利息基本理論和利息度量

1TheTheoryofInterest

利息理論思考問題你大學四年的學費是何時支付的？你兼職和實習的薪酬是何時收到的？你喜歡信用期的第1天還是最后一天支付?你喜歡信用期的第1天還是最后一天收到?為什么呢？貨幣的時間價值貨幣的時間價值～貨幣的價值隨著時間的變化而變化～貨幣的當前值大于等量貨幣的未來值貨幣為什么必須具有時間價值？1.資源的稀缺性。貨幣作為生產(chǎn)要素必須投入生產(chǎn)經(jīng)營，其數(shù)額隨著時間的持續(xù)不斷增長2.通貨膨脹，貨幣貶值。時間價值至少必須彌補貨幣的貶值3.人們認知心理的反映～貨幣時間價值來源于生產(chǎn)過程中工人創(chuàng)造的剩余價值貨幣的時間價值“時間就是金錢，效率就是生命”1982年，最早在深圳出現(xiàn)的口號貨幣的時間價值課程介紹1.北美精算師協(xié)會（SocietyofActuaries，簡稱SOA）的準精算師資格考試中的經(jīng)濟金融的主要部分2.中國精算師資格考試的第1門專業(yè)課程3.金融學保險專業(yè)的基礎課程4.國內(nèi)保險精算專業(yè)的核心基礎課5課程介紹5.課程目的：使學生們掌握基本的金融計算的概念、術語和原則，同時對一些基礎性的金融工具進行現(xiàn)金流價值分析（金融數(shù)學）6.利息理論的方法具有極為廣泛的適用性，其應用范圍遠遠超出了精算領域，在投資分析、財務管理、金融產(chǎn)品的定價、風險度量、債務償還等方面都有參考價值教材和主要參考書劉占國主編.利息理論，南開大學出版社孟生旺、袁衛(wèi)編著.利息理論及其應用，中國人民大學出版社張良增編著.利息理論，南開大學出版社李勇權編著.利息論，中國經(jīng)濟出版社S.G.凱利森著，尚漢冀譯.利息理論，上?？茖W技術出版社考核方式：出勤+回答問題+作業(yè)+考試7主要內(nèi)容第1章利率概述第2章利息的基本概念第3章年金第4章收益率第5章債務償還第6章債券和其他證券第7章利息理論的應用與金融分析第8章利息的隨機處理8第1章利率概述本章學習目標……1.利率的含義2.均衡利率的形成3.為什么期限越長，利率越高？4.不同金融工具的利率計算方法、表現(xiàn)形式9央行基準利率項目（存款）年利率（%）城鄉(xiāng)居民及單位存款（一）活期0.35（二）定期1.整存整取三個月2.856個月3.05一年3.25二年3.75三年4.25五年4.75貨幣市場利率（Shibor）期限利率（%）（20140219）O/N2.40301W3.76202W4.67801M5.29423M5.60006M4.99989M5.00001Y5.00011.1利率的含義1.是借款者的單位資金成本，貸款者的單位資金收益率2.資金的價格3.是中央銀行調(diào)節(jié)宏觀經(jīng)濟的貨幣政策工具4.是衡量信用工具的收益率

到期收益率利率的重要性有哪些？12重要的利率指標美聯(lián)儲基準利率歐洲央行基準利率上海銀行同業(yè)拆借利率ShanghaiInterbankOfferedRate，簡稱（Shibor）英國倫敦銀行同業(yè)拆借利率（Libor）歐洲銀行間歐元同業(yè)拆借利率（Euribor）東京銀行同業(yè)拆借利率（Tibor）關于LIBOR

指倫敦銀行同業(yè)市場拆借短期資金期限有：隔夜，7天、1個月、3個月、6個月

和1年的利率國際金融市場的基礎利率資金拆借依此為基準，上下浮動若干基點LIBOR的操縱：美國司法部和美國商品期貨委員會于2010年11月份牽頭對Libor操縱案進行調(diào)查調(diào)查的銀行超過20家，英國第二大銀行巴克萊被罰款2.9億英鎊

簡易貸款的利率計算（1）簡易貸款（單一貸款）的特點：本金、利息和借款期限由借貸雙方事先確定，到期一次還本付息利率=利息本金（2）利率的表現(xiàn)形式:例、甲乙雙方商定貸款事宜，因業(yè)務發(fā)展需要，甲方向乙方借款1000萬元，期限2年,到期后，甲方一次性歸還乙方1150萬元。則甲方貸款的年利率是：1150-100010002=7.5%風險太大,可能無法歸還本息只適應于期限短、本金小的固定分期支付貸款

