新教材 人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)全冊(cè)各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)提煉匯總

第五章數(shù)列

5.1數(shù)列基礎(chǔ)

5.1.1數(shù)列的概念

1.數(shù)列的概念及一般形式

2.數(shù)列的分類

類別含義

按項(xiàng)的個(gè)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列

數(shù)無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列

遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

按項(xiàng)的變

遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小王它的前一項(xiàng)的數(shù)列

化趨勢(shì)

常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列

3.數(shù)列的通項(xiàng)公式

一般地,如果數(shù)列的第〃項(xiàng)an與2之間的關(guān)系可以用-=/(〃)來表示,其中八〃)

是關(guān)于〃的不含其他未知數(shù)的表達(dá)式，則稱此關(guān)系式為這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

4.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下表:

定義域正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1,2,3,…，〃})

解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式

值域由自變量從小到大依次取正整數(shù)值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值構(gòu)成

表示方法(1)通項(xiàng)公式(解析法)；(2)列表法;(3)圖像法

拓展：(1)解讀數(shù)列的通項(xiàng)公式

①數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N+或它的有限子集[1,2,3,…，

〃｝為定義域的函數(shù)解析式.

②和所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公

式.

③有通項(xiàng)公式的數(shù)列，其通項(xiàng)公式在形式上不一定是唯一的.

（2）擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)

的數(shù)列.

心型1數(shù)列的概念及分類

【例1】已知下列數(shù)列：

①2015,2016,2017,2018,2019,2020；

111

②1，492'廠”…；

③L一十午…，2〃一1'…；

72兀

④1,0,—1,…，sin’…；

⑤2,4,8,16,32,…；

⑥一1,-1,-1,-1.

其中，有窮數(shù)列是,無窮數(shù)列是,遞增數(shù)列是，

遞減數(shù)列是，常數(shù)列是，擺動(dòng)數(shù)列是.（填序號(hào)）

①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為

無窮、遞減數(shù)列；③為無窮、擺動(dòng)數(shù)列；④是擺動(dòng)數(shù)列，是無窮數(shù)列，也是周期

為4的周期數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑥為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列.]

廠.......規(guī)律C方法......--

I.與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)具有以下特點(diǎn)：

①確定性：一個(gè)數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項(xiàng)是確定的，集合中的元素也具有

確定性；

②可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)（即互異性）;

③有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列順

序有關(guān)，而集合中的元素沒有順序（即無序性）;

④數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物.

2.判斷數(shù)列是哪一種類型時(shí)要緊扣概念及數(shù)列的特點(diǎn).判斷是遞增、遞減、

擺動(dòng)還是常數(shù)列要從項(xiàng)的變化趨勢(shì)來分析；判斷是有窮還是無窮數(shù)列則要看項(xiàng)的

個(gè)數(shù)有限還是無限.

”型「由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式

___________________________________________I

【例2］(教材P5例2改編)寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

⑴g,2,1,8,…；

(2)9,99,999,9999,…；

22—132—242—352—4

13，5，7，…；

111

(4)-TX2,2X3’-3X4,4X5’

先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，注意前后項(xiàng)間的關(guān)系，分子與分母的關(guān)系，

項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系，每一項(xiàng)符號(hào)的變化規(guī)律，然后歸納出通項(xiàng)公式.

［解］⑴數(shù)列的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：

X,竽，與，…,所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為以=策〃?N+).

(2)各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000,…此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10”,可得

原數(shù)列的通項(xiàng)公式為。"=10"-1(〃GN+).

(3)數(shù)列中每一項(xiàng)由三部分組成，分母是從1開始的奇數(shù)列，可用2/7-1表示；

分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方，可用(〃+1)2表示，分子的后一部分

是減去一個(gè)從1開始的自然數(shù)，可用〃表示，綜上，原數(shù)列的通項(xiàng)公式為a,,=

(〃+I)2一〃

(〃CN+).

2〃一1

(4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)

為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是以=(一1)，盛如/(〃6N+).

廠........規(guī)律c方法■?..........................

1.根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方

面的特征：

①分式中分子、分母的特征;

②相鄰項(xiàng)的變化特征；

③拆項(xiàng)后的特征；

④各項(xiàng)符號(hào)特征.并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想.

2.觀察、分析問題的特點(diǎn)是最重要的，觀察要有目的，觀察出項(xiàng)與序號(hào)之間

的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使

問題得到解決，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(一1)"或來調(diào)整.

''類型”數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用

I_________________________________

［探究問題］

1.已知數(shù)列｛劣｝的通項(xiàng)公式為如=-/+2〃+1,該數(shù)列的圖像有何特點(diǎn)？試

利用圖像說明該數(shù)列的單調(diào)性及所有的正數(shù)項(xiàng).

［提示］由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列｛〃“｝的圖像是分布在二次函數(shù)>=一

x2+2x+l圖像上的離散的點(diǎn)，如圖所示，從圖像上可以看出該數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)

列，且前兩項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)，從第3項(xiàng)往后各項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng).

