新疆2022屆高三診斷性自測（第二次）數(shù)學（文）試題（含答案解析）

新疆2022屆高三診斷性自測（第二次）數(shù)學（文）試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={幻-1<》<3"€1^},則/的子集共有（）

A.3個B.4個C.8個D.16個

2.一道數(shù)學試題，甲、乙兩位同學獨立完成，設命題p是“甲同學解出試題"，命題q

是“乙同學解出試題”，則命題“至少一位同學解出試題''可表示為（）

A.pzqB.pV（-,q）c.（->p）v（-iq）D.P^q

x-y-\<0

3.已知實數(shù)x,y滿足約束條件,,設Z=x+2y.則z最大值為（）

x>0

A.2B.4C.5D.6

4.中國氣象局規(guī)定：一天24h里的降雨的深度當作日降水量，通常用毫米表示降水量

的單位，1mm的降水量是指單位面積上水深1mm.如圖，這是一個雨量筒，其下部是直

徑為20cm、高為60cm的圓柱，上部承水口的直徑為30cm.某同學將該雨量筒放在雨

中，雨水從圓形容器口進入容器中，24h后，測得容器中水深40cm,則該同學測得的

降水量約為（）

A.17.8mmB.26.7mmC.178mmD.267mm

5.設復數(shù)z滿足(l+i)z=4—2i,則z=()

A.l-3iB.l+3iC.一l+3iD.-l-3i

6.已知向量￡=(2,3),石=(3,2),則|24|=()

A.V2B.2C.5D.5&

7.在三棱錐尸-ABC,若曰_1_平面48(7,ACLBC,|ACj=5,|BC|=V1T,

|/訓=8,則三棱錐P-ABC外接球的表面積是（）

A.1007rB.50兀C.144兀D.72K

8.過雙曲線。一gTS＞。力＞0）的右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于4B

兩點，若雙曲線的對稱中心不專以線段48為直徑的圓內部，則雙曲線離心率的取值范

圍為（）

A.(1,72)B.

x+2,(x<0),

9.已知函數(shù)〃x)=1.八、則〃〃。))=2,則。=(

XH--,(X>0),

-%

A.0或1B.-1或1C.0或-2

10.已知函數(shù)f(x)=2sin下列結論錯誤的是（

A.“X）的值域為

B.的圖象關于直線x=-亍對稱

/（x）的圖象關于點（與

C.

/（6的圖象可由函數(shù)＞=2sin[x+1）-1圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)?/p>

D.

原來的2倍得到

11.如圖，在正方體AB8-ABCR中，點尸是線段8G上的一個動點，有下列三個

結論:

□4尸〃平面4。。1；

口若點P與8不重合，則平面AP8JL平面BQ。.

其中所有正確結論的序號是（）

A.□□□B.□□C.□□D.□□

12.拋物線具有以下光學性質：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對

稱軸.該性質在實際生產(chǎn)中應用非常廣泛.如圖所示，從拋物線V=2px(p>0)的焦

點產(chǎn)發(fā)出的兩條光線mb分別經(jīng)拋物線上的48兩點反射，已知兩條入射光線與x

軸的夾角均為60。，且兩條反射光線優(yōu)和，之間的距離為26,則。=()

C.3D.4

二、填空題

13.為調動我市學生參與課外閱讀的積極性，我市制定了《進一步加強中小學課外閱

讀指導的實施方案》，有序組織學生開展課外閱讀活動，某校語文老師在班里開展了一

次詩詞默寫比賽，班里40名學生得分數(shù)據(jù)的莖葉圖如下圖.若規(guī)定得分不低于85分

的學生得到“詩詞達人”稱號，低于85分且不低于70分的學生得到“詩詞能手”稱號，

其他學生得到“詩詞愛好者，，稱號，根據(jù)該次比賽的成績，按照稱號的不同，進行分層

抽樣抽選15名學生，則抽選的學生中獲得“詩詞能手”稱號的人數(shù)為.