（分期付款、抵押貸款）（1）特點：借款本金A、期限n和利率事先約定

分期等額償還（本金和利息）C（2）收益率i的表現(xiàn)形式：

16減輕一次還款的壓力。適用于本金較大、期限較長的附息債券（息票債券）（1）特點：直接融資；債券發(fā)行人定期支付固定金額的利息I

票面利息率g事先約定到期償還面值A，發(fā)行價格P（2）收益率表現(xiàn)形式：17債券價格與收益率反相關P＜A,折價發(fā)行P=A,平價發(fā)行P＞A,溢價發(fā)行附息債券（息票債券）（3）包含的信息有：發(fā)行債券的單位債券到期日面值票面利率：息票率利息支付方式常見的：政府中長期債券、企業(yè)債券、特種債券等18附息債券（息票債券）當息票債券價格等于其面值時，到期收益率等于票面利率息票債券價格與到期收益率負相關債券價格低于面值時，到期收益率高于票面利率例：一張息票債券面值1000元，票面利率10%，購入價格1000元。1年之后以1200元的價格出售，該債券的到期收益率？19貼現(xiàn)債券（零息債券）（1）特點：低于面值發(fā)售；到期償還面值；折價發(fā)行；到期前沒有利息支付利息=面值（A）-價格（P）（2）收益率的表現(xiàn)形式:20價格與收益率反向變化中國的利率市場化利率由資金供求決定2013年7月20日起，全面放開貸款利率管制，貸款利率完全市場化金融機構(gòu)存款利率有上限管制，央行基準利率最大上浮10%年化收益率貨幣基金的年化收益率：投資在一段時間內(nèi)（比如7天）的收益，假定一年都是這個水平，折算成的年收益率理財產(chǎn)品的年化收益率和實際收益率1.年化收益率≠實際收益率2.銀行會無償占用客戶的理財資金3.資金的募集期和償還期不計息年化收益率>實際收益率1.2均衡利率的確定均衡利率的含義均衡利率確定的模型1.可貸資金模型2.流動性偏好模型23均衡利率的含義資金供求相等時的利率；怎樣形成均衡利率？資產(chǎn)需求理論：資產(chǎn)需求的決定因素有：1.財富，個人持有的所有資源，包括所有資產(chǎn)2.相對預期收益率；3.風險；4.流動性（變現(xiàn)能力）A.資產(chǎn)需求量與財富正相關B.資產(chǎn)需求量與其相對于其他資產(chǎn)的預期收益率正相關C.資產(chǎn)需求量與其相對于其他資產(chǎn)的風險負相關D.資產(chǎn)需求量與其相對于其他資產(chǎn)的流動性正相關24均衡利率決定模型1.可貸資金模型：上世紀30年代，羅伯遜。利率由可貸資金的供求決定債券市場的供給與需求均衡時債券的需求曲線：債券價格與利率負相關。當其他變量不變時，債券的預期收益率越高，需求量越大。反之反是。債券的供給曲線：當其他變量不變時，債券的價格越高，供給量越大。反之反是。注意：債券的供給=可貸資金的需求債券的需求=可貸資金的供給25均衡利率決定模型1.可貸資金模型（債券市場的供給與需求）：經(jīng)濟中利率的調(diào)整使可貸資金供求平衡?？少J資金的供給來自國民儲蓄，包括私人儲蓄、公共儲蓄、央行、商業(yè)銀行信用創(chuàng)造、；可貸資金的需求來自投資和超過收入的儲蓄26債券數(shù)量（億元）價格可貸資金的需求（債券供給）可貸資金的供給（債券需求）1200850這是實際利率實際利率=名義利率-通貨膨脹率利率i=6.56%pi均衡利率決定模型

利率

債券需求（對可貸資金的供給）債券供給（對可貸資金的需求）債券數(shù)量/可貸資金量流動性偏好模型

（貨幣市場上的供給和需求）凱恩斯在《就業(yè)、利息與貨幣通論》中提出的流動性偏好理論來解釋經(jīng)濟中利率的決定因素。假設人們喜歡儲藏兩種資產(chǎn)：貨幣和債券貨幣需求+債券需求=貨幣供給+債券供給當貨幣市場達到均衡時，債券市場必定達到均衡；進而決定均衡利率。28流動性偏好模型

（貨幣市場上的供給和需求）凱恩斯提出的流動性偏好理論：假設兩種儲藏資產(chǎn)：貨幣和債券他認為：利率的調(diào)整使貨幣的供給與需求平衡（1）貨幣供給：指流通中的現(xiàn)金和活期存款，由中央銀行決定。不受利率的影響，供給固定（2）貨幣需求：貨幣的流動性最強；需求量與利率反向變化。貨幣需求曲線向右下方傾斜（3）利率的調(diào)整使貨幣的供給和需求相等29貨幣量利率貨幣供給貨幣需求均衡利率1.3利率的期限結(jié)構(gòu)和風險結(jié)構(gòu)1.利率的風險結(jié)構(gòu)2.利率的期限結(jié)構(gòu)3.利率期限結(jié)構(gòu)理論1）預期理論2）流動性偏好理論3）市場分割理論301.3利率的期限結(jié)構(gòu)和風險結(jié)構(gòu)利率的風險結(jié)構(gòu)：為什么到期期限相同的債券利率不一樣？

風險的存在風險溢價風險結(jié)構(gòu)：1.違約風險（信用風險）：無法償還債息或本金2.有違約風險的債券必須獲得風險補償3.流動性不同：流動性與收益性成反比4.所得稅因素：利息收入是否交稅利率的期限結(jié)構(gòu)不同到期期限的債券有不同的收益率水平收益率水平與到期期限長短正相關用收益率曲線描述利率的期限結(jié)構(gòu)收益率曲線：假定其他條件相同，期限與收益率的關系表現(xiàn)，有三種形式：（1）同向變動：期限越長，收益率越大（2）不相關:收益率與期限長短基本無關（3）反向變動：期限越長，收益率越小通常情況下，收益率和期限長短同向變動，即正相關，收益率曲線向上傾斜32收益率曲線（1）向上傾斜33期限收益率（2）水平變動期限收益率（3）向下傾斜期限收益率預期理論最早的利率期限結(jié)構(gòu)理論1896年，埃文．費雪提出假定：（1）投資者只關心收益率，是收益率最大化（2）收益率相同的資產(chǎn)可以完全替代長期利率等于該期限內(nèi)人們預期出現(xiàn)的所有短期利率的平均數(shù)34０１２３n-1ni1i2i3in預期理論35對上式進行變換，兩邊取對數(shù)：n㏑(1+i)=㏑(1+i1)+㏑(1+i2)+㏑(1+i3)+‥‥+㏑(1+in)令㏑(1+im)=ɡm(xù)，則預期短期利率上升，則長期利率上升，收益率曲線向上傾斜預期短期利率下降，則長期利率下降，收益率曲線向下傾斜預期短期利率不變，則長期利率不變，收益率曲線為水平線流動性溢價理論改進后的預期假設認為短期債券的流動性高于長期債券，風險較小假定投資者是風險規(guī)避者，偏好持有短期債券流動性與收益率水平成反比，長期利率＝短期利率的平均值＋流動性補償（溢價）流動性補償與時間長短成正比（1）時間越長，流動性補償越大，收益率越高，收益率曲線向上傾斜（2）時間越短，流動性補償越小，收益率越小，收益率曲線越平坦（3）收益率曲線總是向上傾斜的36市場分割理論期限不同的債券市場是完全割裂的，不同的市場交易不同期限的債券。不同期限的債券完全不是替代品債券的收益率僅由該市場上的債券供求所決定該理論認為：（1）當投資者對短期債券的需求相對高于長期債券時，短期債券的價格高而收益率低，因此，長期債券的收益率高于短期債券，所以收益率曲線向上傾斜（2）當投資者對短期債券的需求相對低于長期債券時，短期債券的價格低而收益率高，因此，長期債券的收益率低于短期債券，所以收益率曲線向下傾斜（3）一般而言，人們偏好持有短期債券，因而收益率曲線總是向上傾斜的。37利率的期限結(jié)構(gòu)期限結(jié)構(gòu)理論的作用1.預測債券收益率2.對投資者而言，可以預測債券發(fā)行投標利率，選擇投資券種和預測債券價格3.對發(fā)行者而言，為其發(fā)行債券，進行資產(chǎn)負債管理提供參考實際利率和名義利率考慮通貨膨脹率時，利率分為實際利率和名義利率名義利率：以貨幣表示的收益率實際利率：以消費品單位表示的收益率本章小結(jié)

