新人教版高中數(shù)學五本書教材例題課后習題變式含答案5

第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用

5.2導數(shù)的運算

5.2.1基本初等函數(shù)的導數(shù)

例1求下列函數(shù)的導數(shù)：

2

(1)y=尤3；

(2)y=log2x.

5(訃22T2」

解：(1)y'=x3=—X3――X3：

I)33

(2)y=(iog2x/--

xin2

例2假設某地在20年間的年均通貨膨脹率為5%,物價p(單位：元)與時間，

(單位：年)有如下函數(shù)關系

p(f)=p°(l+5%)',

其中p。為，=0時的物價.假定某種商品的p0=l,那么在第10個年頭，這種商品

的價格上漲的速度大約是多少(精確到0.01元/年)？

解：根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表，有

p'(f)=1.05,In1.05.

所以

p,(10)=1.05'°lnl.05?0.08.

所以，在第10個年頭，這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲.

練習

1.求下列函數(shù)的導數(shù)：

⑴y=\

X

(2)y=^

(3)y=3*

(4)y=(gx

(5)y=log4x

（6）y=i°g/

2

【答案】（1）y=-4%-5

41

(2)

3

(3)y'=3'ln3

(4)TW

/=

(5)71h

(6)-y'=，-xln2

【解析】

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式計算可得;

【小問1詳解】

解：因為丁二^二廠4,所以了=1-4j=_4尸5；

【小問2詳解】

4<4Y.1

解：因為y=KF-^3）所以y==—W；

、J3

【小問3詳解】

解：因為y=3",所以y'=3ln3；

【小問4詳解】

解：因為>=（；）、，所以y'=（g）1ng

【小問5詳解】

解：因為y=logy，所以y'=1二；

xln4

【小問6詳解】

，1..1

解：因為>=l°g[x,所以'一,1--xln2;

2xln—

2

2.求下列函數(shù)在給定點的導數(shù):

（1）y=爐在x=3處的導數(shù)；

2

(2)y=lnx在尢=：處的導數(shù)；

(3)y=sinx在工=2%處的導數(shù)；

(4)y=，在x=0處的導數(shù).

【答案】⑴八3)=405；⑵/(|)=|；⑶/(2萬)=1;(4)r(O)=l.

【解析】

【分析】運用求導公式對所給函數(shù)進行求導，然后再求所求點的導數(shù)值.

【詳解】⑴因為y=「所以y=5/,所以在x=3處的導數(shù)為/'(3)=5x3,=405；

(2)因為y=lnx,所以y'=，,所以在x處的導數(shù)為；

x313/2

⑶因為y=sinx,所以y'=cosx,所以在尤=2%處的導數(shù)為

/(21)=cos2"=1；

⑷因為y=e1所以y，=e',所以在x=()處的導數(shù)為r(0)=e°=l.

3.求余弦曲線y=cosx在點(',0)處的切線方程.

【答案】y=

【解析】

【分析】求導得y=cosx的導數(shù)，可得切線的斜率，由直線的點斜式方程可得切線

方程.

【詳解】因為y=8SX,則y'=-sinx,

可得曲線廠cosx在點(于0)處的切線斜率為左=一1,

TTTT

則曲線y=COSX在點弓,0)處的切線方程為y=—x+,,

故答案為：y=~x~^~-

4.求曲線)=，在點(4,2)處的切線方程.

【答案】y=^x+i

【解析】

【分析】先求導數(shù)，然后求出切線的斜率，即可得到切線方程.

1-11

【詳解】解：?.?y'=；x2=,

22Vx

4

所以切線方程為y-2=J(x-4),即y=[x+l

44

5.2.2導數(shù)的四則運算法則

例3求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)y=x3-x+3；

(2)y=2x+cosx.

解：(1)y=(x3-X+3)

=0-(x)，+⑶，

=3x2-1；

(2)y'=(2'+cosx)

=(2，)+(cosx\

=2AIn2-sinx.

