專升本高數(shù)二學習資料

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I目錄I

第一章極限和連續(xù)

函數(shù)...............................(1)

函數(shù)的概念.........................(1)

函數(shù)的性質(zhì).........................(3)

反函數(shù)和復合函數(shù)...................(5)

基本初等函數(shù).......................(6)

極限.............................(12)

數(shù)列極限的概念...................(12)

數(shù)列極限的性質(zhì)...................(13)

函數(shù)極限的概念...................(14)

函數(shù)極限的性質(zhì)...................(17)

無窮小量與無窮大量...............(19)

?1?

兩個重要極限.....................(22)

連續(xù).............................(24)

函數(shù)連續(xù)的概念...................(24)

函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)...........(27)

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)...........(27)

初等函數(shù)的連續(xù)性.................(28)

第二章一元函數(shù)微分學

導數(shù)與微分.........................(29)

導數(shù)概念.........................(29)

常見函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則

..............................................................(33)

求導方法.........................(35)

高階導數(shù).........................(37)

微分.............................(39)

洛必達法則.........................(42)

洛必達法則(42)

?2?

導數(shù)的應用.........................(44)

判定函數(shù)的單調(diào)性.................(44)

函數(shù)的極值、極值點和駐點...........(45)

函數(shù)的最大值與最小值.............(48)

曲線的凹凸性、拐點.................(50)

曲線的水平漸近線與鉛直漸近線……(51)

第三章一元函數(shù)積分學

不定積分...........................(53)

不定積分.........................(53)

基本積分公式.....................(55)

換元積分法.......................(57)

分部積分法.......................(61)

一些簡單有理函數(shù)的積分...........(63)

定積分.............................(64)

定積分的概念(64)

?3?

定積分的性質(zhì).....................(67)

定積分的計算.....................(69)

無窮區(qū)間的反常積分...............(75)

定積分的應用.......................(77)

求平面圖形的面積.................(77)

求旋轉(zhuǎn)體體積.....................(78)

第四章多元函數(shù)微分學

多元函數(shù)、極限與連續(xù)性...............(80)

多元函數(shù).........................(80)

二元函數(shù)的極限...................(81)

二元函數(shù)的連續(xù)性.................(82)

偏導數(shù)與全微分.....................(83)

偏導數(shù)與全微分...................(83)

復合函數(shù)的偏導數(shù).................(87)

隱函數(shù)的偏導數(shù)...................(88)

?4?

二元函數(shù)的極值.....................(90)

二元函數(shù)的極值.....................(90)

二元函數(shù)的條件極值.................(92)

第五章概率論初步

排列與組合.........................(93)

兩個基本的計數(shù)原理...............(93)

排列數(shù)...........................(94)

組合數(shù)...........................(95)

隨機事件及其概率...................(98)

隨機事件.........................(98)

隨機事件的運算律.................(103)

古典概型及概率的性質(zhì)...............(106)

古典概型.........................(106)

概率.............................(107)

?5?

條件概率、乘法公式、獨立性...........（IIO）

條件概率..........................（IIO）

相互獨立事件......................（112）

一維離散型隨機變量..................（114）

離散型隨機變量....................（114）

常見的離散型隨機變量的概率分布模型…

................................（116）

隨機變量的數(shù)值特征..................（119）

期望..............................（119）

方差..............................（120）

?6?

第一章極限和連續(xù)

函數(shù)

函數(shù)的概念

要點1函數(shù)的定義

(1)定義：設(shè)是非空的數(shù)集，如果按照

某種確定的對應關(guān)系/,使得對于集合4中的任

意一個數(shù)%在集合8中都有唯一確定的數(shù)y與

之對應,那么就稱映射/小-B為從集合4到集

合8的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈4.其中/

是自變量M的取值范圍集合A叫作函數(shù)的定義

域,與X的值相對應的y值叫作函數(shù)值,由所有函

數(shù)值組成的集合稱作函數(shù)的值域，記作l∕(x)IX

eAl.

(2)構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、值域和對

應法則，其中值域由定義域和對應法則確定.判

?I?

斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時，就從上述三要

素進行分析，只有三者完全相同時才為同一個

函數(shù).

要點2函數(shù)的表示法

(1)解析法:用函數(shù)的解析式來表示兩個變

量之間的函數(shù)關(guān)系的方法.

用解析式表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點：函數(shù)關(guān)系

清楚,容易根據(jù)自變量的值求出對應的函數(shù)值,

便于用解析式來研究函數(shù)的性質(zhì).求函數(shù)解析

式常用的方法是待定系數(shù)法.

(2)列表法:就是列出表格來表示兩個變量

的函數(shù)關(guān)系.

用列表法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點：不必通過

計算就知道自變量取某些值時函數(shù)的對應值.

(3)圖象法:就是用函數(shù)圖象表示兩個變量

之間的關(guān)系.

用圖象法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點：能直觀形

象地表示出函數(shù)值的變化情況.

?2?

