與前面的計算結(jié)果很接近

與前面的計算結(jié)果很接近說明底部剪力法的計算結(jié)果是可靠的。

3—6結(jié)構(gòu)自振周期和振型的計算做一個建筑物的抗震設(shè)計，首先要求這個結(jié)構(gòu)的自振周期，如果采用振型分解反應(yīng)譜法，還要用到振型。如何求得結(jié)構(gòu)的自振周期和振型。手算方法（近似計算）計算機算法（較精確算法）基本周期多個周期及振型一、能量法(Rayleighmethod)

1理論基礎(chǔ)：能量守恒原理

無阻尼自由振動時

動能+變形位能不變(常量)

結(jié)構(gòu)以某頻率（相應(yīng)振型）振動時位移其中

為相應(yīng)頻率

的振型速度則

體系變形位能達到最大值體系的動能達到最大值（變形位能為零）（動能為零）2能量守恒可求得

j、j

是哪一個自振頻率，看振型。振型是未知的。實用算法，假定振型。將質(zhì)點的重量水平作用在質(zhì)點上，求出相應(yīng)的變形根據(jù)此振型可求得自振頻率3由于體系最大變形位能體系最大動能4例求兩層框架的基本周期（能量法）如圖，G1=400KNG2=300KNK1=14280KN/mK2=10720KN/m

（1）求層間剪力（G1、G2作用下）

首層剪力

二層剪力

（2）計算層位移

（3）計算基本周期G1K2G2K15例如圖為三層框架結(jié)構(gòu)，假定其橫梁剛度無窮大。各層質(zhì)量分別為m1=2561t,m2=2545t,m3=559t.各層剛度分別為k1=5.43×105KN/m,k2=9.03×105KN/m,k3=8.23×105KN/m。用能量法求基本周期和振型解（1）求重力荷載水平作用下的位移層間剪力各層位移k1k2k36（2）結(jié)構(gòu)基本頻率及振型為提高精度，可進一步迭代。各質(zhì)點的慣性力各層位移7二、折算質(zhì)量法

也是一種近似方法，也只是求基本頻率

體系以第一頻率（振型）振動時

動能最大值

原體系

等效體系Meqmi兩者相等8

則基頻

單位力水平作用下頂點位移

頂點作用單位力時各質(zhì)點的水平位移。F=1xi等效質(zhì)量法頻率相等，得9對于多個質(zhì)量，有于是，有即Dunkeley公式。可以證明，得出的結(jié)果小于真實頻率。10例用折算質(zhì)量法求自振周期（基本周期）在頂部施加單位力，得能量法（瑞雷法）0.508s非常接近。11折算質(zhì)量法還適用于連續(xù)體系將一個均勻分布的質(zhì)量換算成一個集中質(zhì)量來求其自振周期，0.25為換算系數(shù)。三、頂點位移法

也是最常用的經(jīng)驗方法之一（手算法），將重力荷載水平方向作用，求出頂點位移就可以近似地估算出結(jié)構(gòu)的自振周期。12彎曲變形剪切變形彎剪變形將重力荷載水平作用在結(jié)構(gòu)上，頂點位移四、矩陣迭代法

也是一種手算方法，可求頻率和振型，Stodola法方程的左邊有，右邊有

13

假定一個振型（標(biāo)準(zhǔn)化的振型）求出標(biāo)準(zhǔn)化

可求得結(jié)構(gòu)的第一振型共有n個方程，任意拿出一個方程都可求得第一頻率。也可求出振型及，但求得的是最高頻率和振型。另外14

求出基頻及振型后，還可求出高階頻率（利用振型的正交性）。以一個例子來說明求自振頻率和振型（1）求柔度矩陣及質(zhì)量矩陣15（2）求第一振型假定

將

作為標(biāo)準(zhǔn)化的標(biāo)準(zhǔn)16（2）求第二振型展開17假定18

(3)求第三振型利用振型的正交性，有19五、雅可比法（Jacobi）計算機方法求實對稱矩陣的特征值和特征向量的有效方法實數(shù)對稱不能保證將令于是，令則20實數(shù)對稱矩陣

