小學(xué)奧數(shù) 分解質(zhì)因數(shù)一（含答案）

5-3-4.分解質(zhì)因數(shù)（一）

目■學(xué)目假

i.能夠利用短除法分解

2.整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟“任何一個數(shù)字都可以表示為△☆xZY&x...x△☆的結(jié)構(gòu)，而且

表達(dá)形式唯一”

一、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)

（1）.質(zhì)因數(shù)：如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù).

（2）.互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù).

（3）.分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù).

例如：30=2x3x5.其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù).又如12=2x2x3=2?x3,2、3都叫做12的質(zhì)因數(shù)，

其中后一個式子叫做分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，在求一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)和約數(shù)的和的時候都要用到這個標(biāo)準(zhǔn)式.分

解質(zhì)因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征.

（4）.分解質(zhì)因數(shù)的方法：短除法

2[12

例如：2愴，（1-是短除法的符號）所以12=2x2x3;

3

二、唯一分解定理

任何一個大于1的自然數(shù)〃都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即：n=p；1'xxxxp『其中為質(zhì)數(shù)，

<a2<為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為〃的質(zhì)因子分解支.

例如：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個數(shù).

分析：：210=2x3x5x7,.?.可知這三個數(shù)是5、6和7.

三、部分特殊數(shù)的分解

111=3x37;1001=7x11x13;11111=41x271;10001=73x137;1995=3x5x7x19;1998=2x3x3x3x37;

2007=3x3x223;2008=2x2x2x251;10101=3x7x13x37.

模塊一、分解質(zhì)因數(shù)

【例1】分解質(zhì)因數(shù)20034=。

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】1星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，決賽，5年級，決賽，第2題，10分

【解析】原式=2x33x7x53

【答案】2X33X7X53

【例2】三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個數(shù)是多少？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】1星【題型】填空

【解析】210分解質(zhì)因數(shù)：210=2x3x5x7,可知這三個數(shù)是5、6和7。

【答案】5、6和7

【例3】兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積是111555,這兩個奇數(shù)之和是多少？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】填空

【解析】111555分解質(zhì)因數(shù)：111555=3x3x5x37x67=(3x3x37)x(5x67)=333x335,所以和為668.本講

不僅要求學(xué)生熟練掌握分解質(zhì)因數(shù)，而且要注意一些技巧，例如本題中的111=3x37。

【答案】668

【鞏固】已知兩個自然數(shù)的積是35,差是2,則這兩個自然數(shù)的和是.

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第8題

【解析】35=1x35=5x7,5、7差2,兩個自然數(shù)的和是5+7=12

【答案】12元

【例4】今年是2010年，從今年起年份數(shù)正好為三個連續(xù)正整數(shù)乘積的第一個年份是o

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】而思杯，6年級，1試，第3題

【解析】11x12x13=1716,12x13x14=2184,所以是2184

【答案】2184

【例5】如果兩個合數(shù)互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是126,那么，它們的和是.

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級，初賽，第3題

【解析】126=2x32x7,因為兩個數(shù)互質(zhì)且都是合數(shù)，所以這兩個數(shù)只能為9和14,它們的和為23.

【答案】23

【例6】4個一位數(shù)的乘積是360,并且其中只有一個是合數(shù)，那么在這4個數(shù)字所組成的四位數(shù)中，最大

的一個是多少？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】解答

【解析】將360分解質(zhì)因數(shù)得360=2x2x2x3x3x5,它是6個質(zhì)因數(shù)的乘積.因為題述的四個數(shù)中只有一個

是合數(shù)，所有該合數(shù)必至少為6-3=3個質(zhì)因數(shù)的積，又只有3個2相乘才能是一位數(shù)，所以這4

個乘數(shù)分別為3,3,5,8,所組成的最大四位數(shù)是8533.

【答案】8533

【例7】已知5個人都屬牛，它們年齡的乘積是589225,那么他們年齡的和為多少？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】解答

【解析】基本思路與上題一樣，重點還是在“1”這個因數(shù)的使用上，所以分解因數(shù)得到

589225=1x13x25x37x49,五個人的年齡和為125歲。

【答案】125歲

【例8】如果兩個自然數(shù)的和與差的積是23,那么這兩個自然數(shù)的和除以這兩個數(shù)的差的商是

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，初賽，4題

【解析】根據(jù)題意列式子如下：(。+與(。-%)=23,因為23分解質(zhì)因數(shù)是1與23,所以。+6=23,。-6=1,

根據(jù)和差關(guān)系算出a=12,b=\\,所以這兩個自然數(shù)的和除以這兩個自然數(shù)的差的商為23,

【答案】23

【例9】2004x7x20的計算結(jié)果能夠整除三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，這三個連續(xù)自然數(shù)之和最小是多少？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】解答

