專升本高數(shù)二知識點(diǎn)及練習(xí)題

?Λ

刖音

、，?

刖百

目錄

一.近十年的考試情況

二.教材的特點(diǎn)

三.學(xué)習(xí)方法與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

一、近十年的考試情況

最近十年高數(shù)(二)考試嚴(yán)格遵循《考綱》規(guī)定，內(nèi)容比例科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，注重基礎(chǔ)，兼顧能力考查。

下面是試題內(nèi)容在教材各章節(jié)的分值

第一章函數(shù)、極限和連續(xù)15%,22.5分

第二章一元函數(shù)微分學(xué)30%,45分

第三章一元函數(shù)積分學(xué)32%,48分

第四章多元函數(shù)微分學(xué)15%,22.5分

第六章概率論初步8%,12分，

(教材第五章排列組合是第六章概率論初步的準(zhǔn)備性知識，考試不單獨(dú)出題)

從試卷內(nèi)容來看，一元函數(shù)微分學(xué)和一元函積分學(xué)所占比例較大，兩章共占62%,考生可重點(diǎn)加強(qiáng)這兩章的復(fù)

習(xí)。

最近十年試卷題型、考試時(shí)間和分值都沒有發(fā)生變化。題型包括單項(xiàng)選擇題、填空題和解答題；考試時(shí)間為150

分鐘，滿分為150分。

選擇題每小題4分，共10個(gè)小題，計(jì)40分，約占26.7%;

填空題每小題4分，共10個(gè)小題，計(jì)40分，約占26.7%;

解答題的前5個(gè)小題，每小題8分，后3個(gè)小題每小題10分，共計(jì)70分，約占46.6%。

二、教材的特點(diǎn)

有三個(gè)突出特點(diǎn)：

一、緊扣大綱，按大綱規(guī)定的要求編寫；

二、針對性強(qiáng)，利于學(xué)員的復(fù)習(xí)效果和考試成績；

三、歸納總結(jié)，各章都給出了小結(jié)，對二十多年試題分類、歸納與總結(jié)。

三、學(xué)習(xí)方法與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

1.對學(xué)習(xí)內(nèi)容要分清主次，突出重點(diǎn)，系統(tǒng)學(xué)習(xí)與重點(diǎn)學(xué)習(xí)相結(jié)合

2.加強(qiáng)練習(xí)，熟悉考題中的各種題型，掌握選擇題、填空題和解答題等不同題型的解題方法與解題技巧。

3.學(xué)會(huì)舍"小"保"大"，即在有限時(shí)間內(nèi)抓住主線，可以少看歷年考試很少涉及的內(nèi)容。

函數(shù)

第一章函數(shù)、極限和連續(xù)

本章在考試中一般有選擇題或填空題三到四個(gè)，解答題一個(gè),約22分左右。本章重點(diǎn)是計(jì)算函數(shù)的極限。

第一節(jié)函數(shù)

本節(jié)主要是準(zhǔn)備惜口識

考點(diǎn)主要集中在兩個(gè)知識點(diǎn)上：

求分段函數(shù)值和函數(shù)單調(diào)性.

例1：已知/(x)]χF*＜。

求/(O)=________

1/114

233網(wǎng)校答案：2

233網(wǎng)校解析：求分段函數(shù)值的解題技巧：

找到K=%屬于所段，本題X=°屬于第一段，

于是/(0)=3χ0+2=2.

2x+3.x<I

例2已知/(X)=Zx=I

Iχ?-Lx>l

則/(網(wǎng)/(疝二

233網(wǎng)校答案：8

233網(wǎng)校解析：此題是分段函數(shù)和極限的綜合問題，

解題由內(nèi)到外分兩步，第一步求!5∕(x)=2χ°+3=3,

2

第二步求∕q吧/(χ))=/(3)=3-1=8o

例3下列函數(shù)在(-8,+8)內(nèi)單調(diào)增加的是()

A.y=x

B.y=-x

C.y=×2

D.y=sinX

233網(wǎng)校答案：A

233網(wǎng)校解析：

這類題目可以從函數(shù)圖像入手。

從幾何圖形上看，單調(diào)增加(減少)函數(shù)的圖形是一條沿X軸正方向逐漸上升(下降)的曲線。

只有(A)答案y=x圖像是沿著X軸正方向上升的。

下面是幾種基本初等函數(shù)的圖像：

函數(shù)表達(dá)式圖象__________________________

若〃>0,X在［0,+?)單調(diào)增加，

鬲的數(shù)y=x"

若〃μ在)內(nèi)的減少.

JO\"<0,X(0,2

若α>l,『單調(diào)增加，

指數(shù)函y=^axO<β<X

數(shù)若O<α<l,ατ單調(diào)減少.

a>0,α≠l

若?>1Jog”X單調(diào)增加,

對數(shù)函y=logflx

數(shù)若O<α<l,logX單調(diào)3<iJ>.

a>Q,a≠]a

2/114

余切奇函數(shù)，周期為;T.在住小大開+開）

V=CotX

函數(shù)內(nèi)單調(diào)減少.

JW

反正y=arcsinx

奇閏數(shù),單調(diào)增加，有界.

弦函7O?X

數(shù)

T

y

反余

弦函v=arccosx單調(diào)減少，有界.