函數(shù)的性質(zhì)

要點1單調(diào)性

設(shè)函數(shù)y=/(%)的定義域是。,區(qū)間/CO.

如果對于區(qū)間/內(nèi)任意的兩個值χl,?,當

*1<#2,都有/(*)</(石)(或/(%)>

/(如))，則稱/(工)在區(qū)間/上是單調(diào)增(減)函

數(shù),/稱為函數(shù)/(*)的單調(diào)增(減)區(qū)間.

判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：

(1)判斷一個函數(shù)的單調(diào)性的最直接的

方法是作差法，即在定義區(qū)間內(nèi)任取兩個值

H∣,孫，令<工2,做差/($)-/(犯)并判斷

正負.

(2)依據(jù)導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)

性.對于可導函數(shù)y=∕(χ),如果在某個可

導區(qū)間內(nèi)/(χ)的一階導數(shù)大于零，則稱

/(χ)在該區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)；反之，如果

在某個可導區(qū)間內(nèi)/(*)的一階導數(shù)小于零，

則稱/(χ)在該區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù).

?3?

要點2奇偶性

設(shè)函數(shù)>=∕(x)的定義域為。,如果對于O

內(nèi)的任意一個叫都有/(-H)=/(，)，則稱/(支)

是O內(nèi)的偶函數(shù)；如果對于。內(nèi)的任意一個明

都有/(-#)=-/(%),則稱/(*)是O內(nèi)的奇

函數(shù).

奇偶函數(shù)的相關(guān)特點：

(1)奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的

單調(diào)性,偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的

單調(diào)性.

(2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的

圖像關(guān)于y軸對稱.

要點3有界性

設(shè)函數(shù)y=/(工)的定義域為。,若存在M>

0,使得對于任意的X≡。,總有"(*)I≤",則

稱函數(shù)y=/(?)在。內(nèi)為有界函數(shù).如果不存在

這樣的正數(shù)M,則稱函數(shù)/(，)在指定區(qū)間上是

無界的.

?4?

要點4周期性

設(shè)函數(shù)y=/(*)的定義域為。,若存在非零

常數(shù)7,使得對于任意的X∈DJ(x+T)=/(?)

恒成立,則稱/(?)是周期函數(shù),T是/(*)的一個

周期.如果T是大于零的最小正數(shù)，則稱T是

/(χ)的最小正周期.

反函數(shù)和復合函數(shù)

要點1反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=/(*)的定義域為，值域為R

如果對于/?中的每?個y值,都能通過關(guān)系/的

逆所確定的函數(shù)在D中找到唯一的X值與之對

應,則稱由關(guān)系/的逆所建立的>與，之間的函

數(shù)為反函數(shù),記作y=尸(*).反函數(shù)的定義域

是R,值域是0.

反函數(shù)的特點：

(1)反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)

的值域和定義域.

(2)反函數(shù)y=:'(￡)的圖像和它的原函

?5?

數(shù)y=∕(χ)的圖像關(guān)于直線y=X對稱.

要點2復合函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=/(“)，定義域為Dfi函數(shù)U=

g(χ),定義域為Γ>e.如果對于Df中的任意一個

確定的X值,在Df中總能找到一個U值與之對

應,并且按對應法則/找到與U對應的y值.則y

與支之間通過"建立一種函數(shù)關(guān)系,稱y是工的復

合函數(shù),記作y=/(?)=∕Ig(*)],其中*∈Dg

且g(%)∈Df.

特別注意:函數(shù)〃=g(χ)的值域勺必須包

含于函數(shù)y=/(〃)的定義域?■內(nèi)，即叫U0,

否則y與式之間無法構(gòu)成復合函數(shù).

基本初等函數(shù)

常見、常用的基本初等函數(shù)有以下幾種.

要點1幕函數(shù)

μ

表示形式:y=x(μ是常數(shù))，過定點

(U).

2

常見的基函數(shù)有y=x^γ=X×y=/y=

?6?

要點2指數(shù)函數(shù)

表示形式:y=a(a>0,且α≠1).

函數(shù)特點:定義域為R,值域為(0,+8).

非奇非偶函數(shù),無最值.函數(shù)圖像在*軸上方,過

定點(()/).

當。>1時,在R匕單調(diào)遞增.

當O<α<1時,在R上單調(diào)遞減.

特別提示：函數(shù)y=e'的底數(shù)e稱為自

然底數(shù).

指數(shù)常用計算公式：

(1)α*?a'=a*y,

(2)(α*)f=/,

(3)(ab)x=axbx.

要點3對數(shù)函數(shù)

表示形式:y=∣ogux(ɑ>0,且α≠I).

函數(shù)特點:定義域為(0,+8),值域為R.

非奇非偶函數(shù),無最值.函數(shù)圖像在y軸右側(cè),過

?7?

定點(1,0).

當“>1時,在(0,+8)上單調(diào)遞增.

當0<“<1時,在(0,+8)上單調(diào)遞減.