雅可比法的原理：

已知實對稱，構(gòu)造一個正交矩陣正交矩陣，[s]的第j列就是第j個特征值對應(yīng)的特征向量對角矩陣關(guān)鍵問題是找到正交矩陣[s]21構(gòu)造一個正交矩陣P列q列P行q行中求全部特征值和特征向量22高層規(guī)范規(guī)定：8、9度大跨結(jié)構(gòu)，長懸臂結(jié)構(gòu)、煙囪和高聳結(jié)構(gòu)9度高層建筑考慮豎向地震作用如何考慮，抗震規(guī)范根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)類型采用不同的計算方法1、高層與高聳結(jié)構(gòu)采用反應(yīng)譜法結(jié)構(gòu)總的豎向地震作用標(biāo)準(zhǔn)值i豎向地震影響系數(shù)的最大值取水平地震影響系數(shù)最大值的65%結(jié)構(gòu)等效重力荷載，取總重力荷載代表值的75%。23質(zhì)量和剛度分布不對稱，此時，抗震規(guī)范規(guī)定應(yīng)考慮水平地震作用產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)影響。

仍然是三個步驟：（1）自由振動分析求出自振頻率和振型此時平移和扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)。（2）計算各振型地震作用標(biāo)準(zhǔn)值，地震作用效應(yīng)（3）各振型地震作用效應(yīng)的組合一、平移——扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)體系的自由振動

基本假定（1）樓板在其自身平面內(nèi)絕對剛性，平面外剛度很小，忽略不計（2）各榀抗側(cè)力結(jié)構(gòu)（框架或剪力墻等）在其自身平面內(nèi)有剛度，平面外剛度忽略不計（3）所有構(gòu)件都不考慮自身的抗扭作用（4）在計算中，將質(zhì)量都集中到各層的樓板處盡量對稱，盡量使剛度、質(zhì)量分布均勻、對稱。有時需要立面復(fù)雜，3—7建筑結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)地震效應(yīng)24一、剛心和質(zhì)心圖示一房屋的平面圖剛度中心抗側(cè)力構(gòu)件還有一個質(zhì)量中心，如果剛度中心、質(zhì)量中心不重合，即存在偏心矩25二、單層偏心結(jié)構(gòu)的振動取質(zhì)量中心為坐標(biāo)原點，質(zhì)心在x方向、y方向的位移及繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角分別為uxuy和

φ（以逆時針旋轉(zhuǎn)為正）則x方向第i榀抗側(cè)力構(gòu)件沿x方向位移同理,y方向第j榀抗側(cè)力構(gòu)件沿y方向位移根據(jù)達朗貝爾原理,的運動方程:26寫成矩陣形式,得集中于屋蓋的總質(zhì)量屋蓋繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量屋蓋在x方向的平移剛度屋蓋在y方向的平移剛度屋蓋的抗扭剛度27由于坐標(biāo)原點在質(zhì)量中心，于是有則注：φ=1時x方向彈性恢復(fù)力的合力。

Rxi=kxiΔxi=kxiφyi=kxixi于是，振動方程為體系的自由振動方程28自振頻率和振型以一簡單情形為例，即只存在y方向偏心,振動方程為oXY令代入到振動方程，得29令將上式展開，得解得得第一振型得第二振型30

結(jié)構(gòu)在平移——扭轉(zhuǎn)振動中，每個樓層有三個自由度（兩個平移和一個轉(zhuǎn)角）。坐標(biāo)原點設(shè)在每層樓板的質(zhì)量中心，由于各層的的質(zhì)心不在同一直線上，所以坐標(biāo)軸為一折線（見圖3—28）

自由振動方程

其中為質(zhì)量矩陣階對角陣三、多層偏心結(jié)構(gòu)的地震作用31剛度矩陣共榀xyj榀其中：方向平移方向平移樓板轉(zhuǎn)角平行于x軸方向的各榀結(jié)構(gòu)的剛度矩陣之和平行于x軸第j榀結(jié)構(gòu)的剛度矩陣平行于y軸的各榀結(jié)構(gòu)的剛度矩陣之和平行于y軸第i榀結(jié)構(gòu)的剛度矩陣32平行于x軸的第j榀結(jié)構(gòu)的l層的y方向坐標(biāo)平行于y軸的第j榀結(jié)構(gòu)的l層的x方向的坐標(biāo)33令

代入自由振動方程，利用前面講過的方法可求得自振周期和振型

平移-扭轉(zhuǎn)的振型參與系數(shù)

當(dāng)僅考慮x方向地震時34

當(dāng)僅考慮y方向地震時

第j振型i層質(zhì)心在x、y方向的水平相對位移

j振型i層的扭轉(zhuǎn)角

j層轉(zhuǎn)動半徑考慮扭轉(zhuǎn)影響的水平地震作用

于是可求得j振型的地震作用

第i層的地震作用第j振型的水平地震影響系數(shù)，由在反應(yīng)譜上求得。35

第j振型地震作用效應(yīng)也就求出來了。三、振型組合

前面講過地震作用效應(yīng)的組合方法SRSS(thesquarerootofthesumofthesquares)方法

各振型獨立振動，互不相關(guān)，且各頻率相差比較大。

事實上，各個振型有一定的耦連，特別是比較接近的頻率，對應(yīng)的振型之間有一定的耦聯(lián)作用。現(xiàn)行規(guī)范考慮了這種耦聯(lián)作用，采用如下的組合方法。

CQC(completequadraticcombination)法

j振型、k振型的耦聯(lián)系數(shù),ζj、ζk為j、k振型的阻尼比。

組合一般取9—15個振型36如果阻尼比采用0.05，則當(dāng)考慮雙向水平地震作用的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)時，根據(jù)強震記錄分析結(jié)果，兩個方向的水平地震加速度不相等，大約1：0.85，且不在同一時間發(fā)生。因此，須按平方和開平方的方法確定，即sx、sy分別為x、y方向的水平地震作用效應(yīng)。取以上兩式中的較大者。對于規(guī)則結(jié)構(gòu)，當(dāng)不按扭轉(zhuǎn)計算時，考慮到施工、使用等偶然偏心以及地面運動扭轉(zhuǎn)分量，規(guī)范規(guī)定：對于平行于地震作用方向的兩個邊榀的地震作用效應(yīng)短邊乘以增大系數(shù)1.15,長邊乘以增大系數(shù)1.05。37當(dāng)各振型的自振周期相差較大時，這種組合方法與前面的組合方法給出非常接近的結(jié)果。

3—8地基與上部結(jié)構(gòu)相互作用的影響

在確定結(jié)構(gòu)的地震作用時，總是假定地基

是剛性的，事實上地基總是有變形的。

以自由場的地震記錄作為地震輸入，

這樣做并不合理。剛性地基自由地基如果發(fā)生地震結(jié)構(gòu)對場地的地面運動有影響剛性一般地基內(nèi)力地基的變形對結(jié)構(gòu)的變形反應(yīng)有影響

38由于結(jié)構(gòu)物的存在，地面的運動發(fā)生了變化，由于地基的非剛性，結(jié)構(gòu)的反應(yīng)發(fā)生了變化，這就是地基與上部結(jié)構(gòu)的相互作用。

抗震規(guī)范規(guī)定：抗震驗算時，一般可不考慮地基與結(jié)構(gòu)的相互作用，但對于Ⅲ、Ⅳ類場地采用剛性較大的基礎(chǔ)（箱、筏基）的高層建筑時，且設(shè)防烈度為8度和9度時，可將剛性假定所得的計算結(jié)果予以折減。規(guī)范規(guī)定對于高寬比小于3的結(jié)構(gòu)，各樓層的地震剪力折減系數(shù)按剛性地基假定計算時結(jié)構(gòu)的基本周期計入地基與結(jié)構(gòu)動力相互作用的附加周期，按下表采用39烈度場地類別Ⅲ類Ⅳ類80.080.2090.100.25表3-7高寬比大于3的結(jié)構(gòu),考慮高振型的影響,頂部的地震力不折減，底部按上式計算，中間層，用內(nèi)插法確定。40

3—9結(jié)構(gòu)豎向地震作用

震害表明，高烈度區(qū)煙囪出現(xiàn)掉頭破壞，頂部出現(xiàn)環(huán)形裂縫。