數(shù)

一】

例4求下列函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少

A.y=r'B?v=2x

C.???og,?D?>,=T

233網(wǎng)校答案：D

233網(wǎng)校解析：前面三個(gè)答案對應(yīng)的函數(shù)在（

3/114

O,+∞

)

內(nèi)都是增函數(shù)，所以選D

通過例3,例4要求考生能夠掌握基本初等函數(shù)的圖像

第二節(jié)極限

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解極限的概念，掌握函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。

2.掌握極限的四則運(yùn)算法則。

3.了解無窮小量、無窮大量的概念，無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系，會(huì)進(jìn)行無窮小量的比較，會(huì)

用等價(jià)無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

復(fù)習(xí)方法

在了解極限概念的基礎(chǔ)上掌握求極限的各種方法。

(-)數(shù)列的極限(略)

(二)數(shù)列的極［!艮運(yùn)算法則(略)

(三)函數(shù)極限的概念

1.當(dāng)KfXO時(shí)，函數(shù)極限

定義如果當(dāng)X無限接近于%,函數(shù)無限接近于一個(gè)確定

的常數(shù)A,那么A就叫做函數(shù)當(dāng)工.4時(shí)的極限.

記為Iim/(?)=A

Jr-Ma

2.當(dāng)*T%時(shí)，函數(shù)/(X)的左極限與右極限(掌握J(rèn)

定義如果當(dāng)X從工的右邊無限地趨于八時(shí),函數(shù)/(X)

無限接近于—確定的常數(shù).4,月屋“就叫做函數(shù)“X)

當(dāng)Xfr.時(shí)的右極限.記為Ii叫/(X)=A

r-*?

如果當(dāng)X從X.的左邊無限地趨于X.時(shí)，函數(shù)/(X)無限

接近于一個(gè)確定的常數(shù).1,那么T就叫做函數(shù)/(X)當(dāng)XTXo

時(shí)的左極限.記為bm∕(r)=4

顯然,函數(shù)的左極限岬/(χ)右極限！%∕(χ)與函數(shù)的

極限吧/(χ)之間有以下關(guān)系：

定理：當(dāng)X-XO時(shí)，函數(shù)f(x)的極限等于A的充要條件是

左右極限各自存在并且相等，即

Iim/'(X)=Iimf(x)=A

極限概念要出考試題目一般就在這個(gè)知識點(diǎn)上

2-X,x<0

例5設(shè)函數(shù)/(X)=,,

x'+2a,x>o

在點(diǎn)X=。處極限存在，則。=

233網(wǎng)校答案:1

233網(wǎng)校解析：根據(jù)f(X)的極限存在的充分必要條件可知，

Iim/(x)=lim(2-x)=2

x→0'.r→0^'

所以iinι/(x)=Iilq(X2+2a)-2a-2≡>a=l0

4/114

3.當(dāng)XT?8時(shí)，函數(shù)的極限(了解)

注意X→8包括了X→-H?,X→YC兩種情形

如果和都存在且相等，則

Xhm-/(Jx)Ch*m?F(X)??m/(x)

存在,且與它們相等；如果只要！皿/(χ)和!叫/(χ)

有一個(gè)不存在，或者雖然都存在但不相等,則

回/⑶不存在.

(四)函數(shù)極限的運(yùn)算法則

函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則(掌握)

如果∣im/(X)=4Iimg(x)=B,則

法則1hm[∕Cr)土g(x)]-hm∕cr)之hmg(x)-/1+3；

法則2lim[∕(x)g(x)]=Iim/(x)limg(x)=AB;

..f(x}Iimf(x)/I,。c、

法則3??n?=LL2≡=(B≠0)

g(x)Iimg(X)加)?

以上法則對于XT8,XTX。都成立；法則1和2

還可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形.

由法則2可以得到兩個(gè)推論：

(1)lim[Cf(x)=CIimf(X)=CA；

(2)Iimi/(x)r=Him/(X)]"=4".

極限(一)

(五)無窮小量和無窮大量(理解)

1.無窮小量

定義對于函數(shù)y=f(χ),如果自變量X在某個(gè)變化過程中，函數(shù)f(χ)的極限為零，則稱在該變化過程中，f(χ)為無窮小

量.一般記作.

性質(zhì)：有限個(gè)無窮小的和是無窮小.

有限個(gè)無窮小的積是無窮小.

有界函數(shù)與無窮小的積是無窮小.

例6求處JrmX.

233網(wǎng)校解析：

解因?yàn)?吧;=0,所以:為XT8時(shí)的無窮??；又因

為SinH≤1?即SinX為有界函數(shù)；因此;SinX為χf8時(shí)的

無窮小，BDlim-Sin.V=O.

5/114

簡便寫法：解因?yàn)榘桑?°且而#1,

所以!?!%inx=O

2.無窮大量

定義對于函數(shù)y=f(×),如果自變量X在某個(gè)變化過程

中，函數(shù)值的絕對值越來越大且可以無限地增大，則稱在該

變化過程中，f(X)為無窮大量.記為∣im∕(r)=s.

3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系

無窮大與無窮小之間有以下的倒數(shù)關(guān)系：

自變量在同一變化過程中，如果f(x)為無窮大量，

1

則為無甲小量；反之，如果f(χ)為無窮小量，且

f(χ)≠θ,則7ω為無窮大量.

