理論力全套課件

理論力學第一部分靜力學理論力學第一部分靜力學引論

剛體靜力學(staticsofrigidbodies)研究剛體(rigidbody)在力系的作用下相對於慣性系靜止的力學規(guī)律。

(1)

力學模型—剛體

在力的作用下不變形的物體稱為剛體。在實際生活中，完全不變形的物體並不存在，剛體不過是實際物體和構件的抽象和簡化。吊車梁的變形吊車梁在起吊重物時所產(chǎn)生的最大撓度δ一般不超過梁的跨度的1/500δ

簡化的條件除了要求物體的變形不大之外，更重要的是這種變形對我們所研究的問題的結果產(chǎn)生的影響要足夠小。

但在研究吊車梁的強度問題時，就不能這樣簡化了。

這種小變形對於兩端支承力的影響是微不足道的，因此在計算兩端的支承力時，吊車梁可簡化為剛體。

力系

作用於同一剛體的一組力稱為力系(systemofforces)

。—使剛體的原有運動狀態(tài)不發(fā)生改變的力系。F3F2F1F4MqABαFAxFAyFB平衡力系(forcesystemofequilibrium)(3)基本問題：

●

物體的受力分析；

●

力系的等效替換及簡化；

●

力系的平衡條件及其應用。

剛體在平衡力系的作用下並不一定處於靜止狀態(tài)，它也可能處於某種慣性運動狀態(tài)。平衡條件(equilibriumconditions)

—平衡力系所要滿足的數(shù)學條件。1.工程力學教程(Ⅰ)

範欽珊主編高等教育出版社（‘九五’國家級重點教材）2.

理論力學(第三版)

浙江大學理論力學教研室,高等教育出版社，1999（面向21世紀課程教材）

參考書目1

靜力學基礎1.2.3

力系等效原理應用於變形體

1.1力和力矩

1.1.1力的概念1.1.2

力對點的矩

1.1.3力對軸的矩1.2力系等效原理1.2.1

力系的主矢和主矩1.2.2

力系等效原理1.3力偶與力偶矩1.4

物體的受力分析

1.4.1約束與約束反力1.4.2物體的受力分析

1

靜力學基礎1.1力和力矩

1.1.1力的概念

力是物體間的相互作用，作用結果使物體的運動狀態(tài)發(fā)生改變，或使物體產(chǎn)生變形。對剛體而言，力的作用只改變其運動狀態(tài)。

●力是向量

力的三要素(threeelementsofaforce)

兩個共點力的合成又滿足平行四邊形法則，因而力是定位向量(fixedvector)

。FCCABFAF1○量度力的大小的單位,在國際單位制中用牛頓（N）千牛頓（kN）○力的作用線○力的作用點○力向量的表示:

F1、FA…○力向量的模:

F1、FA…、●作用力和反作用力

力的另一重要性質是由牛頓第三定律(Newton’sthirdlaw)所描述的作用力和反作用力之間的關係，即:

兩個物體之間的作用力與反作用力總是同時存在，且大小相等、方向相反、沿同一直線，並分別作用在兩個不同的物體上。F1F2●分佈力(distributedforce)

與集中力(concentratedforce)

○分佈力

○集中力—集中作用於物體上一點的力.表面力(surfaceforces):連續(xù)作用於物體的某一面積上的力.體積力(bodyforces):連續(xù)作用於物體的某一體積內的力.分布力F1F2集中力ABCP

實際上要經(jīng)一個幾何點來傳遞作用力是不可能的，集中力只是作用於一個社區(qū)域上的分佈力，一切真實力都是分佈力。

集中力只是分佈力在一定條件下的理想化模型。能否進行這種簡化主要取決於我們所研究的問題的性質。●力在坐標軸上的投影

力在坐標軸上的投影是代數(shù)量，應特別注意它的符號。FFxiFyjFzkαβγ二次投影法

(secondprojection)

γφFFxyxzy已知力F在各坐標軸上的投影，則可求得力F的大小和它相對於各軸的方向余弦，即1.1.2

力對點的矩

力矩(momentofaforce)是用來量度力使物體產(chǎn)生轉動效應的概念?！窳c的矩的概念

作用於剛體的力F對空間任意一點O的力矩定義為式中O點稱為矩心(centerofmoment)，r為矩心O引向力F的作用點A的矢徑，即力對點的矩(momentofaforceaboutapoint)定義為矩心到該力作用點的矢徑與力矢的向量積。

MO

(F)通常被看作為一個定位向量，習慣上總是將它的起點畫在矩心O處，但這並不意味著O就是MO

(F)的作用點。MO(F)=r×FFrAOhPlanedeterminedbyOandF力矩矢的三要素

力矩矢的三要素為大小、方向和矩心。

MO(F)的大小即它的模式中θ為r和F正方向間的夾角，h為矩心到力作用線的垂直距離，常稱為力臂(momentarm)。MO(F)的方向垂直於r和F所確定的平面，指向由右手定則確定。平面問題

平面問題中，由於矩心與力矢均在同一個特定的平面內，力矩矢總是垂直於該平面，即力矩的方向不變，指向可用正、負號區(qū)別，故力矩由向量變成了代數(shù)量，且有●OFhr

正負號通常規(guī)定為:+逆時針為正–順時針為負●OFhMO(F)=±Fh

平面問題

—向量運算式MO(Fxy)=(rxy×Fxy)·

kzrxyFxyxyOkh●力對點的矩在坐標軸上的投影

力矩的單位在國際單位制(SI)中為牛頓·米(N·m)或千牛頓·米(kN·m)。FrxyzMO(F)Ojik1.1.3力對軸的矩

力對軸的矩(momentofaforceaboutanaxis)用來量度力對其所作用的剛體繞某固定軸轉動的效應。zF

矩軸

(axisofmoment)OzzFFzFxy●力對軸的矩的概念

空間力對軸之矩歸結為平面上的力對點之矩。hO

作用於剛體的力F

對z軸的矩定義為

力對軸的矩是代數(shù)量。正負號的規(guī)定是按右手定則與z軸的指向一致時為正，反之為負。Mz(F)