【解析】首先分解質(zhì)因數(shù)，2004x7x20=2x2x2x2x3x5x7x167,其中最大的質(zhì)因數(shù)是167,所以所要求

的三個連續(xù)自然數(shù)中必定有167本身或者其倍數(shù).165=3x5x1,166=2x83,168=2x2x2x3x7,

169=13x13,所以165x166x167,166x167x168,167x168x169都沒有4個2,不滿足題意.說明

167不可行.嘗試334=167x2,335=5x67,336=2x2x2x2x3x7,

334x335x336=2x2x2x2x2x3x5x7x67x167,包括了2004x7x20中的所有質(zhì)因數(shù)，所以這組

符合題意，以此三數(shù)之和最小為1005.

【答案】1005

【例10】A是乘積為2007的5個自然數(shù)之和，B是乘積為2007的4個自然數(shù)之和。那么4、8兩數(shù)之差的

最大值是。

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級，決賽，第8題，10分

【解析】2007=1x1x3x3x223=1x1x1x9x223=1x1x1x3x669=1x1x1x1x2007,所以A的可能值是231或235或

675或2011,又2007=1x3x3x223=1x1x9x223=1x1x3x669=1x1x1x2007,所以8的可能值是230或

234或674或2010,A、8兩數(shù)之差的最大值為2011-230=1781?

【答案】1781

【例11](老師可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？)

大毛、二毛、三毛、小明四個人，他們的年齡一個比一個大2歲，他們四個人年齡的乘積是48384。

問他們四個人的年齡各是幾歲？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】填空

【解析】題中告訴我們，48384是四個人年齡的乘積，只要我們把48384分解質(zhì)因數(shù)，再按照每組相差2來

分成四個數(shù)相乘，這四個數(shù)就是四個人的年齡了。

48384=28x33x7=(22x3)x(2x7)x24x(2x32)=12x14x16x18,由此得出這四個人的年齡分別

是12歲、14歲、16歲、18歲。由題意可知，這四個數(shù)是相差2的四個整數(shù)。它們的積是偶數(shù)，

當(dāng)然這四個數(shù)不是奇數(shù)，一定是偶數(shù)。又因為48384的個位數(shù)字不是0,顯然這四個數(shù)中，沒有

個位數(shù)字是。的，那么這四個數(shù)的個位數(shù)字一定是2、4、6、8,又因為1。4<48384,而48384<2。4,

所以可以斷定，這四個數(shù)一定是12、14、16、18。也就是說，這四個人的年齡分別是12歲、14

歲、16歲、18歲。答：這四個人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。

【答案】12歲、14歲、16歲、18歲

【例12】甲數(shù)比乙數(shù)大5,乙數(shù)比丙數(shù)大5,三個數(shù)的乘積是6384,求這三個數(shù)？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】解答

【解析】將6384分解質(zhì)因數(shù)，6384=2x2x2x2x3x7x19,則其中必有一個數(shù)是19或19的倍數(shù)；經(jīng)試算，

19-5=14=2x7,19+5=24=2x2x2x3,，恰好14x19x24=6384,所以這三個數(shù)即為14,19,24.

一般象這種類型的題，都是從最大的那個質(zhì)因數(shù)去分析.如果這道題里19不符合要求，下一個該考慮

38,再下一個該考慮57,依此類推.

【答案】14,19,24

【例13】四個連續(xù)自然數(shù)的乘積是3024,這四個自然數(shù)中最大的一個是多少？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】填空

【解析】分解質(zhì)因數(shù)3024=24*33x7,考慮其中最大的質(zhì)因數(shù)7,說明這四個自然數(shù)中必定有一個是7的倍

數(shù).若為7,因3024不含有質(zhì)因數(shù)5,那么這四個自然數(shù)可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10仍含

有5,不行)，經(jīng)檢驗6、7、8、9恰符合.

【答案】9

【例14】植樹節(jié)到了，某市舉行大型植樹活動，共有1430人參加植樹，要把人數(shù)分成相等的若干隊，且每

隊人數(shù)在100至200之間，則有分法()o

A、3種8、7種C、11種。、13種

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級，初賽，第4題

【解析】只要找到100到200之間可以整除1430的數(shù)即可。1430可分解成2,5,11,13的乘積，所以可以

按每組110人，130人，143人分組，共有3個方案。所以答案為A

【答案】A

【例15】a、6c、d、e這五個無數(shù)各不相同，它們兩兩相乘后的積從小到大排列依次為：3,6,15,18,

20,50,60,10(1,120,300.那么，這五個數(shù)中從小大大排列第2個數(shù)的平方是.

