微積分-第四章-不定積分

第四章：不定積分一、本章的教學(xué)目標(biāo)及根本要求1、理解原函數(shù)與不定積分概念及其相互關(guān)系；知道不定積分的主要性質(zhì)；弄清不定積分與求導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即求導(dǎo)與不定積分互為逆運(yùn)算；曲線在一點(diǎn)的切線斜率，會求該曲線的方程。2、熟記根本積分公式；能熟練地利用根本積分公式及積分的性質(zhì)，第一換元積分法和分部積分法計(jì)算不定積分；掌握第二換元積分法。對于復(fù)合函數(shù)求不定積分一般用第一換元積分法〔湊微分法〕，記住常見的湊微分形式。3、掌握化有理函數(shù)為局部分式的方法，并會計(jì)算較簡單的有理分式函數(shù)的積分、三角有理式的積分、無理式的積分。二、本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)1、重點(diǎn)：不定積分和定積分的概念及性質(zhì)，不定積分的根本公式，不定積分、定積分的換元法與分部積分法；2、難點(diǎn)：不定積分和定積分的概念及性質(zhì)，湊微分法，有理分式函數(shù)的積分、三角有理式的積分、無理式的積分。三、本章內(nèi)容的深化和拓廣1、了解不定積分在現(xiàn)代數(shù)學(xué)開展史上的重要意義；2、初步了解不定積分的實(shí)際意義，為后面定積分的學(xué)習(xí)及定積分的應(yīng)用做好一定的鋪墊；3、簡介不定積分在建立數(shù)學(xué)模型中的重要意義。四、本章教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題1、以講課方式為主，留一個(gè)課時(shí)的時(shí)間講解習(xí)題中的難點(diǎn)和容易犯錯(cuò)誤的地方；2、教學(xué)中應(yīng)注意教材前后內(nèi)容之間的聯(lián)系，突出重點(diǎn)和難點(diǎn)；3、本章主要以計(jì)算題為主，要強(qiáng)調(diào)本章內(nèi)容本今后學(xué)習(xí)的重要性，鼓勵(lì)學(xué)生細(xì)致、耐心地完成作業(yè)，防止學(xué)生只抄教材后的答案?！?.1不定積分的概念與性質(zhì)一、內(nèi)容要點(diǎn)1、原函數(shù)與不定積分的概念2、不定積分的性質(zhì)二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：理解原函數(shù)與不定積分概念及其相互關(guān)系；知道不定積分的主要性質(zhì)；弄清不定積分與求導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即求導(dǎo)與不定積分互為逆運(yùn)算。注意點(diǎn)：1、原函數(shù)與不定積分的概念：由導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的意義引入原函數(shù)的概念；解釋不定積分的幾何意義；強(qiáng)調(diào)原函數(shù)和不定積分的特性，并舉例說明；由根本積分表說明根本積分方法；2、不定積分的性質(zhì)：說明不定積分的性質(zhì)對不定積分計(jì)算的重要性；列出不定積分的性質(zhì)并給與證明，證明過程中有意識地加深學(xué)生對不定積分概念更深入的理解；一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1如果在區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即對任一，都有或，那末函數(shù)就稱為〔或〕在區(qū)間上的原函數(shù)。例如，x^2是2x的原函數(shù)，lnx是1/x的原函數(shù)因，，故是的原函數(shù)。注：1由此定義上問題是：f(x),如何去求原函數(shù)2．那一個(gè)函數(shù)具備何種條件，才能保證它的原函數(shù)一定存在呢？假設(shè)存在是否唯一定理1：假設(shè)f(x)在I上連續(xù)，那么f(x)在I上一定有原函數(shù)。注意：并不是任意在I上有定義的函數(shù)都有原函數(shù)，反例定理2：設(shè)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)，且F(x)是其中一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)F(x)+C也是f(x)的原函數(shù)定義2在區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為〔或〕在區(qū)間上的不定積分，記作。其中記號稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量。由此定義及前面的說明可知，如果是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，那么就是的不定積分，即。因而不定積分可以表示的任意一個(gè)原函數(shù)。第一，如果有，那么，對任意常數(shù)C，顯然也有，即如果是的原函數(shù)，那也是的原函數(shù)。