一課時余弦定理正弦實際應(yīng)用舉例

11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用第一課時余弦定理、正弦定理的實際應(yīng)用舉例1.能利用余弦定理、正弦定理解決簡單的生產(chǎn)、生活中的實際問題.2.鞏固深化余弦定理、正弦定理有關(guān)知識與應(yīng)用方法.課標要求素養(yǎng)要求通過分析問題，利用余弦、正弦定理解決實際問題，體會數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究11.基線的概念與選擇原則(1)基線的定義在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫作基線.(2)選擇基線的原則在測量過程中，為使測量工具有較高的精確度，應(yīng)根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，一般來說，基線越長，測量的精確度越高.(1)仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角，如圖所示.2.相關(guān)術(shù)語(2)方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖1所示).(3)方向角指正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，如C點的方向角為南偏東45°(東南方向)，D點的方向角為北偏東30°(如圖2).(4)視角觀察物體時，從物體兩端引出的光線在人眼球內(nèi)交叉而成的角.(1)解題思路3.解三角形應(yīng)用題(2)基本步驟運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本步驟如下：①分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖(一個或幾個三角形)；②建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中，建立一個解三角形的數(shù)學(xué)模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.④檢驗：檢驗所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解.1.思考辨析，判斷正誤 (1)已知三角形的三個角，能夠求其三條邊.(

)

提示要解三角形，至少還需知道這個三角形的一條邊長. (2)兩個不可到達的點之間的距離無法求得.(

)

提示兩個不可到達的點之間的距離我們可以借助第三個點和第四個點量出角度、距離求得. (3)方位角和方向角是一樣的.(

)

提示方位角是指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，而方向角是以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作起始方向旋轉(zhuǎn)到目標方向線所成的角(一般指銳角).×××2.從A處望B處的仰角為α，從B處望A的俯角為β，則α，β的關(guān)系為(

)A.α>β B.α＝βC.α＋β＝90° D.α＋β＝180°解析根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖，如圖，知α＝β，故應(yīng)選B.B3.兩燈塔A，B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在C北偏東30°，B在C南偏東60°，則A，B之間的距離為(

)A解析由題意知，在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，4.如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平線，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為________.又CD＝50，所以在△ACD中，45°又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.課堂互動題型剖析2題型一距離問題解在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，在△BDC中，∠BDC＝30°＋45°＝75°，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°，∴由正弦定理得在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，求兩個不可到達的點之間的距離問題，一般是把問題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長問題，基本方法是：(1)認真理解題意，正確作出圖形，根據(jù)條件和圖形特點尋找可解的三角形.(2)把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊和角，利用正、余弦定理求解.思維升華【訓(xùn)練1】

某船開始看見燈塔在南偏東30°方向，后來船沿南偏東60°的方向航行45km后，看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是(

)A解析設(shè)燈塔位于A處，船開始的位置為B，航行45km后到C處，如圖所示.∵∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，BC＝45，∴∠ABC＝60°－30°＝30°，∠BAC＝180°－60°＝120°.在△ABC中，由正弦定理，題型二高度問題【例2】

如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于(

)D解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.求解底部不可到達的物體的高度問題，一般是把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的邊長問題，基本方法是：(1)分清仰角和俯角，根據(jù)已知和所求，正確作出圖形；(2)理清邊角關(guān)系，利用正、余弦定理解直角三角形.思維升華【訓(xùn)練2】

如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從點A測得點M的仰角∠MAN＝60°，點C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，從點C測得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，則山高MN＝________.150m題型三角度問題解如圖所示，設(shè)預(yù)報時臺風(fēng)中心為B，開始影響基地時臺風(fēng)中心為C，基地剛好不受影響時臺風(fēng)中心為D，則B，C，D在同一直線上，且AD＝20(海里)，AC＝20(海里).在△ADC中，因為DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得所以∠BAC＝30°，又因為B位于A南偏東60°，60°＋30°＋90°＝180°，所以點D位于A的正北方向，又因為∠ADC＝45°，所以臺風(fēng)移動的方向為北偏西45°.求解實際應(yīng)用中的角度問題時，一般把求角的問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，基本方法是：(1)明確各個角的含義；(2)分析題意，分析已知與所求，畫出正確的示意圖；(3)將圖形中的已知量與未知量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形的邊與角的關(guān)系，運用正、余弦定理求解.思維升華∴∠ABC＝45°，∴B點在C點的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.∴∠BCD＝30°.故緝私船沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船.題型四平面圖形中線段長度的計算(1)求sin∠BCE的值；(2)求CD的長.所以CD＝7.三角形中幾何計算問題的解題要點及關(guān)鍵(1)正確挖掘圖形中的幾何條件簡化運算是解題要點，善于應(yīng)用正弦定理、余弦定理，只需通過解三角形，一般問題便能很快解決.(2)此類問題突破的關(guān)鍵是仔細觀察，發(fā)現(xiàn)圖形中較隱蔽的幾何條件.思維升華【訓(xùn)練4】

如圖，四邊形ABCD中，若∠DAB＝60°，∠ABC＝30°，∠BCD＝120°，AD＝2，AB＝5. (1)求BD的長；解如圖，由∠DAB＝60°，∠BCD＝120°，可知四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，在△ABD中，由∠DAB＝60°，AD＝2，AB＝5，利用余弦定理得：(2)求△ABD的外接圓半徑R；(3)求AC的長.一、牢記1個知識點不可到達的距離、高度、角度等實際問題的測量方案.二、掌握1種方法——數(shù)形結(jié)合三、注意1個易錯點方位角的大小判斷易錯.

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的南偏西40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(

)DA.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東80° D.南偏西80°解析由條件及題圖可知，A＝B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2.甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測20m高的旗桿，甲觀測的仰角為50°，乙觀測的仰角為40°，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有(

)A.d1>d2 B.d1<d2C.d1>20m D.d2<20mB∠ACD＝60°，B由余弦定理，得解得AD＝6，即該船實際航程為6km.4.從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30°，看正南方向一只船俯角為45°，則此時兩船間的距離為(

)AAB由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC.二、填空題6.一架飛機在海拔8000m的高度飛行，在空中測出前下方海島兩側(cè)海岸俯角分別是30°和45°，則這個海島的寬度為________m.(精確到0.1m)5856.4解析如圖，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，66∴SB＝66(km).8.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲樓的高是________米，乙樓的高是________米.三、解答題9.如圖所示，在地面上共線的三點A，B，C處測得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，求建筑物的高度.解設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③10.某觀測站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40°，在C處測得公路上B處有一人，距C為31km，正沿公路向A城走去，走了20km后到達D處，此時C，D間的距離為21km，問：這人還要走多少千米才能到達A城？解如圖，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得故這個人再走15km才能到達A城.11.如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC＝0.1km.若AB

＝BD，則B，D間的距離為______________km.解析在△ABC中，∠BCA＝60°，∠ABC＝75°－60°＝15°，AC＝0.1km，北偏東30°∴∠CAB＝30°，∴甲船應(yīng)沿北偏東30°方向行駛.又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝anmile，13.如圖，在△ABC中，CA＝2，CB＝1，CD是AB邊上的中線.(1)求證：sin∠BCD＝2sin∠ACD；即BCsin∠BCD＝DBsin∠CDB，ACsin∠ACD＝ADsin∠CDA.∵sin∠CDA＝sin∠CDB，