1.利率的含義2.利率的衡量指標3.不同種類金融工具的利率求解方法4.經(jīng)濟中的均衡利率如何決定5.利率的期限結(jié)構(gòu)6.收益率曲線為何總是向上傾斜40思考題1.分別解釋可貸資金模型和流動性偏好模型中均衡利率的變動。2.面值1000元，票面利率10%，售價為2000元，期限20年的息票債券的到期收益率是多少？3.一筆100萬元的簡易貸款，要求5年后償還200萬元，其到期收益率是多少？4.如果抵押貸款利率從5%上升到10%，而房屋價格上漲率預計由2%上升到9%，人們是否更愿意購買房產(chǎn)？41思考題5.人們對未來房地產(chǎn)價格預期的突然提高會對利率產(chǎn)生什么影響？6.股票市場手續(xù)費下降會對利率產(chǎn)生影響嗎？解釋你的答案？7.如果債券市場價格波動變大，請預測利率有何變化？8.黃金價格的突然提高會對利率產(chǎn)生什么影響？42思考題10.登錄中國外匯交易中心網(wǎng)站：學習并理解國債收益率曲線以及國債收益率曲線的作用43第二章利息的度量本章學習目標……1.利息的本質(zhì)是什么？2.利息的度量方法3.計息方式4.貼現(xiàn)率5.利息率和貼現(xiàn)率之間的關系6.利息力（利息強度）和貼現(xiàn)力7.價值等式8.投資期限的確定9.未知時間問題10.未知利率問題44利息的本質(zhì)是借貸關系中借款人為取得資金的使用權而支付給貸款人的報酬從投資的角度看，利息是一定量的資本經(jīng)過一段時間的投資后產(chǎn)生的價值增值利息補償了貸款者因為讓度資金的使用權而可能遭受的損失理論上，利息可以是任何有價值的東西，未必一定是資本或貨幣實際中，利息多用貨幣資本表示45利息的度量1.積累函數(shù)：期初投資的1元本金在時刻t時所得到的總價，記為，是度量利息和利率最基本的工具。46性質(zhì)：（1）初始值，本金（2）（3）若連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息，則積累函數(shù)為連續(xù)函數(shù)；否則為非連續(xù)函數(shù)（4）積累函數(shù)必然通過（0，1）和（1，1+i）兩點積累函數(shù)一般地，設本金為47兩個積累函數(shù)可以互換使用tttt問題影響利息額的因素有哪些？1.本金量2.時間長度3.積累函數(shù)的形式4.單位資金的收益率例題1.假設積累函數(shù)，如果期初的100元在第3年末可以積累到172元，試計算在第6年初投資100元，在第10年末可以積累到多少元？解：49例題2.如果A（t）=t2+2t+3，試確定對應的積累函數(shù)a(t)，并驗證a(t)是否滿足三個基本性質(zhì)：50滿足三個基本性質(zhì)實際利率（實質(zhì)利率）是指在某一時期開始時，投資一單位本金，在此時期內(nèi)應獲之利息。實際利率是在期末支付且整個時期內(nèi)只支付一次的利息。用i表示51如果一個時期內(nèi)支付或結(jié)轉(zhuǎn)若干次利息，相應的利率稱為名義利率單利（simpleinterest）單利：1.每期只對本金計算利率

2.每期的利息為常數(shù)

3.利息總量與時期數(shù)線性正相關單利的積累函數(shù)：單利具有線性累積函數(shù)單利積累函數(shù)的特點：1.利息=本金×利率×時期數(shù)2.實際利率是時間的減函數(shù)52例題53如果A（t）=100+5t,試計算i5復利（compoundinterest）復利：1.每期都對本金和上期的利息計算利息2.每期的利息是變數(shù)復利的積累函數(shù)54特點：例題55復利的實際利率就等于復利率單利與復利的區(qū)別相同點：1.單利和復利投資的本金在整個投資期間不變2.原始投資利率在整個投資期間不變3.計息周期不變區(qū)別：1.單利的實際利率是時間的減涵數(shù)，復利的實際利率是常數(shù)2.在時刻0和時刻1時，單利和復利的積累值相等，該期間內(nèi)產(chǎn)生的利息相等3.單利在相等的期間內(nèi)有相等的利息額，復利在相等的期間內(nèi)有相等的利息增長率4.單利考慮絕對增量的變化，復利考慮相對增量的變化5.復利幾乎用于所有的金融業(yè)務，單利只用于短期計算或復利的不足期近似計算56單利與復利的比較例.以年利率5%為例，比較單利和復利計算方法的異同效果。解：1）單利情況下，每年的實際利率水平57n123456in5%4.76%4.55%4.35%4.17%4%6年內(nèi)，實際利率水平降低了一個百分點2）復利的實際利率等于復利率3）復利累計值超過單利累計值3%的時刻58n123456單利1.051.101.151.21.251.3復利1.051.10251.15761.21551.27631.3401復利超過單利的%00.2270.6631.292.13.1可見，經(jīng)過6年的時間，復利方式比相同單利方式的累積值超過了3%即期利率與遠期利率即期利率：從當前時點開始計息的未來一定期限內(nèi)的利率水平設A（0）元本金在t年末的積累值為A（t），有：59即期利率就是零息債券的到期收益率基本原理是？即期利率與遠期利率遠期利率：是指未來兩個時點之間的利率水平，由一系列即期利率所決定。多用在衍生金融工具中60假設從當前開始，在時刻t到期的即期利率是it，在時刻s到期的即期利率是is，（s>t），那末從時刻t到時刻s的遠期利率i可以通過下式求得:上述遠期利率只適用于每期結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的情況，如果每期結(jié)轉(zhuǎn)多次利息，公式要進行調(diào)整基本原理是？即期利率與遠期利率例：已知2年期的即期利率為5%，3年期即期利率為6%，求第2年至第3年的遠期利率是多少？問題利息的本質(zhì)是什么？積累函數(shù)的本質(zhì)是什么？如何度量利息？單利計息和復利計息的區(qū)別是什么？何為實際利率？單利的實際利率如何變化？復利的實際利率如何變化？62貼現(xiàn)函數(shù)與實際貼現(xiàn)率貼現(xiàn)函數(shù)：貼現(xiàn)是積累的逆運算，是計算現(xiàn)在值，貼現(xiàn)函數(shù)是積累函數(shù)的倒數(shù)，貼現(xiàn)與積累是兩種互相對稱的計算貨幣時間價值的方法。時刻t的一個單位貨幣在時刻0的價值稱為貼現(xiàn)函數(shù)（discountfunction）63單利的貼現(xiàn)函數(shù)：復利的貼現(xiàn)函數(shù)：稱v為貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)函數(shù)與實際貼現(xiàn)率實際貼現(xiàn)率：一個計息期內(nèi)的利息收入與期末貨幣量的比值，其中的利息是在期初實現(xiàn)的64注意：1.d＜i2.對于同樣一筆業(yè)務，利息值與貼現(xiàn)值相等

