生物統(tǒng)計(jì)第8章 兩因素及多因素方差分析

8.1多因素的試驗(yàn)設(shè)計(jì)8.2兩因素方差分析中的一些根本概念8.3固定模型8.4隨機(jī)模型8.5混合模型8.6兩個(gè)以上因素的方差分析8.7缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)8.8變換第八章兩因素及多因素方差分析2024/1/28實(shí)際工作中經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)或兩個(gè)以上因素共同影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的情況。這樣的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)稱(chēng)為交叉分組設(shè)計(jì)〔crossoverdesign〕。對(duì)于兩因素交叉分組設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)應(yīng)采用兩因素方差分析〔twofactorsanalysisofvariance〕或者稱(chēng)為兩種方式分組的方差分析〔twowayclassificationanalysisofvariance〕方法分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。第八章兩因素及多因素方差分析2024/1/28因素可以分為固定因素和隨機(jī)因素。兩因素實(shí)驗(yàn)中，兩個(gè)因素都是固定因素時(shí)，稱(chēng)為固定模型〔fixedmodel〕；兩個(gè)因素均為隨機(jī)因素時(shí)稱(chēng)為隨機(jī)模型〔randommodel〕；兩個(gè)因素中一個(gè)是固定因素，另一是隨機(jī)因素時(shí)稱(chēng)為混合模型〔mixedmodel〕。這三種模型雖然在計(jì)算時(shí)沒(méi)有多大不同，但在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)時(shí)，特別是各因素水平的獲得時(shí)卻有很大區(qū)別。它們的均方期望不同，因此檢驗(yàn)方法和對(duì)結(jié)果解釋都存在極大不同。第八章兩因素及多因素方差分析2024/1/288.1.1主效應(yīng)與交互作用由于因素水平的改變而造成因素效應(yīng)的改變稱(chēng)為該因素的主效應(yīng)。由于因素之間的相互作用造成效應(yīng)的改變是交互作用。舉例說(shuō)明8.1兩因素方差分析中的一些根本概念2024/1/28A因素的主效應(yīng)：A2水平的平均效應(yīng)減去A1水平的平均效應(yīng)。A=〔A2B1+A2B2〕/2-〔A1B1+A1B2〕/2=25-24=1B因素的主效應(yīng)：B=〔B2A1+B2A2〕/2-〔B1A1+B1A2〕/2=26-24=2AB因素的交互作用：AB=〔A1B1+A2B2〕-〔A1B2+A2B1〕=-18假設(shè)AB=0，說(shuō)明A、B因素間不存在交互作用。本例假設(shè)不考慮兩者之間的交互作用將是錯(cuò)誤的。8.1.1主效應(yīng)與交互作用2024/1/28對(duì)于兩因素之間是否存在交互作用，有專(zhuān)門(mén)的統(tǒng)計(jì)判斷方法，一般情況下，可以根據(jù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)判斷。另外可用做圖法進(jìn)行判斷。因素間交互作用的圖示法：2024/1/28當(dāng)A、B之間不存在交互作用時(shí)，從B1變化到B2是不依A水平的不同而改變，如圖9-1a〔B1-B1平行于B2-B2〕；假設(shè)兩者之間存在交互作用，那么A的效應(yīng)依B的水平而不同，如圖9-1a〔B1-B1不平行于B2-B2〕。直觀圖可以幫助判斷因素之間是否存在交互作用，但在處理數(shù)據(jù)時(shí)只憑圖象是不行的，由于實(shí)驗(yàn)誤差的干擾，需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的數(shù)據(jù)分析之后，才能最后斷定。因素間交互作用的圖示法：2024/1/28兩因素實(shí)驗(yàn)的典型設(shè)計(jì)是：假設(shè)A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，那么每一次重復(fù)都包括ab次實(shí)驗(yàn)，并設(shè)實(shí)驗(yàn)重復(fù)n次，實(shí)驗(yàn)總次數(shù)為abn次。iijk表示A因素第i水平，B因素第j水平和第k次重復(fù)的觀測(cè)值。數(shù)據(jù)如下表所示。8.1.2兩因素交叉分組實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的一般格式2024/1/288.1.2兩因素交叉分組實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的一般格式2024/1/28上表中各種符號(hào)說(shuō)明：xi..表示A因素第i水平的所有觀測(cè)值的和；x.j.表示B因素第j水平所有觀測(cè)值的和；xij.表示A的第i水平和B的第j水平的所有觀測(cè)值的和；x…表示所有觀測(cè)值的總?cè)?。用公式表示如下〔A、B可以是固定因素，也可以是隨機(jī)因素〕：8.1.2兩因素交叉分組實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的一般格式2024/1/28返回8.2固定模型線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型觀測(cè)值可以用以下線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型描述