例4求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)y=x3ex；

解：（1）y'=^x3evj

=（d）e、+?。t）

=3x2e%+x3ex-

<2sinx

(2)

IK2

(2sinx)&22sinx(x2)2x2cos%4xsinx

2xcosx-4sinx

例5日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的.隨著水的純凈度的提高，所需凈化

費用不斷增加.已知將It水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為

5284

c(x)=--(80<x<l00).

100-x

求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：

(1)90%；(2)98%.

解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數(shù)的導數(shù).

5284]

c(x)=100-xJ

5284'x(100-幻-5284>(100-x)'

(1007)2

0x(100—x)—5284x(—1)

(1007)2

5284

(100-x)2'

(1)因為c'(90)=_9o)2=52.84,所以，凈化到純凈度為90%時，凈化費用

的瞬時變化率是52.84元/噸.

5284

(2)因為c'(98)=：CCQ=1321,所以，凈化到純凈度為98%時，凈化費用的

(1UU—9o)

瞬時變化率是1321元/噸.

函數(shù).f(x)在某點處導數(shù)的大小表示函數(shù)在此點附近變化的快慢.由上述計算可

知，^(98)=25^(90).它表示凈化到純凈度為98%左右時凈化費用的變化率，大

約是凈化到純凈度為90%左右時凈化費用變化率的25倍.這說明，水的純凈度越

高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快.

練習

1.運用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式與導數(shù)運算法則，重新求解5.1節(jié)例2.你是否感覺到

運算法則給解題帶來的方便簡捷？

5.求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)y=2x3-3x2-4；(2)y=3cosx+2'；(3)y=e'Inx

(4)y=(x2+2x)y[x；(5)y=—,(6)y=tanx

x

【答案】(1)y=6X2-6X；(2)/=-3sinx+2v-*ln2；(3)y'=ex}nx+—；(4)

X

V211_Inr1

y=2/+3/；(5)y'=——；(6)y'=——

2cosx

【解析】

【分析】運用導數(shù)求導法則直接求導即可得到結果.

【詳解】(1)y'=6x2-6x

(2)y=-3sinx+2r-In2

(3)y'=exlnx+—

x

L1-1

(4)y-(2x+2')\/x+—(x2+2x)x2

521

=-x2+3x2

2

1,

(5),,_x_l-\nx

y~7=?-

XXT

/八，/、，sinx

(6)y=(tanx)=(z----)xz

cosx

_cosxcosx+sinxsinx

9

COS-X

1

cos2X

6.求曲線y=/+二在點0,4)處的切線方程.

x

【答案】x+y-5=0

【解析】

【分析】先求解出尸(力，然后求解出了'(1),/。)，由此可寫出切線的點斜式方程并

將其轉化為一般式方程.

【詳解】因為y=r(x)=2x-￡,所以/‘⑴=2-3=T,/⑴=1+3=4,

所以切線方程為：y-4=-(x-1),

即為x+y-5=0.

5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)

例6求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)y=(3x+5)3；

(2)y=e-o<>5x+i；

(3)y=ln(2x-l).

解：(1)函數(shù)y=(3x+5)3可以看作函數(shù)y=/和”=31+5的復合函數(shù).根據(jù)復合

函數(shù)的求導法則，有

工=%4

=(/j.(3x+5)，

=3M2x3

=9(3x+5>.

(2)函數(shù),=/必.可以看作函數(shù)y=e"和〃=-0.05x+l的復合函數(shù).根據(jù)復合

函數(shù)的求導法則，有

弘=乂“

=(e,,)，-(-0.05x+D，

=-O.O5eH

=—0.05建如+1.

（3）函數(shù)y=ln（2x-l）可以看作函數(shù)y=ln〃和w=2x-l的復合函數(shù).根據(jù)復合

函數(shù)的求導法則，有

乂=%4

=(lni/),-(2x-iy

2x-

u

2

2x-l

例7某個彈簧振子在振動過程中的位移y（單位：mm）關于時間，（單位：s）的

函數(shù)滿足關系式＞=18sin（夸一]].求函數(shù)y在，=3s時的導數(shù)，并解釋它的實

際意義.