912568

800124578

702233345569

6022344457789

56689

3

14.已知ae(O,/),cosa=——

5

15.已知等比數(shù)列｛叫的前〃和為s“，若%gg成等差數(shù)列，且s*=22,

既+i=Y3,則Sk+2的值為.

16.已知Ax)是定義在R上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為尸(x).若x>0時，/'(x)>2x,則

不等式/(2x)-<3X2+2X-1的解集為.

三、解答題

17.如圖，在平面四邊形Z8CD中，BCDCD,AC=43,AD=\,口。。=30。.

'c

⑴求/CD；

(2)若口48c為銳角三角形，求8C的取值范圍.

18.如圖，在直四棱柱A3CO-A4G。中，底面N8CZ)為菱形，且NBAZ)=60。，E為

N8的中點，產(chǎn)為BG與BQ的交點.

(1)求證：平面DEF，平面CDD、G;

(2)若DR=AD=2,求三棱錐Q-REF的體積.

19.某縣充分利用自身資源，大力發(fā)展優(yōu)質李子樹種植項目.該縣農(nóng)科所為了對比4

8兩種不同品種脆紅李的產(chǎn)量，各選20塊試驗田分別種植了48兩種脆紅李，所得

的20個畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：100kg)都在［40,64］內，根據(jù)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)得到頻率分布直方

圖如下圖：

(1)從2種脆紅李畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)在［44,52)內任意抽取2個數(shù)據(jù)，求抽取的2個數(shù)據(jù)都在

［48,52)內的概率;

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，用平均畝產(chǎn)量判斷應選擇種植/種還是8種脆紅李，并說明

理由.

20.已知橢圓C:5+，=l(a>b>0)的離心率為乎，過焦點且與長軸垂直的直線被

橢圓截得的弦長為行.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設不過點T(-2,l)的直線/與C相交于4B兩點,直線左，萬分別與x軸交于

M,N兩點，且|7加|=|77Vl.求證直線/的斜率是定值，并求出該定值.

21.已知函數(shù)/(x)=，-l)(ox+l).

⑴若曲線y=/(x)在點處的切線/與y軸垂直，求實數(shù)。的值：

(2)當。>0時，若函數(shù)F(x)在》=占處取得極大值，求證,“司)20.

JVt

一，”為參數(shù))，曲線C的參數(shù)

{y=kt

fx=2+COS0

方程為.為參數(shù))，以坐標原點為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐

[y=sin。

標系.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的極坐標方程；

(2)若直線/和曲線C交于A,8兩點，且麗=3原，求實數(shù)〃的值.

23.已知函數(shù)，。)=|%-。|+》+’.

a

(1)若。=1,求不等式/(幻44的解集；

(2)若存在%,使得了(%)42成立，求“的取值范圍.

參考答案：

1.C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意先求得集合4={0,1,2},再求子集的個數(shù)即可.

【詳解】

由4={x|-l<x<3,xeN},得集合A={0,l,2}

所以集合A的子集有23=8個，

故選：C

2.D

【解析】

【分析】

根據(jù)"或命題''的定義即可求得答案.

【詳解】

“至少一位同學解出試題''的意思是“甲同學解出試題，或乙同學解出試題

故選：D.

3.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，作出可行域，利用z的幾何意義，進行平移即可得到結果.

【詳解】

x-y-1<0

根據(jù)題意，作出實數(shù)X,y滿足約束條件741的可行域，如下圖所示:

x>0

答案第1頁，共16頁

直線y=-gx+；z的截距最大，此時z取得最值，

又/'解得/'即A3)，

所以z的最大值為4.

故選：B.

4.C

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題意確定24h降水的體積，再根據(jù)降水量的定義計算該同學測得的降水量即可.

【詳解】

解：由題意，水的體積y=7txl0xl0x40=40007t(cm3),

容器口的面積S=ix15?=2257t(cm?).

□降雨量="kl7.8(cm)=178mm.

2257r

□該同學測得的降水量約為178mm.

故選：C.

