陜西旬陽(yáng)2023年高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(X)是單調(diào)遞減函數(shù)，則/(log25),/(1崎］，

/(logs?)的大小關(guān)系是()

A./^log3</(log53)</(log25)B./^log31"|</(log25)</(log53)

C./(log53)</log31^</(log25)D./(log25)</1log31</(log53)

2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問(wèn)題：“今有鱉腌(加2"曲)，下廣五尺，無(wú)袤；上袤四尺，無(wú)廣；高七尺.問(wèn)積

幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為()

45

A.90〃平方尺B.180〃平方尺

C.360萬(wàn)平方尺D.135布萬(wàn)平方尺

3.若。>0,/?>(),貝！|“。+匕W4”是“必44”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.下圖是我國(guó)第24~30屆奧運(yùn)獎(jiǎng)牌數(shù)的回眸和中國(guó)代表團(tuán)獎(jiǎng)牌總數(shù)統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)表和統(tǒng)計(jì)圖，以下描述正確的是

().

金牌銀牌銅牌獎(jiǎng)牌

(塊)(塊)(塊)總數(shù)

245111228

2516221254

2616221250

2728161559

2832171463

29512128100

3038272388

120

62s后?2???27B?2?S?29K9V>?

H24~wai（W*4,國(guó)代*tfl契11。11?什）|

A.中國(guó)代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)一直保持上升趨勢(shì)

B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化，不具有實(shí)際意義

C.第30屆與第29屆北京奧運(yùn)會(huì)相比，奧運(yùn)金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降

D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)的中位數(shù)是54.5

5.已知斜率為2的直線/過(guò)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)

M的縱坐標(biāo)為1,則p=（）

A.1B.V2C.2D.4

6.從集合｛-3,-2,-1,1,2,3,4｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為加，從集合｛-2,-1,2,3,4｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為〃，則在方

程上+二=1表示雙曲線的條件下，方程二+f=1表示焦點(diǎn)在）’軸上的雙曲線的概率為（）

mnmn

98179

A.—B.—C.—D.—

17173535

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實(shí)數(shù)x值的個(gè)數(shù)為（）

|開￥]

/華/

A.1B.2C.3D.4

8.在聲學(xué)中，聲強(qiáng)級(jí)L（單位：dB）由公式L=101g（曲）給出，其中/為聲強(qiáng)（單位：W/m2）.

L】=60dB,

L.=75dB,那么4=()

4

4433

A.心B.]0-3C.--D-io-2

8

的二項(xiàng)展開式中，犬的系數(shù)是（）

A.70B.-70C.28D.-28

10.已知整數(shù)X，y滿足V+y2410,記點(diǎn)”的坐標(biāo)為（x,y）,則點(diǎn)“滿足尤+yz石的概率為（

9657

B.—D.—

35353737

jr

11.若函數(shù)/(x)=2sin(x+2e).cosx（0<^<-）的圖象過(guò)點(diǎn)（0,2）,貝!!（）

/、

A.函數(shù)y=/（x）的值域是[0,2]B.點(diǎn)￡,0是>=/（力的一個(gè)對(duì)稱中心

I47

C.函數(shù)y=/（x）的最小正周期是2〃D.直線x=?是y=/（x）的一條對(duì)稱軸

12.已知z的共輸復(fù)數(shù)是I，且|z|=W+l-2i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)二在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知集合4={1,4},3={"5,7}渚AcB={4},則實(shí)數(shù)”的值是.

14.已知tana=3,則cos2a=

15.sin(tz4—)=—,tze(0,7)，貝(jcosa=

63

16.動(dòng)點(diǎn)/）到直線x=—l的距離和他到點(diǎn)口（1,0）距離相等，直線AB過(guò)（4,0）且交點(diǎn)。的軌跡于兩點(diǎn)，則以AB

為直徑的圓必過(guò).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）在AA3C中，內(nèi)角A,8,C的邊長(zhǎng)分別為a,4c,且c=2.