例7求:四正7?

233網(wǎng)校解析：

解因?yàn)?吵一廠=0.所以三歹是當(dāng)》一2

時(shí)的無窮小，

因此，'“為x->2時(shí)的無窮大，

.v-4

1.5

即h5?F^^=8.

*f2χ--4

4.無窮小量的比較(掌握)

問SS舉例當(dāng)χ?→o時(shí)，顯然有

2x→0,x2→0.sinx→0,他們趨向于零的速度如下

表1-1

X10.10.010.0010.0∞1…—?0

Ix-

20.20.020.0020.0∞2...—?0

10.010.0∞10.0∞0010.0∞0∞01—?0

sinx0.840.09980.010.0010.0∞1...—*0

可見，當(dāng)XTo時(shí)，無窮小量2乂V以及””.等趨向于零

的速度不同.為了便于描述無窮小趨向于零速度的快慢,我

們采用比值法比較如下：

6/114

無窮小量階的t匕蛟

設(shè)α和〃為同T化方式下的無窮小，

(1)如果hm^=O,則稱a比〃高階的湖??；

(2)如果hm]=S,則稱￡比。低階的無窮小；

(3)如果Um]=CHt)(C為被)，則稱α與力

是同階的無窮??；

⑷如果hm]=l,則稱α與α是等價(jià)的無窮小，

記作α~β.

例8已知曲?X與由XJ^價(jià)無窮小,

則

233網(wǎng)校答案：1

233網(wǎng)校解析：根據(jù)定義第(4)點(diǎn)，

如果嶗=1,就說〃是與“等價(jià)的無窮小

例9當(dāng)XT-I時(shí)，比較無窮小1+X

和無窮小1-/的階.

233網(wǎng)校解析：

?--..l-x2.(1÷xχi-x)r

解因fi為1四-=1叫一一二2,

El]+χ1→->1+X

所以無窮小1+X和無窮小I-X。是當(dāng)

XfT同階的無窮小.

當(dāng)XfO時(shí),常見的等價(jià)無窮小量有：smX~X,arcsinx~

X,tanX~X,arctanx~x,1-cosx~,In(I+x)~

X,e'-1~X,(l+x)d-l~QX.

我們在求極限時(shí)，分子、分母及在乘積因式

中，可用等價(jià)無窮小代換，這種代換可使極限計(jì)

算簡化，這是求函數(shù)極限的又一種方法。

sin5x

例10>?

X

233網(wǎng)校答案：5

233網(wǎng)校解析：

.sin5x..5x...、

Ilim-------=Iun—=5(?z,sin5x~JX)

x→0XJf-*OX,f

當(dāng)然此題也可以采用后面要講到的兩個(gè)重要極限

和洛比達(dá)法則方法，不過用等價(jià)無窮小?!麒方法

更簡單。

7/114

極限（二）

（六）兩個(gè)重要的極限（熟練掌握）

.sinX.

1.重要極限lI梁丁=1

通過列表法（表1-2）可以看出，當(dāng)XTO時(shí)，函數(shù)

sinx.

--------?1

表1?2

X10.50.10.01?O

sinX0.8414710.958850.998330.99998...→ι

K

必須注意

（1）當(dāng)XTo時(shí)，X~sinx;或“?→0時(shí),U~sin//;

..sin”,∣?sinII

即則丁=1或配大^=ι1

（2）計(jì)算含三角函數(shù)的ɑ型的極限問題

對于型未定式，還可用約分法和等價(jià)無窮小代換.

..sinIx

例11!吧丁等于

233網(wǎng)校答案：7

233網(wǎng)校解析：

,s?nIx7smIx...sm7x,,,

解Inn-------=Iim=7Iim--------=7×1=7

W∕→oXXTo7x7χ-→o7x,

做這類題目的技巧就是要體現(xiàn)館的一致性，方框］］

代表同一變量，此處就是7x

..Sin(X-I)

例12!吧卞不

233網(wǎng)校答案:1/2

233網(wǎng)校解析：

.sm(x-1),1sιn(.v-l)

Iim—=二hm--------------------

Ix-1IX+1X-I

?sιn(x-l)1.1

I1im------Iimt---------------χ1--

TX+1—x-122

當(dāng)然此題也可采用等價(jià)書54M弋換

和洛比達(dá)法則，這是f典型的一S多解類亂

2重要極限l?(l+?=e.lim(l+xr=e.

1+［）的數(shù)列的各項(xiàng)（見表1-3）,

通過觀察通項(xiàng)為三

我們不難得出上述結(jié)論.

8/114

表1-3

n\__________n?v

121∞0002.71826824

52.488325∞0002.71827910

102.593742461∞00002.71828047

1002.7048138350000002.71828155

12.71692393

10001∞000002.71828169

100002.718145935∞00000271828181

從表中我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)〃無限增大時(shí)，相應(yīng)的變量

［1+；］無限接近于T確定的無理數(shù)

e=2.7182818….事實(shí)上，可以證明!?*+I］e.

城胡

(1)該重要極限的類型屬于"廣”型.其中，幕期

量型加無窮小量α月籟為無窮小量α的倒數(shù)5(無窮大

量)；

1

(2)該極限類型也可以表示為以下形式段(1+療=e.

