生物統(tǒng)計第8章 兩因素及多因素方差分析

8.1多因素的試驗設計8.2兩因素方差分析中的一些根本概念8.3固定模型8.4隨機模型8.5混合模型8.6兩個以上因素的方差分析8.7缺失數(shù)據(jù)的估計8.8變換第八章兩因素及多因素方差分析2024/1/28實際工作中經(jīng)常會遇到兩個或兩個以上因素共同影響實驗結果的情況。這樣的實驗設計稱為交叉分組設計〔crossoverdesign〕。對于兩因素交叉分組設計的實驗應采用兩因素方差分析〔twofactorsanalysisofvariance〕或者稱為兩種方式分組的方差分析〔twowayclassificationanalysisofvariance〕方法分析實驗結果。第八章兩因素及多因素方差分析2024/1/28因素可以分為固定因素和隨機因素。兩因素實驗中，兩個因素都是固定因素時，稱為固定模型〔fixedmodel〕；兩個因素均為隨機因素時稱為隨機模型〔randommodel〕；兩個因素中一個是固定因素，另一是隨機因素時稱為混合模型〔mixedmodel〕。這三種模型雖然在計算時沒有多大不同，但在設計實驗時，特別是各因素水平的獲得時卻有很大區(qū)別。它們的均方期望不同，因此檢驗方法和對結果解釋都存在極大不同。第八章兩因素及多因素方差分析2024/1/288.1.1主效應與交互作用由于因素水平的改變而造成因素效應的改變稱為該因素的主效應。由于因素之間的相互作用造成效應的改變是交互作用。舉例說明8.1兩因素方差分析中的一些根本概念2024/1/28A因素的主效應：A2水平的平均效應減去A1水平的平均效應。A=〔A2B1+A2B2〕/2-〔A1B1+A1B2〕/2=25-24=1B因素的主效應：B=〔B2A1+B2A2〕/2-〔B1A1+B1A2〕/2=26-24=2AB因素的交互作用：AB=〔A1B1+A2B2〕-〔A1B2+A2B1〕=-18假設AB=0，說明A、B因素間不存在交互作用。本例假設不考慮兩者之間的交互作用將是錯誤的。8.1.1主效應與交互作用2024/1/28對于兩因素之間是否存在交互作用，有專門的統(tǒng)計判斷方法，一般情況下，可以根據(jù)專業(yè)知識判斷。另外可用做圖法進行判斷。因素間交互作用的圖示法：2024/1/28當A、B之間不存在交互作用時，從B1變化到B2是不依A水平的不同而改變，如圖9-1a〔B1-B1平行于B2-B2〕；假設兩者之間存在交互作用，那么A的效應依B的水平而不同，如圖9-1a〔B1-B1不平行于B2-B2〕。直觀圖可以幫助判斷因素之間是否存在交互作用，但在處理數(shù)據(jù)時只憑圖象是不行的，由于實驗誤差的干擾，需要經(jīng)過嚴格的數(shù)據(jù)分析之后，才能最后斷定。因素間交互作用的圖示法：2024/1/28兩因素實驗的典型設計是：假設A因素有a個水平，B因素有b個水平，那么每一次重復都包括ab次實驗，并設實驗重復n次，實驗總次數(shù)為abn次。iijk表示A因素第i水平，B因素第j水平和第k次重復的觀測值。數(shù)據(jù)如下表所示。8.1.2兩因素交叉分組實驗設計的一般格式2024/1/288.1.2兩因素交叉分組實驗設計的一般格式2024/1/28上表中各種符號說明：xi..表示A因素第i水平的所有觀測值的和；x.j.表示B因素第j水平所有觀測值的和；xij.表示A的第i水平和B的第j水平的所有觀測值的和；x…表示所有觀測值的總如。用公式表示如下〔A、B可以是固定因素，也可以是隨機因素〕：8.1.2兩因素交叉分組實驗設計的一般格式2024/1/28返回8.2固定模型線性統(tǒng)計模型觀測值可以用以下線性統(tǒng)計模型描述

ijk是相互獨立且服從N(0,

2)的隨機變量。兩因素交叉分組設計中，固定模型方差分析零假設為2024/1/28返回8.2.2平方和與自由度的分解方差分析的根本思想，仍然是將總平方和分解2024/1/28返回8.2.2平方和與自由度的分解總平方和分解為：由于A因素所引起的平方和SSA，B因素引起的平方和SSB，A、B交互作用所引起的平方和SSAB和誤差平方和。分別是2024/1/28

每一平方和自由度分析如下：總自由度為abn-1；A因素自由度為a-1；B因素自由度為b-1；交互作用的自由度，是兩因素全部水平的組合數(shù)減1，再減A、B主效應自由度，即(ab-1)-(a-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)；自由度及均方確實定：誤差自由度在每一因素組合內(nèi)是n-1，共有ab種組合，為ab(n-1)。故各項的均方為：2024/1/28由各項均方期望的公式中如下：8.2.3均方期望與統(tǒng)計量F由以上公式可以看出，零假設還可以表示為：H01：η2α=0，H02：η2β=0，，H03：η2αβ=02024/1/288.2.3均方期望與統(tǒng)計量F兩因素固定模型方差分析表如下：2024/1/288.2.4平方和的簡易計算方法實際計算時，平方和的簡易計算方式如下：其中稱為校正項，用C表示。2024/1/28如果不設重復，剩余項就包括由誤差及交互作用兩局部引起的平方和。8.2.4平方和的簡易計算方法誤差平方和可以通過計算重復間平方和得到。由總平方和減去A因素、B因素及誤差平方和，參與相即是交互作用平方和。2024/1/28根據(jù)經(jīng)驗或專業(yè)知識，可以判斷兩因素間確實無交互作用〔如種植密度與年份的關系〕，也可以不設重復(n=1〕，將大大減少工作量，也能到達同樣的效果。分析方法類似剛剛闡述的有重復實驗時的兩因素方差分析。8.2.5無重復實驗時的兩因素方差分析2024/1/28

8.3隨機模型〔對照固定模型〕8.3.1隨機線性模型如果因素A和B都是隨機因素，那么構成隨機模型，隨機模型的每一觀測值，可用以下線性統(tǒng)計模型描述：2024/1/28其中模型參數(shù)

i,

j,()ij和

ijk都是隨機變量，

i服從N(0,

2)，

j服從N(0,

2)，(

)ij服從N(0,

2)，

ijk服從N(0,

2)，因此任何觀測值的方差8.3.1隨機線性模型其中

2，

2，

2，

2，稱為方差分量零假設分別為：H01：

2

=0，H02：

2

=0，H03：

2

=02024/1/28隨機效應模型的方差分析表如下8.3.2隨機模型統(tǒng)計量F2024/1/288.4混合模型〔對照前面兩種〕8.4.1線性統(tǒng)計模型在兩因素交叉分組實驗中，假設一個因素〔如A〕是固定型，另一個因素〔如B〕是隨機型，那么構成混合模型，混合模型的每一觀測值，可用以下線性統(tǒng)計模型描述：2024/1/288.4.1線性統(tǒng)計模型其中

i是固定效應,

j是隨機效應，交互作用(

)ij被認定為隨機效應。因為

i是固定效應，所以

j是服從N(0,

2)的隨機變量。交互作用效應是平均數(shù)為0，方差為的正態(tài)隨機變量。因為固定因素的全部交互作用效應之和為0，即所以在固定因素的某個水平上，交互作用的成分不是獨立的，在這個模型內(nèi)(

)ij的方差，定義為而不是

2。這樣規(guī)定可以使方差期望簡單化，雖然(

).j=0,但是在均方期望中，仍有它的效應。2024/1/288.4.2混合模型統(tǒng)計量混合模型的方差分析表如下2024/1/28下表為受試者在一天內(nèi)的四種不同時間，以四種不同速度工作，即正常速度的60%、80%、100%、120%所得到的能量消耗值。試驗共有16個處理，每一處理重復2次，共做32次。試分析在選定的四種速度下，能量的消耗是否有顯著差異？例題2024/1/28例題受試者在四種不同時期以四種不同速度工作的能量消耗2024/1/28解：因素A是人為選定的，故為固定型；因素B的四個水平，是從一天內(nèi)不同時間隨機抽取的，故為隨機型。本實驗屬于混合模型。具體計算略去，以下是方差分析表例題能量消耗實驗方差分析表根據(jù)方差分析表判斷，具體計算過程不再重復。2024/1/28在隨機模型和混合模型中，假設不設置重復，同樣會有固定模型中的問題，即因素間的交互作用與實驗誤差無法區(qū)分，全部歸于誤差項。特別是在混合模型中，隨機因素的各水平之間實際存在的差異，往往檢驗不出來，結果降低了試驗的可靠性。因而，在條件允許的情況下，不管哪一種模型，最好都設重復。8.4.2混合模型統(tǒng)計量2024/1/28可以把兩因素的方差分析，擴展到一般情況。例如在一個實驗中，A因素有a個水平，B因素有b個水平，C因素有c個水平等。假設每一處理都有n個重復。其線性模型如下：8.5兩個以上因素的方差分析8.5.1平方和與自由度分解的一般規(guī)律2024/1/28假設A、B、C都是固定因素，各因素的平方和為：8.5.1平方和與自由度分解的一般規(guī)律為了計算交互作用平方和，需要列出三個兩向表，交互作用由以下各式給出。2024/1/288.5.1平方和與自由度分解的一般規(guī)律誤差平方和，是由三向表xijk中求出的：2024/1/288.5.1平方和與自由度分解的一般規(guī)律剩余項為三因素交互作用。

自由度容易確定。每一主效應的自由度是該因素的水平數(shù)減1；每一交互作用的自由度是產(chǎn)生交互作用各因素的自由度乘積；誤差自由度是各因素水平數(shù)與重復數(shù)減1的乘積。從以上對二因素三因素的平方和和自由度分析來看，存在有規(guī)律性。2024/1/288.5.2統(tǒng)計量F確實定一般規(guī)律：為了得到檢驗某個因素效應的統(tǒng)計量，在計算F時分子均方的組成比分母均方的組成僅多出欲檢驗的效應〔固定因素〕或方差〔隨機因素〕分量，除此之外的其它成分應完全相同。設A、C為固定因素，B為隨機因素，構成一混合模型，各均方期望由下表給出。2024/1/288.5.2統(tǒng)計量F確實定2024/1/288.5.2統(tǒng)計量F確實定交互作用的檢驗統(tǒng)計量分別為：三個主效應的檢驗統(tǒng)計量有了以上工具，可以處理更復雜的實驗。2024/1/28原那么：補上缺失數(shù)據(jù)之后，所得到的誤差平方和SSe最小。要滿足這個原那么，即要求dSSe/dx=0，解一元一次方程即可得到。8.6缺失數(shù)據(jù)的估計8.6.1缺失一個數(shù)據(jù)的估計8.6.2缺失兩個數(shù)據(jù)的估計原那么是一樣的。但要滿足這個原那么，即要求解該二元一次方程即可得到缺失的兩個數(shù)據(jù)。2024/1/28

需要說明的是缺失數(shù)據(jù)的估計，只是計算上的一種技巧。它可以使計算得以完成，但并不能提供更多的信息。由于缺失數(shù)據(jù)是估計值，因此當缺失一個數(shù)據(jù)時，總自由度應該減去1，但A因素和B因素的自由度仍是(a-1)和(b-1)，誤差自由度也應該相應減去1。同樣，缺失兩個數(shù)據(jù)時，總自由度和誤差自由度均應減去2。8.6缺失數(shù)據(jù)的估計2024/1/28方差分析三個前提條件：可加性；正態(tài)性；方差齊性。變換的目的是滿足方差齊性的要求，同時對正態(tài)性及可加性的要求都可得到較好的滿足。變換方法有三種：8.7變換2024/1/28平方根變換：屬于泊松分布的數(shù)據(jù)，它們的平均數(shù)與方差等值，常常需要采取平方根變換。如單位面積內(nèi)的菌落數(shù)，一定區(qū)域內(nèi)某種昆蟲或某種植物數(shù)等都屬于這種情況。對于這類數(shù)據(jù)應該將每個觀測值取其平方根后再計算。當數(shù)值很小時，如有幾個數(shù)小于10時，為了矯正可以使用觀測值加1后的平方根變換。8.7變換2024/1/28

反正弦變換：該方法取每個觀測值平方根的反正弦值，使之變成一個角度，而后用這個角度做方差分析。這種變換方法適用于以百分數(shù)表示的二項分布數(shù)據(jù)，特點是數(shù)據(jù)范圍很大時，尤其要使用這種變換。當百分數(shù)的范圍是在0%-20%或80%-100%時，可以用平方根變換。后者在變換之前應先用100減去各百分數(shù)。假設百分數(shù)的范圍是在30%-70%那么不一定非要做變換。當百分數(shù)的變化范圍很大時，一定要做反正弦變換。變換后的數(shù)據(jù)可以從附表10中查出。8.7變換2024/1/28

對數(shù)變換：當方差與平均數(shù)的平方成正比時，需做對數(shù)變換。變換后的方差具備齊性。對數(shù)變換適用于大范圍的正整數(shù)，對于一些小的數(shù)值，例如小于10時，變換時采用每一觀測值都加上1再取其對數(shù)值。等等。8.7變換2024/1/28結束P1739.1.作業(yè)：2024/1/