7T

（1）若A=],b=3,求sinC的值；

（2）若sinAcos20+sinBcos24=3sinC,且AA6C的面積S="sinC,求a和。的值.

222

18.（12分）某公司打算引進(jìn)一臺(tái)設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺(tái)10000元，乙設(shè)備每臺(tái)9000

元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對(duì)于每臺(tái)設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修，三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000

元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過(guò)的甲、乙各50臺(tái)設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在

50臺(tái)中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.

維修次數(shù)23456

甲設(shè)備5103050

乙設(shè)備05151515

（1）設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺(tái)購(gòu)買和一年間維修的花費(fèi)總額分別為x和丫，求x和丫的分布列；

（2）若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購(gòu)買和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購(gòu)買哪種

設(shè)備？請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系X。），中，橢圓C的焦點(diǎn)為6b6,0）,6（6,0）,“為橢圓C上任意一點(diǎn)，且

\MF]+\MF2\^4.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/：）=辰+加（左＞0,加＞0）交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，且滿足Z%=后.（⑥0,無(wú)尸,左?！惴謩e為直線

P。,0P,。。的斜率），求AOPQ的面積為且時(shí)直線PQ的方程.

2

20.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線/的參數(shù)方程

X=1------1

2

為｛L（，為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=4cos。；

(1)求直線/的直角坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/與曲線C交點(diǎn)分別為A，B,點(diǎn)P(l,o),求直+高的值.

r2V21

21.(12分)已知橢圓C:二+二=13>6>0)的離心率為一，F(xiàn)是橢圓。的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M(0,2),直線河廠的斜

a'b2

率為1.

(1)求橢圓。的方程；

(D若過(guò)點(diǎn)M的直線/與橢圓。交于A8兩點(diǎn)，線段A8的中點(diǎn)為N,是否存在直線/使得|AB|=2|MN|?若存

在，求出/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1I

x=—+—cosa,

42

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是(a是參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正

立+Lina

y

42

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)在曲線C上取一點(diǎn)直線繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?，交曲線C于點(diǎn)N,求IOMITONI的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得log25>log,5>log53,再根據(jù)/(x)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)閘og,5>log33=1,0=log51<log,3<log,5=1,

故Iog35>logs3>0.

又log,5>log,4=2=log39>log35>0,故log25>log,5>log53.

因?yàn)楫?dāng)xe[O,w)時(shí)，函數(shù)/(x)是單調(diào)遞減函數(shù),

所以/(log25)</(log?5)</(log53).

因?yàn)?(x)為偶函數(shù)，故//(-log35)=/(log35),

所以/(嚏25)</1唾3；]</(嚏53).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用，比較大小時(shí)注意選擇合適的中間數(shù)

來(lái)傳遞不等關(guān)系，本題屬于中檔題.

2.A

【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐，將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體，此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外

接球，由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).

【詳解】

由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐ABC,。為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此

三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球，所以。為PC的中點(diǎn)，設(shè)球半徑為R,則

\2

=1(AB2+BC2+PA2)=^(42+52+72)=y，所以外接球的表面積S=4萬(wàn)a=4萬(wàn)x三=90萬(wàn),

R2=-PC

(2)

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求幾何體的外接球的表面積，關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半

徑，屬于中檔題.

3.A

【解析】

本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過(guò)特取的值，推出矛盾，確定必要

性不成立.題目有一定難度，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.

【詳解】

當(dāng)時(shí)，a+b>14ab>則當(dāng)時(shí)，有2疝+解得MW4,充分性成立；當(dāng)。=1,6=4

時(shí)，滿足必W4,但此時(shí)a+b=5>4,必要性不成立，綜上所述，“。+人44”是“"44”的充分不必要條件.

【點(diǎn)睛】

易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過(guò)特取的值，從

假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.

4.B

【解析】

根據(jù)表格和折線統(tǒng)計(jì)圖逐一判斷即可.