例13li?n(l%=____

IX

233網(wǎng)校答案：e^l

233網(wǎng)校解析：

采用第二個(gè)重要極限2減的第一種微

Iim(I-與="im(I+?)11^'=e'

XfSX-XTS—X

做這類題目的技巧就是要體現(xiàn)CW的一致性,

方框［］代表同一變量，此處就是-X

例14求+.

233網(wǎng)校解析：

采用第二個(gè)重要極限公式的第一種形式

做這類題目的技巧就是要體現(xiàn)公式的Tm,

方框［玳表同n,此處就是］

9/114

例15求網(wǎng)(I-χ)”.

233網(wǎng)校解析：

采用第二個(gè)重要極限公式的第二種形式

3J-

解Iim(I-X)*=Iimfll+(-Λ)]Λ}^,=e?

X-*0-XTo

極限的方法(一)

(七)歸納求極限的各種方法(熟練掌握)

1.理清思路

第一步：求極限問題首先要清楚自變量的變化趨勢，

分XT8,XfX。兩種情形

第二步：在確定自變量的變化趨勢后，選擇求極限的方法

2.各種求極限的方法

(1)當(dāng)X→8時(shí)，針對多項(xiàng)式函數(shù)的商，有

魯,當(dāng)"=m；

8O

..Λxπ*+axn,1+???+A

Iim-0--------!——i：-----------—0,當(dāng)/1>m;

I?xn+b[Xn~∣+???÷?

0w∞,當(dāng)"<m?

一般是這三種情形

〃+12

題1!吧萬行

233網(wǎng)校解析:

解先用n同時(shí)除分子分母，然后取極限，得

M1

鵬=%7卡=5.

M→*2∕I-332

n

此題屬于第一種情形，此題也可以考慮洛比達(dá)法則

.2x+l

I1im_

as3x-4-)

12

A.-4B?0C.3d?1

(08年第1期)

233網(wǎng)校答案：C

233網(wǎng)校解析：

解先用X同時(shí)除分子分母，然后取極限，得

2x+l2

Iim

XTS3x-43.

X

此題屬于第一種情形，此題也可以考慮洛比達(dá)法則

10/114

..3.r+8

題3!胃而

233網(wǎng)校解析：

解先用/同時(shí)除分子分母,然后取極限，得

3+8

3x+8Iim-~~=O

Inn-------t→o13

LfK+151+—

X

此即屬于第二種情形，此題也可以考慮洛比達(dá)法則

.3X3÷Ix2

題41hm??-

^→tox-5x+2

233網(wǎng)校解析：

X1-5x+2

⑴因?yàn)殛?+2√

X

所以I*如*X:晨—JX瞑-Z=∞.(利用無窮大與無窮小

倒擻粽)

此題屬于第三種情形

(2)?v→x,H

a)代入法此方法的理論依據(jù)是函數(shù)/(χ)在

X=/處連續(xù)，那么函數(shù)/U)在X=%處的極限和

函數(shù)值相等，求函數(shù)的極限問題郵化為求函數(shù)值

的問題，即

hnι/(.r)=/(.r0)

題5∣im(v3-2x+6)

233網(wǎng)校解析：

解運(yùn)用法則及其推論，可得：

Iim(X3-2x+6).

.τ→l

IimX3-lim2x+lim6=l'-2xl+6=5

Λ→lΛ→lXTI

求此極限變成了求在X=1處的函數(shù)值

11/114

.tan(x-l)

題6l>tτ1--------L

Mι3χ-l

233網(wǎng)校解析：

..taιι(x-l)tan(3-1)tan2

解Iim-----------=~

J3χ-l3-1~2~

求此極限變成了求在x=3處的函數(shù)值，還應(yīng)

注意tan2中的2單位是弧度

常見的錯(cuò)誤做法：用第f重要極限公式或

等價(jià)無窮〃,把它錯(cuò)誤理解為:型

ln(2x-l)

題7

2x7

233網(wǎng)校解析：

ln(2x-l)ln(2-l)Inl-

解----------=-----=(J

212-11

應(yīng)注意Inl=O,要注意1的對數(shù)等于O,底的

礴等于1

例5,例6,例7這三個(gè)題目采用代入法，還要

注意對結(jié)果的把握，它考察考生對三角函數(shù)值和對數(shù)

值的理解

極限的方法（二）和連續(xù)

b）倒數(shù)關(guān)系法

X?十3”

題8?50（Q型）

233網(wǎng)校解析：

解所給函數(shù)的分子不為零，分母為零，可用無窮

大與無窮〃珀勺倒數(shù)關(guān)系求得：

因?yàn)镮im。-=O?

囚刃r→6爐+3'

1

l,X+3

un

所以I------=OO

rπkλX→6X-6

C）無窮小的性質(zhì)（無窮〃與有界函數(shù)的積是無窮小:

1.sinx

題9求蚓丁?

233網(wǎng)校解析：

解因?yàn)?叫（=°且sinx∣≤1.

“sinX

所以理三=0?

注意此題不能采用㈣J=?j?sinx=o,原因

就是蚓SinX不存在

12/114

O

d)不含三角函數(shù)的(j型

方法：設(shè)法消去分子分母中趨于零的因子.