2.若數(shù)列｛z｝滿足a〃+i—a〃>0,都成立，則該數(shù)列｛如｝是遞增數(shù)列嗎？

［提示］是.因?yàn)?"〉0,故所以數(shù)列｛m｝是遞增數(shù)列.

【例3】已知函數(shù),*x)=x—±數(shù)列①"｝滿足式斯)=-2〃，且z>0.

(1)求數(shù)列｛而｝的通項(xiàng)公式；

(2)判斷數(shù)列｛板｝的增減性.

［思路點(diǎn)撥］先根據(jù)已知條件解方程求a,t,再利用作差法或作商法判斷數(shù)列

｛?！ǎ脑鰷p性.

［解］(l)；Ax)=x—：,.*Z)=—2〃，

a——=-2〃，即an+2nan—1=0,

nCln

2

解得an——n±\jn+1,

=

an>0,?\any］rr+l—n.

(2)法一：(作差法)

?「Z+l—Cln=q(〃+1下+1—(〃+1)—Zn2+1—n)

=^/(n+1)2+1-yjn2+1-1

[，(〃+1)2+1+1]N(九+1>+1+d幾2+]]

y(〃+1>+1+.-+1i

_______(〃+1)+幾_____

.(〃+；>+1+q序+1i’

又.(〃+1)2+1>n+1,y/n2+1>n,

._____(〃+1)+〃_____

。?1(〃+；)2+l+，川+]1

a?+1—an<0,即an+\<an.數(shù)列｛〃〃｝是遞減數(shù)列.

法二：(作商法)

...?！?1:(〃+1)2+1—(〃+1)

.?…’京=尸T-〃

+1+〃

—叱〃+1)2+1+(〃+1)(1，

二an+\<an.：.數(shù)列｛a”｝是遞減數(shù)列.

r........規(guī)律c方法.............................

i.由通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的指定項(xiàng)，主要是對(duì)“進(jìn)行取值，然后代入通項(xiàng)公式，

相當(dāng)于函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值.

2.判斷一個(gè)數(shù)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，其方法是由通項(xiàng)公式構(gòu)造方程，求方程

的根，根據(jù)方程有無正整數(shù)根便可確定這個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng).

3.在用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)列問題時(shí)，要注意它的定義域是N+(或它的有

限子集(1,2,3,…，〃｝)這一約束條件.

口必備素養(yǎng)Q

1.｛&"｝與是含義不同的兩種表示，｛“"｝表示數(shù)列。1，。2,…，On,…，是

數(shù)列的一種簡(jiǎn)記形式.而a”只表示數(shù)列｛z｝的第〃項(xiàng)，a〃與｛以｝是“個(gè)體”與“整

體”的從屬關(guān)系.

2.要注意以下兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：

(1)并非所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，例如，兀的不同近似值，依據(jù)精確的程度可

形成一個(gè)數(shù)列3,3.1,3.14,3.141,…，它沒有通項(xiàng)公式.

(2)如果一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式，則它的通項(xiàng)公式可以有多種形式.

3.由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納其通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是觀察、歸納各項(xiàng)與對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)之

間的聯(lián)系.具體方法為：（1）先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，如都化成分?jǐn)?shù)、根式等；（2）分析這

一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的函數(shù)解

析式；（3）對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再以（一1）"或（一1尸”處

理符號(hào)；（4）對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列，可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列和的形式，或者利用

周期函數(shù)，如三角函數(shù)等.

5.1.2數(shù)列中的遞推

1.數(shù)列的遞推公式

如果已知數(shù)列的首項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）,且數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上的關(guān)系都可以

用一個(gè)公式來表示,則稱這個(gè)公式為數(shù)列的遞推關(guān)系（也稱為遞推公式或遞歸公式）.

拓展：數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系

遞推公式通項(xiàng)公式

表示an與它的前一項(xiàng)。〃一1（或前幾

區(qū)別表示出與〃之間的關(guān)系

項(xiàng)）之間的關(guān)系

（1）都是表示數(shù)列的一種方法；

聯(lián)系

（2）由遞推公式求出前幾項(xiàng)可歸納猜想出通項(xiàng)公式

2.數(shù)列的前〃項(xiàng)和

（1）一般地,給定數(shù)列｛點(diǎn)｝,稱。=。1+。2十。3H---Fa”為數(shù)列｛?。那皀項(xiàng)和.

⑵S”與z的關(guān)系

$5=1),

4聲型1由遞推關(guān)系寫出數(shù)列的項(xiàng)

【例11（1）已知數(shù)列｛“”｝滿足關(guān)系a,-=l—a”+i（〃eN+）且。2019=2,則

4/2020=（）

(2)已知數(shù)列｛?。凉M足ai=l,an+2—an=6,則ail的值為()

A.31B.32C.61D.62

(1)B(2)A[(1)由。"。"+1=1—斯+1,

得?！癲r?'

又。2019=2,

.,.02020=1,故選B.

(2),.?數(shù)列滿足a\=\,an+2—an=6,

.?.。3=6+1=7,。5=6+7=13,“7=6+13=19,“9=6+19=25,aii=6+25

=31,故選A.]