5.A

【解析】

【分析】

根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法法則計算可得；

答案第2頁，共16頁

【詳解】

.、4-2i2-6i

解：因為(l+i)z=4—2i,所以z=~—==^~=1-31；

\/14i-12

故選：A

6.A

【解析】

【分析】

首先求出￡_石的坐標，再根據(jù)向量模的坐標表示計算可得；

【詳解】

解：由向量。=(2,3),%(3⑵,可得1。=(2,3)—(3,2)=(—1,1),所以

卜-q={(-1丫+仔=>/2.

故選：A

7.A

【解析】

【分析】

根據(jù)三棱錐的幾何特征，可將三棱錐放于長方體內，三棱錐的外接球就是長方體外接球.

【詳解】

如圖，將三棱錐放于一個長方體內：

則三棱錐的外接球就是長方體的外接球，口尸8為三棱錐產(chǎn)一/8C外接球的直徑,

口|PB|=752+(VH)2+82=10,

答案第3頁，共16頁

口外接球的表面積為：4〃x［萬J=100%.

故選：A.

8.B

【解析】

【分析】

將x=c代入雙曲線方程，求得|4叫，根據(jù)雙曲線的對稱中心不在以線段A8為直徑的圓內

部，可得|AB|4c,得出a,c的齊次式，從而可得出答案.

【詳解】

A2

將X=C代入雙曲線方程得y=土土，

a

□A2

所以

因為雙曲線的對稱中心不專以線段AB為直徑的圓內部，

所以|A8|4c,即±4c,即/vac,

a

所以cJ^vac，從而e2-e-”0,解得匕土叵，

22

又因為雙曲線離心率e>l,所以l<e4生5,

2

所以雙曲線離心率的取值范圍為［1,上半］

故選：B.

9.D

【解析】

【分析】

根據(jù)一次函數(shù)的性質，結合基本不等式的性質，運用換元法分類討論進行求解即可.

【詳解】

當X40時，函數(shù)單調遞增，有/(x)V/(0)=2,

當x>0時，X+1>2JT^=2,當且僅當工=:時取等號，即x=l時取等號，

因此有〃0)=/(1)=2,

令/(。)=乙則/⑺=2,因此f=0,或f=l,

答案第4頁，共16頁

當r=o時，即/(。)=0,顯然。40,因此。+2=0=。=-2,

當f=l時，即f(a)=l,顯然aMO,因此。+2=1=>。=-1,

綜上所述：。=-2或-1,

故選：D

10.C

【解析】

【分析】

直接求出正弦函數(shù)的值域即可判斷選項A；利用代入驗證法即可判斷選項B、C；根據(jù)三角

函數(shù)的平移伸縮變換即可判斷選項D.

【詳解】

ITT11T

A：因為sin(不元+工)w[—1,1]，2sin(—x+—)—1€[—3,1],

2828

即fM的值域為r-3,1],故A正確；

5415乃71

B：當戈=一一^時，/(%)=2sin(--x—+—)-1=-3,

4248

故函數(shù)f(x)的圖象關于》=-半對稱，故B正確；

4

77二2乃

C：若函數(shù)/(力的圖象關于(J,O)對稱，由=~=兀，

42

，白廿7乃T3兀、[/丁日日/土

得其一條對稱軸為工=二;---7=丁，當％=3工TT時，f(丁)=<F2T—1.,不是取值，

44444

所以x=T34不是函數(shù)/(X)的對稱軸，即函數(shù)不關于7(7丁r,0)對稱，故C錯誤；

44

7T

D：將函數(shù)y=2sin(x+￡)-l圖象縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到

8

y=2sin(4x+g)-l,故D正確.

2o

故選：C

11.A

【解析】

【分析】

先證面AC田〃平面AC。，即可證得AP〃平面AC。，」正確；

由ACLO4，42，。與證得。耳，面4。。，進而得到」正確；

答案第5頁，共16頁

由OC_L3P,BPICB\證得BP，平面B￡D得到□正確.