第二，當(dāng)為任意常數(shù)時(shí)，表達(dá)式就可以表示的任意一個(gè)原函數(shù)。也就是說，的全體原函數(shù)所組成的集合，就是函數(shù)族。例1求.解由于=，所以是的一個(gè)原函數(shù)。因此.例2求.解當(dāng)時(shí),由于=,所以是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。因此，在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，由于==，由上同理，在內(nèi)，將結(jié)果合并起來，可寫作例3、 是的一個(gè)原函數(shù)，求：解：例4、的導(dǎo)函數(shù)是，那么的原函數(shù)，(、為任意常數(shù))例5、在以下等式中，正確的結(jié)果是CA、 B、C、 D、二、根本積分表由于積分是微分的逆運(yùn)算，因此可以有微分根本表導(dǎo)出積分表。見課本積分表。三不定積分的性質(zhì)根據(jù)不定積分的定義，可以推得它的如下兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和，即.注意：差的積分等于積分的差性質(zhì)2求不定積分時(shí),被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來,即(是常數(shù),).例1求.解=====例2．例3例4§4.2換元積分法一、內(nèi)容要點(diǎn)舉較多的例以說明利用換元積分法求不定積分的根本方法1、教材上的例1-例3，講解時(shí)充分強(qiáng)調(diào)第一換元積分法“湊微分〞的根本方法，強(qiáng)調(diào)熟悉一些簡單函數(shù)的微分的重要性；材上的例4-例11，講解時(shí)充分強(qiáng)調(diào)第一換元積分法應(yīng)結(jié)合被積函數(shù)的代數(shù)恒等變形等手段求不定積分；3、教材上的例12-例20，講解時(shí)強(qiáng)調(diào)要充分利用三角函數(shù)的代數(shù)特性及微分特性求不定積分；萬能變換的應(yīng)用及其與三角函數(shù)恒等變形方法之間的關(guān)系。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：了解第一換元積分法的意義及證明方法；掌握第一換元積分法求不定積分的根本方法和步驟；熟悉一些常見簡單函數(shù)的微分。了解第二換元積分法的意義及證明方法；掌握第二換元積分法求不定積分的根本方法和步驟；強(qiáng)調(diào)第二換元發(fā)與第一換元法之間的區(qū)別，了解第二換元積分法適用的函數(shù)類型。教學(xué)注意點(diǎn)：1、由不定積分的意義引入換元積分法的公式；2、由不定積分的意義證明第一換元公式的正確性；3、講解利用第一換元法求不定積分的根本方法和步驟4、由不定積分的意義引入第二換元積分法的公式；5、由不定積分的意義證明第二換元公式的正確性；6、講解利用第二換元法求不定積分的根本方法和步驟，④強(qiáng)調(diào)換元函數(shù)的可逆性。7、例題：舉例以說明利用第二換元積分法求不定積分的根本方法8、教材上的例21-例24，說明第二換元法的根本方法和適應(yīng)的函數(shù)；9、介紹二次多項(xiàng)式的平方根的積分方法利用根本積分表與積分的性質(zhì),所能計(jì)算的不定積分是非常有限的.因此,有必要進(jìn)一步來研究不定積分的求法.把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來求不定積分,利用中間變量的代換,得到復(fù)合函數(shù)的積分法,稱為換元積分法,簡稱換元法.換元法通常分成兩類.第一類換元法設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，即和令u=φ(x)，其中φ(x)是可導(dǎo)的，那么F(u)=F(φ(x))顯然是復(fù)合函數(shù)，又由于：這說明，那么定理1設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),u=φ(x)可導(dǎo),那么有換元公式:注意：1.不是的原函數(shù)！2.F(u)是f(u)的原函數(shù)是針對積分變量u而言的，是的原函數(shù)是針對積分變量x而言的。3.運(yùn)用第一類積分換元法關(guān)鍵在于設(shè)法將被積函數(shù)湊成的形式，在令變成不定積分進(jìn)行計(jì)算，最后用進(jìn)行回代。4.在下，，例1求∫2cos2xdx.解作變換u=2x,便有∫2cos2xdx=∫cos2x·2dx=∫cos2x·(2x)'dx=∫cosudu=sinu+C,再以u=2x代入,即得∫2cos2xdx=sin2x+C.例2求∫tanxdx.解∫tanxdx=∫sinx/cosxdx.因?yàn)?sinxdx=dcosx,所以如果設(shè)u=cosx,那么du=-sinxdx,即-du=sinxdx,因此.類似地可得∫cotxdx=ln|sinx|+C.在對變量代換比擬熟練以后,就不一定寫出中間變量u.例3求∫ch(x/a)dx.解.