四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)試題-奧數(shù)講練：第一講 速算與巧算 精英篇（解析版）全國(guó)通用

第一講速算與巧算

編寫說明

計(jì)算是一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基石，幾乎在每個(gè)學(xué)期我們都要來學(xué)習(xí)計(jì)算的方法和技巧，

在四年級(jí)中，我們按照方法思路進(jìn)行分類，給學(xué)生講解了以下幾種類型：湊整求和、找基

準(zhǔn)數(shù)、分組求解、自然數(shù)的分拆、連續(xù)自然數(shù)求和巧設(shè)中間數(shù)的方法.

在講義設(shè)置中我們以“復(fù)習(xí)回憶+在原有知識(shí)基礎(chǔ)上的提高、新知識(shí)的學(xué)習(xí)”這樣的模版進(jìn)

行講解.作業(yè)設(shè)置在5道中等題量左右，減少暑假連續(xù)學(xué)習(xí)的壓力，幫助孩子們更好的吸收

所學(xué)的知識(shí).在講解講義時(shí)，我們提倡教師在條件允許的情況下，盡可能的舉一反三、整節(jié)

課的講解用一條或幾條主線把它串起來，將題目的原由告訴孩子，幫助他踏實(shí)的學(xué)好每個(gè)

知識(shí)點(diǎn).

內(nèi)容概述

小朋友們，這節(jié)課我們又一同走進(jìn)了“計(jì)算的海洋”，還記得四年級(jí)春季第十一講的速

算與巧算中學(xué)習(xí)到的內(nèi)容嗎？在那節(jié)課中我們學(xué)到了以下幾種方法：湊整求和、找基準(zhǔn)數(shù)、

分組求解、自然數(shù)的分拆和幾個(gè)常用技巧！學(xué)習(xí)完以后，相信聰明的你會(huì)發(fā)現(xiàn)自己能快速

正確的做出更多的題目了！可有時(shí)候，還有許多我們卻摸不著頭腦！那是因?yàn)樵谒偎愕姆?/p>

法技巧中還蘊(yùn)藏了許多我們沒有學(xué)習(xí)到的東西！那么這節(jié)課讓我們一起來走進(jìn)去探討一下

吧！

【復(fù)習(xí)1](香港圣公會(huì)小學(xué)奧林匹克)計(jì)算：3.72-2.73+4.6+5.28-0.27+6.4

分析：原式=(3.72+5.28)+(4.6+6.4)-(2.73+0.27)=9+11-3=17.

【復(fù)習(xí)2】計(jì)算4.75-9.64-(1.36-8.25)

分析：原式=4.75+8.25-9.64-1.36=(4.75+8.25)-(9.64+936)=13-11=2,注意去括號(hào)

時(shí)，相應(yīng)部分要變號(hào).

【復(fù)習(xí)3】(華羅庚學(xué)校五年級(jí)入學(xué)考試試題)8X(3.1-2.85)X12.5X(1.62+2.38)-3.27

分析：初看這道題好像不能用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算.但是里面有特殊數(shù)8、12.5,所以可以先算

一步，再用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算.原式=8X0.25X12.5X4-3.27=(8X12.5)X(0.25X

4)-3.27=100-3.27=96.73

【復(fù)習(xí)41(05香港圣公會(huì)小學(xué)奧林匹克)(123456+234561+345612+456123+561234+612345)

4-111111

分析：原式=(1+2+3+4+5+6)X111111+111111=21.觀察可知1、2、3、4、5、6在十萬、

萬、千、百、十、個(gè)位各出現(xiàn)過一次.

【復(fù)習(xí)5】計(jì)算：1-2+3-4+5-6+...+2005-2006+2007

分析：原式=1+3-2+5-4+7-6+...+2005+2007-2006=1+1X1003=1004,分組求和的思路.

在速算的過程中，如果加入運(yùn)算律的應(yīng)用，會(huì)有意想不到的效果！我們一起先來看看常

用的

一些運(yùn)算律和結(jié)論吧!

在計(jì)算過程中，最常用的技巧之一是靈活熟練地運(yùn)用運(yùn)算律.運(yùn)算律有:

(1)加法交換律：a+b=b+a

(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交換律：ab=ba

(4)乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)

(5)分配律：a(b+c)=ab+ac(反過來就是提取公因數(shù))

(6)減法(括號(hào))的性質(zhì)：a-b-c=a-(b+c)

(7)除法的性質(zhì)：a4-(bXc)=a4-b-i-c

(a+b)4-c=a+c+b4-c

(a-b)4-c=a4-c-b4-c

和不變的規(guī)律：如果一個(gè)加數(shù)增加另一個(gè)加數(shù)減少同一個(gè)數(shù)，它們的和不變.