【詳解】

A----------------B

連接A8，AG，A，,CR,AC,易知||AC,AG<Z面AC。，ACu面AC。，〃平

面ACDt,

同理可得48〃平面4C。，又AGnA8=a，.?.面AGB〃平面4CR,又A/U面

AGB,故AP〃平面4CR；

故口正確；

連接AA，AC,Cn，BQ,B。,由AC1B￡),4C_LB耳,B￡>cBB1=B,..AC，面。8月，

.-.ACLDBt,同理AR，￡)B1,AC\ADt=A,.?.。4，面ACO-又由口知A/〃平面

ACR,

故□正確；

答案第6頁，共16頁

連接AB,B|C,8Q,由￡）。_1面8。6與，可得OC_LBP,又BP1.CB、,CBgDC=C,

二族，平面8。。，又3Pu平面APB,故平面4/8,平面BCD,一正確.

故選：A.

12.C

【解析】

【分析】

依題意設/”：*=-專）'+缶，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，即可求出力，同理求出

%,即可得到方程，解得即可；

【詳解】

解：可設心:戶-9y+合，與丁=2px聯(lián)立消元得V+皆y-p?=0,解得y=去、

3Pp

同理/小x=ty+稱，與y2=2px聯(lián)立消元得y2-用'.y-p?=0,解得力=82、

為=一卡，LIyR=V3p,Cp_-^=卷=26,p=3

故選：C

13.6

【解析】

【分析】

根據(jù)題中條件，先分別得到各稱號的總人數(shù)，根據(jù)分層抽樣的方法即可得出結果.

【詳解】

由莖葉圖可得，獲得“詩詞愛好者”稱號的學生總數(shù)為16；獲得“詩詞能手''稱號的學生總數(shù)

為16：獲得“詩詞達人''稱號的學生總數(shù)為8人;

因此，按照稱號的不同，進行分層抽樣抽選15名學生，抽選的學生中獲得“詩詞能手''稱號

16

的人數(shù)為15x=6.

16+16+8

故答案為：6.

14.—##0.1

10

【解析】

答案第7頁，共16頁

【分析】

根據(jù)同角的三角函數(shù)關系式，結合降嘉公式、誘導公式進行求解即可.

【詳解】

15.107

【解析】

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)題意列方程可得=“4+4/,從而求出

4=-2或q=l,再根據(jù)&句=-63,確定q=-2,進而求出4度==—2x(-85)=170,

代入記得：\+2=%+ak+2=-63+170=107.

【詳解】

由題意可設等比數(shù)列｛q｝的公比為4,首項為4,

由%,生,生成等差數(shù)列可得：

243=%+”5，代入可得：

234

2atq=atq+atq,解得：夕=-2或q=l,

又因為S“|=-63,易知q=-2,

又因為&=22,

aSS

k+\=M~t=-85,

所以aM=qa*+1=-2X(-85)=170,

§皿=57+，+2=-63+170=107，

故答案為：107.

【點睛】

答案第8頁，共16頁

本題考查了等差中項和等比數(shù)列的通項公式，考查了?！昂蚐,的關系，同時考查了計算能

力，屬于中檔題.

16-[-4_

【解析】

【分析】

構造函數(shù)g(x)=/(X)--,根據(jù)g(x)的單調性和奇偶性解不等式.

【詳解】

f'(x)>/'(x)-2x>0[/(x)-x2]>0,□g(x)=/(x)—x2在[0,+oo)上是增函數(shù),且

8(尤)為偶函數(shù)，

由f(2x)-/(A-1)<3X2+2X-1?f(2x)-(2x)2</(x-l)-(x-l)2

□I2x|<|x-l|,解得-lx],□解集為

故答案為：

17.(1)30°

⑵停2指

【解析】

【分析】

(1)在△AC。中，由余弦定理求得。C=l,根據(jù)AD=1,得到NACD=/C4O,即可求

解；

(2)在AABC中，由正弦定理求得/=心手工=61"^+]，根據(jù)A"C為銳

sinB(2tanB2；

角三角形，求得30。<8<90。，得至UtanB>1,進而求得BC的取值范圍.