>0

Mz(F)

<0

zz

當力的作用線與z軸平行(Fxy=0)或相交(h=0)時，或概括起來講，當力與軸共面時，力對軸的矩等於零。力對軸之矩zOhFFzFxyrxyk向量運算式●力對點之矩與力對軸之矩的關係

力F

對O點之矩MO(F)在z軸上的投影為：

首先將力的作用點的矢徑r和力F分解如下:MO(F)在z軸上的投影MOz(F)FrxyzMO(F)OkMOz(F)FrrxyFxyxyzMO(F)O即有

則有MO(F)在z軸上的投影將上式右端展開，並注意到而另一方面力F

對z軸之矩可表示為

我們得到一個說明力對軸之矩與力對點之矩的關係的重要結論：力對任意軸之矩等於該力對軸上任一點之力矩矢在該軸上的投影。因此於是我們有力對坐標軸之矩的解析運算式：

式中x、y、z是力的作用點的座標，F(xiàn)x、Fy、Fz分別是F在各坐標軸上的投影。OAxyzF例1.1

長方體的上、下底為正方形，邊長為，高為a，求圖中力F

對頂點O之矩。解：設沿各坐標軸的基向量為i、j、

k

，則F的作用點A的矢徑為OAxyzFr力F在坐標軸上的投影為

故因此例1.2

園柱的底半徑為r，高為2r，求圖中作用於B點的力F

對x、y、z軸以及OE軸之矩。

OAxyzBEeCDF解：力F的作用點B的座標為

而OAxyzBEeCDF

於是F對各坐標軸之矩分別為根據(jù)由此即有

設沿OE軸的單位矢為e，則有

因此力F

對OE軸之矩為OAxyzBEeCDF要點回顧■力的概念●力學模型—剛體●剛體靜力學研究的基本問題●力是約束向量●力系的概念●力在坐標軸上的投影■引論■力對點的矩●力對點的矩的概念●力對點的矩在坐標軸上的投影■力對軸的矩●力對軸的矩的概念●力對點之矩與力對軸之矩的關係靜力學基礎理論力學1.2力系等效原理1.3力偶與力偶矩1.2力系等效原理

1.2.1

力系的主矢和主矩●

力系的主矢

稱為該力系的主向量(principalvector)。FnF2F1Fi

作用於某剛體上的若干個力F1,F2,…,Fn構成空間一般力系(threedimensionalforcesystem)，通常表示為（F1,F2,…,Fn）。這n個力的向量和力系的主矢在坐標軸上的投影等於力系中各力在相應軸上投影的代數(shù)和

注意力系的主矢僅涉及力系中各力的大小和方向，而與其作用點無關，故力系的主矢是一個自由向量(freevector)，而不是一個力?！?/p>

力系的主矩

空間一般力系（F1,F2,…,Fn）中各力對某點O的矩的向量和

稱為該力系對於矩心O的主矩(principalmoment)，式中ri是由矩心O引向力Fi的作用點的矢徑。主矩MO在以矩心O為原點的任意直角坐標系Oxyz上的投影運算式：

即力系的主矩在通過矩心的任意軸上的投影等於該力系中各力對同一軸的矩的代數(shù)和。

力系的主矩MO是位於矩心O處的定位向量，與力系的主矢不同，主矩與矩心的位置有關。因此，說到“力系的主矩”時，一定要指明是對哪一點的主矩，否則就沒有意義。F3F2F1F4AB

MA(Fi)MB(Fi)1.2.2

力系等效原理在剛體靜力學中，如果兩個不同的力系對同一剛體產(chǎn)生同樣的作用，則稱此二力系互為等效力系(equivalentforcesystems)。AqBL／2L／2ABL／2L／2P=qLFF顯然，等效力系的相互替換並不影響它們對剛體的作用。與一個力系等效的力稱為該力系的合力(resultantforce)，但並非任何一個力系都有合力。因為完全不受力作用的剛體其運動狀態(tài)是不會發(fā)生改變的，故平衡力系即是與零力系(nullforce-system)等效的力系。●

力系等效原理

兩個力系等效的充分必要條件是主向量相等，以及對同一點的主矩相等。

力系等效原理(principleofequivalentforcesystems)實際上只是動量定理和動量矩定理的一個推論。但在講述動力學的這些定理之前，在剛體靜力學中我們也可以把它看成是一個基於經(jīng)驗事實的基本假設。

力系等效原理是剛體靜力學理論體系的基礎，無論在理論上還是在實際應用中都具有重要意義。

力系等效原理表明，力系對剛體的作用完全取決於它的主矢和主矩，因此主矢和主矩是力系的最重要的基本特徵量。●

力系等效原理的推論

1.平衡定理

力系平衡的充分必要條件是該力系的主矢及對於某一點的主矩同時等於零,即

2．二力平衡定理

剛體在兩個力的作用下處於平衡的充分必要條件是此二力大小相等，方向相反且作用線重合。2．二力平衡定理

剛體在兩個力的作用下處於平衡的充分必要條件是此二力大小相等，方向相反且作用線重合。F1F2

注意二力平衡定理與牛頓第三定律之間的區(qū)別。F1F24．力的可傳性定理

作用於剛體上某點的力可沿其作用線移至剛體內任一點而不改變該力對剛體的作用。

於是,作用於剛體的力由定位向量變成了滑動向量(slidingvector)。3．加減平衡力系定理

在作用於剛體的任一力系上加上或減去任意的平衡力系，並不改變原力系對剛體的作用。F3F4????FABCD思考題根據(jù)力的可傳性定理,力F可沿其作用線移至

(1)點A(2)點A、B(3)點A、B、C(4)點A、B、C、D5．合力矩定理

若力系有合力，則合力對任一點（或軸）之矩等於力系中各力對同一點（或軸）之矩的向量和（或代數(shù)和）。MA(FR)