廠......規(guī)法......................

(由遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)的方法

(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依

次代入計(jì)算即可.

(2)若知道的是末項(xiàng)，通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式,

=

如Qn2cin+11.

(3)若知道的是首項(xiàng)，通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式,

,an—1

如Q"+1=.

建型2已知S求通項(xiàng)公式an

【例2](教材P12例3改編)已知數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為S“求｛劣｝的通項(xiàng)公

式：

(1)S”=2〃2—3〃；

(2)8=3"—2.

[思路點(diǎn)撥]應(yīng)用ctn=Sn-S"1(〃22)求解，注意檢驗(yàn)n=\時(shí)(1\是否滿足

［解］⑴當(dāng)〃=1時(shí)，。1=51=2—3=—1;

當(dāng)〃22時(shí)，an—Sn—Sn-\

=2/-3〃一[2(〃-I)2一3(〃-1)]

=4"-5.(*)

當(dāng)”=1時(shí)，ai滿足(*)式，故“"=4〃-5.

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，ai=S=3—2=l.

當(dāng)時(shí)，小=8—*-|=(3"—2)—(3"-1—2)=2?3"-1.(*)

當(dāng)〃=1時(shí)，a\不滿足(*)式，

1,〃=1,

故an='

23門，心2.

［母題探究］

(變條件)若把本例(1)中的S”換為a=2〃2—3"+1,再求｛m｝的通項(xiàng)公式.

［解］當(dāng)〃=1時(shí)，ai=Si=2—3+1=0,

當(dāng)“22時(shí)，a"=S"—Sn-i=4〃-5.(*)

顯然n=l不滿足(*)式,

f0,n=\,

故an=｝、

4n—5,〃與2.

廠......規(guī)律c方法.......--

(已知數(shù)列｛&“｝的前”項(xiàng)和公式S,求通項(xiàng)公式如的步驟：

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，ai=Si.

(2)當(dāng)〃22時(shí)，根據(jù)S”寫出Si,化簡(jiǎn)Z=SLSI.

(3)如果0也滿足當(dāng)“22時(shí)，斯=S"-的通項(xiàng)公式，那么數(shù)列｛。”｝的通項(xiàng)

公式為a”=S"—Si；,如果?不滿足當(dāng)〃22時(shí)，a“=S"—Si的通項(xiàng)公式，那么

(S,n=\,

數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式要分段表示為柒=,,.

3-S“_1,n=2

數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)

系

［探究問題］

1.在數(shù)列｛“〃｝中，m=3,——=2,照此遞推關(guān)系，你能寫出｛以｝任何相鄰兩

CLn

項(xiàng)滿足的關(guān)系嗎？若將這些關(guān)系式兩邊分別相乘，你能得到什么結(jié)論？

［提示1按照詈=2可得賓=2,翼=2,興=2,…，六=2(心2),將這些式

tinCl1C12CisCln-1

子兩邊分別相乘可得空空空…?j-=2?2?…?2.

QI。2。3an-\

則詈=2〃-I所以z=3?2〃一］(〃￡N+).

2.在數(shù)列｛。〃｝中，若0=3,?！?1一如=2,照此遞推關(guān)系試寫出前〃項(xiàng)中，任

何相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，將這些式子兩邊分別相加，你能得到什么結(jié)論？

［提示］由m+1一如=2得G2—0=2,43—02=2,04—43=2,…，。“一?！ㄒ?=

2(〃22,〃￡N+),將這些式子兩邊分別相加得：。2—。1+。3—及+的一43+…

—an-i=2(n—1),即an~a\=2(n—1),所以有〃〃=2(〃-l)+ai=2〃+l(〃￡N+).

【例3】設(shè)數(shù)列｛.”｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且a”+i=V7"(〃eN+),求數(shù)

列的通項(xiàng)公式.

［思路點(diǎn)撥］由遞推公式，分別令〃=1,2,3,得。2,。3,。4,由前4項(xiàng)觀察規(guī)

律，可歸納出它的通項(xiàng)公式；或利用小+1=七所反復(fù)迭代；或?qū)?。?1=士4"

變形為等=七進(jìn)行累乘；或?qū)Ⅴ?+1=一氣③變形為"+'1,構(gòu)造數(shù)列｛na?］

ann+1n+1nafJ

為常數(shù)列.

［解］法一：(歸納猜想法)因?yàn)橐?1=竟?"，01=1,?2=1x1=1,<73=|x1

13V11

猜想a”=1.

ri

法二：(迭代法)因?yàn)樗稩=立下1〃,

〃一1n—1n—2n—1n—211

所以dn-—--Cln-1=--->TCln-2=…=~~~--Q］從而4〃=二

nnn—1nn—12n

rj

法三：(累乘法)因?yàn)镮=〃+產(chǎn),

防?+1n

所以

an〃+1'

。?一|a2n—1n—21

則

Cln-\Cln—2a\nn—12,

所以I

yi

法四：(轉(zhuǎn)化法)因?yàn)閍〃+1=扃7P7〃,

(〃+l)a〃+i

所以，

nan

故數(shù)列是常數(shù)列，nan=a\=\9所以

廠.........規(guī)律c方法.................................