(1)

解：在/XAC。中，由余弦定理得：DC2=AC2+AD2-2AC-AD-cosZCAD

=(A/3)2+12-273X^I=I,所以。C=l,

2

又因為AO=1,所以NACD=NC4T>=30。.

⑵

答案第9頁，共16頁

解：由3C_LCD,且ZA8=30。，可得NACB=60。,

BCAC

在△43C中，由正弦定理得

sinZBACsinB

ACsinN&AC&sin（20°-8）

所以5C=

sinBsinB

因為△MC為銳角三角形，0°<ZBAC=120°-B<90°,0°<B<90°,

所以30°<B<90°,可得tanB>—,

3

則0<—〈石，所以1■〈心_+_l<2,所以迫<8C<2百，

tanB22tanB22

所以8c的取值范圍為26.

I2)

18.(1)證明見解析

⑵當

2

【解析】

【分析】

(1)如圖，連接8D,根據(jù)題意可得。EDCD,利用線面垂直的性質和判定定理可得DE「平

面C?0G，進而即可證明面面垂直;

(2)結合(1)和線面垂直的性質和判定定理可得C￡>J_平面。。E,取RE的中點G,連接

GF,進而可得GFL平面ROE,求出。。、DE、FG,利用三棱錐的體積公式計算即可.

(1)

如圖，連接8D

在菱形/8CD中，BAD=60°,所以△M￡)為正三角形，

因為￡為N8的中點，所以。EE4A

因為AB//CD,所以DEnCD

因為。。J.平面428,￡石匚平面488,所以。RLDE,

而。。cDC=。，且。"，OCu平面CDDC，

所以Z)E口平面CD。G.又因為DEu平面DEF,

所以平面OE尸□平面CDD,C,.

答案第10頁，共16頁

（2）

由（1）知

因為。。_L平面N2CD,DCu平面N8C。，所以。R_LQC.

而。。nOE=。，且。R,DEu平面ROE,所以平面。QE.

如圖，取RE的中點G,連接GE

因為尸為BC的中點，所以G尸〃。G〃OC,所以GF_L平面

由條件知0R=RG=2,BE=l,DE=與AB=g,FG=咒。￡=|,

所以三棱錐力-REF的體積Y=.G尸=1X1X6X2X3=3.

33222

3

19.（1）—

10

（2）應選擇種植8種脆紅李，理由見解析.

【解析】

【分析】

（1）B種脆紅李畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)在K4,52）內的有5個，其中數(shù)據(jù)在［44,48）的有2個，數(shù)據(jù)

在［48,52）的有3個，從B種脆紅李畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)在口4,52）內任意抽取2個數(shù)據(jù)，基本事

件總數(shù)"=C；=10,抽取的2個數(shù)據(jù)都在［48,52）內包含的基本事件個數(shù)機=C；=3,由此

能求出抽取的2個數(shù)據(jù)都在［48,52）內的概率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求出工種

脆紅李平均畝產(chǎn)量和B種脆紅李平均畝產(chǎn)量，從而得到用平均畝產(chǎn)量來判斷應選擇種植B

種脆紅李.

（1）

（1）8種脆紅李畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)在144,52）內的有：

(0.025+0.0375)x4x20=5,

答案第11頁，共16頁

其中數(shù)據(jù)在由，48)的有：0.025x4x20=2個，

數(shù)據(jù)在［48,52)的有：0.0375x4x20=3個，

從B種脆紅李畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)在144,52)內任意抽取2個數(shù)據(jù),

基本事件總數(shù)〃=C；=10,

抽取的2個數(shù)據(jù)都在［48,52)內包含的基本事件個數(shù)機=C；=3,

m3

???抽取的2個數(shù)據(jù)都在［48,52)內的概率為P=-=~.

n10

(2)

根據(jù)頻率分布直方圖，

A種脆紅李的平均畝產(chǎn)量為：

=42x0.0375x4+46x0.05x4+50x0.075x4+54x0.05x4+58x0.025x4+62x0.0125x4

=50.2,

B種脆紅李的平均畝產(chǎn)量為：

xB=42x0.0125x4+46x0.025x4+50x0.0375x4+54x0.0875x4+58x0.05x4+62x0.0375x4=54,

A種脆紅李平均畝產(chǎn)量小于B種脆紅李的平均畝產(chǎn)量，

用平均畝產(chǎn)量來判斷應選擇種植B種脆紅李.