消去此因子基本方法是分解因式，此外還能用

洛比達(dá)法則方法.

X2-5x÷4

233網(wǎng)校解析:

消去χ-1,采用分解因式的方法，此題還

可以用洛必達(dá)法則

e)含三角函數(shù)的:型

sιn.v

方法：重要極限FU?等價(jià)無窮小代換和洛比達(dá)法則

sin7x

題11等于

233網(wǎng)校答案：7

233網(wǎng)校解析：

sin7x

解?

X

7sinIx_.sinIx___

Iim=7iIim----------=7×1=7

7A→

Λ→0Ix0ηx

做這類題目的技巧就是要體現(xiàn)公式的一致性，

方框"代表同一變量,此處就是7x

f)采用重要極限公式!四(I+?)?=e或四。+x)；=e

的方法

上面已經(jīng)舉例，在此不重復(fù)了

第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系.

2.會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn).

二、基本理論與例題解析

函數(shù)在點(diǎn)”的連續(xù)性定義

設(shè)函數(shù)J'=/(X)在點(diǎn)及近旁有定義，若

Um/(x)/(X0),則稱函數(shù)y=∕U)在點(diǎn)-%處連續(xù).

由此概念可知，函數(shù)在點(diǎn)與處連續(xù)必須滿足下

列三個(gè)條件

13/114

(1)函數(shù)在點(diǎn)%及近旁有定義；

(2)!㈣/(X)存在；

(3)Iim/(x)=/(X0)

[x+l,x<0?

例1討論函數(shù)j'/(x)=j2xX20在點(diǎn)X=O處的連續(xù)性.

233網(wǎng)校解析：

解Iim/(x)=lim(x+1)=1,

I→Oι→0

Iim/(x)Iim2xO,由于Iim/(x)≠Iimf(x)

jr-*O*χ→0*?-Λ*x→0,

.[x+Lx<0

所以1吧/(X)不存在，因此1/(X)=

X-*υ[∕x.XWU

在點(diǎn)戈=0處的不連續(xù)

例2設(shè)函數(shù)/(X)=I2X>°,在χ=0處

連續(xù)，則a=------

233網(wǎng)校答案：2

233網(wǎng)校解析：

函數(shù)V=/(x)在點(diǎn)與連續(xù),就意味著在點(diǎn)工,處極限存在.

即忸/⑺存在，那就意味≡y=/(χ)在點(diǎn)X。左右極限

存在并甌

因?yàn)?im/(x)-Iim2-2

3

所以??mf(x)-Jim(x+α)=α-2φ

導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義(一)

第二章一元函數(shù)微分學(xué)

本章在歷年考試中選擇或填空題六到八個(gè)，解答題一到兩個(gè)，約45分，是考生應(yīng)該重點(diǎn)掌握的一章。

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，掌握用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

2.會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程。

3.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。

4.掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對數(shù)求導(dǎo)法

5.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

6.理解微分的概念，掌握微分法則，會(huì)求函數(shù)的微分。

復(fù)習(xí)方法：在理解導(dǎo)數(shù)定義和幾何意義基礎(chǔ)上掌握簡單函數(shù)與復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分

二、基本理論與例題解析

(-)導(dǎo)數(shù)的概念(理解)

1.導(dǎo)數(shù)的定義

14/114

定義設(shè)函數(shù)y=/(χ)在'的某一鄰域內(nèi)有定義.若極限

Iim/(J?+3-∕(J?)

百在.則稱函數(shù)y=/(X)在,可與，并稱這極限值為函數(shù)

y=∕(χ)在-%的導(dǎo)數(shù).記作

如果函數(shù)P=(X)在開區(qū)間/內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，

則稱/(x)在/內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)對每一個(gè)xe/,

都有導(dǎo)數(shù)/'(X)與之相對應(yīng)，從而在/內(nèi)確定

了T新的函數(shù)，稱為V=/(χ)的導(dǎo)函數(shù)，

砂一用(X)

記作了'(*),V,i或M?

在導(dǎo)數(shù)定義表達(dá)式中把，換成X,即得導(dǎo)函數(shù)

于是導(dǎo)數(shù)/'(%)=/'(X)I』.

以后在不至于混淆的情況下把導(dǎo)函數(shù)稱為導(dǎo)數(shù).

(1)瞬時(shí)速度是位移X對時(shí)間/的導(dǎo)數(shù)，即

它就是導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義.

(2)切線的斜率是曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo),對點(diǎn)的橫坐標(biāo)「的

導(dǎo)數(shù)，即

k=tana=

它就是導(dǎo)致的幾何意義.

2導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義是曲線V=/(X)在點(diǎn)

M(XoJO)處的切線斜率.中瞬導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線

y=/(χ)在點(diǎn)?W(Xo，州)幽t≡?法斯程：

切魴程＞'-M=/'(Xo)(x-%),

法線方程y-Λ=-j?j(*-?),(∕U)≠0).