由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，若遞推關(guān)系為如+1=外+式〃)或z+i=g(〃)?m,

則可以分別通過累加或累乘法求得通項(xiàng)公式，即：

(1)累加法：當(dāng)小=?！╛1+&2)時(shí)，常用an=(an—an-1)+(an-1—an-2)H-----卜(42

—a\)+a］求通項(xiàng)公式.

(2)累乘法：當(dāng)H=g(〃)時(shí)，常用a〃=4.吐1.…/a求通項(xiàng)公式.

加I042/1-1On-2

口必備素養(yǎng)Q

1.因?yàn)榉?5”一S-i只有當(dāng)“22時(shí)才有意義，所以由S求通項(xiàng)公式?！?仙)

時(shí)，要分〃=1和〃22兩種情況分別計(jì)算，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式

表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示.

2.要注意通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別

通項(xiàng)公式直接反映出和〃之間的關(guān)系，即a”是〃的函數(shù)，知道任意一個(gè)具體

的〃值，就可以求出該項(xiàng)的值z(mì)；而遞推公式則是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)

列任意兩個(gè)(或多個(gè))相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由〃直接得出an.

5.2等差數(shù)列

5.2.1等差數(shù)列

第1課時(shí)等差數(shù)列的定義

1.等差數(shù)列的概念

一般地，如果數(shù)列｛斯｝從第2_項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于同一個(gè)常

數(shù)d,即斯±j一如=-恒成立,則稱｛?！埃秊榈炔顢?shù)列，其中d稱為等差數(shù)列的公差.

拓展：等差數(shù)列定義的理解

(1)“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差”這一運(yùn)算要求是指“相鄰且后項(xiàng)減去前項(xiàng)”

強(qiáng)調(diào)了：①作差的順序；②這兩項(xiàng)必須相鄰.

(2)定義中的“同一常數(shù)”是指全部的后項(xiàng)減去前一項(xiàng)都等于同一個(gè)常數(shù)，否

則這個(gè)數(shù)列不能稱為等差數(shù)列.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推廣

若等差數(shù)列｛”,｝的首項(xiàng)為小，公差為d,則其通項(xiàng)公式為a“=0+(〃-l)d.該

式可推廣為(其中〃，加WN+).

3.等差數(shù)列的單調(diào)性

等差數(shù)列｛&“｝中，若公差d>0,則數(shù)列為遞增數(shù)列;若公差d<0,則數(shù)列

心流為遞減數(shù)列.

然型1等差數(shù)列的概念

【例1】已知等差數(shù)列｛&〃｝的首項(xiàng)為內(nèi)，公差為d,在數(shù)列｛加｝中，bn=3an

+4,試判斷｛兒｝是不是等差數(shù)列.

［思路點(diǎn)撥］可以利用0和d寫出瓦的通項(xiàng)公式，也可以直接利用定義判斷

%+1一加是不是常數(shù).

［解］法一：由題意可知ti"=ai+(〃-l)d(ai,d為常數(shù)),則氏=3a”+4=3［m

+(〃-1)0+4=3防+3(〃-l)d+4=3d〃+3ai—3d+4.

由于從是關(guān)于〃的一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù)，當(dāng)4=0時(shí))，

故/"｝是等差數(shù)列.

法二：根據(jù)題意，知b"+i=3a”+i+4,則hn+\—bn—3a?+1+4—(3。"+4)=3(?！?/p>

+i—tZ")=3t/(常數(shù)).

由等差數(shù)列的定義知，數(shù)列｛兒｝是等差數(shù)列.

廠........規(guī)律c方法.........--'

等差數(shù)列的判定方法有以下三種：

(1)定義法：a"+l—a"=d(常數(shù))(〃eN+)臺(tái)｛a"｝為等差數(shù)列；

(2)等差中項(xiàng)法：2a"7=a"+a"+2(〃eN+)臺(tái)｛an｝為等差數(shù)歹!J；

(3)通項(xiàng)公式法：ail=an+h(a,8是常數(shù)，〃6N+)臺(tái)①”｝為等差數(shù)歹I」.

但如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法.

鰭型2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

［探究問題］

1.若｛%｝是等差數(shù)列,試用a”,a”表示公差d,其中〃

,—,,0”一°川

[+H提閃d==

2.若數(shù)列｛z｝的通項(xiàng)公式=+"則該數(shù)列是等差數(shù)列嗎？

［提示］是.因?yàn)樾?1—。"=攵("+1)—k〃=k,故｛aa｝是等差數(shù)列.

【例2】(教材P19例5改編)⑴在等差數(shù)列｛m｝中,已知04=7,010=25,求

通項(xiàng)公式Z；

7

⑵已知數(shù)列僅“｝為等差數(shù)列，ai=~-

?3=1,甲

［思路點(diǎn)撥J設(shè)出基本量3，a利用方程組的思想求解，當(dāng)然也可以利用等差

數(shù)列的一般形式an=am-\-｛n—ni)d求解.