特別提示1:以e為底的對數(shù)函數(shù)稱為自然

對數(shù)，記作>=Inx;以10為底的對數(shù)函數(shù)稱為常

用對數(shù),記作y=Igr.

特別提示2：對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函

數(shù),它們的圖像關(guān)于直線y=X對稱.

對數(shù)函數(shù)常用公式:若有。>o,a(∣≠l,Λ∕

>0,N>0,則

,

(I)Iogo(M?Λ)=log,,∣W+IogjV,

(2)Ioge(備)=log,,M-log,,N,

n

(3)logαΛf=nlogo.W,

(4)log∕=厘(c>0,且C六1,6〉0)(換

底公式).

要點4三角函數(shù)

三角函數(shù)包括：

?8?

y=sin”（正弦函數(shù)函y=cos%（余弦函數(shù)）、

J-tanx（正切函數(shù)）、y=cot%（余切函數(shù)）、

y=secx（正割函數(shù)）、y=csc%（余割函數(shù)）.

常見的函數(shù)是前三種，它們各自的性質(zhì)如

F表所示（表中所有的L值均為整數(shù)）.

??4?t

性My=sin?y≡Cosxy=IanX

JxIx≠?IT+

定義域RR

-y-Λ∈Z}

值域[-1J][-1,1]R

-增區(qū)間:-

[2Aττ-?,

增區(qū)間：增區(qū)間

2A?π+?]

[2kττ-ιτ,2A?π][A-π--f-,

單調(diào)性

減區(qū)間：減區(qū)間：

+今）

[2kττ,2kπ+π]RF

[2kττ+?,

2人宣+等]

?9?

性AXy=sinτy=COsXy=taru'

最小正周期最小正周期最小正周期

周期性

T=2ιrT=2πT-τχ

奇偶性寺函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

對稱軸：對稱軸：*=kF

對稱中心

*=*■+￡-對稱中心：

對稱性(空,0)

(A廿+-?,θ)

對稱中心：dir,θ)

常用三角函數(shù)公式：

(1)sin(-x)=-sin(x),

(2)cos(-x)=COSΛ,

(3)sin2x+Cos2X=1,

(4)sin2x=2siιιxcosx,

(5)cos2x=cos2x-sin2X=2cos2x-1

=1-2sin2x,

(6)sinx?csc4=1

(7)cos%?sec4=1,

?10?

(8)Ianx?coU=1、

(9)sec2%=1+tan%、

(10)csc2x=I+cot2x?

(11)sin(x±y)=SinX?cosy±cos%?Siny、

(12)COS(%±y)-cosxcosy+sin%sin夕、

(13)2sinx?cosy=Sin(4+y)+Sin(%-

y）（積化和差）?

要點5反三角函數(shù)

常見的反三角函數(shù)包括以下三種.

函數(shù)定義域值域反函數(shù)

y=sinx在

反正弦函數(shù)

[-1,1][-??11-??1

y=arcsinx

上的反函數(shù)

y-cosτ在

反余弦函數(shù)

[-1,1][0,ιr][0,ιτ]

y=arccosx

上的反函數(shù)

y-arctanx在

反正切函數(shù)

(-<?,+?)(-?f?號)(-?f?√f?)

y=arclanx

上的反函數(shù)

-Il-

極限

數(shù)列極限的概念

定義1：對于給定的數(shù)列數(shù)」，如果nτ8

時，I%-Ol的值越來越接近0,那么則稱"為數(shù)

列｛怎,1的極限.

定義2：對于給定的數(shù)列｛x∕,如果存在

常數(shù)。，使得對任意的e>0（無論e多么

?。?，都存在正整數(shù)M使得當">N時，Ix?

-a\<￡恒成立，則稱。為數(shù)列1人。的極

限，記為

Iimx=a

n—?oon

或者→ɑ（n→oo）.

注意:若數(shù)列存在極限（有限數(shù)），則稱此數(shù)

列收斂,否則稱此數(shù)列發(fā)散或不收斂.改變數(shù)列

的有限項不會影響其斂散性.

-12?

數(shù)列極限的性質(zhì)

要點1唯一性

收斂的數(shù)列的極限值唯一.

也即是說是口果數(shù)列鼓」收斂，并且IimA

“一*00

=α,?i?nx=6,貝IJa=b.

/1—*30n

要點2有界性

收斂的數(shù)列必定有界.

也即是說,如果數(shù)列｛冊｝收斂,則舊」有

界.即3M>0,對于Vn∈N*,恒有II≤M.

注意1:收斂必有界,有界不一定收斂.

比如:數(shù)列乙=(-1)",是有界數(shù)列，但不

收斂.

注意2：無界數(shù)列必定發(fā)散.

比如:數(shù)列公=”,無界并且發(fā)散.

要點3四則運算法則

若Iim%=α,linι6?=/),則

n—*□on→oo

(1)?im(αfj±bll)=Iimall±Iimbn=a±b；

?13?