【詳解】

A.中國(guó)代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢(shì)，29屆最多，錯(cuò)誤；

B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化，不表示某種意思，正確；

C30屆與第29屆北京奧運(yùn)會(huì)相比，奧運(yùn)金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降，銀牌數(shù)有所上升，錯(cuò)誤；

D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為土1=56.5,不正確；

2

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查統(tǒng)計(jì)圖，關(guān)鍵點(diǎn)讀懂折線圖，屬于簡(jiǎn)單題目.

5.C

【解析】

設(shè)直線I的方程為x=，與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得p.

【詳解】

由已知得尸(，，0),設(shè)直線/的方程為+并與y2=2pr聯(lián)立得y2-py-p2=o,

設(shè)A(xi,ji),B(X2,J2),AB的中點(diǎn)C(xo,yo),

?力1+丁2=〃，

又線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,則M尸;(j.+yz)=y=h所以p=2,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問(wèn)題，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵，屬中檔題.

6.A

【解析】

722，

設(shè)事件A為“方程三+匕=?表示雙曲線“，事件8為“方程工+匕=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線”，分別計(jì)算出

mntnn

P(AB)

fXA),P(AB),再利用公式「(8/A)=/計(jì)算即可.

尸(A)

【詳解】

2222

設(shè)事件A為“方程三+二=1表示雙曲線”，事件B為“方程三+二=1表示焦點(diǎn)在y軸上

mnmn

3x3+4x2173x3Q

的雙曲線”，由題意，尸(A)=———=—,P(AB)=-,則所求的概率為

7x5357x535

尸(A3)_9

P(B/A)=

P(A)-n

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問(wèn)題，涉及到雙曲線的定義，是一道容易題.

7.C

【解析】

試題分析：根據(jù)題意，當(dāng)xS2時(shí)，令/一1=3,得％=±2；當(dāng)x>2時(shí)，令唾2%=3,得

x=9,故輸入的實(shí)數(shù).值的個(gè)數(shù)為1.

考點(diǎn)：程序框圖.

8.D

【解析】

由L=101g(焉］得lg/=<12,分別算出乙和乙的值，從而得到；的值.

(1U)10，2

【詳解】

L=10(lg/-lgl0-l2)=10(lgZ+12),

當(dāng)。=60時(shí)，他人=4-12=的一12=-6,/1=10-6,

11010

當(dāng)L,=75時(shí)，1g/,=4—12=及—12=-4.5,=1()T5,

21()1()

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

試題分析：由題意得，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為卻|=。裊"'(一。)「=(T)'C；「W,令8-3八=2=尸=4,所以/的

系數(shù)是(-1)，或=70,故選A.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

10.D

【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)共有37個(gè)，滿足條件的有7個(gè)，相除得到概率.

【詳解】

因?yàn)閄，)'是整數(shù)，所以所有滿足條件的點(diǎn)M(x,y)是位于圓Y+/=10(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，滿足條件f+y24]0

的整數(shù)點(diǎn)有(0,0),(0,±1),(0,±2),(0,±3),(±1,0),

(±2,0),(±3,0),(±1,±1),(±2,±1),(±3,±1),(±1,±2),(±2,±2),(±1,±3)37個(gè)，

7

滿足x+y26的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè)，則所求概率為力.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.

11.A

【解析】

根據(jù)函數(shù)“X)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,2),求出。，可得/(x)=cos2x+l,再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結(jié)論.

【詳解】

由函數(shù)/(x)=2sin(x+2e>cosx(0<^<|)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2),

可得2sin26=2,即sin20=l,

20^-,6=%,

24

故/(X)=2sin(x+20)-cosx=2cos2x=cos2x+l,

對(duì)于A,由-1WCOS2XW1,則0W/(x)<2,故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)*=工時(shí)，/f=1，故B錯(cuò)誤;

4

對(duì)于C,7=笄=乃，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)》=乙時(shí)，/fy|=1,故D錯(cuò)誤;

414J

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

設(shè)z=x+yi(x,yeR),整理|z|=5+1—2i得到方程組孑="+1，解方程組即可解決問(wèn)題.