［解］(1)法一：?.?。4=7,aio=25,

<21+3d=7,ai=-2,

貝山,得

[ai+94=25,d=3.

.*.o!n=—2+(n—l)X3=3n—5,

通項(xiàng)公式a”=3〃-5(〃CN+).

:去—：,?*<Z4=7,aio=25,

??t710-<24=6d=18,

，d=3,

?！?。4+(〃-4)d=3〃-5(〃eN+).

5

?3=4,

(2)法一：由

7

“7=一不

,5

ai+2d=不

得‘

7

ai+6d=一不

113

解得。1=了，d=—不

.,.415=41+(15—1)1

=弓+14X3、31

不

法二：由07=43+(7—3)4,

75

即一行+4%

3

解得小=一加

.,.05=03+(15—3)d=/+12X3'31

T-

廠........規(guī)法.............................

1.應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求G和d,運(yùn)用了方程的思想.一般地，可由加

=Cl，Cln=b,

[a\+(m-l)d=a9

得,八」,求出0和d,從而確定通項(xiàng)公式.

31+(〃-1)。=。，

2.若已知等差數(shù)列中的任意兩項(xiàng)。〃，求通項(xiàng)公式或其他項(xiàng)時(shí)，則運(yùn)用?！?/p>

=a,n+(n—in)d較為簡(jiǎn)捷.

「7必1備素養(yǎng)G

1.判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列的常用方法有：

(1)以+1一如=4?為常數(shù)，〃￡N+)S｛a〃｝是等差數(shù)列；

(l)an=kn+b｛k,。為常數(shù)，〃eN+)臺(tái)｛a〃｝是等差數(shù)列.

但若要說明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出一個(gè)反例即可.

2.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a”=ai+(〃-l)d可以看出，只要知道首項(xiàng)小和公

差"，就可以求出通項(xiàng)公式；反過來，在⑶、d、n、a〃四個(gè)量中，只要知道其中任

意三個(gè)量，就可以求出另一個(gè)量.

第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)

1.等差中項(xiàng)

如果x,A,y是等差數(shù)列，那么稱A為x與v的等差中項(xiàng),且4=中.

在一個(gè)等差數(shù)列中，中間的每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).

思考1：在等差數(shù)列中，任意兩項(xiàng)都有等差中項(xiàng)嗎？

［提示］是.

2.等差數(shù)列的性質(zhì)

但“｝是公差為d的等差數(shù)列，若正整數(shù)s,/,p,q滿足s+t="+q,則z+的

Cig.

①特別地，當(dāng)p+<7=2s(p,q,S6N+)時(shí)，aP+aq=2as.

②對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的獨(dú)，

即a\+Cln=412H-Un-1=***=或+Un-k+1=….

思考2：在等差數(shù)列｛a”｝中，2<?”=&"+1+斯-1(〃22)成立嗎？2。"=。"+&+。"一

履“〉心>0)是否成立？

［提示］令s=r=〃，p=n+l,q=n—1,可知2&=。"+1+””-1成立；令s=/

=n,p=n+k,q=n~k,可知2a"=z+?+a"-后也成立.

拓展：(1)從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項(xiàng)，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)

列.

(2)若｛如｝是公差為d的等差數(shù)列，則

①｛c+&｝(c為任一常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列；

②｛ca“｝(c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列；

③｛如+z+He為常數(shù)，2《N+)是公差為2d的等差數(shù)列.

(3)若｛z｝,g"｝分別是公差為di,&2的等差數(shù)列,則數(shù)列｛pa”+q》"｝(p,q是

常數(shù))是公差為〃4+伙/2的等差數(shù)列.

(4)｛斯｝的公差為d,則辦00｛?！保秊檫f增數(shù)列；

d<O0｛a,｝為遞減數(shù)列；d=00｛小｝為常數(shù)列.

4各型1等差中項(xiàng)及其應(yīng)用

【例1】（1）在一1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a2,c使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,

求此數(shù)列；

（2）已知數(shù)列｛.｝的首項(xiàng)加=3,通項(xiàng)x〃=2"p+〃q（〃GNi,p,q為常數(shù)），且幻,

X4,X5成等差數(shù)列.求P，（7的值.

［解］a,b,c,7成等差數(shù)列,

二。是一1與7的等差中項(xiàng).

-1+7

?.〃=2=3.

又a是一1與3的等差中項(xiàng),

.-1+3

.?a=2=1.

又c是3與7的等差中項(xiàng),

3+7

c=^-=5.

.?.該數(shù)列為一1,1,3,5,7.

（2）由幻=3,得2p+q=3,①

5

又X4=24p+4g,X5—2p+5q,且XI+X5=2X4,

得3+25p+5q=25p+8q,即4=1,②

將②代人①，得p=l.

所以p=q—1.

