一課時(shí)余弦定理正弦實(shí)際應(yīng)用舉例

11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用第一課時(shí)余弦定理、正弦定理的實(shí)際應(yīng)用舉例1.能利用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題.2.鞏固深化余弦定理、正弦定理有關(guān)知識(shí)與應(yīng)用方法.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過(guò)分析問(wèn)題，利用余弦、正弦定理解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.基線的概念與選擇原則(1)基線的定義在測(cè)量過(guò)程中，我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫作基線.(2)選擇基線的原則在測(cè)量過(guò)程中，為使測(cè)量工具有較高的精確度，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高.(1)仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角，如圖所示.2.相關(guān)術(shù)語(yǔ)(2)方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖1所示).(3)方向角指正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如C點(diǎn)的方向角為南偏東45°(東南方向)，D點(diǎn)的方向角為北偏東30°(如圖2).(4)視角觀察物體時(shí)，從物體兩端引出的光線在人眼球內(nèi)交叉而成的角.(1)解題思路3.解三角形應(yīng)用題(2)基本步驟運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟如下：①分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖(一個(gè)或幾個(gè)三角形)；②建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.④檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際問(wèn)題，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.1.思考辨析，判斷正誤 (1)已知三角形的三個(gè)角，能夠求其三條邊.(

)

提示要解三角形，至少還需知道這個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng). (2)兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離無(wú)法求得.(

)

提示兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離我們可以借助第三個(gè)點(diǎn)和第四個(gè)點(diǎn)量出角度、距離求得. (3)方位角和方向角是一樣的.(

)

提示方位角是指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，而方向角是以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角(一般指銳角).×××2.從A處望B處的仰角為α，從B處望A的俯角為β，則α，β的關(guān)系為(

)A.α>β B.α＝βC.α＋β＝90° D.α＋β＝180°解析根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖，如圖，知α＝β，故應(yīng)選B.B3.兩燈塔A，B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在C北偏東30°，B在C南偏東60°，則A，B之間的距離為(

)A解析由題意知，在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，4.如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平線，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為_(kāi)_______.又CD＝50，所以在△ACD中，45°又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.課堂互動(dòng)題型剖析2題型一距離問(wèn)題解在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，在△BDC中，∠BDC＝30°＋45°＝75°，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°，∴由正弦定理得在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，求兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，基本方法是：(1)認(rèn)真理解題意，正確作出圖形，根據(jù)條件和圖形特點(diǎn)尋找可解的三角形.(2)把實(shí)際問(wèn)題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊和角，利用正、余弦定理求解.思維升華【訓(xùn)練1】

某船開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東30°方向，后來(lái)船沿南偏東60°的方向航行45km后，看見(jiàn)燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是(

)A解析設(shè)燈塔位于A處，船開(kāi)始的位置為B，航行45km后到C處，如圖所示.∵∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，BC＝45，∴∠ABC＝60°－30°＝30°，∠BAC＝180°－60°＝120°.在△ABC中，由正弦定理，題型二高度問(wèn)題【例2】

如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于(

)D解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.求解底部不可到達(dá)的物體的高度問(wèn)題，一般是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，基本方法是：(1)分清仰角和俯角，根據(jù)已知和所求，正確作出圖形；(2)理清邊角關(guān)系，利用正、余弦定理解直角三角形.思維升華【訓(xùn)練2】