(2)ii?na?b=Iima?Iimb=a?b；

n-*ocηn—*n30n-→ocnn

a,irnan〃

(3)Iim√l==?(6≠0);

?-*?oIimbb

nn~*<an

(4)lime?all=c?Iimflrj=c?α(c是常數(shù)).

B-→OOn→α>

要點4夾逼準則

設(shè)有數(shù)列{怎},{y,},若滿足以下

條件：

(I)%W‰≤Zc;

(2)Iiinx=Iimz=A.

n-→∞n?—??)ll

則數(shù)列I%」的極限存在,并且IimL二4

n→oo

函數(shù)極限的概念

要點I自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

定義

設(shè)函數(shù)/(χ)在點殉的某一去心鄰域(與-

δ,x0)U(A?,Λ?+6)(6是任意小的正數(shù))內(nèi)有定

義，如果存在常數(shù)A,使得當支-X。時J(X)的值

趨近于4,則稱常數(shù)A為KX)在X趨近于與時的

-14.

極限,記作

lim∕(x)=A或者f(x)→A(x→x0).

補充定義(e定義)：對Ve>0,三5>0,

使得0<1x-x0l<6時,恒有I/(x)-Λ?<e.

(e刻畫/(x)與4的接近程度,6刻畫，與飛的接

近程度)

要點2自變量趨于無窮時函數(shù)的極限

定義

當X-8時的定義：對于函數(shù)/(*),如果存

在常數(shù)4,使得當*-?8時J(X)趨近于/1,則稱

常數(shù)4為/(；V)在X趨近于8時的極限，記作

liιη∕*(:E)=A.

*-→oo

補充定義(￡-加定義)：對Ve>0,1M>

0,使得INl>M時,恒有INX)-Λ?<ε.

類似地可以定義%—>+8和'T-8時函數(shù)

的極限.

記Iim/(?)=A1?imf(x)=A.

x→+oo*?→-oo

注意：函數(shù)/(?)在力T8時極限存在的充要

?15?

條件是

linι∕,(x)=∕l<=>Iim/(x)=Iimf(x)=/1.

X-→α>X—>+ac?X-*-ao

要點3左、右極限及其與極限的關(guān)系

左極限的定義:設(shè)函數(shù)/（；E）在3的左側(cè)鄰

近區(qū)域（%0-3,%o）（b是任意小的正數(shù)）內(nèi)有定

義,如果存在常數(shù)4,使得當X從左側(cè)趨近于與時

（即KT壇）/（%）的值趨近于A,則稱常數(shù)4為

f（x）在比一。時的左極限,記作

lim∕（x）=A或者f（x~）=A.

IX（F

類似地可以定義右極限.右極限記作：

YunJXX）=A或者/（%；）=A.

Xf6

左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.

注意：當冤一出時，函數(shù)/（久）在沏處極限存

在的充要條件是

limf(x)=>4<=>lim∕(x)=liπ√(x)=A.

χ-*roXfJLM

當函數(shù)/(χ)在環(huán)處有定義時,函數(shù)/(工)在

X0處的極限值是

-16?

Iimf(x)=A=/(x0).

注意1：當工一；與時J(X)有無極限與/(工)

在點出有無定義無關(guān).

注意2：如果左右極限有一個不存在，或者

左右極限都存在但極限值不相等時，則極限不

存在.

函數(shù)極限的性質(zhì)

要點1唯一性

若函數(shù)極限∣ir√(x)存在，則此極限是唯

L*0

一的.

設(shè)liιι∣f(%)=A,lim∕(x)=6,則4=B.

*f0XfO

要點2局部有界性

若函數(shù)極限lim∕(X)存在,WJ∕(.τ)在標的去

XfO

心鄰域內(nèi)有界.即mb>0,M>0,使得當0<14

-x0I<9時，I/(χ)I≤M.

?17?

要點3局部保號性

若lim∕(H)=A>0(或A<0),則對任何正

數(shù)肘<A(或M<-4),3δ>0,當0<1X

I<6時J(*)>M>0(或/(*)<-M<0).

要點4四則運算法則

若Iin礦(％)=A,limg(x)=8,則

IXOXfO

(1)Iim[/(%)±g(x)]=∣inι∕(x)±

?χ0*^-'X0

limg(x)=A±

(2)Iim[f(x)?g(x)]=Iimf(x)?limg(%)

X—?X0XTXox→xθ

=A?B；

lim∕(x)

(3)Iimj(x)_'fO=》(g(*)≠0,

g(%)Iimg(%)

*—XQ

B≠0).

要點5夾逼準則

設(shè)函數(shù)/'(%),g(%),/?(靠)在%。的某一去心

鄰域內(nèi)有定義,若滿足以下條件：

?18?

(1)g(第)≤h(x)≤∕(x),

(2)Iimg(%)=liιη∕(x)=Λ.

r-**o*-**o

則似％)在欠一瓶時的極限存在:且IimM幻

X→Λ?()

無窮小量與無窮大量

要點1無窮小量與無窮大量的定義

(1)無窮小量的定義、如果當％T%θ(或

8)時:函數(shù)/(冕)的極限值為零:則稱/(%)為當”

—>%o(或式一>00)時的無窮小量.