3.利息在期末支付，貼現(xiàn)在期初收取

4.利率說明了資本在期末獲得利息的能力，貼現(xiàn)率說明了資本在期初獲得利息的能力單利的實際貼現(xiàn)率單利的實際貼現(xiàn)率dt65例、i=10%,單利，試計算d5實際利率與實際貼現(xiàn)率的關系1.662.3.貼現(xiàn)函數(shù)：4.積累函數(shù)：5.這一關系的字面意義是：借貸1元，在期末還1+i，等價于期初借1-d，在期末還1元。單貼現(xiàn)1.單貼現(xiàn)：與單利相對應，每一時刻的貼現(xiàn)額相等，貼現(xiàn)函數(shù)為：672.單貼現(xiàn)不同于單利，具有與單利相類似但反向的性質(zhì)3.當投資時期加長時，單利的實際利率遞減，而單貼現(xiàn)的實際貼現(xiàn)率遞增復貼現(xiàn)復貼現(xiàn)：每一時刻產(chǎn)生的貼現(xiàn)值不相等，貼現(xiàn)函數(shù)為：68

單貼現(xiàn)和復貼現(xiàn)對單個時期產(chǎn)生的結(jié)果相同。對較長的時期，單貼現(xiàn)比復貼現(xiàn)產(chǎn)生較小的現(xiàn)值，而對較短的時期則情況相反例題已知某項投資在一年中能得到的利息額為336元，而等價的貼現(xiàn)額為300元，求投資本金。解：設本金為p，則pi=336，pd=300

69名義貼現(xiàn)率與名義利率名義利率：（1）一個度量周期內(nèi)結(jié)轉(zhuǎn)m次利息的利率（2）度量的是資本在一個小區(qū)間內(nèi)的實際利率（3）必須與一個度量周期內(nèi)的利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)相聯(lián)系名義利率與實際利率的關系：70在年名義利率一定的條件下，m越大，年實際利率越大名義貼現(xiàn)率名義貼現(xiàn)率：（1）一個度量周期內(nèi)收取n次貼現(xiàn)值的貼現(xiàn)率（2）度量的是一個小區(qū)間內(nèi)的實際貼現(xiàn)率名義貼現(xiàn)率與實際貼現(xiàn)率的關系：71在年名義貼現(xiàn)率一定的條件下，一年內(nèi)結(jié)轉(zhuǎn)的貼現(xiàn)次數(shù)越多，年實際貼現(xiàn)率越小名義利率與名義貼現(xiàn)率的關系1.實際利率與實際貼現(xiàn)率之間的關系是：722.名義利率與名義貼現(xiàn)率之間的關系為：3.實際利率與名義貼現(xiàn)率之間的關系：4.名義利率與實際貼現(xiàn)率之間的關系：例題1.初始投資500元，每季度結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的年利率為8%，5年后的累積值是多少？732.年貼現(xiàn)率6%，每半年結(jié)轉(zhuǎn)一次，到第6年末時可得1000元，現(xiàn)時投資要多少？例題3.已知每年計息12次的年名義貼現(xiàn)率為8%，求等價的實際利率。解：74例題4.以每年計息2次的年名義貼現(xiàn)率為10%，在6年后支付5萬元，求其現(xiàn)值解：設現(xiàn)值為PV，則75例題5.一張100元的期票在到期前3個月被人以96元買走，試確定：1）購買者所得到的按季度轉(zhuǎn)換的名義貼現(xiàn)率2）購買者所得到的年度實際利率76解：1）季度貼現(xiàn)額=100-96=4元，季度貼現(xiàn)率年名義貼現(xiàn)率=4×4%=16%2）季度實際利率：利息力（利息強度）利息力：（要求積累函數(shù)必須是連續(xù)的，且可微，即是每個瞬間都可以進行利息的換算）（1）度量了資本在無窮小區(qū)間上的獲利能力（2）刻畫了資本在每一時刻上的獲利強度（3）是積累函數(shù)的相對變化率77（4）是連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息時的名義利率（5）積累函數(shù)由利息力和時間長度唯一確定利息力（利息強度）例題：如果，確定投資1000元在第1年末的累計值和第二年內(nèi)的利息金額。解：