=

MA(Fi)Mz(FR)=Mz(Fi)AFRzFnF2F1FiAz●合力矩定理的應用FABCOαα已知:α,

AO=h,OC=r求:水準力F對C點之矩。MC(F)=Frsinα–FhcosαFF'1.3力偶與力偶矩F

＝－F′FF′F

＝－F′■力偶的定義

兩個大小相等、作用線不重合的反向平行力組成的力系稱為力偶(couple)。

力偶中兩個力的作用線所確定的平面稱為力偶的作用面(actingplaneofacouple)，二力作用線之間的垂直距離稱為力偶臂(couplearm)。FF′dPlaneofthecouple■力偶的主矢和主矩

◆力偶的主矢

因為力偶（F，F(xiàn)'）中F

＝－F',故FR

=F+F'=0,即力偶的主矢恒等於零?！袅ε紝θ我恻cO的主矩

力偶對任意點之主矩恒等於向量積

r×F,而與矩心的位置無關。

MOF'FrABrOBrOAPlaneofthecouple■力偶矩向量

力偶矩向量(couple-vector)，用來量度力偶對剛體的作用效果，定義為◆力偶矩矢的大小為◆力偶矩矢的方向垂直於力偶的作用面，指向按右手定則與力偶的轉向一致。

力偶矩向量是自由向量,只有大小和方向兩個要素。平面問題

由於力偶的作用面總是與力系所在的平面重合，力偶矩由向量變成代數(shù)量

正負號用來區(qū)別轉向，通常規(guī)定:

逆時針為正順時針為負+–■力偶是最簡單的力系之一

◆力偶中二力作用線不重合，根據(jù)二力平衡定理，它們不可能組成一個平衡力系；◆因為力偶的主向量FR

=0，它也不可能進一步簡化為一個力，否則FR≠0，與力偶的定義相矛盾。因此，與單個的力類似，力偶也是最簡單的力系之一?！隽ε嫉刃ё儞Q的性質

1.力偶可在其作用面內任意轉動和移動；

2.力偶的作用面可任意平行移動；

3.只要保持力偶矩大小不變，可任意同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短。

作用於剛體的力偶等效替換的條件是其力偶矩向量保持不變。

例1

長方體由兩個邊長為a的正方體組成，如圖

所示，試求力偶(F，F(xiàn)')的力偶矩向量M。xyzFrF'xyzFrF′解：

故設由F'的作用點至F

的作用點的矢徑為r,則有

因此

xyzFrF′例2

正方體的邊長為a，大小均為P的6個力作用於正方體的棱邊上，如圖所示。試求該力系的主矢及對O點的主矩。xyzF1F5OF6F3F2F4解：注意到原力系由同向平行力系(F1～F4)和力偶(F5,F6)組成。力系(F1～F4)的主矢為：F1～F4的作用點相對於O點的矢徑分別為:r1r2r3xyzF1F5OF6F3F2F4故

力偶(F5,F6)的主矢為零,力偶矩矢為:

因此原力系的主矢及對O點的主矩為:r1r2r3xyzF1F5OF6F3F2F4●力系的主矢和主矩●力系等效原理●力系等效原理的推論

●力偶及力偶矩矢●力偶的主矢和主矩●力偶是最簡單的力系之一●力偶等效變換的性質要點回顧理論力學靜力學基礎1.4物體的受力分析(一)

■

約束與約束反力的概念

1.4.1約束與約束反力1.4物體的受力分析自由體(freebody)非自由體(constrainedbody)

限制物體運動的條件，或者更直觀地說，對物體運動施加限制的周圍物體稱為約束(constraint)。

火車的位移受到了軌道的限制

約束施於被約束物體的力稱為約束力(constraintforce)。約束力是一種接觸力。約束力(constraintforce)主動力(appliedforce)[載荷(load)]靜力學中力的分類:●約束的基本類型●剛體靜力學的典型問題■約束的基本類型

柔索工程中的繩索、鏈條、皮帶等物體可簡化為柔索(flexiblecable)。理想化的柔索不可伸長，不計自重，且完全不能抵抗彎曲。MFTF'T柔索的約束力是沿繩向的拉力。纜索2.光滑接觸面ττnnFN

光滑接觸面的約束力沿接觸處的公法線方向，作用於接觸點，且為壓力。

若兩物體的接觸面上摩擦力很小而可忽略不計時，就可簡化為光滑接觸面(smoothsurface)?；叟c銷釘FRFN光滑接觸面約束FCFBFAFGABC

用圓柱銷釘將兩個零件連接在一起，並假設接觸面是光滑的，這樣構成的約束稱為光滑圓柱鉸鏈(smoothcylindricalpin)，簡稱鉸鏈。

被連接的構件可繞銷釘軸作相對轉動，但相對移動則被限制。

3．光滑圓柱鉸鏈

光滑圓柱鉸鏈的約束力是一個大小和方向都未知的二維向量FN

。

在受力分析時，為了方便起見，我們常常用兩個大小未知的正交分力Fx和Fy來表示它。FNFyFx光滑圓柱鉸鏈在圖中的表示AFAyFAx銷釘(鉸鏈)FRyFRx鉸鉸恐龍骨骼的鉸鏈連接