比如、#-1是當#Tl時的無窮小量,!是

當￡T8時的無窮小量.

(2)無窮大量的定義、如果當*->*。(或XT

8)時：函數(shù)/(*)的絕對值無限增大:則稱/(*)

為當，-3(或XT8)時的無窮大量.

注意、無窮小量和無窮大量不是具體的某

個常數(shù):無窮小量是在自變量的變動下極限為

零的變量:無窮大量是極限隨著自變量的變化

?19?

無限增K的量.

要點2無窮小量與無窮大量的關(guān)系

恒不為零(在定義區(qū)間內(nèi)值域不為零)的天

窮小量的倒數(shù)為無窮大量、無窮大量的倒數(shù)為

無窮小量.

要點3無窮小量的性質(zhì)

(D有限個無窮小量之和仍是無窮小量.

(2)有限個無窮小量之積仍是無窮小量.

(3)有界函數(shù)與無窮小量之積為無窮小量.

(4)常數(shù)和無窮小量的乘積也為無窮小量.

要點4無窮小量的階的比較

無窮小量是以O(shè)為極限的函數(shù)、而不同的無

窮小量收斂于O的速度有快有慢.因此兩個無窮

小量之間又分為高階無窮小、低階無窮小、同階

無窮小、等價無窮小.

設(shè)函數(shù)/(x)和g(x)是在自變量，同一變化

過程中的無窮小量.

(1)若Iim瑞=0、則稱/(x)是g(x)的高

?20?

階無窮小,記作/(*)=o(g(x)).表明/(X)收斂

于O的速度更快.

3

比如:由于Iim-y=Iimx=O,則%→O時一

X-QXX-Q

是？的高階無窮小.

(2)若Iimqw?=8,則稱/(%)是g(%)的

g(%)

低階無窮小.表明g(4)收斂于O的速度更快.

(3)?∣im?4=C(C≠0),則稱/(工)與

g(%)

g(嵬)是同階無窮小.

L

比如：由于Iim^l=Hm(工+1)=2,則J

X—?1五一1工一*1

-1是％-1的同階無窮小.

(4)若Iim貂=1,則稱/(久)與g(%)是等

價無窮小,記作/(比)~g(%)?

若/[(%)/(%),gl(%),g2(式)均是自變量力

在同一變化X→X0時的無窮小，月/(%)~

?21?

A(X),g∣(x)~g2(x),Iim名々■存在,則

XfOgl?×)

Iim??v=Iim

x

LXOgι(4)XFOg2(),

等價無窮小在極限的求解中有著廣泛的應

用.常用的等價無窮小替換有(當工-→0時)：

x~sinx~Lanx~αrcsinx~

arctaru：-In(1+x)~ex-1,

1-cos%——X2,

a^-1~xln?(a>0,α≠1),

(1+x)rt-i~ax(a≠O).

注意:等價無窮小一般只能在乘除中替換,

在加減中替換有時會出錯.加減時可以整體代

換,不能單獨代換或分別代換.

兩個重要極限

(1)Iim—=1.

X--OX

1J

(2)Iim(1+—)=e

x-→x>

?22?

或者Iim(I+Λ)÷

x-O

兩個重要極限的結(jié)構(gòu)特點如下.

Iim?=1.

□→o□

?1□

Iim(1+□)□=e,Iim(1+—)=

□―?0

第一個重要極限的結(jié)構(gòu)說明：無論自變量

怎樣變化,只要喟中的口是相同形式的無窮

小,都有Nm半/=1.

□-→o□

第二個重要極限的結(jié)構(gòu)說明：無論自變量

怎樣變化,只要(1+□)吉中的口是相同形式

的無窮小,都有Iim(1+□)□=e；或者只要

□-→o

1□

(1+=)中的口是相同形式的無窮大，都有

?U+?D

?23?

連續(xù)

函數(shù)連續(xù)的概念

要點I函數(shù)在一點處連續(xù)的定義

定義1:設(shè)函數(shù)y=/(*)在點與的某一鄰域

內(nèi)有定義,若IiInAX)=/(%),則稱/(*)在點出

處連續(xù).

定義2：設(shè)函數(shù)y=/(支)在點飛的某一鄰域

內(nèi)有定義，并且*。+Aκ(4x?→0)也屬于該

鄰域.

若

IimAy=liιn[∕(x+?x)-/(?)]=0,

Δ*-→0A*—?00

則稱/(%)在點X。處連續(xù).

從定義不難看出，函數(shù)若在某一點處連續(xù),

必須同時滿足以下3個條件.

①函數(shù)在該點處有定義；

②函數(shù)在該點處的極限存在；

-24?

③函數(shù)在該點處的極限值等于該點處的函

數(shù)值.