78常數(shù)利息力（1）資本在任一時點上的獲利強度都相等，記為

79（2）利息力為常數(shù)時，實際利率也是常數(shù)；反之未必例1：已知年度實際利率為8%，求等價的利息強度。解：80例2：一筆業(yè)務按利息強度6%計息，求投資500元，經(jīng)過8年的累計值。解：單利和復利的利息力單利的積累函數(shù)：a(t)=1+it，復利為a(t)=(1+i)t81單利的利息力：是時間的減函數(shù)復利的利息力：與時間無關貼現(xiàn)力（貼現(xiàn)效力）（1）貼現(xiàn)函數(shù)的單位變化率（2）度量每一時刻上獲得貼現(xiàn)值的能力，記為：82利息力與貼現(xiàn)力是等價的1.2利息問題求解價值等式：一項金融業(yè)務，涉及到四個基本的變量：1.原始投資本金2.投資期限3.利率4.本金在投資期末的累積值在這四個變量中，知道任何三個，可求出第四個。通常情況下，人們需要求解利率、投資期限和最終的累積值83價值等式1）貨幣具有時間價值2）必須在同一個時點才能進行價值的比較（比較日期）3）建立時間圖例1.2.18401234n-1nx1x2y1y2y31.2.1如何確定利率一、根據(jù)四個基本變量列出關于利率的求值方程（價值方程）85二、采用適當?shù)姆椒ㄓ嬎阄粗?.解析法：適用于簡單的利率問題求解2.線性插值法：適用于復雜一點的利率問題求解3.迭代法：是線性插值法的多次應用，計算的結(jié)果比較精確解析法根據(jù)求值方程，直接求解未知的利率：86例題：1000元要在6年內(nèi)累積到1600元，每季度結(jié)轉(zhuǎn)一次利息，年利率應該多少？線性插值法1.根據(jù)已知條件，建立關于未知利率的求值方程，并進行變換。87ii1i0i22.假定利率函數(shù)隨時間線性變化，利用線性關系求解未知利率迭代法

適用于：無法得到利率解析式，不能直接用解析法求解。是多次應用線性插值法。例題：如果現(xiàn)在投入1000元，第三年底投入2000元，在第十年底的全部收入為5000元，計算每半年轉(zhuǎn)換一次的年名義利率。解：設88迭代法89課堂練習題例：某資金賬戶現(xiàn)金流如下：在時刻0時有100元資金支出，在時刻5時有200元資金支出，在時刻10時有最后一筆支出；作為回報，在時刻8有資金收回600元。試計算時刻10時的支出金額，假定每半年轉(zhuǎn)換一次的年利率為8%901.2.2未知時間問題一、本金一次投入，期末取得所有累積值1.建立關于時間的求值方程2.利用解析法求解未知時間91例題：將1000元按年利率6%，每半年結(jié)轉(zhuǎn)一次，復利投資，問積累到1500元所需的時間長度？1.2.2未知時間問題1.建立求值方程：922.求解未知時間：當i=8%時，投資加倍的72規(guī)則二、本金翻一番所需要的時間P31，表1.2.11.2.2本金和累積值都有變化的情況

（某個時刻的一次性支付與不同時刻的多次支付等價）設在時刻t1、t2、t3、‥‥、tn分別付出金額s1、s2、s3、‥‥sn，如何確定時刻t，使得在該時刻付出的金額93等價于分別付出的金額之和：建立求值方程:特例：當?shù)阮~還款時，例題預定在第2、3、8年末分別付款100元、200元和500元，假設年實際利率為5%，試確定一個一次付款800元的時刻。94按精確公式計算：投資期的確定在投資活動中，通常情況下，投資期限不是整數(shù)需要折算投資天數(shù)和年數(shù)：年數(shù)=投資期天數(shù)/基礎天數(shù)折算方法：1）嚴格單利法（英國法，實際/實際法）：以年實際天數(shù)為準。通常一年365天，2014年有384天2）常規(guī)單利法：一年360天，一個月30天實際天數(shù)=360（Y2-Y1）+30（M2-M1）+（D2-D1）3）銀行家規(guī)則：一年360天計，天數(shù)以實際天數(shù)為準例1.2.2，1—21。95本章小結(jié)1.利率的度量和計算2.貼現(xiàn)率的計算3.金融活動中現(xiàn)值和終值的計算4.利率和貼現(xiàn)率之間的關系5.有關利率問題的計算6.投資期限的決定96練習題1.現(xiàn)有以下兩種5年期的投資選擇：甲，年利率7%，每半年計息一次；乙，年利率7.05%,每年計息一次，比較兩種投資的選擇。2.經(jīng)過多少時間，1000元以利率6%累計的終值是4%累計終值的兩倍？3.已知某資本在一年內(nèi)產(chǎn)生的利息量為336，產(chǎn)生的貼現(xiàn)量為300，計算該資本。4.分別在單利率10%和單貼現(xiàn)率10%的條件下，計算d597例題如何用貼現(xiàn)率比較收益？現(xiàn)有面額為100元的債券在到期前一年的時刻價格為95元，一年期儲蓄利率為5.25%，如何進行投資選擇？解：從貼現(xiàn)的角度看，債券的貼現(xiàn)率為：98儲蓄的貼現(xiàn)率為：從年利率的角度看：債券的債券投資略優(yōu)于儲蓄第二章年金本章學習目標……1.年金的含義和種類2.非標準期的年金問題3.利率問題求解、未知時間問題求解4.變利率年金5.付款頻率與計息頻率不同的年金6.變額年金7.連續(xù)年金99年金為什么要學習年金?你對年金的基本內(nèi)容了解多少？年金的基本內(nèi)容有哪些？1.年金價值的計算？現(xiàn)值、終值、任意時點上的值2.年金資金流的收益率計算？3.年金資金流的投資時期計算4.資金流的發(fā)生周期與利率結(jié)轉(zhuǎn)周期不相等時；每期利率變化不相等時，年金的價值計算？收益率的計算？投資時期的計算等等。等額年金的含義年金(annuity)：間隔相等的一系列收付款或間隔相等的一系列資金流。如，房屋的租金、抵押貸款的償還、分期付款、利息支付、保險費的繳納、保險金的領取、養(yǎng)老金、手機和電話的月租費、公用事業(yè)費等。1）是許多復雜現(xiàn)金流的基礎2）是利率計算的最直接的一種應用等額年金（標準型）：間隔周期相等的等額資金流（1）每期的收付額相等（2）收付的間隔時期相等，利率不變（3）付款的頻率和計息的頻率相同（4）付款周期與計息周期相同