例1已知/(X)祗=3處導(dǎo)數(shù)存在，

且/'(3)=2,

/(3+A)-∕(3)

求四

233網(wǎng)校答案：2

233網(wǎng)校解析：

此題考察學(xué)員對導(dǎo)數(shù)定義表達(dá)式的掌握，

Iim…―⑶=2

h

15/114

例2已知/'(2)=2,求處∕°-%-∕°)=

233網(wǎng)校答案：-6

233網(wǎng)校解析：

解此類題的關(guān)鍵是定義表達(dá)式中三個(gè)山的地方要統(tǒng)一.

定義中?`在這里理解為-3Ar

/(2+Δx)-∕(2)

因?yàn)槲?/p>

?x，

所以3,里理匕0j2=-6

例3已知八4)=1,求/2七)-/(4)=

233網(wǎng)校答案：2

233網(wǎng)校解析：

此題解答的關(guān)鍵是定義表達(dá)式中三個(gè)?χ的地方鰥一.

定義中Z在這里理解為2At

例4求曲線y=∣nX在點(diǎn)(1,0)處的切線方程和:擦方程.

233網(wǎng)校解析：

解由導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,曲線J'=InX在點(diǎn)

。，0)處的切瓣率為MZ=；|=1,

xk-ι

所以切線方程為J'-0=1?(x-l)MD.y=x-l;

法魴程N(yùn)-O=-(X-I),即7=-x+l.

導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義(二)

例5求曲線y/上的一點(diǎn)使該點(diǎn)處的切線

與直線—愉.

233網(wǎng)校解析：

解由導(dǎo)數(shù)公式可得

(X》=2xι

根據(jù)兩直線平行的條件可知,所求切線斜率

應(yīng)該為2,即2x=2,

解得x=l,從而所求點(diǎn)為(L1).

16/114

例6軸線y=x+lnx在點(diǎn)(1,0)處4?

233網(wǎng)校解析：

先求函數(shù)V的導(dǎo)函數(shù)J'=1+3,再求導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)N=I處導(dǎo)數(shù)

值y'L=i+；=2

那么根據(jù)導(dǎo)數(shù)/'(X。)的幾何意義是曲線y=/(χ)在點(diǎn)

A∕(χ°,%)處的切蝌率，

所以本題斜率k=2

例7求曲線y=2/+1在點(diǎn)(LO)處的切線方程

233網(wǎng)校解析：

由導(dǎo)數(shù)4滋和毀的幾何意義也曲線y=2/+1

在點(diǎn)(1，°)處的切鰥率為

∕=6χ2,k=y'lz=6xl'=6,

所以切線方程為y_0=6(x_l),即6x_y_6=0

例8y=奴3在χ=1處切線平行于直線J?=3x+1,

則a=()

233網(wǎng)校答案：1

233網(wǎng)校解析：

兩直線平行,斜率相等，所以切線的斜率k=3,

據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，也就是y=κ'在x=1

處的導(dǎo)數(shù)為3,,而y'=3θΛ即

k=y'g=3χαxiz=3,所以＜7=1

例9求曲線y=[■在。，2)點(diǎn)處的切線方程及法線方程.

233網(wǎng)校解析：

解因?yàn)?'(*)=-提，f'(D=-4

又切點(diǎn)為％=1,%=2,代入到切線方程中，得

y-2=-4(x-1)所以y=-4x+6為切線方程.因?yàn)椋ň€方程

的好為一五=弓]

117

得:梭方程J-2=W(XT),即y=*χ+%

17/114

3.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理如果函數(shù)y=f(χ)在點(diǎn)?處可導(dǎo)，則它在處必定

連續(xù).

由這個(gè)定理可知若函數(shù)f(χ)在。處不連續(xù),則f(x)在?“處

必定不可導(dǎo).要注意：這個(gè)定理的逆定理不成立.即函數(shù)

y=f(χ)在七處連續(xù)，它在七處不一定可導(dǎo).例如，函數(shù)

y=Vx在點(diǎn)X-O處連續(xù)，但在X=0處不可導(dǎo).又如，函數(shù)

y=值=忖在X=()處連續(xù)，但在該點(diǎn)處不可導(dǎo)

所以連續(xù)只是可導(dǎo)的必要條件，而不是充分條件.

簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分

(二)求導(dǎo)公式(熟練掌握)

1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

(l)(c),=0.

⑵(x"y=w"T(〃為任意實(shí)數(shù))

(3)(。)-aIn0,(e')'=e",

(InX)'=L.

xlnaX

(4)(sinx)r=cosx;(cosx)f=-sinx;

(IanXy=—5r-(COtXy=--

cosXs?n*X

,.√1(arccos.v)*=-?

(5)(arcsιnx)=-==r

√l-x2√l-x2

r

(arctanx)=—二:(“CCotXy=-r"二.

1+.L

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式：

定理設(shè)"(x).V(X)在X可導(dǎo)，則

"(X)±V(N)."(X)V(X)V(X)HO)也在r可導(dǎo)，且有

(1)[∣∕(X)±V(X)∫=M,(X)±V,(X)；

(2)[H(X)V(X)]=u?x)v(x)+M(X)V,(X);

"'(X)V(X)-"(x)v'(x)

V2(X)*

18/114

推論1若"3在X可導(dǎo)，C是常數(shù)，則S(X)在,可導(dǎo)，

且

[CH(x)]r=Cttr(X).

即求導(dǎo)時(shí)常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)符號的外面來.