【詳解】

設(shè)2=%+克(羽丁￡農(nóng))，

因?yàn)槟?5+1—2,，所以yfx24-y2=x-yi+1-2z=(x+1)-(y+2)z,

所以打+y-+i,解得：尸2,

』+2=。[y=-2

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為[|,-2

,此點(diǎn)位于第四象限.

故選D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)知識(shí)，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.9

【解析】

根據(jù)集合交集的定義即得.

【詳解】

集合A={1,4},3={a-5,7},AnB={4},

。-5=4,則“的值是9.

故答案為：9

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集，是基礎(chǔ)題.

4

14.——

5

【解析】

,14

解：由題意可知：cos2tz2cos-tz-1=2x-------1—.

tan-?+15

276+1

lu■------------

6

【解析】

因?yàn)閑e(0,4)，所以a+?e，又sin(a+g)=，所以a+ge(兀'?)，則cos(a+?)=-J^~(_^)2=~~~~，

66663666V33

rz兀、兀J/兀、71-/兀、.兀/2夜、石/1、1276+1

所以cosa=cos[(tz+—)——]=cos(a+—)cos—+sin(a+—)sin—=(-------)x——+(——)x—=------------.

66666632326

16.(0,0)

【解析】

利用動(dòng)點(diǎn)P到直線x=T的距離和他到點(diǎn)尸(1,0)距離相等，，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以尸(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線,從而可

求曲線的方程，將)，=左。-4),代入V=4也利用韋達(dá)定理,可得，尤|/+乂％=°，從而可知以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)

原點(diǎn)O.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)P(x,y),由題意可得x+l=J(x—lf+y2,(x+1)2=(x-l)2+/,x2+2x+l=x2-2x+l+y2,可得

y2=4x,設(shè)直線AB的方程為y=-x-4),代入拋物線可得

左27一4(2k2+1卜+16嚴(yán)=0，4&,弘),5(孫％)-16,玉+x2=4(2\+1),

???乂%=42(%-4)(9-4),

玉/+y%=(公+1)玉々一4〃2(玉+w)+16攵2

=16(攵2+1)—4q8K：，+]6公=o,

k

：.OAOB=Q^以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。.

故答案為：(0,0)

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了直線和拋物線的交匯問(wèn)題，同時(shí)考查了方程的思想和韋達(dá)定理，考查了運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

瓦

17.(1)sinC=-----；(2)a=0=5.

7

【解析】

(1)先由余弦定理求得“，再由正弦定理計(jì)算即可得到所求值；

(2)運(yùn)用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)可得sinA+sinB=5sinC,運(yùn)用正弦定理和三角形的面積公式可

得a,b的方程組，解方程即可得到所求值.

【詳解】

解：(1)由余弦定理

a2=h'+c2-2bccosA=9+4-2x3x2x—=7,a=>/7

2

由正弦定理三得sinC=《li

sinAsinC7

，、―—八工.A1+cosB.八1+cosA「.一

(2)由己知得：sinAx----------+sin5x-----------=3sinC

22

sinA+sin4cos3+sinB+siaBcosA=6sinC

sinA+sinB+sin(A+3)=6sinC,sinA+sinB=5sinC

所以Q+〃=5C=1()①

1?5

又S=-absinC=—sinC,所以必=25......②

22

由①②解得。=Z?=5

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用，以及三角函數(shù)的恒等變換，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.(1)X分布列見(jiàn)解析，y分布列見(jiàn)解析；(2)甲設(shè)備，理由見(jiàn)解析

【解析】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000,y的可能取值為9000,10000,11000,12000,計(jì)算概率得到分布列；

(2)計(jì)算期望，得到E(X)=E(Y)=10800,設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為〃，計(jì)算分布列，計(jì)算

數(shù)學(xué)期望得到答案.