當光滑圓柱鉸鏈連接的兩個構件之一與地面或機架固接則構成固定鉸鏈支座(fixedsupportofpinjoint)。4．固定鉸鏈支座

AA

固定鉸鏈支座在圖中的表示FAyFAx固定鉸支座AFAyFAx5.光滑球形鉸鏈

固連於構件的小球嵌入另一構件上的球窩內，若接觸面的磨擦可以忽略不計，即構成光滑球形鉸鏈(smoothballandsocketjoint)，簡稱球鉸。球窩小球光滑球形鉸鏈

球窩小球FNFxFyFz

與鉸鏈相似，球鉸提供的約束力是一個過球心，大小和方向都未知的三維空間向量FN

，常用三個大小未知的正交分力Fx、Fy和Fz來表示它。球鉸FzFyFx盆骨與股骨之間的球鉸連接球股骨盆骨球窩球鉸支座在圖中的表示AAAFAzFAyFAx6.可動鉸鏈支座

在鉸鏈支座與支承面之間裝上輥軸，就構成可動鉸鏈支座或輥軸鉸鏈支座(rollersupportofpinjoint)。???

可動鉸鏈支座的反力FN過鉸鏈中心且垂直於支承面。FAAAFAFA輥軸FR(實際約束中FR方向也可以向下)7.鏈桿(二力桿)ABAB

兩端用光滑鉸鏈與其它構件連接且中間不受力的剛性輕桿（自重可忽略不計）稱為鏈桿。

由於鏈桿為二力桿，根據(jù)二力平衡定理，鏈桿的約束力必然沿其兩端鉸鏈中心的連線。FA用鉸鏈連接的桿FR8．固定端

物體的一部分固嵌於另一物體的約束稱為固定端約束(fixedendsupport)。

固定端約束的特點是既限制物體的移動又限制物體的轉動。工程結構中的固定端約束槽鋼懸臂梁焊縫

在外載荷的作用下,受固定端約束的物體既不能移動也不能轉動,因此平面固定端約束的約束反力,可用兩個正交分力和一個力偶矩表示。

AMAAFAyFAx空間固定端約束FAzFAxFAyMAzMAxMAy■約束的基本類型

●柔索●光滑接觸面●光滑圓柱鉸鏈固定鉸鏈支座●光滑球形鉸鏈●可動鉸鏈支座●鏈桿(二力桿)●固定端■約束與約束反力的概念

要點回顧理論力學靜力學基礎1.4物體的受力分析(二)■分離體和受力圖

被選取作為研究對象，並已解除約束的物體稱為分離體(isolatedbody)。

當研究對象包括幾個物體時，解除約束是指解除周圍物體對它們的全部約束，但不包括這些物體相互之間的聯(lián)繫。1.4.2物體的受力分析●選取適當?shù)难芯繉ο蟆窠獬s束●畫受力圖

畫有分離體及其所受的全部主動力和約束力的圖稱為受力圖(free-bodydiagram)?！鰞攘屯饬?/p>

當選取由幾個物體所組成的系統(tǒng)作為研究對象時，系統(tǒng)內部的物體之間的相互作用力稱為內力(internalforce)，系統(tǒng)之外的物體對系統(tǒng)內部的物體的作用力稱為外力(externalforce)。

顯然，內力和外力的區(qū)分是相對的，完全取決於研究對象的選擇。

在作受力圖時不必畫出內力。對研究對象進行受力分析看似簡單，但它卻是研究力學問題的關鍵步驟之一。只有準確地掌握了基本概念，才有可能正確地進行受力分析。對此，初學者一定要予以足夠的重視。例1

圖示結構為一提升重物的懸臂梁，試畫出（1）AB梁和（2）整體的受力圖。解：●整體的受力圖●AB梁的受力圖BAFGFTqFAxFAyMAFBxFBy注意:

●

不要將線荷載q簡化為一個集中力。

●

A為平面固定端約束，B為光滑園柱鉸鏈，應分別按其約束的特徵畫出約束力。

●

正交分力FAx、FAy和FBx、FBy的指向，以及力偶矩MA的轉向可以任意假定。今後如果某個計算值為負，則表明它的實際方向與假定方向相反。但應注意，這種假定在同一問題中的幾個不同的受力圖中必須是一致的。畫受力圖的步驟如下：

(1)根據(jù)問題的要求選取研究對象，畫出分離體簡圖。

(2)畫出分離體所受的全部主動力，一般不要對已知載荷進行靜力等效替換。

(3)在分離體上每一解除約束的地方，根據(jù)約束的類型逐一畫出約束力。例2

三鉸拱結構簡圖如圖所示，不計拱的自重。試分別

作出（1）右半拱、（2）左半拱和（3）整體的受力圖。

ABCPBC解：

（1）右半拱的受力圖。FCyFCxFByFBx?BCFCFBABCPFAxFAy（2）左半拱的受力圖。

是FC的反作用力。ABCPFBFAxFAy（3）整體的受力圖1。

鉸鏈C處的內力不要畫出。三力平衡匯交定理：剛體受不平行三力作用而平衡時，此三力的作用線必匯交於一點

.A三力平衡匯交定理是剛體受不平行三力作用而平衡的必要條件,可用於確定未知約束力的方向。F1F3F2ABCPFBFA（4）整體的受力圖2︱︱

三力平衡匯交定理的應用。E注意:●要正確判斷二力桿和二力構件?！褡饔昧头醋饔昧σ鋵??！駜攘Σ灰嫵??！裼袝r也可用三力平衡匯交定理來確定未知約束反力的方向。FWABCD例3結構如圖示，試畫出（1）AB桿和（2）整體的受力圖。解：（1）桿AB的受力圖

FWABCFWABCFAxFAyFBxFByFAyFBy???桿AB的受力圖1FWABCDFAxFAyFB桿AB的受力圖

2FWABCDFBFAFWABCD（2）整體受力圖

1FDFAxFAy整體受力圖

2FWABCDFDFAMABCDE例4結構如圖示，試畫出（1）AB桿和（2）整體的受力圖。MABDMABDFAxFAyFDxFDyFDFA???解：（1）桿AB的受力圖