解：函數(shù)y=18sin（2ff—可以看作函數(shù)y=18sin“和”=生/-?乙復合函數(shù)，根

O2）32

據(jù)復合函數(shù)的求導法則，有

y；=y：U

=（18sinu）,-f—Z--

I32）

,c2萬

=18cos?x——

3

當f=3時，X=12^cos|^—J=0.

它表示當，=3s時，彈簧振子振動的瞬時速度為Omm/s.

練習

7.求下列函數(shù)的導數(shù)：

(2)y=(l-2x)3

(3)^=log2(2x+l)

X

(4)y=cos—

.3

y=sin(^-—3x)

(5)

y=22x-1

3

【答案】(1)y=-3(3x+lp

(2)y=-6(l-2x)2

2

⑶〉~(2x+l)ln2

(4)/=--sin—

-33

(5)/=3sin3x

(6)y'=4'ln4

【解析】

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及復合函數(shù)的導數(shù)運算法則計算可得;

【小問1詳解】

2_1「1T3

解:因為y=百言=2(3x+1戶，所以y，=2(3x4-Ip=-3(3x+lp

【小問2詳解】

解：因為y=(l_2x)’，所以了=[(1=—6(1—2x)2

【小問3詳解】

解:因為丁=1暇(2%+1),所以y'=[log?(2x+1)]'=.

【小問4詳解】

解：因為y=cos?,所以y='os2)=-，sin2

3、3J33

【小問5詳解】

31,

解：因為y=sin（萬-3x）=-cos3x,所以｝/=（—cos3x）-3sin3x

【小問6詳解】

解：因為y=22，—1=4,一1,所以y，=（4-l）'=41n4

8.求下列函數(shù)在給定點的導數(shù)：

（1）y=在處的導數(shù)；

（2）y=ln（5x+2）在％=1處的導數(shù).

【答案】（1）—Ze」；（2）1.

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)復合函數(shù)的求導法則求解出y=e-2'T的導函數(shù)y',然后將x=g

代入導函數(shù)計算出結果即可；

（2）先根據(jù)復合函數(shù)的求導法則求解出y=ln（5x+2）的導函數(shù)y',然后將x=l代

入導函數(shù)計算出結果即可.

【詳解】（1）因為y=e-2，T可以看作函數(shù)＞=e"和”=一2》一1的復合函數(shù)，

所以"'=%',〃；=卜"），（一2%-1）=-2e"=-2edT,

所以當x=］時，”'=—2e~2;

（2）因為y=ln（5x+2）可以看作函數(shù)y=lnM和〃=5x+2的復合函數(shù)，

所以=yj-u'=（InM）’.（5x+2）'=2=—，

u5x+2

所以當x=l時，y；=g

9.求曲線y=場二T在點（I，1）處的切線方程.

【答案】y=

【解析】

【分析】求出曲線y==T在點處的切線的斜率，利用點斜式可得出所求

切線的方程.

【詳解】設y=/(x)=(3x-l1，則r(x)=3x；(3x-l)《=(3x-l)《，貝1」廣圖=1,

因此，曲線y=醞萬在點(1,1)處的切線方程為y-l=x-g,即y=x+g.

習題：5.2

10.求下列函數(shù)的導數(shù)；

(1)y=2V-3/+5

x

(3)y=2+log2x

(4)y=xV

/r\*3-1

(5)y=----

sinx

“、sinx

(6)y=----------

sinx+cosx

【答案】(1)y=6x2-6x

(2)y=-2%-2-4(x+l)-2

(3)y=2'ln2+-l-

xln2

(4)y'=nxn-'ex+xnex

,、3x2sinx—cosxlx3—1)

(5)y，=--------------1----L

sin2x

(6)y=-~—

l+sin2x

【解析】

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則計算可得;