要點2左連續(xù)與右連續(xù)

(1)如果IimyU)=/(%),則稱/(%)在點

%0處左連續(xù).

(2)如果lim∕(%)=/(3),則稱/(3)在點

?處右連續(xù).

要點3函數(shù)在一點處連續(xù)的充分必要條件

函數(shù)y=∕(χ)在點沏處連續(xù)的充分必要條

件是/(*)在點％處左右都連續(xù).即

limf(x)=/(%)

<=>∣irn∕(x)

Xf(T

=IiIn/(%)

χf(f

=∕(?)?

要點4函數(shù))=/(工)在區(qū)間(α,Z>)(或

[ɑ,6])上連續(xù)的定義.

如果/(工)在區(qū)間內(nèi)的每一點都連

-25?

續(xù),則/（工）在區(qū)間（α,6）內(nèi)連續(xù).

如果/（#）在區(qū)間（α,6）內(nèi)連續(xù),并且在。點

右連續(xù),在6點左連續(xù)，則/（2在閉區(qū)間

內(nèi)連續(xù).

要點5函數(shù)的間斷點及其分類

間斷點定義、如果函數(shù)/（.，）在點而處不連

續(xù),則稱與為/（，）的間斷點.

間斷點分為以下兩種.

（1）第一類間斷點

跳躍間斷點、在心處的左右極限都存在但

不相等.

可去間斷點、在％處的左右極限存在且把

等,但在與處沒有定義，或者有定義，但該點處

的極限值與函數(shù)值不相等.

第一類間斷點特點、在與處的左右極限都

存在.

（2）第二類間斷點

不是第一類的間斷點統(tǒng)稱為第二類間斷

-26?

點.常見有無窮間斷點和震蕩間斷點.

第二類間斷點特點：在/處的左右極限至

少有一個不存在.

函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)

性質(zhì)1：若函數(shù)/(X)和g(*)在點曲處連續(xù),

則經(jīng)有限次和、差、積、商(分母不為0)運算得到

的函數(shù)依然在點Λ?處連續(xù).

性質(zhì)2：連續(xù)單調(diào)遞增(遞減)函數(shù)的反函

數(shù),也連續(xù)單調(diào)遞增(遞減).

性質(zhì)3：連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)依然是連續(xù)

函數(shù).

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

要點1有界性定理

如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［α,6］上連續(xù)，則

/(x)在［。,打上必有界.

要點2最大值與最小值定理

如果函數(shù)/(*)在閉區(qū)間［。,以上連續(xù)，則

?27?

/(X)在［α,6］上必有最大值和最小值.

要點3介值定理

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［α,b］上連續(xù)，且

/(α)≠∕(6),c是介于/(α)和/(外之間的一個

任意數(shù),則至少存在一點§∈(α,6),使得/%)

=C.

要點4零點定理

設(shè)函數(shù)/(工)在閉區(qū)間［α,%］上連續(xù)，且

/(?)√(*)<(),則至少存在一點Je使

得/(?=().

初等函數(shù)的連續(xù)性

前面提到的基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都

是連續(xù)的.

初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.

-28?

第二章一元函數(shù)微分學

導數(shù)與微分

導數(shù)概念

要點I導數(shù)的定義

(D函數(shù)在一點處可導的定義

設(shè)函數(shù)y=∕(χ)在點與的某一鄰域內(nèi)有定

義：自變量.T在出處的增量為At(KO+Ax仍在該

鄰域內(nèi))：相應地：函數(shù)＞=/(%)有增量Ay=

f(xa+?x)-f(x0)-如果極限

存在:則稱此極限值為函數(shù)1=f⑺在點出處

的導數(shù)：記作

或者牛I.

d%L=τ0

?29?

即

f5+At)-

∕z(?)=lim'

AXT)

此時稱函數(shù)y=∕(χ)在點欠。處可導.若上述

極限不存在，則稱函數(shù)y=/(?)在點出處不

可導.

函數(shù)/6)在須)處可導的另一種等價的定義是

,?].f(χ)-/(?)

Je(?)=hm---------.

XfOX-XQ

(2)函數(shù)在開區(qū)間(α,6)內(nèi)可導的定義

若函數(shù)/(工)在開區(qū)間(。/)內(nèi)的每一點都可

導,則稱/(*)在開區(qū)間(。/)內(nèi)可導,并稱/'(X)為

函數(shù)/(%)在(。,6)上的導函數(shù),簡稱導數(shù).

需要注意地是/'(殉)=∕'G)I-。，但

∕,(?)≠[/(?)],?

要點2函數(shù)在一點處的左導數(shù)與右導數(shù)的

定義

設(shè)函數(shù)/(*)在點與及其左側(cè)鄰域內(nèi)有定義,

若極限

-30?

./(?+△%)-/(;%)

1Iim-------------------------------

4χ-→O-?X

存在:則稱該極限值為/(，)在點知處的左導數(shù):

記作/'.(%).