101年金的種類1.確定年金和風險年金：確定年金的支付時間和支付金額事先確定風險年金的支付時間和支付金額不確定。生命年金2.定期年金和永續(xù)年金：定期年金的支付期限是有限期間，有固定的到期日付息債券的息票收入。永續(xù)年金的支付期限是無限的，沒有到期日。股息支付3.等額年金和變額年金：等額年金的每期支付額相等，變額年金的每次支付額不全相等102年金的種類4.期初付年金和期末付年金：期初付年金的支付是在每個周期的期初月初發(fā)工資和養(yǎng)老金期末付年金的支付是在每個周期的期末月末發(fā)工資和養(yǎng)老金5.即期年金和延期年金：即期年金是指當期開始支付延期年金是指一定時期后開始支付2.1.1期末付年金年金現(xiàn)值：年金在期初的價值1）期末付定期年金的現(xiàn)值：單位資金的收付104時期0年金21n-1n1111…2.1.1期末付年金年金終值：年金在支付結(jié)束時的累積值，永續(xù)年金沒有終值2）期末付定期年金終值：單位資金的收付10512n-2時期年金11111（1+i)example1.Findthepresentvalueofanannuitywhichpays$500attheendofeachhalf-yearfor20years,iftherateofinterestis9%convertiblesemiannually.106example2.Ifapersoninvests$1000at8%perannumconvertiblequarterly,howmuchcanhewithdrawattheendofquartertouseupthefundexactlyattheendof10years?1072.1.2期初付（預付）年金1）預付定期年金的現(xiàn)值：單位資金的收付108時期0年金21n-1n111…112.1.2期初付（預付）年金2）期初付定期年金的終值109109012n-2n-1n111（1+i）12.1.3永續(xù)年金的現(xiàn)值1）期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值：1102）期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值：例題1.一位投資者希望投資一筆年金，到第12年之末積累到1000元。為此他打算每年年底存入一筆錢，最后一次存款將在投資時期結(jié)束前一年。如果此基金的實際利率為7%，問他每年應存入多少錢？解：視為期初付款，建立求值方程：111課堂練習題有一筆1000元的貸款，為期10年。若實際利率為年率9%，試對下面三種還款方式比較其利息總量：1）第10年末，本金利息一次還清2）每年支付利息，本金第10年末歸還3）貸款在10年期內(nèi)按每年付款數(shù)相同的原則還清解：1122）每年的利息=1000×0.09=90，所以支付的利息總量為90×10=900元3）設相等的付款為R,為何第三種方式的利息較小例題1.某銀行客戶想通過零存整取的方式在1年后獲得10000元，在月復利0.5%的情況下，每月初需要存入多少錢，才能達到其要求？解：依具題意；設每月初的存款額為D，有113年金現(xiàn)值與終值的關系1.年金現(xiàn)值與終值之間的換算關系：（1）期末付定期年金的終值與其現(xiàn)值的關系114（2）期初付定期年金的終值與其現(xiàn)值的關系2、年金現(xiàn)值與終值之間的倒數(shù)關系（1）期末付定期年金：（2）期初付定期年金期末付年金和期初付年金的價值關系現(xiàn)值關系：終值關系：1152.1.4年金在任意時點上的值1.年金在支付期限開始前任意時點上的值2.年金在支付期限內(nèi)任意時點上的值3.年金在支付期限結(jié)束后任意時點上的值116假定：計算的日期離開每次付款日期為整數(shù)個時期年金在支付期限開始前任意時點（m）上的值

1.期末付定期年金：1）將現(xiàn)值往前貼現(xiàn)，2）計算總的現(xiàn)值，再減去前m個時期的現(xiàn)值1172.期初付定期年金：1）將現(xiàn)值往前貼現(xiàn)，2）計算總的現(xiàn)值，再減去前m個時期的現(xiàn)值3.期末付永續(xù)年金：通過求極限的方式計算，前m個時期的現(xiàn)值為：當m為非整數(shù)時，上述結(jié)論同樣成立年金在支付期內(nèi)任意時點上的值計算原則：將年金分成兩個期限較短的年金，年金在任意時點上的值就等于前一個年金的終值加上后一個年金的現(xiàn)值一般而言，一項經(jīng)過m次付款（m﹤n）的n個時期年金，其當前值為：118對期初付年金而言：年金在支付期結(jié)束后任意時點上的值計算原則：

先計算年金的終值，再按復利往后累計，計算出累計值即可。1）期末付年金：1192）期初付年金：例題A留下一筆100000元的遺產(chǎn)，這筆遺產(chǎn)頭十年的利息付給受益人B，第2個10年的利息付給受益人C，此后的均付給慈善事業(yè)D，若此項財產(chǎn)的年實際利率為7%，試確定B、C、D在此項財產(chǎn)中各得多少份額？120B所占的份額為：C所占的份額為：D所占的份額為：2.1.5當支付期數(shù)是非整數(shù)時

最后一次付款額的處理1.在最后一次正常付款時，附加一筆較小的付款（上?。?.在最后一次正常付款后，再經(jīng)過一個時期支付一筆小額付款（扣減）3.在最后一次正常付款后，再在一個非整數(shù)的時刻付款2.1.5當支付期數(shù)是非整數(shù)時

最后一次付款額的處理例題:有一筆1000元的投資用于在每年年底付100元，時間盡可能的長，如果這筆基金的年實際利率為5%，試確定可以做出多少次以及確定較小付款的金額。解：建立關于時間的求值方程，100an=1000，an=10

當i=5%時，14<n<15.

即應有14次的正規(guī)付款再加一次較小的最后付款方案一：最后一次付款額度上?。ㄉ细≈Ц叮?4年的求值方程為：100s14+x1=1000(1+5%)14X1=20.072.1.5當支付期數(shù)是非整數(shù)時

最后一次付款額的處理方案二（扣減付款）：在第15年末的求值方程是：2.1.5當支付期數(shù)是非整數(shù)時

最后一次付款額的處理方案三：在第14和15次之間付款2.1.7年金的未知利率問題任何一個年金問題都包含四個變量：1.現(xiàn)值或終值（a,s）2.收付額（R）3.利率（i）4.收付期數(shù)（n）計算其中的未知利率:1.建立求值方程

2.求解未知的利率可以用：1.解析法2.級數(shù)展開法3.線性插值法4.迭代法125解析法適合于支付期數(shù)n較小的情況例題：如果每年初存入銀行500元，兩年末可獲得1200元，利率是多少？解：126級數(shù)展開法利用級數(shù)展開原理將年金看成是未知利率i的函數(shù)將年金的價值公式（現(xiàn)值或終值）按泰勒級數(shù)展開取展開式的前兩項或三項，得到未知利率i的方程求解該方程可得利率i127級數(shù)展開法假設128級數(shù)展開法將現(xiàn)值的倒數(shù)按泰勒級數(shù)展開129線性插值法適合于n較大的年金未知利率問題的求解1.通過對已知的現(xiàn)值公式或終值公式等年金值以及導數(shù)進行展開2.利用線性插值法求解未知利率