22

20.(1)—+^-=1

82

(2)證明見解析：定值

【解析】

【分析】

￡=正

(1)依題意得到"一2,再根據(jù)02=儲—〃，即可求出從，即可求出橢圓方程;

2b=25/2

(2)首先說明直線斜率存在，設直線/：y=h+m、A(X|，X),川々,必)，聯(lián)立直線與橢

圓方程，消元、列出韋達定理，由|7N|=|7W|,可得L+%=0,即可得到

"+”1=0,整理再將韋達定理代入，整理得(2%+1)(機-2%-1)=0,即可得證：

(1)

解：由e=g=且且c2=/-b2,得>4=3,

a2a24

答案第12頁，共16頁

又因為26=2&,所以b=J5，解得/=8,及=2,

故橢圓C的方程為目+*=1；

82

(2)

解：當直線/的斜率不存在時，設直線//=毛($二-2),

設/與C相交于A(%,"),兩點，

"-1~ri—1

直線771:y-+直線TB:y-1=-^。+2)分別與％軸相交于兩點

%+2演)+2

川-2-皆"+2+彩。)，

因為|加|=|3|,所以,2—++(0-1)2=[-2+^^+2]+(0-1)2,

即/=-2,與已知矛盾，故直線/斜率存在,

r2v2

設直線/：y=Ax+"?,代入匕+工1整理得：(l+4%2)x2+8hnx+4〃a-8=0,

82

設人(芭,乂)，8(々,%),貝！]A>0,且占+/=]&黑W-8

1十QK\+4k2

因為|7M|=|77V|,所以%+以=0,即鋁+三|=°，

所以&+2)(>2-1)+(與+2)(>-1)=0,

即+2)(仇+w-l)+(x2+2)(Axj+/w-l)=0.

所以2h如二"+(22+機-1)?二^M(〃?-l)=0,

1+4r1+4M

整理得：(2%+1)(所21)=0,

所以2%+1=0或，〃一2左一1=0,

當,〃=24+1時，直線/：y=%(x+2)+l過點7(-2,1),不合題意，故舍去.

所以24+1=0,B|U=-1,即直線/的斜率是定值.

21.(1)1

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由導數(shù)的幾何意義列方程求解

(2)由導數(shù)研究單調性后用々表示。，代入解析式計算證明

答案第13頁，共16頁

(1)

因為/.(x)=(x2-1)(奴+1)=奴3+x?-ax-\,

所以/'(x)=3++2x-a,依題意得f'(-l)=2a-2=0,解得a=l.

(2)

令r(x)=0,即又￡+2X_A=0,

因為△=4+12標>0,所以上述方程有兩不等實根占，巧，且%&=-；，

不妨設為<0<超，因為”>0,

所以，當xe(-8,xj時，/'(x)>0,/(X)單調遞增；

當工?司,々)時，/''(x)<0,/(x)單調遞減.

所以，f(x)在》=七處有極大值.

由/(藥)=0可得3鬲+2%—a=0,

2x.°

因此〃=]_3工2,由X<。及〃>0可得3石一1>0,所以

/(%))=(%1-l)[ar,2+(a+l)x+1]=(百一1)(玉+1)(叫+1)

—-)(總+/(e"S；)=(W產(chǎn)嘰。.得證

\13X]j1—3%13Xj~-1

22.⑴y=丘；p2-4pcos0+3=0；

⑵土限

【解析】

【分析】

(I)消去參數(shù)f得直線/的普通方程；消去參數(shù)夕得曲線C