桿AB的受力圖1MABDCEFAxFAyFD桿AB的受力圖

2MABDFDFA力偶只能與力偶平衡（2）整體受力圖

1MABCDEFAxFAyFE整體受力圖

2MABCDEFEFA例5

組合梁如圖所示，試分別作出梁AB、BC和整體的受力圖。

ABCqDFP解：

梁AB

的受力圖

FAFDFBBCq梁BC的受力圖

qABDFPF'BFC????解：

梁AB

的受力圖

FAxFAyFDFBBCqFC梁BC的受力圖

qABDFPF'B??解：

梁AB

的受力圖

FAxFAyFDFBxFByBCqFC梁BC的受力圖

qABDFP整體的受力圖

FAxFAyFDFCABCqDFP物體受力分析課堂練習1試分別作出AC,DEBH,DE,以及BH的受力圖。PABCDEH受力圖APDEHCBPDECHEBABC????????受力圖BABCPDEHCBPDECHEB物體受力分析課堂練習2ABCDEQ

試分別作出AB,CE(加滑輪),CE,以及整體的受力圖。受力圖ABADDCEQDCE?????????ABCDEQ?受力圖BDCEQBADDCEABCDEQ■物體的受力分析●分離體和受力圖●內力和外力●三力平衡匯交定理■物體的受力分析的步驟和注意事項要點回顧理論力學力系的簡化2

力系的簡化

尋求一個已知力系的更簡單的等效力系，稱為力系的簡化(reductionofforcesystems)。

力系的簡化是靜力學研究的基本問題之一。

本章的主要內容包括:

匯交力系與力偶系的簡化空間任意力系的簡化平行力系的簡化平行力系中心和重心2.1匯交力系與力偶系的簡化2.1.1

匯交力系的簡化

各力作用線匯交於一點的力系稱為匯交力系(concurrentforcesystem)?！駞R交力系的簡化—

幾何法

匯交力系（F1,F2,…,Fn）簡化的結果為一通過匯交點的合力,合力矢等於原力系的主矢:幾何法即是用多邊形法則求這個合力矢?！袅Φ亩噙呅畏▌tFR

=∑Fi

FR

=∑FiFnF1+F2F1F2●匯交力系的簡化—

解析法

上述結果稱為合力投影定理,即合力在任一軸上的投影等於各分力在同一軸上的投影的代數(shù)和。2.1.2

力偶系的簡化

任意力偶系（M1,M2,…,Mn）的簡化結果為一合力偶,其合力偶矩等於

全部由力偶組成的力系稱為力偶系(systemofcouples)

簡化的方法也有類似的幾何法和解析法。

作用在剛體上的力FA

可以平行移動到剛體上任一指定點O，但必須附加一力偶，其力偶矩等於原力FA

對指定點O之矩MO(FA)。2.2

任意力系的簡化2.2.1力線平移定理FAAOMFOFA=

MO(FA)rOA=

rOA×

FAAOFArOAAOFOMFO

=

FAM

=

MO(FA)

=

rOA×FA◆力線平移定理的證明

注意一下上述定理的逆過程，即可發(fā)現(xiàn)當一個力和一個力偶矩相互垂直時,即F⊥M時,它們也可以合成為一個力。2.2.2任意力系向一點簡化F1F2F3Fn●OFiMiFiF'iF'i=

FiMi

=MO(Fi)

空間任意力系向一點簡化得到一個匯交力系和一個力偶系。任意力系向簡化中心O簡化匯交力系力偶系+合力:作用於簡化中心O+合力偶:原力系對O的主矩AFAAMAFAyFAxAMA●

應用—固定端約束的約束反力

任意力系向A點簡化FA和MA平面固定端約束空間固定端約束FAzFAxFAyMAzMAxMAyAFAMA2.2.3平面任意力系的簡化結果

平面任意力系（F1,F2,…,Fn）向一點簡化後得到

由此可得平面任意力系簡化結果的以下四種情況:

由此可得平面任意力系簡化結果的以下四種情況:(1)

簡化為一合力，其合力矢FR

=F′R

，合力作用線通過簡化中心O。這時原力系等價於一個匯交於簡化中心O的匯交力系。

(2)

簡化為一合力偶，其力偶矩M

=MO

，且與簡化中心的選擇無關，即原力系等價於一個力偶系?！馩FRd●OMOF'R(3)

簡化為一合力，其合力矢FR

=F'R，但合力作用線不通過簡化中心O。

(4)

原力系為一平衡力系。

2.3平面平行力系的簡化各力的作用線相互平行的平面力系稱為平面平行力系。平行力系是工程中最常見的力系之一?！衿矫嫫叫辛ο档暮喕疧yxFi向O點簡化後得到:可進一步簡化為一個合力，其合力矢FR

=F'R=ΣFi

合力FR的作用點C稱為平行力系中心(centerofparallelforces)。下麵來確定它的位置。FR●C●平行力系中心OyxFiFR●C(xC,yC)●(xi,yi)

由合力矩定理可得同理可得

主矢不等於零的平行力系中各力繞其各自的作用點同時轉過一個相同的角度時，平行力系中心的位置不變。這個結論與我們的日常經(jīng)驗是吻合的。平行力系中心C的座標公式：