實際中不常用130迭代法1.建立迭代法的基本等式it+1=f(it)2.確定初始值i03.利用迭代法計算i迭代公式：131期末付年金：Newton-Raphson迭代公式：132初始值的確定：利用現(xiàn)值和支付期數(shù)計算期末付年金的未知利率例題在利率為i時，某人存入銀行8000元，然后每年末從銀行支取1000元，共取10年，恰好支取完畢，計算i。解：1332.1.6年金的未知時間問題已知期末付年金的現(xiàn)值為A，年利率為i，求解支付期數(shù)。用解析法：134若已知年金終值s和利率i：n可能不是整數(shù)若n不是整數(shù)，應該如何處理？2.2.1可變利率年金的現(xiàn)值和終值

（利率在每個投資期限內(nèi)不全相等）1.每筆款項都以其支付時的利率計算2.每筆款項經(jīng)歷哪個時期，就以那個時期的利率計算1）期末付年金的現(xiàn)值2）期初付年金的現(xiàn)值3）期末付年金的終值4）期初付年金的終值1350123n-1ni1i2i3in每筆款項都以其支付時的利率計算

1）期末付年金的現(xiàn)值公式為：2）期初付年金的現(xiàn)值公式為：3）期末付年金的終值公式為：4）期初付年金的終值公式為：136每筆款項經(jīng)歷哪個時期，就以那個時期的利率計算

1）期末付年金的現(xiàn)值公式為：2）期初付年金的現(xiàn)值公式為：137每筆款項經(jīng)歷哪個時期，就用那個時期的利率計算

3）期末付年金的終值公式為：4）期初付年金的終值公式為：138例題

試確定一筆每年付款100元，為期10年的期末付年金的累計值，假定前6年的實際利率5%，而后4年為4%。1）以資金支付時的利率計算：累計值=100[S6,0.05(1+0.05)4+S4,0.04]=1251.43元2）以年金經(jīng)歷時期的利率計算：累計值=100S6,0.05(1+0.04)4+100S4,0.04=1220.38元139小結(jié)年金價值的計算年金的利率問題求解1.解析法；2.級數(shù)展開法；3.線性差值法；4.迭代法；年金的時間問題求解當年金的支付次數(shù)是非整數(shù)時，最后一次付款的處理1.上浮支付；2.扣減支付；3.正常支付變利率年金的價值計算1.以支付額發(fā)生時的利率計算；2.以年金經(jīng)過時間的利率計算資金的支付周期與利息的結(jié)轉(zhuǎn)周期不相同時，年金價值的計算？1.調(diào)整周期，使其相等2.依據(jù)年金價值計算原理1402.2.2付款頻率和計息頻率不同的年金年金的付款周期和利息的結(jié)轉(zhuǎn)周期不相等1.年金的付款周期大于利息結(jié)轉(zhuǎn)周期2.年金的付款周期小于利息結(jié)轉(zhuǎn)周期141利息的結(jié)轉(zhuǎn)周期和年金的支付周期1.利息的結(jié)轉(zhuǎn)周期：結(jié)轉(zhuǎn)一次利息所需要的時間長度。如每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息、每10天結(jié)轉(zhuǎn)一次利息、每2個月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息、每年結(jié)轉(zhuǎn)一次利息、每2年結(jié)轉(zhuǎn)一次利息等。利息結(jié)轉(zhuǎn)周期越短，實際利率越高。2.年金的支付周期：支付一次資金所需要的時間長度。如每月支付一次、每10天支付一次、每季度支付一次、每年支付一次。支付周期反映了年金的支付密度，頻率。當利息結(jié)轉(zhuǎn)周期和資金的支付周期不一致時，年金有關問題的計算將會復雜一些。142廣義年金

（付款周期與利息結(jié)算周期不相等）有關年金價值計算的處理：1.將利率調(diào)整為與支付周期相同的利率2.用調(diào)整后的利率，依據(jù)年金原理進行計算143例題1.現(xiàn)有投資方式為：前兩年每季度初投入200元，后兩年每季度初投入100元；該投資的月收益率為1%，試計算四年后總的投資收益。解：先計算與月收益率1%等價的季度收益率j;144例題2.某30萬元的貸款計劃分季度等額償還，在5年內(nèi)完成。如果貸款利率為半年結(jié)轉(zhuǎn)的年利率10%，計算每次償還的金額。解：半年度實際利率為5%，等價的季度實際利率為j;145每個支付周期結(jié)轉(zhuǎn)K次利息的年金

利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)大于年金支付次數(shù)、付款周期大于利息結(jié)轉(zhuǎn)周期、付款頻率小于計息頻率1.進行利率轉(zhuǎn)換，使利率的結(jié)轉(zhuǎn)周期和年金支付周期相等2.不進行利率轉(zhuǎn)換，按年金原理直接建立新的計算公式146定義一組符號：n為利息結(jié)轉(zhuǎn)總次數(shù)，k為每個支付周期的利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)，n/k為年金的支付次數(shù)，i為每次結(jié)轉(zhuǎn)利息的實際利率付款周期大于利息結(jié)轉(zhuǎn)周期147支付周期結(jié)轉(zhuǎn)周期1111K次K次K次K次n為利息結(jié)轉(zhuǎn)總次數(shù)n/k為年金的支付總次數(shù)期末付年金的現(xiàn)值和終值1.現(xiàn)值：1482.終值：例題例：十萬元投資在每年底收回1萬元，當不足1萬元時，將不足部分與最后一次的1萬元一起收回，如果半年度結(jié)轉(zhuǎn)的年利率為7%，試計算總的付款次數(shù)和最后一次付款的金額。解：本題付款周期為一年，利息結(jié)轉(zhuǎn)周期為半年，即k=2,設總的付款次數(shù)為n,利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)為2n,求值方程為：149例題150設最后一次付款金額為10000+R,則有:期初付年金的現(xiàn)值和終值1.現(xiàn)值：1512.終值：永續(xù)年金期末付款1元的永續(xù)年金現(xiàn)值：152期初付款1元的永續(xù)年金現(xiàn)值：例題1.某人1月1日存入銀行10000元，每季末從銀行領取500元，直到剩余額經(jīng)過一個季度積累的本利和不夠一次領取額為止，剩余額在最后一次足額領取時一并支出。每月利率為0.5%，計算足額領取次數(shù)和不足部分。解：k=3,由公式得出：153例題2.每月實際利率為1%，甲每季度初在銀行存款1000元，共存3年。以后兩年，每季度初存入2000元，計算甲在第5年末存款的累積值。解：5年中共有60個計息期，而付款期為20個，即n=60,k=3，存款累積值為；154每個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期支付m次的年金