積不變的規(guī)律：如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大幾倍，另一個(gè)因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，積不變.

7

商不變的規(guī)律：如果除數(shù)和被除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，商不變.

【例1](陳省身杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)計(jì)算：3.1415X25-3.1415X152

分析：(法1)：題中的三項(xiàng)都有因數(shù)34.5,容易想到把34.5作為公因數(shù)提取出來(把乘法

分配律反過來用)，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便.原式=34.5X(8.23+2.77—1)=34.5X10=345.

(法2)：原式=3.1415X(252-152)=3.1415X(25+15)X(25-15)=3.1415X40X10=1256.6

應(yīng)用下面的平方差公式

【回憶鞏固】a、b代表任意數(shù)字，(a+b)X(a—b)=aXa—bXb,這個(gè)公式

在數(shù)學(xué)上稱為平方差公式。

【回憶鞏固】用簡(jiǎn)便方法求292和822的值.(此

原數(shù)平方數(shù)原數(shù)平方數(shù)

為春季所學(xué)內(nèi)容)

12116256

分析：求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中11

1214417289

已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如7x7=49.對(duì)于兩位數(shù)的平

1316918324

方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了10?20的平方，如右

14

表，而21?99的平方就不大熟悉了.有沒有什么19619361

竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢?這里向同學(xué)15225

們介紹一種方法——湊整補(bǔ)零法.所謂湊整補(bǔ)零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，

通過移多補(bǔ)少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù).

292=29X29=(29+1)X(29—1)+1=30x28+1=840+1=841

822=82X82=(82-2)X(82+2)+22=80x84+4=6724

由上例看出，因?yàn)?9比30少I,所以給29“補(bǔ)”1,這叫“補(bǔ)少”；因?yàn)?2比80多2,

所以從82中“移走”2,這叫“移多”.因?yàn)槭莾蓚€(gè)相同數(shù)相乘，所以對(duì)其中一個(gè)數(shù)“移多補(bǔ)少”

后，還需要在另一個(gè)數(shù)上“找齊本例中，給一個(gè)29補(bǔ)1,就要給另一個(gè)29減I;給一個(gè)

82減了2,就要給另一個(gè)82加上2.最后，還要加上“移多補(bǔ)少”的數(shù)的平方.

【例2】(我愛數(shù)學(xué)夏令營(yíng))計(jì)算：6.25X8.27X16+3.75X0.827X8

分析：原式=6.25X16X8.27+3.75X0.8X8.27

=8.27X(6.25X16+3.75X0.8)

=8.27X(100+3)

=8.27X100+8.27X3

=851.81

【鞏固】(香港圣公會(huì)小學(xué)奧林匹克)計(jì)算：8.88X0.15+265X0.0888+5.2X8.88+0.888X

20

分析：原式=8.88X0.15+8.88X2.65+8.88X5.2+8.88X2=8.88X(0.15+2.65+5.2+2)=8.88

X10=88.8

根據(jù)“一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大若干倍，另一個(gè)因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，積不變”的道理，進(jìn)行適當(dāng)變

換，提取公因式，進(jìn)而湊整求和.

【鞏固】計(jì)算6.25X0.16+264X0.0625+5.2X6.25+0.625X20

分析：原式=6.25X0.16+2.64X6.25+5.2X6.25+6.25X2=6.25X(0.16+2.64+5.2+

2)=62.5

【例3】(全國(guó)小學(xué)奧林匹克)1.23452+0.76552+2.469X0.7655

分析：原式=1.23452+0.7655X(1.235+2)

=1.2345X(1.2345+0.7655)+0.7655X2

=2X2

=4

【鞏固】(希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽)計(jì)算7.816X1.45+3.14X2.184+1.69X7.816

分析：不難看出式子是7.816出現(xiàn)過兩次，聯(lián)想提取公因數(shù)。原式=7.816X(1.45+1.69)

+3.14X2.184=7.816X3.14+3.14X2.184=3.14X10=31.4

【例4】(我愛數(shù)學(xué)夏令營(yíng))計(jì)算：147.75X8.4+4.792+409X2.1+0.9521X479

分析:原式=(147.75X4+409)X2.1+(0.0479+0.9521)X479

=1000X2.1+479

=2579

【例5】計(jì)算11.8X43—860X0.09

分析：觀察題中的每一個(gè)數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)：860=43X20,可把20與0.09結(jié)合.