廠........規(guī)律c方法.............................、

三個(gè)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列的條件是。=等（或乃=a+c）,可用來解決等差

數(shù)列的判定或有關(guān)等差中項(xiàng)的計(jì)算問題.如若證｛a〃｝為等差數(shù)列，可證2a”+i=a“+

〃〃+2（〃WN+）.

1逮型”等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

［例2］在公差為d的等差數(shù)列｛〃〃｝中.

（1）已知。2+。3+。23+。24=48,求413；

（2）已知。2+。3+〃4+。5=34,。2?。5=52,求d.

［思路點(diǎn)撥］解答本題可以直接轉(zhuǎn)化為基本量的運(yùn)算，求出0和d后再解決其

他問題，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來解決.

［解］法一：(1)化成⑨和d的方程如下：

(。1+d)+(oi+26/)+(ai+22t/)+(m+23團(tuán)=48,

即4(0+124=48.

/.4ai3=48.

??。13=12.

(2)化成a\和d的方程如下：

(m+乃+(01+2t/)+(ai+30+(01+40=34,

<

、(m+辦(〃i+4J)=52,

0=1,

解得＜

d=3,

?"=3或-3.

法二：(1)根據(jù)已知條件。2+。3+。23+。24=48,及。2+。24=。3+。23=2。13.

得46n3=48,6ti3=12.

(2)由。2+。3+。4+。5=34,及。3+04=02+05得

2(6(2+<75)=34,

即。2+。5=17.

C12'C15=52,。2=4,(72=13,

解V,得<或<

^2r=17,［。5=13,［。5=4.

a5~a213-4as—。24—13

:-d=^i=~r=3或『不=二-=一3.

廠......規(guī)律C方法.....................

1.利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列關(guān)于m和d的方程組，求出0和d,進(jìn)而解決

問題是處理等差數(shù)列問題的最基本方法.

2.巧妙地利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以大大簡(jiǎn)化解題過程.

3.通項(xiàng)公式的變形形式a"=a"+(〃一/w)d(m,〃eN+),它又可變形為d=：；_；：

應(yīng)注意把握，并學(xué)會(huì)應(yīng)用.

逮型3等差數(shù)列的設(shè)法與求解

自呆究問題］

1.對(duì)于三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，某班同學(xué)給出了以下三種設(shè)法：

(1)設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a,b,c.

(2)設(shè)該數(shù)列的首項(xiàng)為a,公差為乩則這三個(gè)數(shù)分別為a,a+d,a+2d.

(3)設(shè)該數(shù)列的中間項(xiàng)為乩公差為d,則這三個(gè)數(shù)分別為人一4，b,b+d.

那么，哪種方法在計(jì)算中可能更便捷一些？

［提示］方法(3)可能更便捷一些.

2.如果四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，如何設(shè)更方便運(yùn)算？

［提示］可以設(shè)四個(gè)數(shù)分別為a—3d,a-d,a+d,a+3d.

【例3】已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為26,中間兩項(xiàng)的積為40,求

這四個(gè)數(shù).

［解］法一：設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a,h,c,d,根據(jù)題意，得

Cb—a=c—b—d—c,

{a+b+c+d=26,

［be=40,

"a=2,Ca=11,

b=5,b=8,

解得〈O或〈＜

c=8,c=5,

、d=11,、d=2,

.?.這四個(gè)數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.

法二：設(shè)此等差數(shù)列的首項(xiàng)為ai,公差為d,根據(jù)題意，得

(

*ai+(ai+m+(ai+2/)+(ai+3J)=26,

、(0+")(ai+24=40,

4ai+64=26,

化簡(jiǎn)，得

a?+3ait/+2^=40,

6fl=ll,

解得

d=-3.

???這四個(gè)數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.

法三：設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為。一3d,a-d9a+d,a+3d,根據(jù)題意，得

(a—3c/)+(a—</)+(a+t/)+(a+3J)=26,

.(a—J)(a+t/)=40,

.4a=26,

化簡(jiǎn),

U2—1/2=40,

,3

d=±2-

.?.這四個(gè)數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.

「.....??規(guī)律c方法.........--

1.當(dāng)已知條件中出現(xiàn)與首項(xiàng)、公差有關(guān)的內(nèi)容時(shí)，可直接設(shè)首項(xiàng)為⑶，公差

為d,利用已知條件建立方程組求出小和d,即可確定數(shù)列.

2.當(dāng)已知數(shù)列有2〃項(xiàng)時(shí)，可設(shè)為〃一(2〃-l)d,…，a—3d,a—d,a+d,a

+3d,…，a+(2n—1)J,此時(shí)公差為2d.

3.當(dāng)已知數(shù)列有2〃+1項(xiàng)時(shí)，可設(shè)為a—Q—(〃—l)d,…，a~d,a,a

+d,…，a+(〃-l)d,a-\~nd,此時(shí)公差為d.

K必備素養(yǎng)n

1.若數(shù)列｛m｝滿足2小=。"+〃+跖_(tái)履〃，4WN+,〃>b臺(tái)｛斯｝為等差數(shù)列.