(支付次數(shù)大于結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)，付款周期小于利息結(jié)算周期）計算方法：將利率進行轉(zhuǎn)換，使結(jié)轉(zhuǎn)周期和支付周期相等，再利用年金計算原理進行計算。定義一組符號：n為利息結(jié)轉(zhuǎn)總次數(shù)，m為每個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)的支付次數(shù)，i為每個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的實際利率。nm為年金支付總次數(shù)155每次付款1/m元，每個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期付款1元111m次1/m1/m1/m期末付年金1.現(xiàn)值：1562.終值：

是名義利率157例題1.考慮一個十年期每月付款400元的年金，用年利率i表示以下的量：1）在首次付款兩年前的現(xiàn)值2）在末次付款三年后的終值解：年付款額為400x12=4800元,n=10,m=12158期初付年金1591.現(xiàn)值：2.終值：是名義貼現(xiàn)率永續(xù)年金161在每個周期末付款1/m元的永續(xù)年金的現(xiàn)值在每個周期初付款1/m元的永續(xù)年金的現(xiàn)值例題2.已知每半年付款一元的永續(xù)年金的現(xiàn)值為10元，計算年利率。解：一年付款總額為2元，所以有：162例題3.一筆年金為每6個月付1元，一直不斷付下去，且第一筆付款為立即支付，問欲使此年金的現(xiàn)時值為10元，年度實際利率應為多少？解：求值方程為：163連續(xù)年金連續(xù)年金：是指付款間隔（付款周期）充分小、付款次數(shù)充分大、付款頻率充分快的年金1、現(xiàn)值：1642、終值：3、連續(xù)年金的現(xiàn)值與基本年金現(xiàn)值的關系：4、連續(xù)年金的終值與基本年金終值的關系：例題1、確定利息效力，使165解：根據(jù)前面的公式有;2.2.4基本變額年金1.變額年金的概念2.遞增年金和遞減年金3.付款額按算術級數(shù)變化的年金4.付款額按幾何級數(shù)變化的年金5.付款周期和支付周期不一致的變額年金6.連續(xù)變額年金166變額年金1.付款金額隨時間的變化而變化。付款周期等于利息結(jié)轉(zhuǎn)周期；各付款期的利率相同（公用事業(yè)費）2.常用的變化模式是：遞增或遞減3.年金價值的計算原則是：分別計算每次付款的現(xiàn)值或終值，然后求和。167遞增年金（等差變額年金）1.每次付款的金額逐期增加2.一般地，當每次增加的金額相等時，即首付P元，然后每次增加Q元，總計n次。稱之為按算術級數(shù)遞增的年金。（等額增加、付款額為等差數(shù)列）3.特別的，即首付1元，然后每次增加1元，總計n次。4.每期付款的利率是i168期末付年金1.現(xiàn)值：1692.終值：123n-1n期末付年金一般地，設首次付P元，以后每次增加Q,共付n次。其現(xiàn)值為：170期初付款年金1.現(xiàn)值：1712.終值：123n-1n4永續(xù)年金的現(xiàn)值1.期末付款：1722.期初付款:首次付P，以后每次增加Q:例題1.設年金的初次付款為1元，以后等額增加1元，實際利率為5%,且期末付款的永續(xù)年金的現(xiàn)值。解：173遞減年金（等差變額年金）1.每次付款的金額逐期減少，付款間隔和每期利率都相等2.一般地，當每次減少的金額相等時，即首付P元，然后每次減少Q(mào)元，總計n次。但P-(n-1)Q>0,稱之為按算術級數(shù)遞減的年金。（等額減少）3.特別的，首次期末付n元，以后每次減少1元，總計n次。其現(xiàn)值和終值分別是：174期末付遞減年金1.現(xiàn)值：1752.終值：nn-1n-21期初付遞減年金1.現(xiàn)值：1762.終值：nn-1n-221例題1.給出以下期末付年金的現(xiàn)值：首付1元，然后每次增加1元，直至10元，然后固定不變直至第25次付款。解法一：10年遞增年金與十份遞延10年的15年標準年金之和177解法二：25年遞增年金扣除遞延10年的15年遞增年金解法三：10份25年標準年金扣除9年遞減年金付款金額按幾何級數(shù)變化的年金

（等比例變化年金）1.付款的金額是等比例變化的，付款周期等于利息結(jié)轉(zhuǎn)周期、每期利率相等2.首付P元，隨后每次增加k倍，總共n次3.期末付款1元，隨后每次比前一次增加k倍，總共n次的等比例變化年金的現(xiàn)值為：178例題2.20年期末付比例年金：首次付1000元，每年遞增4%，年利率7%，計算現(xiàn)值。179例題3.某期末付永續(xù)年金，首期付款5000元，以后每期付款是前一期的付款額的1.05倍，當利率為0.08時，計算該永續(xù)年金的現(xiàn)值。解：1802.2.5一般變額年金每個支付周期結(jié)轉(zhuǎn)k次利息的變額年金1.年金支付周期大于利息結(jié)轉(zhuǎn)周期2.年金支付次數(shù)小于利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)遞增年金：每次付款額為1、2、3、…、(n/k)-1、n/k.按算術級數(shù)遞增181遞減年金：每次付款額為n/k,(n/k)-1,(n/k)-2,…、3、2、1

按算術級數(shù)遞減

n為利息結(jié)轉(zhuǎn)總次數(shù)期末付遞增年金1.現(xiàn)值A：1822.終值S：期末遞減年金