推論2乘積求導(dǎo)公式可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘

積.

例如，若"J5,都是區(qū)間/內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，則

(ιιvw)'=u'vw+IiV1W+WVHJ,.

例1求y=X”+9的導(dǎo)數(shù)

233網(wǎng)校解析：

首先利用導(dǎo)數(shù)和的運(yùn)算法則，

接著利用公式1和公式2

:2,is

∕=(x+9)'=(X)+(9)'=-2x^+O=-2x^

本題要注意常數(shù)導(dǎo)數(shù)為O,而常數(shù)的極限是它本身。

例2已知〃*)=8》+/,求八0)

233網(wǎng)校解析：

要求導(dǎo)函數(shù)值，必須先求導(dǎo)函數(shù)，

注意加O代入函數(shù)再求導(dǎo)是錯(cuò)誤的。

/'(X)=(8x+e')'=(8x)'+(e')'=8+e',

/'(0)=8+e0=9

例3設(shè)T=X,則/=()

AΛB.XC.yD.X2

233網(wǎng)校答案：A

233網(wǎng)校解析：

直接用第2個(gè)公式，

有y'=χ'=I

例4求＞=高的強(qiáng)

233網(wǎng)校解析：熟練掌握導(dǎo)數(shù)商的運(yùn)算?5PJ

是解決此題的前提,注意分子中被假

和械的GS

/_(2xγ_(2x)'IiIX-2x(InXy

Inx-In2X

2χlnκ-2xt_2(InX-I)

In2XIn2X

19/114

例5設(shè)函數(shù)J，=InX,則『=()

11

A.-B.--C.∣∏xD.eJr

xx

233網(wǎng)校答案：A

233網(wǎng)校解析：

例6求y=X?sinN的毀

233網(wǎng)校解析熟練掌握導(dǎo)數(shù)積的運(yùn)算法則是解決

嵋日女

y'=(x2sinx)'=(x2),sinx+x2(sinx)(

=2XSinX+x'COSX=X(2SinX+xcosx)

例7已知Y=2'+COSX-Inx,求y'(此題8分)

233網(wǎng)校解析：

y'=(2,+(cosx)'-(Inx)'2分

=2tIn2-sinx-?區(qū)介

X..........0刀

考生注意解答題每一步驟分?jǐn)?shù)分配

例8y=x2+sinx+/,貝M=

A.2x+sinxB.2x+cosxC.2x+cosx+?Do2x

233網(wǎng)校答案：B

233網(wǎng)校解析：

注意此題J是常數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)，

y'=(x2Y+(sinx)'+(/)'=2x+cosx

例9f(x)=exInx,則/(2)=

233網(wǎng)校解析：要求導(dǎo)函數(shù)值，必須先求導(dǎo)函數(shù)，

注意先把2代入函數(shù)再求導(dǎo)是錯(cuò)誤的。

∕,(Λ?)=(ex),lnΛ+ex(lnx),=eiInx+-

X

I

貝獷＜2)=e2In2+-=e2(ln2+-)

例10/(X)=24+2d,則/"'⑴=______

233網(wǎng)校解析要求導(dǎo)函數(shù)值，必須先求導(dǎo)函數(shù)，注意先

把1代入函數(shù)再求導(dǎo)是錯(cuò)誤的.

21貝，⑴

/,(x)=(2√^)'+(2e,y=A

此題還應(yīng)注意不要錯(cuò)把人看成瞰函數(shù)，它是常量

20/114

復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)

(三)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(熟練掌握)

定理1如果函數(shù)〃=奴X)在點(diǎn)X處可導(dǎo),而函數(shù).V=/(")

在對應(yīng)點(diǎn)'I=φ(χ)處也可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)「=∕["(χ)]在點(diǎn)X

處可導(dǎo),且

去哪哈或“=Od(X).

該定理說明,復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對中間變量的

導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).定理還可以推廣到含有

有限多個(gè)中間變量的復(fù)合函數(shù)的情況.

推論設(shè)-V=/(?),?=dv),V=0(X)都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)

y=∕｛陽(χ)]｝也可導(dǎo),且

dy_dydudv

dxdu出dx?

例11設(shè)了=(3》+1)’,求之.

233網(wǎng)校解析：

解函數(shù)由產(chǎn)"',"=3χ+ι復(fù)合而成.

生=生也=5∕3=15(3x+a

dxdudx

例12設(shè)y=cos",求去

233網(wǎng)校解析：

解函數(shù)由y="‘，"=cosX復(fù)合而成

dydydu.一

—=-----二2z∕?(t-sιnx)=-2sin.vcosX=-sin2x

dxdudx

從以上幾例可看出，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)鍵在于能夠把復(fù)合

函數(shù)分解為若干簡單函數(shù)的復(fù)合.即當(dāng)一個(gè)函數(shù)如果能夠分

解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商

等,我們便可求其導(dǎo)數(shù).

在熟練以后，中間變量可以不必寫出來,而直接寫出函數(shù)對中

間變量求導(dǎo)的結(jié)果.