原式=11.8X43—43X20X0.09

=11.8X43—43X1.8

=43X(11.8—1.8)

=430

【前鋪】計(jì)算：20.06X37+200.6X2.3+1.003X800

分析：原式=20.06X37+20.06X23+20.06X40=20.06X(37+23+40)=2006

【例6】41.2X8.1+11X8.75+537X0.19

分析：(法D原式=41.2X8.1+11X8.75+53.7X1.9

=41.2X8.1+11X8.75+(41.2+12.5)XI.9

=41.2X(8.1+1.9)+11X8.75+12.5X1.9

=412+11X8.75+12.5X1.9

=412+1.1X87.5+12.5X1.9

=412+1.1X12.5X7+12.5X1.9

=412+12.5X8X1.2

=532

(法2)：原式=41.2X8.1+11X8.75+(41.2+12.5)XI.9

=41.2X(8.1+1.9)+11X8.75+19X1.25

=412+11X8.75+(11+8)X1.25

=412+11X(1.25+8.75)+8X1.25=412+110+10=532

【鞏固】計(jì)算31.4X36+64X43.9

分析：首先拿31.4X36+64X31.4講解，要求學(xué)生要觀察主要要把36和64湊在一起，這

樣前面有31.4,后面沒有，所以思路分析很明顯。原式=3L4X36+64X(31.4+12.5)

=3140+800=3940

【例7】計(jì)算：2003X20014-111+2003X734-37

分析：原式=2003X(2001+73X3)4-111

=2003X2220-T-111

=40060

【前鋪】(希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽)計(jì)算8.1X1.3-84-1.3+1.9X1.3+11.94-1.3

分析：原式=8.1X1.3+1.9X1.3+11.9+1.3—8+1.3=(8.1+1.9)X1.3+(11.9-8)4-1.3=10

X1.3+3.9+1.3=16,

【前鋪】計(jì)算：11.1X44-9X34-7.4X2.

分析：原式=3X3.7X4+9X3+3.7+2X2=(3X3+9)X(3.7-r3.7)X44-2X2=4.

【前鋪】2828?28+34965+35

分析：原式=28284-44-7+349654-54-7=7074-7+6993+7=7700+7=1100

【前鋪】(香港圣公會(huì)小學(xué)奧林匹克)計(jì)算：1998+28+802+28

分析：原式=(1998+802)4-28=28004-28=100.注意除數(shù)相同有類似提取公因數(shù)的方法.

【例8】下面有兩個(gè)小數(shù)：

。=0.00...0125b=O.OO...O8

1996個(gè)02000個(gè)。

試求a+b,a-b,aXb,a+b.

分析：只需記住小數(shù)的四則計(jì)算法則就能正確算出.

a+b,a的小數(shù)點(diǎn)后面有1998位，b的小數(shù)點(diǎn)后面有2000位.小數(shù)加法要求數(shù)位對(duì)齊，然

后按整數(shù)的加法法則計(jì)算，所以

a+b=0.00…012508=0.00...012508

2000位1996個(gè)0

a-b=0.00...12492=0.00...012492

2000位1996個(gè)0

6zx/?=0.00...01

3995位

a-b,方法與a+b一樣，數(shù)位對(duì)齊，還要注意退位和補(bǔ)零.因?yàn)?/p>

。=0.00…0125,b=0.00...08

1998位2000位

由12500—8=12492,所以

〃—Z?=0.00…12492=0.00...012492

2000位1996個(gè)0

aXb,aXb的小數(shù)點(diǎn)后面應(yīng)該有1998+2000位，但125X8=1000,所以:ax/>=0.00...01

3995位

a+b,將a、b同時(shí)擴(kuò)大100…0倍，得到：a+b=12500+8=1562.5.

2000個(gè)0

周期性數(shù)字

周期性數(shù)字就是由相同的數(shù)字重復(fù)寫幾遍而來，這些數(shù)字可以利用規(guī)律來巧妙分解

如：123123123=123000000+123000+123=123X1000000+123X1000+123=123X1001001

由此我們可以巧妙的發(fā)現(xiàn)上面數(shù)字其實(shí)就是看有幾個(gè)周期，這樣原來的數(shù)就可以分解

成一個(gè)周期數(shù)乘以1001001這種類型的數(shù)，0的個(gè)數(shù)就是每個(gè)周期內(nèi)的數(shù)字個(gè)數(shù)減一.

也可以這樣理解，其實(shí)就是在每個(gè)周期數(shù)最后一位下填1,然后看1的中間隔幾個(gè)數(shù)就

填幾個(gè)0.