ijk是相互獨(dú)立且服從N(0,

2)的隨機(jī)變量。兩因素交叉分組設(shè)計(jì)中，固定模型方差分析零假設(shè)為2024/1/28返回8.2.2平方和與自由度的分解方差分析的根本思想，仍然是將總平方和分解2024/1/28返回8.2.2平方和與自由度的分解總平方和分解為：由于A因素所引起的平方和SSA，B因素引起的平方和SSB，A、B交互作用所引起的平方和SSAB和誤差平方和。分別是2024/1/28

每一平方和自由度分析如下：總自由度為abn-1；A因素自由度為a-1；B因素自由度為b-1；交互作用的自由度，是兩因素全部水平的組合數(shù)減1，再減A、B主效應(yīng)自由度，即(ab-1)-(a-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)；自由度及均方確實(shí)定：誤差自由度在每一因素組合內(nèi)是n-1，共有ab種組合，為ab(n-1)。故各項(xiàng)的均方為：2024/1/28由各項(xiàng)均方期望的公式中如下：8.2.3均方期望與統(tǒng)計(jì)量F由以上公式可以看出，零假設(shè)還可以表示為：H01：η2α=0，H02：η2β=0，，H03：η2αβ=02024/1/288.2.3均方期望與統(tǒng)計(jì)量F兩因素固定模型方差分析表如下：2024/1/288.2.4平方和的簡(jiǎn)易計(jì)算方法實(shí)際計(jì)算時(shí)，平方和的簡(jiǎn)易計(jì)算方式如下：其中稱(chēng)為校正項(xiàng)，用C表示。2024/1/28如果不設(shè)重復(fù)，剩余項(xiàng)就包括由誤差及交互作用兩局部引起的平方和。8.2.4平方和的簡(jiǎn)易計(jì)算方法誤差平方和可以通過(guò)計(jì)算重復(fù)間平方和得到。由總平方和減去A因素、B因素及誤差平方和，參與相即是交互作用平方和。2024/1/28根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或?qū)I(yè)知識(shí)，可以判斷兩因素間確實(shí)無(wú)交互作用〔如種植密度與年份的關(guān)系〕，也可以不設(shè)重復(fù)(n=1〕，將大大減少工作量，也能到達(dá)同樣的效果。分析方法類(lèi)似剛剛闡述的有重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)的兩因素方差分析。8.2.5無(wú)重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)的兩因素方差分析2024/1/28

8.3隨機(jī)模型〔對(duì)照固定模型〕8.3.1隨機(jī)線(xiàn)性模型如果因素A和B都是隨機(jī)因素，那么構(gòu)成隨機(jī)模型，隨機(jī)模型的每一觀測(cè)值，可用以下線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型描述：2024/1/28其中模型參數(shù)

i,

j,()ij和

ijk都是隨機(jī)變量，

i服從N(0,

2)，

j服從N(0,

2)，(

)ij服從N(0,

2)，

ijk服從N(0,

2)，因此任何觀測(cè)值的方差8.3.1隨機(jī)線(xiàn)性模型其中

2，

2，

2，

2，稱(chēng)為方差分量零假設(shè)分別為：H01：

2

=0，H02：

2

=0，H03：

2

=02024/1/28隨機(jī)效應(yīng)模型的方差分析表如下8.3.2隨機(jī)模型統(tǒng)計(jì)量F2024/1/288.4混合模型〔對(duì)照前面兩種〕8.4.1線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型在兩因素交叉分組實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)一個(gè)因素〔如A〕是固定型，另一個(gè)因素〔如B〕是隨機(jī)型，那么構(gòu)成混合模型，混合模型的每一觀測(cè)值，可用以下線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型描述：2024/1/288.4.1線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型其中