【小問1詳解】

解：因為y=2%3-3爐+5,所以爐=6/一6x；

【小問2詳解】

24一i_

解：因為丁=1+標=2尸+4(1+1］，所以y=—2/2-4(x+l「9；

【小問3詳解】

解:因為y=2*+log,x,所以了=2-2+—二；

xln2

【小問4詳解】

解：因為y=x"e'，所以:/=(x")Z+x"(e'j=Mx"Te'+x"e，；

【小問5詳解】

初mu,x3-l，(-?3-1)sinx-(sinx)7?-l)3x*2s3456inx-cosx(x3-1)

解：因為y=-------，所以y，=A--------L----------1歲.人'------L=-------------------1-------L

smx(sinx)~siirx

【小問6詳解】

解：因為y=.smx_,所以

sinx+cosx

,(sinx)(sinx+cosx)-(sinx+cosx)sinxcosx(sinx+cosx)-(cosx-sinx)sinx1

(sinx+cosx)2(sinx+cosx)21+sin2x

11.求下列函數(shù)的導數(shù).

(1)y=(x+i)”

x

(2)y=

J2fx+1

(3)y=(2x-3)sin(2x+5)；

cos(3x-2)

(4)y=-------------

2x

(5)^=(3x+l)2ln(3x)

(6)>=351

【答案】(1)y=99(x+l)98

J2x+1-x(2x+1)2

2x+l

(3)y，=2sin(2x+5)+(4x-6)cos(2x+5)

,-6xsin（3x-2）-2cos（3x-2）

（4）

4尤2

（5）y=6（3x+l）ln（3x）+（3x+D

（6）y=3'e-31n3—3-3'e-3x

【解析】

【分析】直接利用導數(shù)的運算法則、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式以及簡單復合函數(shù)的

導數(shù)計算法則求解.

【小問1詳解】

解：?.-y=（x+l）99,...y'=99（x+1嚴（x+l）'=99（x+1產(chǎn)；

【小問2詳解】

（）

Xxj2x+lJ2x+1xJ2x+1-x（2x+l）2

解：因為y=所以y'=—

J2x+12x+l

【小問3詳解】

解：因為y=（2x-3）sin（2x+5）,所以

y，=（2x-3）sin（2x+5）+（2x-3）［sin（2x+5）］=2sin（2x+5）+（4x-6）cos（2x+5）

【小問4詳解】

、，cos（3x-2）”

解：因為y=-------------,所以

2x

,［cos（3x-2）］2x-（2x）cos（3x-2）-6xsin（3x-2）-2cos（3x-2）

>=（5^=

【小問5詳解】

解：因為y=（3x+l『ln（3x）,所以

y=［（3x+l）［ln（3x）+（3x+l）2［in（3x）］=6（3x+l）ln（3x）+0二+1）

【小問6詳解】

解：因為y=3'e3，所以了=6'/*+3'卜力'=35/3—3.35,

12.已知函數(shù)”x）=13-8x+缶2,且廣⑻=4,求為.

【答案】3也

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，再代入計算可得；

【詳解】解：因為/（力=13-8%+缶2,所以廣（%）=一8+2血》，因為解?。?4,

所以一8+2及%=4,解得面=30

13.已知函數(shù)y=xlnx.

（1）求這個函數(shù)的導數(shù)；

（2）求這個函數(shù)的圖象在點（1,0）處的切線方程.

【答案】（1）yC=lnx+l；（2）y=x-\.

【解析】

【分析】（1）運用函數(shù)乘積的求導法則即可求出導數(shù)；（2）求導后計算出切線斜率,

然后計算出切線方程.

【詳解】（1）由題意，y=xlnx

/./=lnx+x?—=lnx+1

x

故函數(shù)y=xlnx的導數(shù)為理=lnx+l

（2）易知所求切線的斜率存在，設斜率為3

則k=y'Li=ini+i=i,

又當％=1時，y=。，

所以切點為（1,0）,

則切線的方程為y-0=ix（x-1）

即y=x-l,

故這個函數(shù)的圖象在x=l處的切線方程為y=x-L

14.求曲線>在點M（肛0）處的切線方程.

【答案】萬=0.