如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MAN＝60°，點(diǎn)C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，從點(diǎn)C測(cè)得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，則山高M(jìn)N＝________.150m題型三角度問(wèn)題解如圖所示，設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為B，開(kāi)始影響基地時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為C，基地剛好不受影響時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為D，則B，C，D在同一直線上，且AD＝20(海里)，AC＝20(海里).在△ADC中，因?yàn)镈C2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得所以∠BAC＝30°，又因?yàn)锽位于A南偏東60°，60°＋30°＋90°＝180°，所以點(diǎn)D位于A的正北方向，又因?yàn)椤螦DC＝45°，所以臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向?yàn)楸逼?5°.求解實(shí)際應(yīng)用中的角度問(wèn)題時(shí)，一般把求角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題，基本方法是：(1)明確各個(gè)角的含義；(2)分析題意，分析已知與所求，畫出正確的示意圖；(3)將圖形中的已知量與未知量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形的邊與角的關(guān)系，運(yùn)用正、余弦定理求解.思維升華∴∠ABC＝45°，∴B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.∴∠BCD＝30°.故緝私船沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船.題型四平面圖形中線段長(zhǎng)度的計(jì)算(1)求sin∠BCE的值；(2)求CD的長(zhǎng).所以CD＝7.三角形中幾何計(jì)算問(wèn)題的解題要點(diǎn)及關(guān)鍵(1)正確挖掘圖形中的幾何條件簡(jiǎn)化運(yùn)算是解題要點(diǎn)，善于應(yīng)用正弦定理、余弦定理，只需通過(guò)解三角形，一般問(wèn)題便能很快解決.(2)此類問(wèn)題突破的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)圖形中較隱蔽的幾何條件.思維升華【訓(xùn)練4】

如圖，四邊形ABCD中，若∠DAB＝60°，∠ABC＝30°，∠BCD＝120°，AD＝2，AB＝5. (1)求BD的長(zhǎng)；解如圖，由∠DAB＝60°，∠BCD＝120°，可知四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，在△ABD中，由∠DAB＝60°，AD＝2，AB＝5，利用余弦定理得：(2)求△ABD的外接圓半徑R；(3)求AC的長(zhǎng).一、牢記1個(gè)知識(shí)點(diǎn)不可到達(dá)的距離、高度、角度等實(shí)際問(wèn)題的測(cè)量方案.二、掌握1種方法——數(shù)形結(jié)合三、注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)方位角的大小判斷易錯(cuò).

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的南偏西40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(

)DA.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東80° D.南偏西80°解析由條件及題圖可知，A＝B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2.甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測(cè)20m高的旗桿，甲觀測(cè)的仰角為50°，乙觀測(cè)的仰角為40°，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有(

)A.d1>d2 B.d1<d2C.d1>20m D.d2<20mB∠ACD＝60°，B由余弦定理，得解得AD＝6，即該船實(shí)際航程為6km.4.從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30°，看正南方向一只船俯角為45°，則此時(shí)兩船間的距離為(

)AAB由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC.二、填空題6.一架飛機(jī)在海拔8000m的高度飛行，在空中測(cè)出前下方海島兩側(cè)海岸俯角分別是30°和45°，則這個(gè)海島的寬度為_(kāi)_______m.(精確到0.1m)5856.4解析如圖，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，66∴SB＝66(km).8.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲樓的高是________米，乙樓的高是________米.三、解答題9.如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，求建筑物的高度.解設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③10.某觀測(cè)站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40°，在C處測(cè)得公路上B處有一人，距C為31km，正沿公路向A城走去，走了20km后到達(dá)D處，此時(shí)C，D間的距離為21km，問(wèn)：這人還要走多少千米才能到達(dá)A城？解如圖，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得故這個(gè)人再走15km才能到達(dá)A城.11.如圖，A，B，C，D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°，30°，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，AC＝0.1km.若AB

＝BD，則B，D間的距離為_(kāi)_____________km.解析在△ABC中，∠BCA＝60°，∠ABC＝75°－60°＝15°，AC＝0.1km，北偏東30°∴∠CAB＝30°，∴甲船應(yīng)沿北偏東30°方向行駛.又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝anmile，13.如圖，在△ABC中，CA＝2，CB＝1，CD是AB邊上的中線.(1)求證：sin∠BCD＝2sin∠ACD；即BCsin∠BCD＝DBsin∠CDB，ACsin∠ACD＝ADsin∠CDA.∵sin∠CDA＝sin∠CDB，