例13求F=(I-2x)’的部

233網(wǎng)校解析：

/=8(1-2x)7?(l-2Xy

=8(l-2x)7?(-2)

=-16(1-2x)7

21/114

例14求V=COS7x的導(dǎo)數(shù)

233網(wǎng)校解析：

rr,

y=(cos7x)=-sin7x(7x)=-sin7x?7=-7sinIxt

例15求y=e3'+3

233網(wǎng)校解析：

此題應(yīng)注意一個(gè)是復(fù)合函數(shù)，還有f是常數(shù)。

v,=(β,v)'+3'=eix(3x)'+0=e3x-3

例16設(shè)函數(shù)N=In(X+√i∏),求_/

233網(wǎng)校解析：

考生注意評分標(biāo)隹

八ττ?π("g)'.4分

0+

=77?72√TT7J.……8分

(四)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(了解)

如顯函數(shù)y=χ+l,y=f(X);

隱函數(shù)x-y+l=O,F(x,y)=0

對隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù),可以采用以下兩個(gè)方法之一.

1.如果能從F(x,y)=0解出y=f(x),則可以用以前對

顯函數(shù)求毀的方:去處理.不過這種方法有時(shí)用不上，因?yàn)?/p>

有些隱函數(shù)是不能解出顯函數(shù)y=f(χ)的.

2將F(x,y)=0的兩邊各項(xiàng)分別對自變量X求導(dǎo)數(shù),計(jì)算

時(shí)要將V看成X的函數(shù)My的某個(gè)函數(shù)看成X的復(fù)合函數(shù)，

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的公式計(jì)算.最后再解出,的表達(dá)式(在表

達(dá)式中允許保留變量y)?

*例17設(shè)方程x=y+arctanF求/.

233網(wǎng)校解析：

解對方程兩邊關(guān)于X求導(dǎo)，得

i=y'+-^y-y'(把a(bǔ)mt皿看成X是的復(fù)合函

數(shù))

*例18設(shè)y=/(x)是由函數(shù)方程e「+xy-e=O在點(diǎn)(0,1：

處所確定的隱函數(shù)，求y.

22/114

233網(wǎng)校解析：

解在方程"+W-e=。中把歹看作X的函數(shù)，方程

兩邊對X求導(dǎo)，得

evy÷y+χy*=O.

所以

N=TJ(OJ)=T

axx+ee

高階導(dǎo)數(shù)

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分

(六)高階導(dǎo)數(shù)

定義若函數(shù)?=/(X)的導(dǎo)函數(shù)在與可導(dǎo)，則稱J=/(X)

在X。二階可導(dǎo)，且

稱/'(X)在與的導(dǎo)數(shù)為y=∕(x)在冊的二階導(dǎo)數(shù),記作

2

r,.?,d'y-v.df

f(XO)'V?,2或，2.

x=xcClXX=JrQOXx=j?

若函數(shù)y=∕(χ)在區(qū)間/內(nèi)每一點(diǎn)都二階可導(dǎo)，則稱它在

/內(nèi)二階可導(dǎo),并稱/F)(χ∈/)為∕^(χ)在/內(nèi)的二階導(dǎo)

函數(shù)，或簡稱二階導(dǎo)數(shù).

類似地可以定義三階導(dǎo)數(shù)"O),四階薇">(χ).f

說可由，，-1階導(dǎo)數(shù)定義〃階導(dǎo)數(shù).函數(shù)y=∕(χ)的〃階導(dǎo)數(shù)

記作

必或“

W),嚴(yán),

dx""dxn

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).相對于高階導(dǎo)

數(shù)來說，/'(X)也稱為一階導(dǎo)數(shù).

例19已知y=e",求P(O)=

233網(wǎng)校答案：9

233網(wǎng)校解析：求二階導(dǎo)函數(shù)值，得先求二階導(dǎo)函數(shù)；而求二階

導(dǎo)函數(shù)，得先求一階導(dǎo)函數(shù)；所以本題解題思路：第一步求

一階導(dǎo)函數(shù)，第二步求二階導(dǎo)函數(shù)，第三步求二階導(dǎo)函數(shù)值

/=e"(3x)，=e"?3/=3*(3*丫=9e"

y"(0)=9e0=9

23/114

例20已知y=sin5x,求「

233網(wǎng)校答案：-25sin5x

233網(wǎng)校解析：

本題解題思路：

第一步求一階導(dǎo)函數(shù)，

第二步求二階導(dǎo)函數(shù)

y,=cos5x?(5x)f=cos5x?5

y"=5(-sin5x)?(5x)*=-25sin5x

例21已知y=e”，求產(chǎn)

233網(wǎng)校答案：-8e-2χ

233網(wǎng)校解析：

本題解題思路：第一步求一階導(dǎo)函數(shù)，

第二步求二階導(dǎo)函數(shù)，第三步求三階導(dǎo)函數(shù)

y,≈e2x(-2x)'≈e1?-2)

/=-2e^13t■(一2x)'=-2e2x?(-2)=4e

y"=4e2"■(-2x)'==4e^1?(-2)=-8e^τ

例22y=x"求/

233網(wǎng)校答案：12χ2

233網(wǎng)校解析：

y'=4x',y"=4?3X2=12x2

例23y=ln(l+x),則y"=_

233網(wǎng)校答案：__Lv

(l+x)2

233網(wǎng)校解析：

y=J-q+xy=丁!一=(i+χ)-?,

l+xl÷x

y"=-(l+x)-2?(i+