2.等差數(shù)列的性質(zhì)：

(1)在等差數(shù)列｛&｝中，當(dāng)m^n時(shí)，4=今需為公差公式，利用這個(gè)公式很

容易求出公差，還可變形為。"=.+(〃一〃及/.

(2)等差數(shù)列｛&“｝中，每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來的順序排列，構(gòu)成的

新數(shù)列仍然是等差數(shù)列.

(3)等差數(shù)列｛“”｝中，若加+〃=p+q,則。,"+以=%+的(〃，〃z,p,q￡N+),

特別地，若機(jī)+〃=2p,則alll+atl=2aP.

3.等差數(shù)列｛柒｝中，首項(xiàng)0與公差d是兩個(gè)最基本的元素；有關(guān)等差數(shù)列的

問題，如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成有關(guān)的、1的關(guān)系列方程組求

解，但是，要注意公式的變形及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量.

5.2.2等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和

1.等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)

?_.n(n-l}

求和公式S"~2Sn7?6Zi12d

拓展：等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的特點(diǎn)

⑴兩個(gè)公式共涉及ai,d,n,期及S”五個(gè)基本量，它們分別表示等差數(shù)列的

首項(xiàng)，公差，項(xiàng)數(shù)，通項(xiàng)和前〃項(xiàng)和.

(2)當(dāng)已知首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)時(shí)，用前一個(gè)公式較為簡(jiǎn)便；當(dāng)已知首項(xiàng)、公差

和項(xiàng)數(shù)時(shí)，用后一個(gè)公式較好.

2.等差數(shù)列前〃項(xiàng)和S,的性質(zhì)

(1)等差數(shù)列｛廓｝中，其前“項(xiàng)和為S"，則｛&"｝中連續(xù)的“項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列S”,

Sln-Sn,S3n-S2n,S4n~S3n,…構(gòu)成等差數(shù)列.

(2)數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列OS“=a〃2+加(a,b為常數(shù)).

W型］等差數(shù)列S”中基本量的計(jì)算

【例1】在等差數(shù)列｛?。?

(1)已知§8=48,512=168,求0和d；

(2)已知。6=10,55=5,求08和S8；

(3)已知m6=3,求S31.

［解］(l)：S"=〃ai1M,

‘8?+284=48,

」2山+664=168,

解方程組得切=-8,d=4.

ai+5d=10,

(2)?。6=10,8=5,

5ai+10d=5,

解方程組得小=-5,d=3,

々8=46+23=10+2X3=16,

s-細(xì)抖=44.

(3)S3I=——X31=ai6X31=3X31=93.

1.....??規(guī)律(方法...........一~

ai,d,〃稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，a”和為都可以用這三個(gè)基本量來表示，

五個(gè)量s,d,n,a”，S中可知三求二，注意利用等差數(shù)列的性質(zhì)以簡(jiǎn)化計(jì)算過

程，同時(shí)在具體求解過程中還應(yīng)注意已知與未知的聯(lián)系及整體思想的運(yùn)用.

空型”等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

【例2】⑴已知等差數(shù)列｛叫，S“，S2m,S3,”分別是其前加，前2機(jī)，前3加

項(xiàng)和，若SM=30,S2m~100>貝US3m~；

(2)已知等差數(shù)列｛詼｝中,若mou=L則S2021=；

(3)已知｛?。?(仇｝均為等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和分別為S“，Tn,且棄=之善，

in〃十3

哈-----

(1)210(2)2021(3)j[(1)法一：設(shè)｛斯｝的公差為乩依據(jù)題設(shè)和前〃項(xiàng)和公

式有：

fm(m-T)

ma\-rrf=3(),①

,1)

2ma\+2d=100,②

②-①，得吧尸%=7。,

”,3m(3m—1)

所以S3m=3〃?ai+2d

,mCim-1)

=3--d=3X70=210.

法二：Sm、S2,LSm、S3加一S2m成等差數(shù)列,

所以30、70、S3〃L100成等差數(shù)列.

所以2X70=30+53〃1—100.所以53w=210.

法三：在等差數(shù)列｛a,｝中，因?yàn)镾”=〃ai+]〃("-1)",

所吟=m+(〃-瑤.

即數(shù)列間構(gòu)成首項(xiàng)為m,公差為匆等差數(shù)列.

依題中條件吟、舞養(yǎng)成等差數(shù)列，

S2mS3m

所以2

2m3mm

所以S3,〃=3(S2m—S〃)=3X(100—30)

=210.

(2)法一：Vaion=ai+1010^=1,

,2021X2020

.*.S2021=20216/1+2d

=2021(防+10106/)=2021.

、上+〃202ia\~\~ai021

法二：7621011=---2---，.,.52021=----2---X2021=2021ai011=2021.

?]+〃9-1+-9

⑶法會(huì)=工==2=區(qū)=空土2=上

Ms

2,b56+89bi+慶799+33-

22.9

.._..S2"+2”(2"+2)

'?Tn〃+3〃(〃+3),

2

.?.設(shè)S"=2/+2〃，Tlt=n+3n,.?.45=85—§4=20,。5=八一八=12,

.公205

廠......規(guī)fScH法........................