i是固定效應(yīng),

j是隨機(jī)效應(yīng)，交互作用(

)ij被認(rèn)定為隨機(jī)效應(yīng)。因?yàn)?/p>

i是固定效應(yīng)，所以

j是服從N(0,

2)的隨機(jī)變量。交互作用效應(yīng)是平均數(shù)為0，方差為的正態(tài)隨機(jī)變量。因?yàn)楣潭ㄒ蛩氐娜拷换プ饔眯?yīng)之和為0，即所以在固定因素的某個(gè)水平上，交互作用的成分不是獨(dú)立的，在這個(gè)模型內(nèi)(

)ij的方差，定義為而不是

2。這樣規(guī)定可以使方差期望簡(jiǎn)單化，雖然(

).j=0,但是在均方期望中，仍有它的效應(yīng)。2024/1/288.4.2混合模型統(tǒng)計(jì)量混合模型的方差分析表如下2024/1/28下表為受試者在一天內(nèi)的四種不同時(shí)間，以四種不同速度工作，即正常速度的60%、80%、100%、120%所得到的能量消耗值。試驗(yàn)共有16個(gè)處理，每一處理重復(fù)2次，共做32次。試分析在選定的四種速度下，能量的消耗是否有顯著差異？例題2024/1/28例題受試者在四種不同時(shí)期以四種不同速度工作的能量消耗2024/1/28解：因素A是人為選定的，故為固定型；因素B的四個(gè)水平，是從一天內(nèi)不同時(shí)間隨機(jī)抽取的，故為隨機(jī)型。本實(shí)驗(yàn)屬于混合模型。具體計(jì)算略去，以下是方差分析表例題能量消耗實(shí)驗(yàn)方差分析表根據(jù)方差分析表判斷，具體計(jì)算過(guò)程不再重復(fù)。2024/1/28在隨機(jī)模型和混合模型中，假設(shè)不設(shè)置重復(fù)，同樣會(huì)有固定模型中的問(wèn)題，即因素間的交互作用與實(shí)驗(yàn)誤差無(wú)法區(qū)分，全部歸于誤差項(xiàng)。特別是在混合模型中，隨機(jī)因素的各水平之間實(shí)際存在的差異，往往檢驗(yàn)不出來(lái)，結(jié)果降低了試驗(yàn)的可靠性。因而，在條件允許的情況下，不管哪一種模型，最好都設(shè)重復(fù)。8.4.2混合模型統(tǒng)計(jì)量2024/1/28可以把兩因素的方差分析，擴(kuò)展到一般情況。例如在一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，C因素有c個(gè)水平等。假設(shè)每一處理都有n個(gè)重復(fù)。其線(xiàn)性模型如下：8.5兩個(gè)以上因素的方差分析8.5.1平方和與自由度分解的一般規(guī)律2024/1/28假設(shè)A、B、C都是固定因素，各因素的平方和為：8.5.1平方和與自由度分解的一般規(guī)律為了計(jì)算交互作用平方和，需要列出三個(gè)兩向表，交互作用由以下各式給出。2024/1/288.5.1平方和與自由度分解的一般規(guī)律誤差平方和，是由三向表xijk中求出的：2024/1/288.5.1平方和與自由度分解的一般規(guī)律剩余項(xiàng)為三因素交互作用。