A.1B.3C.5D.10

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】5星【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，復(fù)試，2題

【解析】D,解：設(shè)a<b<c<d<e。由ab=3,ac=6推知c=2Z?;由ce=120,加=300推知d=*c=56。

2

bc=bx2b=2b2,bd=bx5b=5b2,cd=26x5。=10〃。在15,18,20,50,60,100中，滿足2:5:10的

三個數(shù)是20,50,100,所以屬=100+10=10。

【答案】D

【例16】a、b、c、d、e這五個數(shù)各不相同，他們兩兩相乘后的積從小到大排列依次為：0.3、0.6、1.5、1.8、

2、5、6、10、12、30。將這五個數(shù)從小到大排成一行，那么，左起第2個數(shù)是.

(A)0.3(B)0.5(C)1(D)1.5

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】5星【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級，復(fù)試，2題

【解析】C,i^a<b<c<d<e?由題意知，ah=0.3,ac=0.6,推知c=2Z>;由ce=12,必=30,推知

d--c=—c=5b,bc=bx2b=2b~,bd-b'x.5b=5b2,cd=2bx5b=1。必，在1.5』.8,2,5,6』0中，

122

滿足2:5:10的三個數(shù)是2,5,10,所以1O/〉2=1O,b2=\,b=l。

【答案】1

【例17】將1?9九個自然數(shù)分成三組，每組三個數(shù).第一組三個數(shù)的乘積是48,第二組三個數(shù)的乘積是45,

第三組三個數(shù)字之和最大是多少？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】解答

【解析】分解質(zhì)因數(shù)45=3x3x5,48=2x2x2x2x3,可知45只能是1,5,9的乘積，而48可能是2,4,

6或2,3,8或1,6,8(舍去)，則第三組的三個數(shù)可能是3,7,8或4,6,7,其中和最大的是3+7+8=18.

【答案】18

【例18】一個長方體的長、寬、高都是整數(shù)厘米，它的體積是1998立方厘米，那么它的長、寬、高的和的

最小可能值是多少厘米？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】解答

【解析】我們知道任意個已確定個數(shù)的數(shù)的乘積一定時，它們相互越接近，和越小.如3個數(shù)的積為18,則

三個數(shù)為2、3、3時和最小，為8.1998=2x3x3x3x37,37是質(zhì)數(shù)，不能再分解，所以2x3x3x3對

應(yīng)的兩個數(shù)應(yīng)越接近越好.有2x3x3x3=6x9時，即1998=6x9x37時，這三個自然數(shù)最接近.它們的

和為6+9+37=52(厘米).

【答案】52

【例19】一個長方體的長、寬、高是連續(xù)的3個自然數(shù)，它的體積是39270立方厘米，那么這個長方體的表

面積是多少平方厘米？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】解答

【解析】39270=2x3x5x7x11x17,為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，而34x34x34最接近39270,39270的約數(shù)中接

近或等于34的有35、34、33,有33x34x35=39270.所以33、34、35為滿足題意的長、寬、高.則

長方體的表面積為：

2x（長x寬+寬x高+高x長）=2x（33x34+34x35+35x33）=6934（平方厘米）.

方法二：39270=2x3x5x7x11x17,為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，考慮質(zhì)因數(shù)17,如果17作為長、寬或

高顯然不滿足.當(dāng)17與2結(jié)合即34作為長方體一條邊的長度時有可能成立，再考慮質(zhì)因數(shù)7,與

34接近的數(shù)32?36中，只有35含有7,于是7與5的乘積作為長方體的一條邊的長度.而39270

的質(zhì)因數(shù)中只剩下了3和II,所以這個長方體的大小為33x34x35.長方體的表面積為

392703927039270

2x（）=2x（1190+1155+1122）=2x3467=6934（平方厘米）.

【答案】6934

【例20】如果兩數(shù)的和是64,兩數(shù)的積可以整除4875,那么這兩個數(shù)的差等于多少？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】解答

【解析】4875=3x5x5x5x13,有axb為4875的約數(shù)，且這兩個數(shù)的和為64.發(fā)現(xiàn)39=3x13、25=5x5這兩個

數(shù)的和為64,所以39、25為滿足題意的兩個數(shù).那么它們的差為39-25=14。

【答案】14

【例21】有兩個整數(shù)，它們的和恰好是兩個數(shù)字相同的兩位數(shù)，它們的乘積恰好是三個數(shù)字相同的三位數(shù).