等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和常用性質(zhì)

(1)等差數(shù)列的依次攵項(xiàng)之和，Sk,S2k-Sk,S3k—S2k,…組成公差為Fd的等差

數(shù)列.

(2)數(shù)列｛m｝是等差數(shù)列OS.=a/+加(。，匕為常數(shù)數(shù)列[11為等差數(shù)列.

(3)若s寺表示奇數(shù)項(xiàng)的和，s強(qiáng)表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為a

dn

①當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃時(shí)，SLS產(chǎn)nd,

②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃一1時(shí)，S奇一S偈=?！?，

3偶n—\

（4）若信"｝,的｝均為等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和分別為S“，Tn,則件=黑二

Dn12n-\

心型3等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值問題

［探究問題］

1.對(duì)于等差數(shù)列｛?！ǎ?，若m<0,辦0,其前〃項(xiàng)和S,有最大還是最小值？

若ai>0,t/<0呢？

［提示］若0<0,d>0,則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)（或0）,所以將這些項(xiàng)相

加即得｛5｝的最小值.若ai〉0,d<0,則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)（或0）,所以將

這些項(xiàng)相加即得｛$,｝的最大值.

2.當(dāng)公差4W0時(shí)，S”是關(guān)于〃的二次函數(shù)，能否借助二次函數(shù)的性質(zhì)求S”

的最值，為什么？

［提示］可以，但需注意自變量〃的取值范圍.

［例3］在等差數(shù)列｛%｝中，4=25,Sn=S9,則數(shù)列的前多少項(xiàng)之和最大？

并求此最大值.

［思路點(diǎn)撥］可以多角度分析：借助函數(shù)圖像，利用函數(shù)性質(zhì)，還可以分析通

項(xiàng)等.

d

［解］法一：,.,S"=2〃2+〃(4<0),

.?.S”的圖像是開口向下的拋物線上一群孤立的點(diǎn)，

VS17=S9,

9+17

二最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一^二13,

即S13最大，由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)可得4=-2,可求得最大值為169.

法二：VSl7=59,

.,?aio+aii+???+417=0.

.,.aio+ai7=an+ai6="?=ai3+ai4=O.

V?i=25>0,

.*.67I3>O,?14<0.

???Si3最大，由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)可得4=-2,可求得最大值為169.

ci\=25,

法三：由得

.S17=S9,

17X169X8

17X254Z/=9X254

-2~2

解得d=-2.

,n(n—1)、,

從而S”=25〃+2，(-2)=一(〃-13>+169.

故前13項(xiàng)之和最大，最大值是169.

法四：同法三，可得4=-2.

(如=25—2(〃一1)20,

由<

6+1=25—2/W0,

得2住5W〃W苗27

二當(dāng)〃=13時(shí)，S,有最大值，為169.

1......規(guī)律c方法......--

求等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值問題的方法

(1)運(yùn)用配方法，將8=治2+(%_')〃配方，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值

問題，借助函數(shù)單調(diào)性來解決.

(2)通項(xiàng)公式法：

[a,i^O

①當(dāng)s>0,d<0時(shí)，數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)有限，前〃項(xiàng)和有最大值，由彳

3+1wo

可求出S”取得最大值時(shí)的〃值.

a,WO

②當(dāng)m<0,辦0時(shí),數(shù)列｛斯｝的負(fù)數(shù)項(xiàng)有限,前幾項(xiàng)和有最小值，由<

@+120

可得為取最小值時(shí)的〃值.

公若型4等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用

[例4]某抗洪指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后有一洪峰到達(dá)，為確保安全，

指揮部決定在洪峰到來之前臨時(shí)筑一道堤壩作為第二道防線.經(jīng)計(jì)算，除現(xiàn)有的

參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺(tái)同型號(hào)翻斗車，平均每輛車工作24小時(shí).從

各地緊急抽調(diào)的同型號(hào)翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗

車到達(dá)，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時(shí)內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？

［解］從第一輛車投入工作算起各車工作時(shí)間(單位：小時(shí))依次設(shè)為0,42,…，

。25.由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且0=24,公差d=-g.

25輛翻斗車完成的工作量為：。1+/+…+3=25X24+25X12x1—3=500,

而需要完成的工作量為24X20=480.V500>480,...在24小時(shí)內(nèi)能構(gòu)筑成第二道

防線.

廠........規(guī)律c方法...................

1.本題屬于與等差數(shù)列前"項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差

數(shù)列.

2.遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，建立數(shù)列模型，

具體解決要注意以下兩點(diǎn)：

(1)抓住實(shí)際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型.

(2)深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式小，求前〃項(xiàng)和S”還是求項(xiàng)數(shù)〃.

口必備素養(yǎng)Q

1.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法稱為倒序相加法.

2.等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式中，一共涉及山，小，S,,,n,d五個(gè)量，通常已

知其中三個(gè)量，可求另外兩個(gè)量.

在求等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和時(shí)，一般地，若已知首項(xiàng)0