【詳解】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000

P(X=10000)=^^=2，P(X=11000)=史=3,P(X=12000)=—=—

50105055010

因此X的分布如下

X100001100012000

331

P

105To

y的可能取值為9000,10000,11000,12000

51153153153

P(Y=9ooo)=—=—,p(y=10000)=—=—,p(y=nooo)=—=—,p(y=12000)=—=—

5010501050105010

因此y的分布列為如下

Y9000100001100012000

1333

P

10101010

331

(2)E(X)=10000X—+11000X-+12000x—=10800

10510

1333

E(y)=9000X—+10000X—+11000X—+12000x—=10800

10101010

設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為J,〃

4的可能取值為2,3,4,5

%=2)亮4，g)=|M，%=5)喘4

則j的分布列為

自2345

1231

p

io5510

1131

E(^)=2x—+3x-+4x-+5x—=3.7

105510

〃的可能取值為3,4,5,6

51153153153

P(TJ=3)=—=—,P(n=4)=—=—,P(n=5)=—=—,尸(〃=6)=—=—

5010501050105010

則〃的分布列為

n3456

1333

P

To101()io

1333

E(n)=3x—+4x—+5x—+6x—=4.8

10101010

由于雙x)=E(y),E4)<ES),因此需購(gòu)買甲設(shè)備

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

19.(1)—+y2=1(2)y=-x+-^~^4V=-x+-^-

42222

【解析】

(1)根據(jù)橢圓定義求得。力,得橢圓方程;

y=kx+nt

設(shè)尸(冷凹),。(孫％)，由”2得(1+4左2+85a+4加2-4=0,應(yīng)用韋達(dá)定理得X1+%2，%％2，

(2)X2I

I—4+y'=]

代入已知條件刈°=勉可得%=；,再由橢圓中弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)|PQ|,原點(diǎn)。到直線P。的距離d,得三角

形面積，從而可求得加，得直線方程.

【詳解】

2y2

解：(D據(jù)題意設(shè)橢圓C的方程為「+1(。>〃>0)

a~￥

2Q=4

貝！c=g

c2=a2+〃

a=2,h2=1

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4

y=kx+m

2

(2)據(jù)r2得(1+4左2卜2+Skiwc+4m—4=0

—+/=1

[4

64爐那一4（1+4女2乂4加2一4）〉0

nr<4攵2+1

設(shè)尸（彳X）,。（孫必）>則%+/=一含*，再%2=TT77F

1十QK1十QK

kpQ=kgp-kOQ

.?U."

%Z

2

/.(Ax,+m)(Ax2+m)=Z:xIx2

mk(%+w)+/??=0

-Sk2m2

+m2=0

1+4產(chǎn)

又k>0,m>0

.\k=—

2

.g.信寸磕=亞耳￡五

1"T^TK

原點(diǎn)。到直線PQ的距離d

SAOPQ=：XIPQ|Xd=丁=\m\,2->=^y(m>0)

乙1I^Trt乙

解得m=一乙或m-XS

22

所求直線相的方程為y=9+等或y=；x+半

【點(diǎn)睛】

本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問(wèn)題.解題時(shí)采取設(shè)而不求思想，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為

P(5,y),Q(X2，%)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得百+z，X1%2，把這個(gè)結(jié)論代入題中條件求得

參數(shù)，用它求弦長(zhǎng)等等，從而解決問(wèn)題.

(U)

20.(I)/：x+y-1=0,曲線C:F+y?-4x=0f

【解析】

試題分析：(D消去參數(shù)/可得直線/的直角坐標(biāo)系方程,由￥+；/=22,xcos?？傻们€C的直角坐標(biāo)方程;

16

x=\------1

21111k-r|

(2)將/。為參數(shù))代入曲線。的方程得:“+"—3=0,網(wǎng)+國(guó)=丁丁函2，利用

韋達(dá)定理求解即可.

試題解析:

(1)/:x+y-l=0,曲線。：/+/-4%=0,

1色

/2(，為參數(shù))代入曲線。的方程得:

(2)將〈產(chǎn)+"-3=0?

V2

所以：+?2=->/2,?!?2=->

1111_1-:|1+0-4fJ_用

網(wǎng)+國(guó)=同+或而—~~■

21.(1)—+^-=1(1)不存在，理由見(jiàn)解析

43

【解析】

(1)利用離心率和過(guò)點(diǎn)M(0,2),列出等式，即得解

(D設(shè)