公式適用於任何主矢不等零的平行力系，式中各力的投影和作用點的座標均為代數(shù)量，使用時應注意正負號。●平行分佈載荷

平行分佈載荷是指平行分佈的表面力或體積力，通常是一個連續(xù)分佈的同向平行力系，在工程中極為常見。

某些平行分佈載荷可以簡化為沿直線分佈的平行力，稱為線載荷。

作用於懸臂梁的載荷分佈於狹長的梁頂表面，且受力關於梁的縱向對稱面對稱，故可簡化為梁縱向對稱面內的線載荷。q

線載荷的大小以某處單位長度上所受的力來表示，稱為線載荷在該處的集度(intensity)。常用q表示，單位為N/m或kN/m。

線載荷是平行力系的特殊情況，可用平行力系的簡化理論來求它的合力。qlQl/2矩形均布載荷Q=qlqlQl/3三角形分佈載荷Q=ql/2●重心與形心

作用在地球表面附近的物體各質元上的重力可近似看成一平行力系,此平行力系中心就稱為物體的重心(centerofgravity)。求物體重心的座標可直接應用平行力系中心的座標公式,即式中(xiyizi)是第i

個質元的座標,ΔPi是它的重量。

重心座標公式

均質物體的重心位置只取決於其體積和形狀,與物體的幾何中心重合,也稱為形心(centroidofavolume)。形心座標的計算公式為式中V是整個物體的體積。例1

求如圖所示的平面圖形的形心。

2aa2aaxayⅠⅡⅢ解：(1)分割法

將圖形分割成三個部分。各個部分的面積和形心座標分別為:S1=3a2x1=3a/2y1=7a/2S2=2a2x2=a/2y2=2aS3=3a2x3=3a/2y3=a/22aa2aaxay(2)負面積法

將圖形補足成一規(guī)則的矩形。ⅠⅡS1=12a2x1=3a/2y1=2a

再挖去補充的部分,其面積和形心座標分別為:S2=4a2x2=2a

y2=2a兩種方法求出的結果相同。2aa2aaxayⅡ例2

如圖所示，求作用於懸臂梁AB的線分佈荷載對A點的矩。

解：

ABLq2q1Q1Q2要點回顧■匯交力系與力偶系的簡化■力線平移定理■空間任意力系向一點簡化■平面任意力系的簡化結果■平行力系的簡化■平行力系中心和重心理論力學力系的平衡(一)3

力系的平衡3.3考慮摩擦時的平衡問題3.2.2

靜定與超靜定問題3.2.3

物系平衡問題應用舉例3.2物系平衡靜定與超靜定問題

3.2.1物系平衡3.1力系的平衡方程3.1.1空間任意力系的平衡方程3.1.3力系平衡方程的應用3.1.2平面任意力系的平衡方程3.1力系的平衡方程3.1.1空間任意力系的平衡方程3

力系的平衡空間任意力系平衡的充分必要條件

Fx=0

Fy=0

Fz=0

Mx(Fi

)

=0

My(Fi

)

=0

Mz(Fi)

=0

空間任意力系的平衡方程FR

=

Fi=0MO

=

MO(Fi)

=03.1.2平面任意力系的平衡方程

平面力系(systemofcoplanarforces)是指各力的作用線共面的力系,可視為空間力系的特殊情況,在靜力學中佔有特別重要的地位。平面任意力系平衡方程的基本形式設力系中各力位於xy平面內,則有

Fx=0

Fy=0

MO(Fi

)

=0

上述方程也稱為平衡方程的基本形式,式中坐標系和矩心均可任意選取。平面任意力系平衡方程的等價形式◆二力矩形式

Fx=0

MA(Fi

)

=0

MB(Fi

)

=0

其中AB

不垂直於x

軸xABFxAB◆三力矩形式其中A、B、C不共線

MA(Fi)

=0

MB(Fi)

=0

MC(Fi

)

=0ABCFABC●

平面特殊力系的平衡方程◆

匯交力系

Fx=0

Fy=0◆力偶系

Mi=0

◆平行力系

各力平行於Oy

軸

基本形式二力矩形式

Fy=0

MO(Fi

)

=0

MA(Fi

)

=0

MB(Fi

)

=0AB不平行於Oy軸3.1.3力系平衡方程的應用

平衡方程主要用於解決以下三方面的問題:求未知約束反力;求平衡位置;確定主動力之間的關係。選取研究對象,單獨畫出研究對象的受力圖;選取坐標系,列平衡方程;解方程(組);校核及討論。

其中重點是問題1。應用平衡方程解題的步驟大致如下:AFPBC60°平衡方程應用舉例

例1圖示結構，若AB=l、FP已知，確定以下四種情形下的支座反力.(1)(2)AM=FPlBC60°(3)AFPBC60°°(4)平衡方程應用舉例

例1圖示結構，若AB=l、FP已知，確定以下四種情形下的支座反力.ABC60°°M=FPlFPAFPBC60°(1)解:取整體為研究對象,受力分析如圖示。FAFC

Fx=0:FA+FCcos60o=0

Fy=0:FP+FCsin60o=0FA=

0.577FPFC=–1.155FP討論:選擇不同的研究對象整體AFPBC60°FAFCAFPBC60°●是否可選取AB作為研究對象？FAFBCCF'BCFCAFPB60°AFPBC60°ABFAFCCFPB60°FBAF'BA●是否可選取BC作為研究對象？AFPBC60°AFPBC60°AFPBC60°D討論:

以下兩種情況的支座反力是否相同？(2)解:取整體為研究對象,受力分析如圖示。AM=FPlBC60°lFAFCyFCx

Fy=0:FCy=0

Fx=0:FA+FCx=0

MC(F)=0:M–FAltg60o=0FCx=

–0.577FPFCy

=0

FA=

0.577FP討論:AM=FPlBC60°lFAFCyFCxFC

力偶只能與力偶平衡

M

=0:M–FAltg60o=0FA=FC=

0.577FP由平面力偶系的平衡方程:

(3)解:取ABC為研究對象,受力分析如圖示。AFPBC60°°lFCFAyFAx

Fy=0:FAy–

FP=0

Fx=0:FC–FAx=0

MA(F)=0:FCltg60o

–FPl=0FC=

0.577FPFAx=

0.577FPFAy=

FP討論:三力平衡匯交定理的應用AFPBC60°°lFCFA由平面匯交力系的平衡方程:

Fx=0:FC–FAcos60o=0

Fy=0:FP–

FAsin60o=0FA=

1.155FPFC=

0.577FP(4)解:取ABC為研究對象,受力分析如圖示。ABC60°°M=FPlFPlFCFAyFAx

Fy=0:FAy–

FP=0

Fx=0:FC–FAx=0

MA(F)=0:FCltg60o

–FPl–M=0FC=

1.155FPFAx=

1.155FPFAy=

FP討論:平衡方程的等價形式ABC60°°M=FPlFPlFCFAyFAx

Fy=0:FAy–

FP=0

MA(F)=0:FCltg60o

–FPl–M=0

MC(F)=0:FAxltg60o

–FPl–M=0◆二力矩形式:注意:AC

不垂直於y

軸ABC60°°M=FPlFPlFCFAyFAx◆三力矩形式:

MA(F)=0:FCltg60o

–FPl–M=0

MC(F)=0:FAxltg60o

–FPl–M=0

MB(F)=0:FCltg60o

–FAyl–M=0注意:A、B、C

不共線qABDCM例2已知:q,M=qa2

,AB=AD=2a,BC=a。求:A、D處的約束力。FAxFAyFD解:取整體為研究對象,受力分析如圖示。

MB(F)=0:–FAy

?2a

–

M+2qa?a

=0

Fy

=0:FDcos

45o+FAy

–

2qa=0

Fx

=0:FAx

+FDsin

45o

=0FAx

=–

3qa/2FAy

=qa/2FD

=3qa/2qAMBα例3已知:q、α,M=qa2,AB=a。求:A、B處的約束力。解:取AB為研究對象,受力分析如圖示。FAxFAyFB

MA(F)=0:FBcos

α

?a

+

M–

(qa/2)

?2a/3

=0

Fx

=0:FAx

–

FBsin

α

=0

Fy

=0:FAy

–

qa/2+FBcos

α

=0FAx

=–

2qa(tanα)/3FAy

=7qa/6

FB

=–

2qa/3cosαAqBM例4已知:q,M=qa2,

AB=a。求:固定端A的約束力。解:取AB為研究對象,受力分析如圖示。FAxFAyMA

MA(F)=0:MA

–

M–

qa?

a/2

=0

Fx

=0:FAx

=0

Fy

=0:FAy

–

qa=0FAx

=0

FAy

=qa

MA

=3qa2/2例5已知:水準擱板重FG=800kN,AB=CD=1.5m,AD=BC=0.6m,DK=0.75m,AH=BE=0.25m。E和H為蝶鉸,D和K為球鉸。求:鉸E、H和D的約束力。αCBEHAyDKxzFG解:取板為研究對象,受力分析如圖示。FEx+FHx+FDsin

α

=0FEz+FHz+FDcos

α

–FG=0幾何關係:sin

α

=0.8cos

α

=0.6FHz?EH+FDcos

α

?AE–

FG?EH/2=0FG?AD/2–FDcos

α

?AD

=0

–FHx?EH–

FDsin

α

?AE=0αCBEHAyDKxzFGFDFEzFHzFExFHx●平面任意力系平衡方程的基本形式●空間任意力系的平衡方程●平面任意力系平衡方程的等價形式●平面特殊力系的平衡方程●平衡方程的應用(單體平衡問題)要點回顧理論力學力系的平衡(二)3.2物系平衡靜定與超靜定問題

3.2.1物系平衡

兩個或兩個以上剛體用一定的方式連接起來組成的系統(tǒng)，稱為剛體系統(tǒng)(rigidmultibodysystem)。

剛體系統(tǒng)整體處於平衡時,每一局部均處於平衡。局部:

組成系統(tǒng)的單個或幾個剛體所構成的子系統(tǒng)。ABCDEq2q1整體平衡局部必然平衡物系平衡FEFAxFAyFBxFByEq1FEFDxFDyDDAFAxFAyq2CFCxFCyF'DxF'DyBq2FBxFByF'CxF'CyCADEq2q1FEFAxFAyFCxFCyABCDq2FAxFAyFBxFByF'DxF'Dy

剛體系統(tǒng)平衡問題的特點是：僅僅考察系統(tǒng)整體平衡，無法求得全部未知力。ABCMqD

求解物系平衡問題,可選取單個剛體,某個局部(系統(tǒng)內幾個相互連接的剛體)或整個系統(tǒng)作為研究對象,列出平衡方程求解。ABCMqD

對於由n個剛體組成的受平面力系作用的系統(tǒng),其獨立平衡方程數(shù)

3n。ABCMqD3.2.2

靜定與超靜定問題靜定問題(staticallydeterminateproblems)

未知約束力的數(shù)目=獨立的平衡方程數(shù)超靜定問題(staticallyindeterminateproblems)

未知約束力的數(shù)目

獨立的平衡方程數(shù)FPFPFPFP靜定超靜定超靜定不完全約束PABCDEHABCDEQ

靜定結構的例子qABAqBM

超靜定結構的例子3.2.3

物系平衡問題應用舉例ABCMqD4m2m3mα例1

已知:

q=10KN/m,M=20KN?m,

α=60o。

求:

A、B、C處約束力。BCqα3mFCFBxFBy解:(1)研究BC

MC(F)=0:

–

FBy?