如：47564756=4756X10001

【例9】計(jì)算：90390304-43043

分析：原式=903X10010+(43X1001)

=9034-43X100104-1001

=210

【例10］（我愛數(shù)學(xué)夏令營(yíng)）計(jì)算：333X332332333-332X333333332

分析：原式=333X(332332332+1)-332X(333333333-1)

=333X(1001001X332+1)-332X(333X1001001-1)

=333+332

=665

【前鋪】計(jì)算2005X20062006-2006X20052005

分析：原式=2005X2006X10001-2006X2005X10001=0

【鞏固】(希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽培訓(xùn)題)計(jì)算2006X20052006-2005X20062005

分析：發(fā)現(xiàn)后面周期性數(shù)字都多b這樣先轉(zhuǎn)化成周期性數(shù)字.

原式=2006X(20052005+1)-2005X(20062006-1)=2006X20052005+2006-2005X

20062006+2005=4011

【例11](全國(guó)小學(xué)奧林匹克)計(jì)算：55555X666667+44445X666666-155

555

分析：原式=55555X666666+55555+44445X666666-155555

=(55555+44445)X666666-100000

=66666500000

從簡(jiǎn)單情況找規(guī)律

【例12】計(jì)算：99....9x99....9

2006個(gè)92006個(gè)9

分析：從簡(jiǎn)單情況入手找規(guī)律.

9X9=81；99X99=9801；999X999=998001,

所以：99....9x99....9=99...9800...01.

2006個(gè)92006個(gè)92005個(gè)92005個(gè)0

【鞏固】計(jì)算：33....3xl3...32

2006個(gè)32006個(gè)3

分析:3X132=396；33X1332=43956；333X13332=4439556,...

所以：33....3xl3...32=44…43955...56

2006個(gè)32006個(gè)32005個(gè)2005個(gè)

【例13】計(jì)算：88.…8x33…3

2007個(gè)82007個(gè)3

分析：這道題目，你會(huì)發(fā)現(xiàn)無規(guī)律可循.這時(shí)我們就要從這個(gè)思路走出來，

88....8x99...9=88…8711...12,原式可將上式除以3即可得到，

2007個(gè)82007個(gè)92006個(gè)82006個(gè)I

296296...2962957037...03704,學(xué)生平時(shí)做題時(shí)注意對(duì)典型例題的記憶.

668個(gè)296668個(gè)037

【例14】求3+33+333+...+33...3的末三位數(shù)字.

2007個(gè)3

分析：原式的末三位和每個(gè)數(shù)字的末三位有關(guān)系，有2007個(gè)3,2006個(gè)30,2005個(gè)300,

則2007X3+2006X30+2005X300=6021+60180+601500=667701,原式末三位數(shù)字為701.

【附1】(走進(jìn)美妙數(shù)學(xué)花園)若A=192LB=1949,01976,>2004,

求：(A+B+C-D)+(A+B+D-C)+(A+C+D-B)+(B+C+D-A)的值.

分析：原式=(A+B+C+D)X2=(1921+1949+1976+2004)X2=15700.

【附2】計(jì)算：634-34X514-72X644-36

分析：原式=63X51X64+34+72+36=(9X7X3X17X2X4X8)+(17X2X8X9X4X9)

=7/3

【附3】765X2134-27+765X3274-27

分析：原式=765+27X(213+327)=765+27X540=765X540+27=765X20=15300

【附4】計(jì)算：(224466-2244.66)4-(112233-1122.33)

分析：原式=2X(112233-1122.33).(112233-1122.33)=2.

【附5】計(jì)算：(747X127+492)+(746X128-127)

分析：原式=(746X127+127+492)4-(746X127+746-127)=(746X127+619)4-(746X

127+619)=1

1.(陳省身杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)計(jì)算：85.42X7903.29+286.5X790.329+79032.9X4.323

分析：原式=790329X(0.8542+0.2865+0.4323)=790329X1=790329

2.(南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營(yíng))計(jì)算：3.142+68.6X1.314

分析：原式=3.142+68.6X1.314=3.142+68.6X(1+0.314)=3.14X3.14+68.6+68.6X

0.314

=68.6+3.14X(3.14+6.86)=100.

3.計(jì)算：3.42x76.3+7.63X57.6+9.18X23.7

分析:原式=76.3X(3.42+5.76)+9.18X23.7=76.3X9.18+9.18X23.7=918

4.計(jì)算：9966X6+6678X18

分析：原式=3322X3X6+6678X18=(3322+6678)X18=180000

5.9X17+914-17-5X17+454-17

分析：原式=(9-5)X17+(91+45)+17=68+8=76

6.(陳省身杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)計(jì)算：2004X20032002-2002X20032004

分析:原式=(2002+2)X20032002-2002X(20032002+2)=2X(20032002-2002)=40060

000.

7.求1+11+111+…+11…1的末四位數(shù).

100個(gè)I

分析：原式的末四位有100個(gè)1,99個(gè)10,98個(gè)