自由度容易確定。每一主效應(yīng)的自由度是該因素的水平數(shù)減1；每一交互作用的自由度是產(chǎn)生交互作用各因素的自由度乘積；誤差自由度是各因素水平數(shù)與重復(fù)數(shù)減1的乘積。從以上對(duì)二因素三因素的平方和和自由度分析來(lái)看，存在有規(guī)律性。2024/1/288.5.2統(tǒng)計(jì)量F確實(shí)定一般規(guī)律：為了得到檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)因素效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量，在計(jì)算F時(shí)分子均方的組成比分母均方的組成僅多出欲檢驗(yàn)的效應(yīng)〔固定因素〕或方差〔隨機(jī)因素〕分量，除此之外的其它成分應(yīng)完全相同。設(shè)A、C為固定因素，B為隨機(jī)因素，構(gòu)成一混合模型，各均方期望由下表給出。2024/1/288.5.2統(tǒng)計(jì)量F確實(shí)定2024/1/288.5.2統(tǒng)計(jì)量F確實(shí)定交互作用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為：三個(gè)主效應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有了以上工具，可以處理更復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)。2024/1/28原那么：補(bǔ)上缺失數(shù)據(jù)之后，所得到的誤差平方和SSe最小。要滿(mǎn)足這個(gè)原那么，即要求dSSe/dx=0，解一元一次方程即可得到。8.6缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)8.6.1缺失一個(gè)數(shù)據(jù)的估計(jì)8.6.2缺失兩個(gè)數(shù)據(jù)的估計(jì)原那么是一樣的。但要滿(mǎn)足這個(gè)原那么，即要求解該二元一次方程即可得到缺失的兩個(gè)數(shù)據(jù)。2024/1/28

需要說(shuō)明的是缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)，只是計(jì)算上的一種技巧。它可以使計(jì)算得以完成，但并不能提供更多的信息。由于缺失數(shù)據(jù)是估計(jì)值，因此當(dāng)缺失一個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，總自由度應(yīng)該減去1，但A因素和B因素的自由度仍是(a-1)和(b-1)，誤差自由度也應(yīng)該相應(yīng)減去1。同樣，缺失兩個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，總自由度和誤差自由度均應(yīng)減去2。8.6缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)2024/1/28方差分析三個(gè)前提條件：可加性；正態(tài)性；方差齊性。變換的目的是滿(mǎn)足方差齊性的要求，同時(shí)對(duì)正態(tài)性及可加性的要求都可得到較好的滿(mǎn)足。變換方法有三種：8.7變換2024/1/28平方根變換：屬于泊松分布的數(shù)據(jù)，它們的平均數(shù)與方差等值，常常需要采取平方根變換。如單位面積內(nèi)的菌落數(shù)，一定區(qū)域內(nèi)某種昆蟲(chóng)或某種植物數(shù)等都屬于這種情況。對(duì)于這類(lèi)數(shù)據(jù)應(yīng)該將每個(gè)觀測(cè)值取其平方根后再計(jì)算。當(dāng)數(shù)值很小時(shí)，如有幾個(gè)數(shù)小于10時(shí)，為了矯正可以使用觀測(cè)值加1后的平方根變換。8.7變換2024/1/28

反正弦變換：該方法取每個(gè)觀測(cè)值平方根的反正弦值，使之變成一個(gè)角度，而后用這個(gè)角度做方差分析。這種變換方法適用于以百分?jǐn)?shù)表示的二項(xiàng)分布數(shù)據(jù)，特點(diǎn)是數(shù)據(jù)范圍很大時(shí)，尤其要使用這種變換。當(dāng)百分?jǐn)?shù)的范圍是在0%-20%或80%-100%時(shí)，可以用平方根變換。后者在變換之前應(yīng)先用100減去各百分?jǐn)?shù)。假設(shè)百分?jǐn)?shù)的范圍是在30%-70%那么不一定非要做變換。當(dāng)百分?jǐn)?shù)的變化范圍很大時(shí)，一定要做反正弦變換。變換后的數(shù)據(jù)可以從附表10中查出。8.7變換2024/1/28

對(duì)數(shù)變換：當(dāng)方差與平均數(shù)的平方成正比時(shí)，需做對(duì)數(shù)變換。變換后的方差具備齊性。對(duì)數(shù)變換適用于大范圍的正整數(shù)，對(duì)于一些小的數(shù)值，例如小于10時(shí)，變換時(shí)采用每一觀測(cè)值都加上1再取其對(duì)數(shù)值。等等。8.7變換2024/1/28結(jié)束P1739.1.作業(yè)：2024/1/