3+3q?3/2

=

0

Fx

=0:FBx–FCsin60o

=

0

Fy

=0:FBy

–3q+FCcos60o

=

0FBx=15kNFBy

=15kNFC

=30kNABCMqD4m2m3mαFAxFAyFCFD

(2)研究整體

MD(F)=0:M–4FAy–5q?5/2+FC

cos60o?5=0

Fx

=0:FAx

–

FC

sin60o=0FAx=15kNFAy

=–15/2kN例2支架如圖示，已知AB＝BC＝CA，鉸D位於AC桿的中點，力FP作用於BC桿的中點E，求鉸鏈C約束力和BD桿的內力。解:(1)研究整體,設AB=a。

MA(F)=0:FPABDCEFBFAxFAy(2)研究

BCFPBCEFCxFCyFBFBDθ

MC(F)=0:

Fx

=0:FCx–FBDcos30o

=

0

Fy

=0:FCy

–

FP+FBDsin30o+FB=

0例3

半徑為R的圓形玻璃杯將兩個半徑為r(r<R<2r),重P的小球扣在光滑的水準桌面上，如圖所示。求玻璃杯不致翻倒的最小重量Qmin。ABQPP2R解:(1)研究整體,臨界狀態(tài)受力如圖。QR+Pr

+(P–N)(2R–r)=0

MB(F)=0:ABQPP2RNNB(2)研究兩小球,受力如圖。

Fy

=0:PPNQR+Pr

+(P–N)(2R–r)=0N–2P=0ABCDEFW例4

已知:

FW

=1.2KN,AD=DB=a=2m,

CD=DE=b=1.5m。

求:

A、B處的支座反力及桿BC的內力。解:(1)研究滑輪+CE，設滑輪半徑為r，F(xiàn)T=FW

EFWFTDCFCBα

MD(F)=0:

–FCB

bcosα–FT

(b–r)–FW

r=

0因為cosα

=0.8

FCB

=–1.25FW=–1.5kN(2)研究整體

MA(F)=0:FB2a

–FT

(b–r)–FW

(a+r)

=0

Fx

=0:FAx–

FT=0

Fy

=0:FAy

+

FB

–

FW=0

FCB

=–1.5kNFB=1.05kNFAx=1.2kNFAy=0.15kNABCDFAxFAyFBEFWFTPABCDEH323336例5

已知:

P=2KN,H處為光滑接觸，圖中長度單位為m。求:

鉸鏈B約束力。FH解:(1)研究整體

MA(F)=0:

FH?

(2+3+3)–

P?(3+6+3)

=

0

FH

=3P/2

BEH333FBxFByFH(2)研究

BH

ME(F)=0:

FH?

3

–FBy?3

=

0FBy

=3P/2

FH

=3P/2

PBCDEH33336FBxFByFH(3)研究

BH+DE

MC(F)=0:

FH?

3–

P?3+FBx?6

–FBy?3

=

0即

FBy

–2FBx=

P/2由此即可解出

FBx

=P/2

=1kN

FBy

=3P/2

=3kN要點回顧

靜定與超靜定問題

物系平衡

物系平衡的應用問題理論力學力系的平衡(三)3.3平面桁架

3.3.1平面靜定桁架

桁架(truss)是工程中常見的一種桿系結構,是一個由若干直桿的兩端以適當?shù)姆绞竭B接(鉚、焊)而成的幾何形狀保持不變的系統(tǒng)。

各桿件的軸線及所有荷載均處於同一平面內的桁架稱為平面桁架(planartruss)。

桁架結構在工程中有極其廣泛的應用。工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構工程中的桁架結構為簡化計算,平面桁架常採用以下基本假設:所有桿件僅在端部用光滑園柱鉸鏈相互連接;主動力(荷載)只作用在連接處;所有桿件的自重忽略不計。

滿足以上假設的平面桁架稱為平面理想桁架,其受力特徵是桁架中的各桿均可看成二力桿,只承受拉力或壓力,而不能承受彎曲。

桁架中各桿軸線在桿件端部連接處的交點稱為節(jié)點(node)。簡化計算模型桿件節(jié)點節(jié)點桿件節(jié)點桿件節(jié)點桿件力學中的桁架模型模型與實際結構的差異3.3.2計算桁架內力的節(jié)點法節(jié)點法(methodofjoints)每一節(jié)點可列兩個平衡方程,解兩個未知數(shù)。求解步驟及注意事項:先以整個桁架為研究對象,求出支座反力;從只有兩個未知力的節(jié)點開始,依次研究各節(jié)點,直到求出全部待求量;假設各桿均受拉力,力矢背向節(jié)點,計算結果為正表示受拉,為負表示受壓。4F4'F8假設各桿均受拉力41235678910111213PPF1F3F4節(jié)點法例題ABCEDH123456789PQaaaa

已知:

P

=40kN,

Q=10kN

求:

桿1–6的內力。解:

整體FAxFAyFBFAx=–10kNFAy

=30

kNFB=10kNABCEDH123456789PQaaaaFAxFAyFBAFAxFAyF1F2CPF'1F3F4DF'2F'3F5F6FAx

+F1+F2cos45o=0FAy

–

F2sin45o=0–

F1′+F4

=0–P

–

F3

=0–F2′cos45o

+F6+F5cos45o=0F2′sin45o

+F3′+F5sin45o=0ABCEDH123456789PQaaaaFAxFAyFBF1=–20kNF2=42.4kNF3=–40kNF4=–20kNF5=14.14kNF6=20kN桿1、3、4受壓,桿2、5、6受拉。3.3.3計算桁架內力的截面法截面法(methodofsections)

截面的形狀不限,可以是任意的平面或曲面。每次切割的未知力桿儘量不要超過三根。

若需求出桁架全部桿的內力,常用節(jié)點法;若只需求出少數(shù)幾根桿的內力,常用截面法,或兩種方法結合應用。截面法例題ABCEDH123456789PQaaaa

已知:

P

=40kN,Q=10kN

求:

桿4、5、6

的內力。FAxFAyFB解: