高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二節(jié)直線與圓位置關(guān)系課件理新人教版選修

第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系1．圓周角定理圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的______的一半．2．圓心角定理及推論定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)．推論1：____________所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的_____也相等．推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是_______；90°的圓周角所對(duì)的弦是_______．圓心角同弧或等弧弧直角直徑3．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理①定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角________．②定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的___________．(2)圓內(nèi)接四邊形的判定定理及推論①判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角_______，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)_______．②推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的____，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)_______．互補(bǔ)內(nèi)角的對(duì)角互補(bǔ)共圓對(duì)角共圓4．圓的切線的性質(zhì)及判定定理(1)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且_______于這條半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的____．推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過______．推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過______．5．弦切角定理定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的_________．垂直半徑切點(diǎn)圓心圓周角6．與圓有關(guān)的比例線段相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積______PA·PB＝PC·PD相等割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積______PA·PB＝PC·PD切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，_______是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)PA·PB＝PC2相等切線長(zhǎng)切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)_______，圓心和這一點(diǎn)的連線______兩條切線的夾角．PA＝PC，∠APO＝∠CPO相等平分1．“相等的圓周角所對(duì)的弧也相等”對(duì)嗎？【提示】

不對(duì)．只有同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧才相等．2．任意一個(gè)四邊形都有外接圓嗎？三角形呢？【提示】

任意一個(gè)四邊形不一定有外接圓，但任意一個(gè)三角形一定有外接圓．圖241．(人教A版教材習(xí)題改編)如圖24所示，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________．【解析】

∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∴△AOB是等邊三角形．∴R＝OA＝AB＝4.∴⊙O的面積S＝π·R2＝16π.【答案】

16π圖274．(2012·廣東高考)如圖27所示，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B，D是弦AC上的點(diǎn)，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，則AB＝________．圖28

(2011·廣東高考)如圖28所示，過圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點(diǎn)使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝________．1．解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)角相等得到三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到邊之間的關(guān)系．2．涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端作圓周角或弦切角．圖29

(2012·廣東高考)如圖29所示，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點(diǎn)，滿足∠ABC＝30°，過點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則PA＝________．圖30如圖30所示，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D.若∠BAC＝35°，則∠CAD＝________．【思路點(diǎn)撥】利用切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，由線線垂直，得線線平行，進(jìn)而得到角度之間的等量關(guān)系．【嘗試解答】

連結(jié)OC.∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD.由此得∠ACO＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO.∴∠CAD＝∠CAO.又∠CAO＝∠BAC＝35°，故∠CAD＝35°.【答案】

35°1．若知圓的切線，一種自然的想法就是連結(jié)過切點(diǎn)的半徑，從而得到垂直關(guān)系．2．證明某條直線是圓的切線的常用方法有：(1)若已知直線與圓有公共點(diǎn)，則需證明圓心與公共點(diǎn)的連線垂直于已知直線即可；(2)若已知直線與圓沒有明確的公共點(diǎn)，則需證明圓心到直線的距離等于圓的半徑．圖31

如圖31所示，AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點(diǎn)D，DE⊥AC.若∠ADE＝50°，則∠ABD＝________．【解析】

連結(jié)OD.∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位線．∴OD∥AC.又∵∠DEC＝90°，∴∠ODE＝90°.又∵D在圓周上，∴DE是⊙O的切線．因此∠ABD＝∠ADE＝50°.【答案】

50°【思路點(diǎn)撥】

先根據(jù)相交弦定理求出CF，再根據(jù)三角形相似求出BD，最后根據(jù)切割線定理求CD.1．應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等．2．相交弦定理、切割線定理主要用于與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明．解決問題時(shí)要注意相似三角形知識(shí)及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用．圖33

如圖33，AD，AE，BC分別與圓O切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AF與圓O交于另一點(diǎn)G.給出下列三個(gè)結(jié)論：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正確結(jié)論的序號(hào)________．【解析】

由切線長(zhǎng)定理得CE＝CF，BD＝BF，∴AD＋AE＝AB＋BD＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC.則①正確．由切割線定理得，AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正確．因?yàn)椤鰽DF∽△AGD，故③錯(cuò)誤．【答案】

①②圓中的角(圓周角、弦切角)以及弦之間的相互轉(zhuǎn)化可以通過它們對(duì)應(yīng)的弧完成．圓中的比例線段較多，要記準(zhǔn)線段的端點(diǎn)及對(duì)應(yīng)位置，以防出錯(cuò)．與圓有關(guān)的比例線段(等積式)的證明常有以下三種方法：(1)利用相似三角形；(2)利用切割線定理、相交弦定理；(3)利用角平分線定理．從近兩年高考試題來(lái)看，圓周角、弦切角定理，圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)，相交弦定理，切割線定理是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，考查形式主要有兩種：一種是求值問題，另一種是證明問題，難度中等偏下．在解答證明問題時(shí)，一定要注意答題的規(guī)范化．規(guī)范解答之二十與圓有關(guān)的證明問題)圖34(10分)(2012·遼寧高考)如圖34，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連接DB并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E.證明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.【解題程序】

第一步：根據(jù)弦切角定理證明角相等，從而證明△ACB∽△DAB；第二步：利用相似三角形的性質(zhì)定理證明AC·BD＝AD·AB；第三步：根據(jù)弦切角定理證明角相等，從而證明△EAD∽△ABD；第四步：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理得AE·BD＝AD·AB.結(jié)合(1)的結(jié)論得AC＝AE.易錯(cuò)提示：(1)證明本題(2)時(shí)，想不到證明△EAD∽△ABD，從而無(wú)法解答．(2)證明本題(2)時(shí)，沒有應(yīng)用(1)的結(jié)論從而無(wú)法證明結(jié)論成立．防范措施：(1)證明線段相等的方法較多，在選擇方法時(shí)應(yīng)結(jié)合所給條件尋找切實(shí)可行的方法，本題中根據(jù)條件能得到多對(duì)角相等，自然能夠想到通過相似三角形證明．(2)在有多個(gè)結(jié)論的題目中，如果結(jié)論帶有普遍性，已經(jīng)證明的結(jié)論，可作為證明下一個(gè)結(jié)論成立的條件使用．圖351．(2012·湖南高考)如圖35所示，過點(diǎn)P的直線與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于________．圖362．(2013·珠海檢測(cè))△ABC中，∠B＝30°，CD⊥AB于D，DE⊥AC