZBCD=120°,

ZFAG=60°,

：AB=AG=AF,

...△AFG是等邊三角形，

；.AG=GF,

VAAGF^ADGC,

；.FG=CG,VAG=GD,

，AD=CF,

???四邊形ACDF是矩形.

20.⑴證明見解析；(2)見解析.

【解析】(1)證明；AC=9AB=12BC=15,

AACM1,AB2=144,BC2=225,

.\AC2+AB2=BC2,

.,.ZA=90°.

VPG±AC,PHXAB,

.,.ZAGP=ZAHP=90°,

二四邊形AGPH是矩形；

連結(jié)AP.

；四邊形AGPH是矩形，

；.GH=AP.

?.?當(dāng)AP_LBC時(shí)AP最短.

/.9xl2=15?AP.

36

，AP=——.

5

21.（1）①2,②證明見解析；（2）①見解析，②口ABCD是10階準(zhǔn)菱形.

【解析】（1）①利用鄰邊長(zhǎng)分別為2和3的平行四邊形經(jīng)過(guò)兩次操作，所剩四邊形是邊長(zhǎng)為1的菱

形，故鄰邊長(zhǎng)分別為2和3的平行四邊形是2階準(zhǔn)菱形;

故答案為：2；②由折疊知：ZABE-ZFBE,AB=BF,

???四邊形ABCD是平行四邊形，；.AE〃BF,

；./AEB=/FBE,.\ZAEB=ZABE,

/.AE=AB,；.AE=BF,

，四邊形ABFE是平行四邊形,

二四邊形ABFE是菱形；

Va=6b+r,b=5r,

a=6x5r+r=3lr；

如圖所示：

故。ABCD是10階準(zhǔn)菱形.

22.(1)證明見解析；(2)10.

【解析】(1)二?四邊形A8C。是矩形，NB=/￡>=90。，?將矩形A8CO沿對(duì)角線AC翻

折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，,NE=NB,AB=AE,：.AE=CD,ZE=ZD,在4AEF與4CDF中，：ZE=ZD,

ZAFE=ZCFD,AE=CD,二Z\AEF也△CCF；

(2)'：AB=4,8c=8,：.CE=AD=S,AE=CD=AB=4,,:/\AEF必CDF,：.AF=CF,EF=DF,

:.D產(chǎn)+CD2=C產(chǎn),即。/+42=(8-OF)2,.?.￡)F=3,；.EF=3,...圖中陰影部分的面積=SAACE-

11

SAAE產(chǎn)一x4x8——x4x3=10.

22

23.(1)見解析；(2)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)；(3)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足/ACB為

直角的直角三角形時(shí)

【解析】(1)YCE平分NACB,

/.ZACE=ZBCE,

/.ZOEC=ZECB,

，/OEC=NOCE,

.\OE=OC,

同理，OC=OF,

/.OE=OF.

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，四邊形AECF是矩形.

如圖AO=CO,EO=FO,

四邊形AECF為平行四邊形，

：CE平分/ACB,

/.ZACE=-ZACB,

2

同理，ZACF=-ZACG,

2

AZECF=ZACE+ZACF=-(ZACB+ZACG)=-xl80°=90°,

22

.?.四邊形AECF是矩形.

(3)△ABC是直角三角形

???四邊形AECF是正方形，

AACIEN,故/AOM=90°,

VMNZ/BC,

/BCA=NAOM,

/.ZBCA=90°,

/.△ABC是直角三角形.

24.(1)證明見解析；(2)4.

【解析】(1)???四邊形ABCD是菱形，

/.AC1BD,ZCOD=90°.

；CE〃OD,DE〃OC,.?.四邊形OCED是平行四邊形，

又NCOD=90。，.?.平行四邊形OCED是矩形；

（2）由（1）知，平行四邊形OCED是矩形，則CE=OD=1,DE=OC=2.

:四邊形ABCD是菱形，；.AC=2OC=4,BD=2OD=2,

二菱形ABCD的面積為：-AC?BD=-x4x2=4,