例4求(a>0).解.下面的一些求積分的例子,它們的被積函數(shù)中含有三角函數(shù),在計(jì)算這種積分的過程中,往往要用到一些三角恒等式.例5求∫sin3xdx.解∫sin3xdx=∫sin2xsinxdx=-∫(1-cos2x)d(cosx)=-∫d(cosx)+∫cos2xd(cosx)=-cosx+(1/3)cos3x+C.例6求∫cos2xdx.解.附加：1、2、3、4、5、6、利用定理1來求不定積分,一般卻比利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要來的困難,因?yàn)槠渲行枰欢ǖ募记?而且如何適當(dāng)?shù)倪x擇變量代換u=φ(x)沒有一般途徑可循,因此要掌握換元法,除了熟悉一些典型的例子外,還要做較多的練習(xí)才行.二、第二類換元法第二類換元法從形式上看與第一類換元法恰好相反，它是將不定積分通過轉(zhuǎn)換成來計(jì)算，但有幾點(diǎn)需要說明。1要存在，2盡量尋找這樣的使容易求出，3。求出后要用將積分變量換回到x,因此這里還要求的反函數(shù)存在。定理2設(shè)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù),并且.又設(shè)具有原函數(shù),，那么f(x)具有原函數(shù)那么有換元公式：其中是的反函數(shù).證明：所以是f(x)的原函數(shù)，從而例1求(a>0)解求這個(gè)積分的困難在于有根式,但我們可以利用三角公式sin2t+cos2t=1來化去根式.設(shè)x=asint,-π/2<t<π/2,那么,于是根式化為了三角式,所求積分化為.利用例6的結(jié)果得.由于x=asint,-π/2<t<π/2,所以,于是所求積分為.具體解題時(shí)要分析被積函數(shù)的具體情況,選取盡可能簡捷的代換.注意檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確,只要對結(jié)果求導(dǎo),看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)，相等時(shí)結(jié)果是正確的，否那么結(jié)果是錯(cuò)誤的。常用變量代換(1)被積函數(shù)中含有二次根式，令，令，令如是配方1例2、 令1xt解：原式xt例3、 二種解法〔2〕被積函數(shù)中含一般根式例4、 解：令原式例5、 令 原式例6、解：令原式§4.3分部積分法一、內(nèi)容要點(diǎn)1、分部積分法：由不定積分的意義引入不定積分的分部積分公式；教材上的例1-例7，說明分部積分法的根本方法及其特性；教材上的例8-例10，說明應(yīng)注意分部積分法應(yīng)與其它的方法結(jié)合使用。2、有理式的積分：有理式分解的最后形式和分解方法；有理式分解后每一局部的積分法；例：分解及說明分解的步驟。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：了解分部積分法的意義及證明方法；掌握分布積分法的根本步驟和適應(yīng)函數(shù)；了解有理式積分的根本思想及有理式分解的根底這是一個(gè)新的積分方法，設(shè)u(x),v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么有，即，兩邊同時(shí)積分那么有，即，上式就是分布積分公式。注意：使用分部積分的關(guān)鍵是如何選取u和v例1、例2、例3、例4、例5、例6、例7、例8、例9、例10、例11、注意：1一般而言分部積分法和換元法同時(shí)使用會有更好的效果。2分部積分常適用于以下積分等等?！?．4幾種特殊類型的函數(shù)積分舉例一、內(nèi)容要點(diǎn)1、有理函數(shù)的積分：例1-例4，說明有理函數(shù)積分的根本方法和步驟；三角有理似的積分，說明三角有理式的積分可通過萬能變換化為有理式的積分，用教材上的例5說明；無理式的積分，用例6-例9說明一次無理式和二次無理式可通過適當(dāng)?shù)淖儞Q化為有理式的積分，并總結(jié)變換式的規(guī)律；2、歸納不定積分的積分方法和應(yīng)注意的地方二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)掌握有理函數(shù)積分的根本方法；歸納不定積分的積分方法和應(yīng)注意的地方一有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)是指形如，其中,m,n為正整數(shù)或者0，都是常數(shù)，且，當(dāng)n<m是真分式，當(dāng)時(shí)是假分式，但總可以通過多項(xiàng)式除法寫成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式的和，因此問題就集中在解決真分式的積分問題。定理1：任何實(shí)多項(xiàng)式都可以分解成為一次因式與二次因式的乘積。定理2：有理函數(shù)的分解局部分式：其中：上述常數(shù)用待定系數(shù)法可以確定。方法：分式→真分式→局部分式例：1)解：用待定系數(shù)法：A=-5,B=6那么：=2)解：令 令∴3) 備用習(xí)題：4)5)6)二、