求這兩個整數(shù)分別是多少？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】解答

【解析】兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個，它們中的每個數(shù)都

可以表示成兩個整數(shù)相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30==16+17,共有16種形式，

如果把每個數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個數(shù)的乘積是三個數(shù)字相同的三位數(shù)，顯然太繁瑣了.可

以從乘積入手，因為三個數(shù)字相同的三位數(shù)有111、222、333、444、555、666、777、888、999,每

個數(shù)都是111的倍數(shù)，而111=37x3,因此把這九個數(shù)表示成一個兩位數(shù)與一個一位數(shù)或兩個兩位

數(shù)相乘時，必有一個因數(shù)是37或37的倍數(shù)，但只能是37的2倍（想想為什么？）3倍就不是兩位數(shù)

了.

才巴九個三位數(shù)分解：111=37x3、222=37x6=74x3、333=37x9、444=37x12=74x6、

555=37x15、666=37x18=74x9、777=37x21、888=37x24=74x12、999=37x27.

把兩個因數(shù)相加，只有（74+3）=77和（37+18）=55的兩位數(shù)字相同.所以滿足題意的答案是74和3,

37和18.

【答案】74和3,37和18

【例22］如果一個數(shù)，將它的數(shù)字倒排后所得的數(shù)仍是這個數(shù)，我們稱這個數(shù)為回文數(shù).如年份數(shù)1991,

具有如下兩個性質(zhì)：①1991是一個回文數(shù).②1991可以分解成一個兩位質(zhì)數(shù)回文數(shù)和一個三位質(zhì)

數(shù)回文數(shù)的積.在1000年到2000年之間的一千年中，除了1991夕卜，具有性質(zhì)①和②的年份數(shù)，

有哪些？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】解答

【解析】這一千年間回文數(shù)年份共有10個，除去1991夕卜，還有1001,1111,1221,1331,1441,1551,1661,

1771,1881.符合條件②的兩位質(zhì)數(shù)只能是11,所以符合條件②的只有三個，即

llx101=1111,llx131=1441,11x15/=1661.

【答案】Ux101=1111,llx131=1441,llx15/=1661

【例23］有一種最簡真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是140.如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那

么第三個分?jǐn)?shù)是多少？

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】解答

【解析】有140=2x2x5x7,要保證分?jǐn)?shù)最簡即要讓分子與分母是互質(zhì)的，那么兩個質(zhì)因數(shù)2必須同時位于分

子或者同時位于分母的位置上。這樣由小到大的最簡分?jǐn)?shù)依次是.

——!——=」_兇=巴,__=A_Z_=2_,倒數(shù)第三小的是

2x2x5x71405x7352x2x7282x2x52028

【答案】—

28

【例241純循環(huán)小數(shù)0.血寫成最簡分?jǐn)?shù)時，分子和分母的和是58,則三位數(shù)嬴=

【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】填空

【解析】如果直接把O.abc轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù),應(yīng)該是小，因此，化成最簡分?jǐn)?shù)后的分母應(yīng)該是999的約數(shù),我們

999

將999分解質(zhì)因數(shù)得：999=33x37,這個最簡分?jǐn)?shù)的分母應(yīng)小于58,而且大于29,否則該分

數(shù)就變成了假分?jǐn)?shù)了，符合這個要求的999的約數(shù)就只有37了，因此，分母應(yīng)當(dāng)為37,分子就是

58—37=21,也就是說0。6。=也=-^—=義，因"匕詼=21、27=567.

99937x2737

【答案】567

模塊二、分解質(zhì)因式

【例25］三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的11倍，求這三個質(zhì)數(shù).

【考點】分解質(zhì)因式【難度】2星【題型】解答

【解析】設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別是a、b、c,滿足"c=ll（a+匕+c）,則可知a、b、c中必有一個為11,不妨

i己為a,那么機(jī)?=ll+6+c,整理得（b-l）（c-l）=12,又12=1x12=2x6=3x4,對應(yīng)的b=2、c=13

或6=3、c=7或6=4、c=5（舍去），所以這三個質(zhì)數(shù)可能是2,11,13或3,7,11.

【答案】2、11、13或3、7、11

【例26］三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7倍，求這三個質(zhì)數(shù).

【考點】分解質(zhì)因式【難度】2星【題型】解答

【解析】設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別是a、b、c,滿足Hc=7（a+6+c）,則可知a、b、c中必有一個為7,不妨記

為a,那么6c,=7+Z?+c,整理得S-l）（c-l）=8,又8=lx8=2x4,對應(yīng)的b=2、c=9（舍去）或Z?=3、

c=5,所以這三個質(zhì)數(shù)可能是3,5,7

【答案】3、5、7

【例27］如圖，長方形周長為20,面積為24。另一個長方形，面積為20,周長為24。它的長是

寬是O

【考點】分解質(zhì)因式