同理:可定義右導數(shù)為

/(小+Ax)-JlKO)

∕,÷(?)=Iim

At-O+

設(shè)函數(shù)/(*)在開區(qū)間(。：6)內(nèi)可導：并目

在左端點X=。處存在右導數(shù):在彳，端點X=/，處

存在左導數(shù)：則稱函數(shù)/(x)在閉區(qū)間，a：M上

可導.

要點3函數(shù)在一點處可導的充分必要

條件

函數(shù)/(*)在點沏處可導的充分必要條件是

/(χ)在點而處的左導數(shù)和右導數(shù)都存在并且相

等:即

∕??)=力

<≠√z-(?)=∕?(?)=4

?31?

要點4導數(shù)的幾何意義

函數(shù)/(x)在點與處可導，則其導數(shù)值

∕,(?)表示曲線y=/(%)在點(彳。,/(3))處切

線的斜率.

從而可知,若函數(shù)人工)在點出處可導,則曲

線y=∕(χ)在點出處的切線方程是

y-/(?)=∕,(?)(Λ:-?)?

若廣(%)≠0,則曲線＞=∕(x)在點痛處的

法線(與切線垂直的直線)方程是

y-/(?)=_/,([)(*_&)?

若/'(%)=OJlly=/(須)為曲線y=f(x)

在點％處的水平切線.

要點5可導與連續(xù)的關(guān)系

(1)若函數(shù)/(x)在點出處可導，則函數(shù)

/(χ)在點出處必定連續(xù).即可導一定連續(xù).

(2)若函數(shù)/(*)在點與處連續(xù)，則函數(shù)

/(χ)在點出處未必可導.即連續(xù)未必可導.

-32?

比如：函數(shù)y=I?1在￡=O處連續(xù),但在該

點處的導數(shù)不存在.

(3)若函數(shù)/(，)在點處不連續(xù)，則函數(shù)

/(χ)在點/處一定不可導.

常見函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則

要點I常見函數(shù)的導數(shù)公式

(l)e,=O(C為常數(shù))

(2)(*")'=BT("為實數(shù))

(3)(∕)'=αlln<z

(4)(e)=ex

(5)(logΛ)*=-γ-

uxlnα

(6)(Inx)*=-

X

(7)(sin%)'=cosx

(8)(cosx),=-sin.τ

(9)(tan%),=sec2%

(10)(coU)r=-csc2Λ

?33?

(11)(secx)'-secxtanx

(12)(csc%),=-CScxcotx

(13)(QrCSirLE)'=-1

(14)(arccosx)'=—-?

?/l-x2

(15)(arctan：E),=--~~7

1+x

(16)(arcco{χ),=-—?~~K

1+X

要點2導數(shù)的四則運算法則

設(shè)函數(shù)〃(動和函數(shù)“％)在點欠處可導,則

(Cu)t=Q√(C為常數(shù)),

(U±V),=U,±Vf,

(MV)z=u,υ+uv,,

(-Y=uv；uv?υ≠0).

VV

?34?

求導方法

要點1反函數(shù)的求導法

設(shè)函數(shù)*=<p(y)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導:

且，(y)≠0:則其反函數(shù)在對應區(qū)間內(nèi)也可導:

并且成立/'(工)=-77-.

g(yτ)

也即是說：反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)的

導數(shù)的倒數(shù).

要點2復合函數(shù)的求導法

設(shè)y=/(〃)：〃=g(%)復合成函數(shù)y=

f9g(×)1:若〃=g(×)在點力處可導:y=∕(M)在

相應點U=g(；V)處可導：則復合函數(shù)y=

/,g(%)］在點力處可導:并且

dy_d^_du_

dxdudx

=/'(〃)?g,(×)?

上述復合函數(shù)的求導方法稱為復合函數(shù)的

鏈式求導法則.

?35?

要點3隱函數(shù)的求導法

隱函數(shù)：由隱式方程仆%y)=()確定的,?關(guān)

于》的函數(shù).相對于顯函數(shù)y=f(χ)而言.

設(shè)y=∕(χ)由方程F(X,y)=O確定,要求

y',只需直接由方程F(χ,y)=0關(guān)于X求導,將y

當作中間變量，根據(jù)復合函數(shù)的鏈式求導法來

求解.

要點4對數(shù)求導法

對于求形如y=函數(shù)(騫指函數(shù))的導數(shù),

其中u,v是關(guān)于，的函數(shù),可先將函數(shù)表達式兩端

取自然對數(shù),并利用對數(shù)相關(guān)性質(zhì)將表達式化簡,

再利用隱函數(shù)的求導法將等式兩端關(guān)于自變量進

行求導,最后得出函數(shù)的導數(shù),這稱為對數(shù)求導法.

對數(shù)求導法適用于求由若干函數(shù)連乘、連

除、乘方、開方所構(gòu)成的函數(shù)的導數(shù).

要點5由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法

設(shè)y=y(*)是由參數(shù)方程1=W"所確

?36?

定，其中φ(t),ψ(t)是可導函數(shù)，且中(I)≠

0,則

亞

山

=石=

?