【解析】

【分析】由題意可得y,并得切線的斜率，結合切點坐標即可確定切線方程.

txcosx-sinx

【詳解】由函數(shù)的解析式可得:y=

所LL求切IF線/的人斜、I率為：1k=yt'\\=--C--O-S-T-C-—-S-I-H-7-1

7V

由于切點坐標為(乃,o),故切線方程為：y=--(x-^,

7T

為x+%y-;r=0.

15.已知函數(shù)/(x)滿足/(x)=/'g)sinx—cosx,求在x=(的導數(shù).

【答案】亞+1

【解析】

7T

【分析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)'再將x=］代入計算可得;

【詳解】解：因為/(x)=./i'(￡)sinx—cosx,所以/''(x)=/'(Wcosx+sinx,所以

16.設函數(shù)/(x)=l-e、的圖象與x軸相交于點P,求曲線在點P處的切線方程.

【答案】x+y=0

【解析】

【分析】結合導數(shù)的幾何意義即可.

【詳解】令/(x)=l-e'=0得x=0,則點尸的坐標為(0,0).

?.?/⑴?，AZ(O)=-l.

曲線在點P處的切線方程為y=-X,即X+y=0.

2

17.已知函數(shù)/(x)=5+2x-31nx,求“力的導數(shù)，并求出/'⑴>0的解集.

【答案】r(x)=x+2-pr(x)>o的解集為(i,+8).

【解析】

【分析】先求導函數(shù)，再解了'（可＞0,得到r（x）＞。的解集.

2

【詳解】/（x）=、+2x—31n尤的定義域為（0，+8）,

＜2V,q]

所以/'（x）=]+（2x）-（31nx）=x+2——=—（x2+2x-3）＜＞

令/'（x）＞0,解得：x＞l.

所以r（x）＞o的解集為：。,+8）

18.氨氣是一種由地表自然散發(fā)的無味的放射性氣體.如果最初有500g氯氣，那

么t天后,氨氣的剩余量為A?）=500x0.834'g.（參考數(shù)值lnO.834“Y）.1815,

0.8347?0.2806）

（1）氨氣的散發(fā)速度是多少？

（2）4（7）的值是什么（精確到0.1）?它表示什么意義？

【答案】（1）A'⑺=500x0.834'In0.834

（2）A（7）=_25.5,表示在第7天附近，氨氣大約以25.5克/天的速度自然散發(fā).

【解析】

【分析】（1）根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式計算可得；

（2）將f=7代入求值即可；

【小問1詳解】

解：氨氣的散發(fā)速度就是剩留量函數(shù)的導數(shù).

?.?A（f）=500x0.834',

r.A'⑺=500x0.834'In0.834.

【小問2詳解】

解：因為4（7）=500x0.834'In0.834

所以4（7）=500x0.8347In0.834?-25.5.

它表示在第7天附近，氨氣大約以25.5克/天的速度自然散發(fā).

19.設某高山滑雪運動員在一次滑雪訓練中滑行的路程/(單位：m)與時間/(單

位：s)滿足關系式/(。=2/+二f.

2

(1)求關于f的導數(shù)，并解釋它的實際意義；

(2)當r=3s時，求運動員的滑雪速度；

(3)當運動員的滑雪路程為38m時，求此時的滑雪速度.

3

【答案】(I)m=4/+-,它的實際意義是滑雪時在/時刻的瞬時速度；

2735

(2)—(m/s)；(3)—(m/s).

22

【解析】

【分析】(1)求出/'⑺由導數(shù)的幾何意義可得答案；

(2)把1=3代入/'⑺可得答案；

(3)由題意得2/+]/=38,解得f代入?⑺可得答案.

2

【詳解】(1)由已知得/'")=4f+|,它的實際意義是滑雪時在f時刻的瞬時速度.

3327

(2)因為/'⑺=4，+力所以/，(3)=4x3+q=?,

222

27

所以運動員的滑雪速度二(m/s).

2

319

(3)由題意得2/+二，=38,解得,=4或/=--(舍去)，

24

3335

因為/'。)=4，+二，所以1(4)=4x4+q