高階導數(shù)

要點1高階導數(shù)的定義

設(shè)了'(X)為函數(shù)y=/(%)的導數(shù),又稱一階

導數(shù).則函數(shù)廣(支)的導數(shù)稱為y=/(*)的二階

導數(shù).記作/"(χ)或冬.即

ax

f"(χ)=[∕,(≈)]r,

或者

任=JL(%

dx2dxdx

類似地,可以定義三階導數(shù)：四階導數(shù)--

"-1階導數(shù)的導數(shù)稱為n階導數(shù),即

[/?-'>(X)],=∕">(x).

?37?

一般把二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階

導數(shù).

要點2高階導數(shù)的計算

對于"("N2)階導數(shù)的計算：只需對函數(shù)

從一階到n階逐步求導即可.

要點3常用的高階導數(shù)公式

(1)(e^)∞=√

(2)(?x)(n)=√(lnα)n

(3)(sin?:)(n)=Sin(%+

(4)(CoS欠)")=CoS(%÷^??)

(5),ln(l+%);⑺

=(-i)n-*U)!

(1+χ)n

1(n)

(6)(Γ?)=，*+，)尸＞

?38?

微分

要點1微分的定義

設(shè)函數(shù)y=∕(χ)在某區(qū)間內(nèi)有定義，與

及%+Ax在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量A>=

./'(X0+?χ)-/(X0)可表示為Ay=44χ+

O(A%),其中4是不依賴于AX的常數(shù),。(48)

是Ar的高階無窮小，則稱函數(shù)y=∕(x)在點

廂處是可微的.AAt叫做函數(shù)在點與處相應

于自變量增量4#的微分，記作dy,即dy

=AAx.

要點2微分與導數(shù)的關(guān)系

(1)導數(shù)和微分在幾何意義上的區(qū)別

導數(shù)：是函數(shù)圖像在某一點處的斜率，

也就是縱坐標變化率和橫坐標變化率的

比值.

微分：是指函數(shù)圖像在某一點處的切線

在橫坐標取得增量AX以后，縱坐標取得的

增量4y.

-39?

(2)可導與可微的關(guān)系

可導與可微是等價的.可導的函數(shù)一定可

微分,可微分的函數(shù)一定可導.

另外,函數(shù)在某一點處可微，則一定在該點

處連續(xù).

(3)可微的充要條件

函數(shù)八支)在點與處可微的充要條件是/(*)

點*o處可導,且有dy=f'(x)dx.

要點3微分法則

由dy=∕'(x)<A,可知函數(shù)/(*)的微分等

于函數(shù)的導數(shù)乘以自變量的微分.因此可由函

數(shù)的求導公式得到函數(shù)的微分公式.

比如：(Sim:)'=cos%,

則d(sirw)=cosxdx.

要點4一階微分形式不變性

一階微分形式不變性說的是復合函數(shù)的

微分.

設(shè)函數(shù)y=/(u)和函數(shù)U=g(χ)構(gòu)成復合

-40?

函數(shù)y=/：g(%),、并且y=∕(M)和U=g(%)者B

是可微函數(shù)、則復合函數(shù)y"⑷,為可微函

數(shù)、且

dy=f,{u}du

=廣(IZ)〃'(%)dx.

從而可知、無論〃是自變量、還是中間變量、

都成立方=/'(〃)」〃.該性質(zhì)稱為一階微分形

式的不變性.

?41?

洛必達法則

洛必達法則

洛必達(UHopital)法則是在一定條件下通

過分子分母分別求導再求極限來確定未定式極

限值的方法.常用來求解書型,或者空型極限

但求解時一定注意是否滿足洛必達的使用

條件.

洛必達法則使用條件：

設(shè)函數(shù)/(χ)和g(χ)滿足下列條件：

(1)當時/(*)和g(￡)的極限同時為

0,或者同為無窮大；

(2)在點飛的某去心鄰域內(nèi)/(工)與g(`)都

可導，且g'(*)≠0;

(3)當Xfx0時,1而￡興存在或為無

窮大.

?42?

則當工TX。時，

Iim陪=Iim?烏斗（或為無窮大）.

注意:①洛必達法則只適用于書型和三型

的不定式,其他的不定式（比如（）?8,8-8.

0",1”等）需要先轉(zhuǎn)換成上述兩種形式才能使用

該法則.

②在條件具備的情況下，可以連續(xù)應用洛

必達法則.但每一步都要驗證是否滿足洛必達

法則使用條件.只有未定型才能使用洛必達法

則，否則會得出錯誤結(jié)果.

-43?

導數(shù)的應用

判定函數(shù)的單調(diào)性

前面第一章節(jié)函數(shù)部分已經(jīng)講過運用差值

法來判定函數(shù)的單調(diào)性、這里主要講述運用導

數(shù)來判定函數(shù)的單調(diào)性.

設(shè)函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間(a、b)內(nèi)有定義、并

且可導.